INGENIERIA ECONOMICA II

PAYMENT COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE

VALOR ACTUAL EQUIVALENTETIR

Payment (Pagos periódicos)Muchos depósitos o préstamos se realizan en cuotas iguales. Por lo que es necesario conocer algunas fórmulas que ahorrarán bastante tiempo:

PMT PMTPMT PMT

0 1 2 3 n

iiiPMT

iPMT

iPMT

iPMT

iPMTVP n

nn

jjn

111

11

1......

11 121

Payment (Pagos periódicos)Despejando el PMT, tendremos:

capital delón recuperaci deFactor ...11

1

CRF

iii

n

n

En donde:

11

1n

n

iiiVPPMT

Payment (Pagos periódicos)También se puede relacionar el PMT con el valor futuro:

111

11 n

n

n iiiVP

iiVFPMT

Este término se conoce como SFF (Factor de amortización de capital)

EjemploSaco de plomo tiene en mente comprarse un automóvil deportivo. Si el vehículo cuesta $7.000.000 y Pepe Cortizona desea pagarlo en 48 cuotas iguales.

¿Cuál será el valor de cada cuota si el interés es del 3% mensual? ¿Cuánto debería pagar Saco de plomo si decidiera cancelar toda su deuda al final de la cuota 48?

Solución

11

1n

n

iiiVPPMT

Para calcular el valor de cada cuota solo necesitamos ocupar la fórmula del Payment

Reemplazando, tendremos:

045.277103,103,003,1000.000.7 48

48

PMT

Por lo tanto, Pepe Cortizona deberá pagar cuotas de $277.045

Solución (continuación)Para calcular cuanto debería pagar si decidiera cancelar toda su deuda al final de la cuota 48, podemos utilizar la fórmula del Payment o simplemente llevar a valor futuro el valor inicial del vehículo:

824.925.2803,0

103,1045.27711 48

iiPMTVFn

O simplemente:

763.925.2803,1000.000.71 48 niVPVF

(La pequeña diferencia entre estas dos cifras se debe solo a la aproximación usada en el cálculo del PMT)

Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE)

•El CAUE es otro método que se utiliza comúnmente en la comparación de dos alternativas•A diferencia del VAN, el CAUE no requiere que la comparación se realice sobre el mínimo común múltiplo de los años cuando las alternativas tienen diferentes vidas útiles. Sólo se necesita que las Tasas sean iguales.•El CAUE nos indica cuál alternativa es mejor, sin embargo, no nos indica cuánto es una mejor a la otra.

Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE)

El CAUE significa que todos los ingresos y desembolsos deben convertirse en una cantidad anual

uniforme equivalente que es la misma cada período

La alternativa seleccionada será

aquella que presente el menor CAUE

Cálculo del CAUESabemos que el CAUE es la “transformación” de los ingresos y desembolsos en una cantidad anual uniforme equivalente. Por ejemplo, el siguiente flujo:

900 900900

500

0 1 2 3 8

8000

900

2955

2955

2955

0 1 2 3 8

2955

Si consideramos una tasa de interés del 20% anual, el CAUE será:

Cálculo del CAUEExisten varios métodos para calcular el CAUE, sin embargo, el procedimiento general consiste en calcular el VAN y luego llevar éste a un PAYMENT.

Analicemos el Ejemplo anterior:

900 900900

500

0 1 2 3 8

8000

900

11337

2,1400

2,1900

2,1900

2,19008000 8721 VAN

Cálculo del CAUE

295512,12,02,111337 8

8

CAUE

2955

2955

2955

0 1 2 3 8

2955

El diagrama de flujo será:

Ahora solo llevamos el VAN a un PAYMENT:

CAUE de gastos recurrentesAlgunos proyectos de vida indefinida poseen gastos recurrentes. Para calcular el CAUE de ellos podemos seguir el siguiente procedimiento:1) Los flujos deben ser convertidos a cantidades anuales uniformes.2) Se debe modificar el flujo, de tal manera que el PMT empiece del período nº1.

Muéstrenmeun ejemplo

CAUE de gastos recurrentes (ejemplo)

Según el procedimiento señalado, necesitamos convertir el flujo a cantidades anuales uniformes:

Calculemos el CAUE del siguiente flujo (de vida indefinida), asumiendo un interés del 10% anual.

50 21 3500

4 6 7500500

5000 1 2Podemos considerar que

desde el 2 año el flujo esta compuesto por infinitos subflujos

de 2 años c/u

CAUE de gastos recurrentes (ejemplo)

Siguiendo el consejo de Bart...

28811,11,01,1500 2

2

PMT

Luego, nuestro flujo será:

0 1288 288

2 3 n

288288 2884 5

Finalmente, modificamos el flujo de tal manera que el PMT empiece en el año nº1:

262

1,1288

)1( 13

2

niVV

262

1,1288

)1( 12

1

niVV

Nota que solo necesitamoscalcular el monto del año nº1,

y luego éste se repetirá indefinidamente cada año

CAUE de gastos recurrentes (ejemplo)

0262 262

1 2 ...

262262 2623 4 CAUE=262

CAUE de una inversión perpetua

Para estos proyectos el cálculo del CAUE se debe realizar de la siguiente manera:

¿Cómo calculo el CAUE de unproyecto de vida indefinida que

además de tener gastos recurrentes tiene algunos gastos no recurrentes?

1) Los gastos no recurrentes deben convertirse a valor presente y luego multiplicarse por la tasa de interés:

iVPCAUE *1

2) Luego calculamos el CAUE de los gastos recurrentes.CAUE2

3) CAUE=CAUE1+CAUE2

CAUE de una inversión perpetua

Un proyecto posee el siguiente diagrama de flujo:(Asumir interés del 10% anual)

¿Cuál será el CAUE del proyecto?

300+800

07000

3003001 2 3

300300+800300+40

00

4 5 6300

300+800

3007 8 9

Primero calculamos el CAUE de los gastos no recurrentes:

CAUE de una inversión perpetua(Ejemplo)

9731,01,1

40007000 41

CAUE

CAUE de una inversión perpetua(Ejemplo)

Luego necesitamos encontrar el CAUE de los gastos recurrentes:

Existe un gastoperiódico anual de 300, luego

CAUE2=300

Además cada 3 años se gastan 800

adicionales.Entonces,debemos calcular

el CAUE3

CAUE de una inversión perpetua(Ejemplo)

0 1 2800

3 4 5800

6 7 8800

9

Calculando el CAUE3 de gastos recurrentes de este flujo:

0266 266

1 2 ...

266266 2663 4

1539266300973 CAUE

Finalmente:

Podemos hacer un diagrama con $500 que se gastan cada 3 años:

Para tomar en cuenta...

El análisis anterior (CAUE) también se puede utilizar cuando en vez de estudiar COSTOS se estudia flujos positivos, en cuyo caso el

análisis suele llamarse VAE (Valor anual equivalente), aunque en ocasiones se sigue utilizando el término CAUE.

Lógicamente laalternativa seleccionada será la de mayor VAE.

VAE (Ejemplo)Se tienen dos proyectos con sus respectivos flujos. Si la tasa del inversionista es del 10%, ¿Cuál será la mejor alternativa utilizando el método del VAE (CAUE)?

Pr oyect o Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5A -1000 600 700 850B -2000 700 800 900 950 1000

763AVAN 1243BVAN

Primero calculamos el VAN de cada proyecto:

EjemploAhora llevamos cada VAN al PAYMENT correspondiente:

30711,11,01,1763 3

3

AVAE

32811,11,01,11243 5

5

BVAE

Como VAEB>VAEA, este método nos indica que se debe escoger el proyecto B.

Comentarios del ejemplo Anterior

Resolvamos la pregunta de la guagua Homero:

Nota que para el análisis delVAE no se necesitó usar el mismo período de tiempo de vida de los proyectos (M.C.M.de los períodos)

¿Cuál sería el resultado si se analizara por el

método del VAN?

...Usando el método del VAN

150 1 2 3-1000

600

700

850

4 5 6-1000

600

700

850

-1000

850

El M.C.M. de los períodos de ambos proyectos es 15, luego debemos prolongar la vida de los proyectos a 15 años:

El flujo del proyecto A será:

0 3 6

763

763

763

9 12

15

763

763

Proyecto A:

2334

1,1763

1,1763

1,1763

1,1763763 12963 AVAN

Modificando los flujos...Pero como ya calculamos el VAN individual de cada Proyecto, podemos aprovechar esto y así modificar los flujos para ahorrar cálculos:

Finalmente...

0 5 10

1243

1243

1243

15

Proyecto B:

2494

1,11243

1,112431243 105 BVAN

Por lo tanto la elección por el método del VAN también favorece al Proyecto B

Tasa Interna de Retorno (TIR)El TIR es la tasa que “entrega” un proyecto suponiendo que todos los flujos son reinvertidos a esta tasa.

Se calcula buscando la tasa que hace el VAN igual a cero

TIR Modificada

Es la tasa que “entrega” un proyecto suponiendo que todos

los flujos son reinvertidos a la tasa costo capital, la cual generalmente

es la tasa atractiva de retorno (TMAR)

Cálculo de la TIR Modificada1) Hallar el Valor presente de las inversiones (en valor absoluto). I0

2) Calcular de VFn de los flujos (usando la tasa del costo capital, generalmente TMAR)

3) Calcular la TIR Modificada, despejando t’ de la fórmula:

ntIVF )'1(0

Cálculo de la TIR Modificada

Como para calcular el VAN de un proyecto de un proyecto se incluyen las inversiones, si queremos calcular la TIR Modificada cuando tenemos el VAN tendremos:

nn tIiIVAN )'1()1(* 00

1)1(*1'0

iIVANt n

Despejando:

Donde i es la tasa costo capital, generalmente TMAR