MODÜLER ARİTMETİK

m Z+ için, tamsayılar kümesi üzerinde,

={(x,y) x-y, m ile bölünür}

bağıntısı bir denklik bağintısıdır.Burada denklik sınıflarının kümesi {0,1,2,3,...(m-1)}dir.Bu küme Z/m olarak gösterilir.

Örneğin; Z/4={0,1,2,3} , Z/5= {0,1,2,3,4} , Z/6={0,1,2,3,4,5}tir.

Z/m kümesine,”m”nin kalan sınıfları kümesi denir.(a,b) ise; yani a ıle b aynı sınıfın elemanları ise , ab( mod m ) biçiminde gösterilir.

Örneğin; 13 1(mod 4) ifadesinde, 13’ün 4 ile bölünmesinden elde edilen kalanın 1 olduğuna dikkat ediniz.

TEOREM: x,y,u,vZ ve m1 için,

xy (mod m)

uv (mod m) ise, x+u y+v (mod m)

TEOREM: x,y,u,vZ ve m>1 için,

xy (mod m)

u v (mod m) ise x.u y.v(mod m)

TEOREM: x,y,u,vZ ve m1 için,

xy (mod m)

uv (mod m) ise, x+u y+v (mod m)

TEOREM: x,y,u,vZ ve m>1 için,

xy (mod m)

u v (mod m) ise x.u y.v(mod m) TEOREM: x,yZ ve n N+ için,

xn yn (mod m)

ÖRNEK:Bu tanımdan yaralanarak,Z/4 kümesinde toplama işleminin tablosunu yapınız ve özelliklerini belirtiniz.

TANIM: p,q Z/m için,

p+q=p+q ve p.q=p.q

ÇÖZÜM: Z/4={0,1,2,3}dir.Bu kümenin elemanlarını kullanarak,

1+2=1+2=3,

2+3=2+3=1,

1+3=1+3=0...

Z/4 te tanımlı bu tür toplama işlemlerinin tamamını aşağıdaki tablo ile gösterebiliriz.

+ 0 1 2 3 0

1

2

3

0 1 2 3

1 2 3 0

2 3 0 1

3 0 1 2

Bu tablodan yaralanılarak,

a) Z/4 kümesi , + işlemine göre kapalıdır.

b) Z/4 kümesinde,+ işleminin değişme özelliği vardır.

c) Z/4 kümesinde ,+ işleminin birleşme özelliği vardır.

d) Z/4 kümesinde,+ işleminin birim elemanı,0(sıfır)dır.

e) xZ/4‘nin, + işlemine göre tersi vardır.

ÖRNEK: 3123

sayısının , 5 ile bölümünden elde edilen kalan nedir?

3123

x (mod 5) eşitliğindeki x,istenilen kalandır.

31 3 (mod 5)

32

4 (mod 5) (32=9 un, 5 ile bölümünden kalan 4’tür.)

(32)

2

4

2 (mod 5)

34 1 (mod 5) (4

2=16 nın, 5 ile bölümünden kalan 1’dir.)

(34)

30 1

30 (mod 5)

3120

1 (mod 5)

33 2 (mod 5) ise

33 .3

120 1.2

(mod 5)

3123

2 (mod 5) O halde istenilen kalan x=2 dir.

ÇÖZÜM

ÖRNEK: 26155 sayısının, 7 ile bölünmesinde elde edilen kalan nedir?

ÇÖZÜM: 26 5 (mod 7)

262 4 ( mod 7)

263 6 (mod 7)

264 2 (mod 7)

265 3 (mod 7)

266 1 (mod 7)

(266)25 125 (mod 7)

26150 1 (mod 7)

265.26150 1.3 (mod 7)26155 3 (mod 7)

O halde,26155 sayısının, 7 ile bölümünden bulunan kalan 3 tür.

ÖRNEK: 2353 ,sayısının birler basamağındaki rakamı bulunuz.

ÇÖZÜM: Bir sayının birler basamağındaki rakam, o sayının 10 ile bölünmesinde bulunan kalana eşittir.

O halde 2353 x ( mod 10) ifadesindeki x i bulalım.

23 3 (mod 10)

232 9 (mod 10)

23 3 7 (mod 10)

23 4 1 (mod 10)

(234)13 113 (mod 10)

2352 1 (mod 10)

23.2352 3.1 (mod 10) 2353 3 ( mod 10)

O halde , 2353 sayısının birler basamağındaki rakam 3 tür.

ÖRNEK: Z / 5 te 3x+4=3 denkleminin

çözüm kümesini bulunuz.

ÖRNEK:Z / 5 t 3x+4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM: Z / 5 = {0,1,2,3,4}kümesinde tanımlanan

+ ve işlemlerinin tablolarını yapalım.

+ 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

1 2 3 4 0

2 3 4 0 1

3 4 0 1 2

4 0 1 2 3

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

0 0 0 0 0

0 1 2 3 4

0 2 4 1 3

0 3 1 4 2

0 4 3 2 1

Bu tablodan yararlanarak denklemi çözelim.

3x+4=3 3x+4+1+=3+1 3x=4

2. 3. x=2 .4 x= 8=3 (mod 5)

O halde, denklemin çözüm kümesi Ç= {3}tür.

.0 0 0 0 0

0 1 2 3 4

0 2 4 1 3

0 3 1 4 2

0 4 3 2 1