Upload
oles-vol
View
123
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Integrale Integrale nedefinitenedefinite şi şi definite definite
*Proprietăţi*Metode de calcul
b
a
dxxf )(
PrimitivaPrimitivaDefiniţie:
Ex.2( ) 3 2F x x
( ) 6f x x
( ) ( ).F x f x
Formula Leibniz-Newton (1675). Fie f : [a,b] R o funcţie continuă, iar F : [a,b] R o primitivă a lui f pe [a,b]. Atunci:
b
a
aFbFdxxf )()()(
Teoremă. Fie f,g : [a,b] R, f continuă pe [a,b] şi f(x)=g(x), x Є [a,b] – A, unde A [a,b] este o mulţime finită. Atunci:
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
Proprietăţile integralei definite
P1. Proprietatea de liniaritate Dacă f,g : [a,b] R sunt două funcţii continue pe [a,b] şi λ є R, atunci
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([)1
b
a
b
a
dxxfdxxf )()()2
b
a
c
a
c
b
dxxfdxxfdxxf )()()(
P2. Proprietatea de aditivitate la interval Fie f : [a,b] R şi c є [a,b], atunci
P3. Fie f : [a,b] R continuă şi f(x)≥0, x є [a,b]. Atunci:
P5. Dacă f: [a,b] R este continuă, atunci |f| este continuă
b
a
dxxf 0)(
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
b
a
abMdxxfabm )()()(
P4. Dacă f: [a,b] R este continuă şi dacă m ≤ f(x) ≤ M, x є [a,b], atunci
P6. Dacă f: [a,b] R este o funcţie continuă atunci prin definiţie:
a
a
dxxf 0)( b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
Metode de calcul ale integralei definite
Dacă f,g: [a,b] R sunt două funcţii derivabile, cu derivate continue, atunci
b
a
b
a
dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')(
Teoremă. Fie [a,b] J R (J interval din R) două funcţii cu proprietăţile: 1) f este continuă pe J
2) φ este derivabilă, cu derivata continuă pe [a,b]
Atunci: b
a
b
a
dxxfdtttf)(
)(
)()('))((
f
Metoda de integrare prin parti
Metoda substituţiei
a
a
a
dxxfdxxf0
)(2)(0
, dacă f este funcţie pară
, dacă f este impară
Teorema de medie. Dacă f: [a,b] R este o funcţie continuă, atunci există ξ є [a,b] astfel încât
b
a
fabdxxf )()()(
Aria Aria subgraficuluisubgraficului unei unei functiifunctii
b
af f(x) )( Aria dxxdxf
xfybxaRyxb
af
ff
)()(
:aria are multimea Atunci )}.(0 ,|),{(iar b],[a, x0,f(x) şi continuă R, b][a,:f Fie
b
agf, f(x)]dx-[g(x) )( Aria
Exemplu nr. 1
5
1
12 1x dxx
55 2
1 1
12 1 lnx dx x x xx
2 25 ln 5 5 1 ln1 1
28 ln 5 26.39056
Exemplu nr. 2Exemplu nr. 2
1 1/ 22
02 3x x dx
2let 3u x x
then 2du dxx
1 41/ 22 1/ 2
0 02 3x x x dx u du
43/ 2
0
23u
163
Exemplu nr. 3Exemplu nr. 3
fie
atunci
Ex. Find the area enclosed by the x-axis, the vertical lines x = 0, x = 2 and the graph of
2 3
02x dx
2x3 [0, 2].
22 3 4
0 0
122
x dx x 4 41 12 02 2
8
22 .y x