Upload
riris-xtiani-purba
View
163
Download
12
Embed Size (px)
Citation preview
Kelompok 8 1
8.1 PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSTITUSI
Himpunan fungsi-fungsi yang ada pada kita sekarang terdiri atas apa yang dinamakan
fungsi-fungsi elementer, yaitu fungsi konstanta, fungsi pangkat, fungsi logaritma dan fungsi
eksponen, fungsi trigonometri dan bahkan fungsi trigonometri kebalikan, berikut fungsi-fungsi
yang di peroleh dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan komposisi.
Jadi,
F(x) = ππ₯+ πβπ₯
2 = cosh x
g(x) = (1 + cos4 x)1/2
h(x) = 3π₯2β2π₯
ln (π₯2+ 1) - sin [cos(cosh x)]
adalah fungsi elementer.
Pendiferensialan suatu fungsi elementer dapat di lakukan langsung dengan aturan-
aturan yang dapat kita kenal. Hasilnya selalu fungsi elementer. Pengintegralan(anti
pendiferensial) adalah persoalan yang berbedasekali. Iamelibatkan sedikit teknik dan banyak
sekali akal; lebih celaka lagi hasilnya bukan selalu fungsi elementer. Misalnya telah kita ketahui
bahwa antiturunan πβπ₯2 dan (sin x)/x bukan fungsi-fungsi elementer.
SUBSTITUSI DALAM INTEGRAL TAK-TENTU
Andaikan menghadapi suatu integral tak tentu. Apabilaa ini bentuk baku, segera
dapatlah ditulis hasilnya. Apabila tidak carilah sebuah subsitusi yang akan mengubah menjadi
suatu bentuk baku. Apabila pada susitusi pertama anda tidak berhasil memperoleh bentuk
baku, anda dapat mencoba dengan cara lain.
Kelompok 8 2
Metode subsitusi ini didasarkan pada teorema 5.8A
Teorema A
(substitusi). Untuk menentukan β« π(π₯)ππ₯, kita dapat mensubstitusi π’ = π(π₯), dengan g fungsi
yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah π(π₯)ππ₯ menjadi β(π’)ππ’ dan apabila
π» sebuah antiturunan β, maka
β« π(π₯)ππ₯ = β« β(π’) + πΆ = π»(π(π₯)) + πΆ
Konstanta, pangkat
1.β« π ππ’ = ππ’ + πΆ 2. β« π’π ππ’ = {π’π
π+1 r β β1
ln πΌπ’πΌ + πΆ π = β1
Eksponen
3.β« ππ’ ππ’ = ππ’ + πΆ 4.β« ππ’ππ’ = ππ’
lnπ+ πΆ, π β 1, π > 0
Fungsi Trigonometri
5.β« sin π’ ππ’ = β cosπ’ + πΆ 6.β« cosπ’ ππ’ = sin π’ + πΆ
7.β« π ππ2 π’ ππ’ = tan π’ + πΆ 8.β« π ππ 2 π’ ππ’ = β cotπ’ + πΆ
9.β« sec π’ tan π’ ππ’ = sec π’ + πΆ 10.β« csc π’ cotπ’ ππ’ = β csc π’ + πΆ
11.β« tan π’ ππ’ = β ln πΌπππ π’πΌ + πΆ 12.β« cotπ’ ππ’ = ln πΌπ ππ π’πΌ + πΆ
Fungsi Aljabar
13.β«ππ’
βπ2+ π’2 = π ππβ1 π’
π + C 14.β«
ππ’
π2+ π’2=
1
π π‘ππβ1 (
π’
π) + πΆ
15.β«ππ’
π’βπ’2+ π2=
1
π π ππβ1 (
πΌπ’πΌ
π) + πΆ =
1
π πππ β1 (
π
πΌπ’πΌ) + πΆ
Kelompok 8 3
Contoh 1
Tentukan β«π₯
cos2(π₯2)ππ₯
Penyelesaian: Perhatikan integral tersebuat sejenak. Anda akan teringat pada bentuk baku
β« π ππ2 π’ ππ’. andaikan π’ = π₯2, ππ’ = 2π₯ ππ₯. maka
β«π₯
πππ 2(π₯)ππ₯ =
1
2β«
1
πππ 2(π₯2). 2π₯ ππ₯ =
1
2β« π ππ2 ππ’
=1
2tan π’ + πΆ =
1
2tan(π₯2) + πΆ
Contoh 2
Tentukan β«3
β5β9π₯2ππ₯
Penyelesaian: Ingatlah bentuk β«ππ’
βπ2βπ’2 andaikan π’ = 3π₯, ππππ ππ’ = 3 ππ₯
Sehingga β«3
β5β9π₯2ππ₯ = β«
1
β5βπ’2ππ’ = π ππβ1 (
π’
β5) + πΆ
π ππβ1 (3π₯
β5) + πΆ
Contoh 3
Hitunglah β«6π1/π₯
π₯2ππ₯ = β6 β« π1/π₯ (
β1
π₯2ππ₯) = β6 β« ππ’ππ’
= β6ππ’ + πΆ = β6ππ’ + πΆ
Contoh 4
Tentukan β«ππ₯
4+9π2π₯ππ₯
Penyelesaian ingatβ«1
π2+ π’2ππ’. π΄πππππππ π’ =
1
π₯ππππ ππ’ = 3ππ₯ ππ₯. ππβπππππ
β«ππ₯
4 + 9π2π₯ ππ₯ =1
3β«
1
4 + 9π2π₯(3ππ₯ ) =
1
3β«
1
4 + π’2 ππ’
=1
3.
1
2π‘ππβ1 (
π’
2) + πΆ =
1
6π‘ππβ1 (
3ππ₯
2) + πΆ
Kelompok 8 4
tidak ada hukum yang mengharuskan anda menggunakan substitusi-u. Bila anda dapat
melakukan tanpa penggantian, lakukanlah. Dibawah ini ada dua contoh yang kita maksudkan.
Contoh 5
Tentukanlah β« π₯3 βπ₯4 + 11ππ₯
Penyelesaian dalam ingatan, gantilah π’ = π₯4 + 11
β« π₯3βπ₯4 + 11ππ₯ =1
4β«(π₯4 + 11)
12(4π₯3ππ₯)
=1
4β«(π₯4)
12 π(π₯4 + 11) =
1
6(π₯4 + 11)
32 + πΆ
Contoh 6
Tentukan β«ππ‘ππ π‘
πππ 2π‘ππ‘.
Penyelesaian dalam ingatan, gunakan substitusi π’ = π‘ππ π‘
β«ππ‘πππ‘
πππ 2 π‘ππ‘ = β« ππ‘πππ‘π ππ2π‘ ππ‘
= β« ππ‘πππ‘ π(π‘ππ π‘) =ππ‘πππ‘
πππ+ πΆ
MENGUBAH-UBAH INTEGRAN
Sebelum mengunakan sesuatu subsitusi, kerapkali kita perlu menulis integran dalam bentuk
yang lebih cocok.
Contoh 7
Tentukan β«7
π₯2β6π₯+25ππ₯
Kelompok 8 5
Penyelesaian : Suatu integran yang penyebutnya berbentuk suatu kuadrat kerap kali dapat
diubah menjadi bentuk baku setelah melengkapkannya menjadi sebuah kuadrat. Ingat bahwa
π₯2 + ππ₯ menjadi suatu kuadrat dengan menambahkan (π
2)
2
.
β«7
π₯2 β 6π₯ + 25ππ₯ = β«
7
π₯2 β 6π₯ + 9 + 16ππ₯
= 7 β«1
(π₯ β 3)242 π(π₯ β 3)
= 7
4tanβ1 (
π₯β3
4) + π
Dalam fikiran, kita gunakan substitusi π’ = π₯ β 3
Contoh 8
Tentukan β«π₯2βπ₯
π₯+1ππ₯
Penyelesaian : Apabila integran hasil bagi dua suku banyak (yaitu suatu fungsi rasional) dan
derajat pembilang sama atau melebihi derajat penyebut, lakukanlah pembagian pembilang oleh
penyebut terlebih dahulu (Gambar 1)
π₯2βπ₯
π₯+1= π₯ β 2 +
2
π₯+1
Sehingga :
β«π₯2β2
π₯ +1ππ₯ = β«(π₯ β 2)ππ₯ + 2 β«
1
π₯+1ππ₯
=π₯2
2β 2π₯ + 2 β«
1
π₯+1π(π₯ + 1)
=π₯2
2β 2π₯ + 2ln|π₯ + 1| + π
Contoh 9.
Tentukan β« sec π₯ ππ₯
Penyelesaian : Perubahan β perubahan yang kita lakukan dalam integral pada contoh 7 dan 8
tampak masuk akal, dan dapat dipahami, tetapi contoh 9 ini agak lain, seperti yang terlihat
dibawah ini:
x - 2
x +1 x2 - x
x2 + x
-2x
-2x β 2
2
Kelompok 8 6
β« sec π₯ ππ₯ = β« sec π₯ sec π₯+ tanπ₯
sec π₯+ tanπ₯ ππ₯
= β«π ππ2π₯+ sec π₯ tan π₯
sec π₯+tanπ₯ ππ₯
= β«1
sec π₯+tanπ₯ π(sec π₯ + tan π₯)
= ln |sec π₯ + tan π₯| + π
SUBSTITUSI DALAM INTEGRAL TENTU
Topik ini telah dibahas dalam pasal 5.8 substitusi dalam integral tentu seperti substitusi dalam
integral tak tentu, tetapi kita tidak boleh lupa untuk mengubah batas β batas pengintegralan
seperlunya.
Contoh 10.
Tentukan β« π‘ βπ‘2 β 4 5
2 ππ‘.
Penyelesaian : andaikan π’ = π‘2 β 4, dengan demikian ππ’ = 2π‘ ππ‘ ; perhatikan bahwa u = 0 jika
t = 2 dan u = 21 jika t = 5. Jadi,
β« π‘βπ‘2 β 45
2 ππ‘ = 1
2β« (π‘2 β 4)
1
2 ( 2π‘ ππ‘)5
2
= 1
2 β« π’
12 ππ’
21
0
= [1
3 π’
3
2]021 =
1
3(21)
3
2 β 32,08
PENGGUNAAN DAFTAR INTEGRAL
Daftar bentuk baku kita sangat pendek (hanya 15 rumus); daftar yang ada pada halaman β
halaman terakhir buku ini mengandung lebih banyak bentuk baku (ada 113 rumus) dan lebih
banyak manfaatnya. Perhatikan bahwa integral β integral disitu dikelompokkan menurut
berbagai jenis. Kita beri contoh penggunaan daftar itu.
Contoh 11.
Tentukan β« β6π₯ β π₯2 ππ₯ dan β« (cosπ₯) β6 sin π₯ β π ππ2π₯ ππ₯. π
20
Kelompok 8 7
Penyelesaian : kita gunakan rumus 102 dengan a = 3.
β« β6π₯ β π₯3 ππ₯ = π₯ β 3
2 β6π₯ β π₯2 +
9
2 sinβ1 (
π₯ β 3
3) + π
Dalam integral kedua andaikan π’ = sin π₯, sehingga ππ’ = cosπ₯ ππ₯. maka
β« cosπ₯ β6 sin π₯ β π ππ2π₯ ππ₯ = β« β6π’ β π’2 ππ’1
0
π2
0
= [ π’ β 3
2 β6π’ β π’2 +
9
2 sinβ1(
π’ β 3
3 )]0
1
= β β5 + 9
2 sinβ1(
β2
3) β
9
2 sinβ1(β1)
β 1,55
Daftar integral baku yang lebih luas dapat ditemukan diperpustakaa. Salah satu yang terkenal
ialah β satndart mathematical tablesβ yang diterbitkan oleh β Chemical Rubber Companyβ.
8.2 BEBERAPA INTEGRAL TRIGONOMETRI
Apabila kita menggunakan metode penggantian dan dibarengi dengan pemakaian kesamaan
trigonometri yang tepat, maka kita dapat mengintegralkan banyak bentuk trigonometri. Kita
perhatikan terlebih dahulu lima jenis integral yang sering muncul.
1. β« π ππn π₯ ππ₯ πππ β« πππ n π₯ ππ₯
2. β« π ππm π₯ πππ n π₯ ππ₯
3. β« π‘ππn π₯ ππ₯ dan β« πππ‘n π₯ ππ₯
4. β« π‘ππm π₯ π ππn π₯ ππ₯ dan β« πππ‘m π₯ ππ πn π₯ ππ₯
5. β« sin ππ₯ cosππ₯ ππ₯, β« sin ππ₯ sin ππ₯ ππ₯, β« cosππ₯ cosππ₯ ππ₯
JENIS 1 (β« πππn π π π,β« πππn π π π)
Perhatikan pertama apabila n bilangan bulat ganjil dan positif. Setelah kita mngeluarkan faktor
sin x atau cos x, gunakan kemudian kesamaan sin2 x + cos2 x = 1.
Contoh 1 (n ganjil).
Tentukan β« π ππ5 π₯ ππ₯
Kelompok 8 8
Penyelesaian :
β« π ππ5 π₯ ππ₯ = β« π ππ4 π₯ sin π₯ ππ₯
= β«(1 β πππ 2 π₯)2 sin π₯ ππ₯
= β«(1 β 2 πππ 2 π₯ + πππ 4 π₯) sin π₯ ππ₯
= β«(1 β 2 πππ 2 π₯ + πππ 4 π₯)π(cosπ₯)
= - cos x + 2
3 cos3 x -
1
5 cos5 x + C
Apabila n positif genap, kita gunakan rumus setengah sudut
Sin2 x = 1βcos2π₯
2, cos2 x =
1+cos2π₯
2
Contoh 2 (n genap).
Tentukan β« π ππ2 π₯ ππ₯ dan β« πππ 4 π₯ ππ₯
Penyelesaian :
β« π ππ2 π₯ ππ₯ = β«1βcos2π₯
2 ππ₯
= 1
2 β« ππ₯ β
1
4 β«(cos2π₯) (2)ππ₯
= 1
2 β« ππ₯ β
1
4 β« cos2π₯ π(2π₯)
= 1
2π₯ β
1
4 sin 2π₯ + πΆ
β« πππ 4 π₯ ππ₯ = β« (1+cos2π₯
2)
2
ππ₯
= 1
4 β«(1 + 2 cos2π₯ + πππ 2 2π₯) ππ₯
= 1
4 β« ππ₯ +
1
4 β«(cos2π₯) (2)ππ₯ +
1
8 β«(1 + cos4π₯) ππ₯
= 3
8 β« ππ₯ +
1
4 β« cos2π₯ π(2π₯)+
1
32 β« cos4π₯ π(4π₯)
= 3
8 π₯ +
1
4sin 2π₯ +
1
32 sin 4π₯ + πΆ
Kelompok 8 9
JENIS 2 (β« π¬π’π§π π ππ¨π¬π π π π).
Apabila m atau n ganjil positif sedangkan eksponen yang lain bilangan sebarang, kita keluarkan
sin π₯ atau cosπ₯ dan menggunakan kesamaan sin2 π₯ + cos2 π₯ = 1.
Contoh 3 (m atau n ganjil)
Tentukan β« sin3 π₯ cosβ4 π₯ ππ₯
Penyelesaian
β« sin3 π₯ cosβ4 π₯ ππ₯ = β«(1 β cos2 π₯)(cosβ4 π₯) sin π₯ ππ₯
= β β«(cosβ4 π₯ β cosβ2 π₯)π(cosπ₯)
= β [(cosπ₯)β3
β3β
(cosπ₯)β1
β1] + πΆ
=1
3sec3 π₯ β sec π₯ + πΆ
Contoh 4 (m dan n genap)
Tentukan β« sin3 π₯ cosβ4 π₯ ππ₯
Penyelesaian
β« sin3 π₯ cosβ4 π₯ ππ₯ = β« (1 β cos2π₯
2)(
1 + cos2π₯
2)
2
ππ₯
=1
8β«(1 + cos2π₯ β cos2 2π₯ β cos3 2π₯)ππ₯
=1
8β« [1 + cos2π₯ β
1
2(1 + cos4π₯) β (1 β sin2 2π₯) cos2π₯] ππ₯
=1
8β« [
1
2β
1
2cos4π₯ + sin2 2π₯ cos2π₯] ππ₯
=1
8[β«
1
2ππ₯ β
1
8β« cos4π₯ π(4π₯) +
1
2β« sin2 2π₯ π(sin 2π₯)]
Kelompok 8 10
=1
8[1
2π₯ β
1
8sin 4π₯ +
1
6sin3 2π₯] + πΆ
JENIS 3 (β« πππ§π π π π, β« ππ¨ππ π π π)
Dalam kasus tangen, keluarkan faktor tan2 π₯ = sec2 π₯ β 1 ; dalam kasus kotangen, keluarkan
faktor cot2 π₯ = csc 2 π₯ β 1
Contoh 5
Tentukan β« πππ‘4 x dx
Penyelesaian
β« πππ‘4 x dx = β« πππ‘2 x (csc2 x β 1) dx
= β« πππ‘2 x csc2 x dx - β« πππ‘2 x dx
= - β« πππ‘2 x d(cot x) β β«(ππ π2 x β 1) dx
= - 1
3 cot3 x + cot x + x + c
Contoh 6
Tentukan β« tan5 π₯ ππ₯.
Penyelesaian
β« Tan5 π₯ ππ₯ = β« tan3 π₯ (sec2π₯ β 1)
= β« tan3 π₯ sec2 π₯ ππ₯ β β« tan3 π₯ ππ₯
= β« tan3 π₯ π(tan π₯) β β« tan π₯ (sec2 β 1)ππ₯
= β« tan3 π₯ π(tan π₯) β β« tan π₯ π(tan π₯) + β« tan π₯ ππ₯
=1
4tan4 π₯ β
1
2tan2π₯ β ln|cosπ₯| + πΆ
Kelompok 8 11
JENIS 4 (β« πππ§π π π¬πππ π π π,β« ππ¨ππ π ππ¬ππ π π π)
Contoh 7 (n genap, m sebarang).
Tentukan β« tanβ3 2β π₯ sec4 π₯ ππ₯
Penyelesaian
β« Tanβ3 2β π₯ sec4 π₯ ππ₯ = β«(tanβ3 2β π₯) (1 + tan2 π₯) sec2 π₯ ππ₯
= β«(tanβ3 2β π₯) sec2 π₯ ππ₯ + β«(tan1 2β π₯) sec2 π₯ ππ₯
= β2 tanβ1/2 π₯ +2
3tan3/2 π₯ + πΆ
Contoh 8 (m ganjil, n sebarang).
Tentukan β« tan3 π₯ secβ1/2 π₯ ππ₯
Penyelesaian
β« Tan3 π₯ secβ1/2 π₯ ππ₯ = β«(tan2 π₯) (secβ3/2 π₯)(sec π₯ tan π₯)ππ₯
= β«(sec2 π₯ β 1) secβ3/2 π₯ π(sec π₯)
= β« sec1/2 π₯ π(sec π₯) β β« secβ3/2 π₯ π(sec π₯)
=2
3sec3/2 π₯ + 2 secβ1/2 π₯ + πΆ
JENIS 5 (β« π¬π’π§ ππ ππ¨π¬ πππ π,β« π¬π’π§ πππ¬π’π§ ππ π π,β« ππ¨π¬ ππ ππ¨π¬ πππ π).
Integral jenis ini digunakan dalam teori arus listrik bolak-balik, teori perpindahan panas, dan
dalam teori-teori yang menggunakan deret Fourier. Untuk menyelesaikan integral tersebut kita
gunakan kesamaan berikut.
sin ππ₯ cosππ₯ =1
2[sin(π + π)π₯ + sin(π β π)π₯]
sin ππ₯ sin ππ₯ = β1
2[cos(π + π)π₯ β cos(π β π)π₯]
Kelompok 8 12
cosππ₯ cosππ₯ =1
2[cos(π + π)π₯ + cos(π β π)π₯]
Contoh 9
Tentukan β« sin 2π₯ cos3π₯ ππ₯
Penyelesaian
β« sin 2π₯ cos3π₯ ππ₯ =1
2β«[sin 5π₯ sin(βπ₯)] ππ₯
=1
10β« sin 5π₯ π(5π₯) β
1
2β« sin(βπ₯) ππ₯
= β1
10cos5π₯ +
1
2cosπ₯ + πΆ
Contoh 10
Apabila m dan n bilangan positif buktikan bahwa
β« sin ππ₯ sin ππ₯π
βπ ππ₯ = {0 jika n β mπ jika n = m
Penyelesaian jika n β m
β« sin ππ₯ sin ππ₯π
βπππ₯ = β
1
2β« [cos(π + π)π₯ β cos(π β π)π₯]
π
βπππ₯
= β1
2[
1
π + πsin(π + π)π₯ β
1
π β πsin(π β π)π₯]
βπ
π
= 0
Jika n = m
β« sin ππ₯ sin ππ₯π
βπππ₯ = β
1
2β« [cos2ππ₯ β 1]
π
βπππ₯
= β1
2[
1
2πsin 2ππ₯ β π₯]
βπ
π
=1
2[β2π] = π