INTERVALI I PËRKUFIZIMIT

DHE ZEROT E FUNKSIONIT

Y=ax²+bx+c1. Është I përkufizuar për çdo X E (-∞, ∞) , sepse për çdo χ E R edhe f(x) E R.

2. Zerot e funksionit: Kur y=0 ose f(x)=0, ax²+bx+c është e barabartë me zero.

a) D<0 => f(x) nuk ka zero (grafiku I funksionit nuk ka pikë të përbashkët me boshtin):

x

y

0

b) D=0 => f(x) ka zgjidhje të dyfishtë X1 dhe X2 (grafiku I funksionit ka një pikë të përbashkët me boshtin X), fig.a.

X1=X2 x

y

c) D>0 => f(x) ka dy zgjidhje X1 dhe X2 ( grafiku I funksionit e pret boshtin X në dy pika X1 dhe X2), fig.b.

X2X1 x

y

00

Fig.a) Fig. b)

Shembull:f(x)=x²-3x-10

Zgjidhje:

D=b²-4acD=(-3)² - 4 · 1 ·(-10)D= 9+ 40D= 49

X½= -b± √49 / 2·1=3 ± 7/2

X1= -2 X2= 5

1 2 3 4 5-2 -1

1

2

0 x

y

X1 X2

Rritja dhe zvogëlimi I fuksionit kuadratik

Varësisht nga koeficenti a, dallojmë dy mënyra:

1. a>0 , f(x)= ax² + bx + c, (-∞ , -b/2a) (-b/2a , ∞)2. a<0 , f(x)= ax² + bx + c, (-∞ , -b/2a) (-b/2a , ∞)

Shembull: Të gjenden intervalet në të cilat f(x)= 3x²- 4x+5 është rritës dhe zvogëlues.

a=3, a>0-b/2a=-(-4) /2·3= 4/6 = 2/3

Zgjidhje:

(-∞ , 2/3) , (2/3 , ∞)

Vlerat ekstreme të funksionit kuadratik

Funksioni kuadratik y=ax²+bx+c arrin vlerën ekstreme për pikën x=-b/2a, ; numri –b/2a intervalin e përkufizimit e ndan në dy intervale, në njërin është rritës e në tjetrin zvogëlues:

a>0 , ka minimum min (-b/2a , 4ac-b²/4a)

a<0 , ka maksimum max (-b/2a , 4ac-b²/4a)

Shembull:Të caktohet vlera ekstreme e funksionit kuadratik f(x) = 3x² - 6x +1.

Zgjidhje:

-b/2a-b/2a=- (-6)/2·3= 6/6 = 1

4ac-b²/4a = 4 · 3 ·1 – (-6)/ 4 · 1=12+ 36 / 4 = 46 / 4 =12

a=3 a>0 min (1 , 12)1 2 3 4 5

-2

-1

0 x

y

1

2

3

4

1

2

Konkaviteti dhe konveksiteti I

funksionit Konkaviteti dhe konveksiteti I funksionit f(x) = ax² + bx +c , a ≠ 0 , varet nga koeficenti a:

a>0 , f(x) është konkav (lugor);a<0 , f(x) është konveks (bregor).

x

y

0

y

x0

Shembull: f(x) = x² - 2x -3

1. X E (-∞ , ∞)2. x² - 2x -3=0

D= b²-4ac D= 16 X½= -b±√D/2aX1 = -1 , X2 = 3

3. X² - 2x -3 = 0-b / 2a = - (-2) / 2·1 = 2 / 2 = 1 a = 1 > 0 ( - ∞ , 1) , (1 , ∞)

4. X² - 2x -3 = 0 4ac - b² / 4a = 4 · 1 · (-3) – (-2)² / 4 · 1=-12 – 4 / 4 = -16 / 4 = -4

a>0 f(x) min( 1 , -4 )

1 2 3

-4

-

3

-

2

-1

0 x

y

- 1

X1 X2

Forma konkave ( 1 , -4 )

Shenja e funksionit kuadratik

Shenja e funksionit kuadratik varet nga dallori dhe nga shenja e koeficentit a. Dallojmë 3 raste:1. D < 0 , f(x) ka zgjidhje të njëjtë me koeficentin a:

a) y > 0 për a > 0 b) y < 0 për a < 0

+ f(x) > 0 a > 0

x

y

0

-x

y

0

2. D = 0 , f(x) ka zgjidhje të dyfishtë. Shenja e funksionit varet nga koeficenti a , përveç x = -b / 2a ku f(x) = 0.

D = 0 a > 0

x

y

0

0x

y

D = 0 a < 0

3. D > 0 , f(x) ka dy zero reale të ndryshme: X1 dhe X2 dhe f(x) mund të shenohet : f(x) = y = a ( x – x1 ) · ( x – x2 ) X1 < X2

X - ∞ , X1

X1 X1 , X2 X2X2 , ∞

X – X1

X – X2

(X – X1) · (X – X2)

0 ·(X – X1)·(X – X2)

- 0 + + +

- - - 0 +

+ 0 - 0 +shenja e y është si e a 0 0

Shenja e y, e kundërt me a

shenja e y është si e a

Për shqyrtimin e f(x) veprojmë:

1. Të caktuarit e intervalit të përkufizimit;2. Të caktuarit e zerove të funksionit;3. Të caktuarit e rritjes dhe zvogëlimit të

funksionit;4. Të caktuarit e vlerave ekstreme të funksionit;5. Të caktuarit e konkavitetit dhe konveksitetit të

funksionit;6. Të caktuarit e shenjës së funksionit;7. Vizatimi I grafikut të funksionit.

Shembull: f(x) = x² - 2x -3

1. X E (-∞ , ∞)2. x² - 2x -3=0

D= b²-4ac D= 16 X½= -b±√D/2aX1 = -1 , X2 = 3

3. X² - 2x -3 = 0-b / 2a = - (-2) / 2·1 = 2 / 2 = 1 a = 1 > 0 ( - ∞ , 1) , (1 , ∞)

4. X² - 2x -3 = 0 4ac - b² / 4a = 4 · 1 · (-3) – (-2)² / 4 · 1=-12 – 4 / 4 = -16 / 4 = -4

a>0 f(x) min( 1 , -4 )

5. a >0 f(x) ka formë konkave

6. D=16 D>0

X -∞ , -1 -1 -1 , 3 3 3 , ∞

X + 1 - 0 + + +

X – 3 - - - 0 +

(X+ 1) · (X-3)

+ 0 - 0 +

7.

x

y

1 2 3-2 -1 0

-4

-3

X1 X2

(1,-4)

Inekuacionet kuadratikeInekuacionet kuadratike kanë formën:

ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c > 0ax² + bx + c ≤ 0 ax² + bx + c ≥ 0

Zgjidhje të inekuacionit quajmë bashkësine e të gjitha vlerave reale të x-it për të cilat f(x) ka shenjë pozitive apo negative .

Dallojmë këto raste:

1. a) a >0 , D >0

x

y

0

a > 0D>0

ax² + bx + c < 0 x E (X1 , X2) ax² + bx + c ≤ 0 x E [X1 , X2] ax² + bx + c > 0 x E ( -∞ , X1) U (X2 , ∞) ax² + bx + c ≥ 0 x E ( -∞ , X1] U [X2 , ∞)

X1 X2

b) a>0 , D = 0

x

y

0 X1 , X2

a>0D=0

ax² + bx + c < 0 x E Ø ax² + bx + c ≤ 0 x E [ - b / 2a ] ax² + bx + c > 0 x E ( -∞ ,- b / 2a) U (- b /2a , ∞) ax² + bx + c ≥ 0 x E ( -∞ , ∞ )

c) a>0 , D <0

x

y

0

ax² + bx + c < 0 x E Ø ax² + bx + c ≤ 0 x E Øax² + bx + c > 0 x E ( -∞ , ∞ )ax² + bx + c ≥ 0 x E ( -∞ , ∞ )

2. a) a<0 , D>0 y

x0

ax² + bx + c < 0 x E ( -∞ , X1) U (X2 , ∞) ax² + bx + c ≤ 0 x E ( -∞ , X1] U [X2 , ∞)ax² + bx + c > 0 x E (X1 , X2) ax² + bx + c ≥ 0 x E [X1 , X2]

a<0D >0

X1 X2

b) a<0 , D=0

X1 , X2

x

y

0

ax² + bx + c < 0 x E ( -∞ ,- b / 2a) U (- b /2a , ∞) ax² + bx + c ≤ 0 x E ( -∞ , ∞ ) ax² + bx + c > 0 x E Øax² + bx + c ≥ 0 x E [ - b / 2a]

c) a<0 , D<0

x

y

0

ax² + bx + c < 0 x E ( -∞ , ∞ )ax² + bx + c ≤ 0 x E ( -∞ , ∞ ) ax² + bx + c > 0 x E Øax² + bx + c ≥ 0 x E Ø

Shembull:X² + 2x - 3

Zgjidhje:

a=1 , a>0 , D = 16 , D > 0

D = b² - 4acD = 2² - 4 · 1 · (-3)D= 4 +12D = 16

X1 = -3 , X2 = 1

1 2 3-3 -2 -1X1 X2

x

y

0

x² + 2x - 3 < 0 x E (-3 , 1)x² + 2x -3 ≤ 0 x E [ -3 , 1 ]x² + 2x -3 > 0 x E ( -∞ , -3 ) U ( 1 , ∞)x² + 2x -3 ≥ 0 x E ( - ∞ , -3 ] U [ 1 , ∞ )

X½= -b ± √D / 2aX½= -2 ± √16 / 2 · 1X½= -2 ± 4 /2

Funksioni eksponencial

Funksioni:

ƒ(x) = bx , b > 0 Λ b ≠ 1 quhet funksion eksponencial; ndërsa grafiku I tij quhet lakore eksponenciale.

Varësisht nga baza b , dallojmë:

1. b>1 ,

f(x) = bx është rritës dhe kalon nëpër pikën 0 , 1, fig.a.

( 0 , 1 )x

y

0

2. b = 1 , grafiku I funksionit është konstant (është drejtëzë paralele me boshtin x), fig.b.

x

y

0

Fig.a Fig.b

3. b < 1 , b = 1 /a , bx = 1 / ax ku a > 1 Nëse x rritet , atëherë grafiku I funksionit ka gjithnjë rënie dhe kalon nëpër pikën 0 , 1.

y

x0

Shembull:ƒ(x) = 2x

Zgjidhje:

X -2 -1 0 1

ƒ(x) 1/4 1/2 1 2

f (-2) = 2x

f(-2) = 2-2 = 1/ 22

f(-2) = 1 / 4

f(-1) = 2x

f(-1) = 2-1 = 1 / 21

f(-1) = 1 / 2

f(0) = 2x

f(0) = 20

f(0) = 1

f(1) = 2x

f(1) = 21

f(1) = 2

1 2 -2 -1

¼

½

1

2

(-2,1/4)(-1,1/2)

(0,1)(1,2)

x

y

0

Ekuacionet eksponenciale

Ekuacionet e formës : bx = by , ku b > 0 , b ≠ 1 paraqet ekuacion eksponencial.

Ekuacioni eksponencial bx = by është ekuivalent me x = y

Për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve nuk ekziston ndonjë metodë e përgjithshme që do të zbatohej në secilin rast.

Shembull:

1. 32x = 3x+1

2x = x+1 X=1

2. 4x = 1 4x = 40

X = 0

3. 32x = 1 / 81 32x = 1 / 92

32x = 1/ (32)2

32x = 1 / 34

32x = 3-4

2x = -4 X = -4 /2 X = -3

Inekuacionet eksponenciale

Inekuacioni I formës bf(x) > b g(x) ku b> 0 Λ b ≠ 1 quhet inekuacion eksponencial.

b > 1 => b(fx) > b g(x) f(x) > g(x)0 < b < 1 => bf(x) > bg(x) f(x) < g(x)0 < b < 1 => bf(x) < bg(x) f(x) > g(x)

(1 / 2)2x < (1 / 2)3

2x > 3X > 3 / 2

Shembull:

Punoi:Lindita Sadrija Xl-5

Lënda: Matematikë

Prof: Irfete Krasniqi