Tutorial Kalkulus 1 - Bab Aplikasi Turunan

  • View
    70

  • Download
    10

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Materi ringkasan

Text of Tutorial Kalkulus 1 - Bab Aplikasi Turunan

  • Kalkulus Aplikasi Turunan 1

    Aplikasi Turunan I. Laju yang Saling Berkaitan

    Secara definisi, turunan sebuah fungsi merupakan tingkat perubahan dari fungsi yang

    diturunkan. Ditinjau dari definisi tersebut, turunan bisa digunakan untuk mengetahui kondisi

    suatu nilai pada titik tertentu.

    Umumnya, permasalahan yang diberikan adalah mencari nilai pada suatu titik, atau mencari

    tingkat perubahan saat titik tertentu. Teknik penyelesaian permasalahan tersebut adalah

    dengan mengubah persamaan fungsi agar nilai tertentu dapat digunakan

    Contoh 1.1

    Diberikan sebuah balok es dengan ukuran 3 x 2 x 2 meter (panjang, lebar, tinggi). Balok tersebut

    mencair sehingga ukuran balok tersebut menyusut. Diketahui penyusutan setiap sisi tersebut

    sebesar 0.2 mm/s. Tentukan volume balok setelah 1 jam.

    Diketahui, p = 3 m

    l = 2 m

    h = 2 m

    =

    =

    = -2 x 10-4 m/s

    Penyelesaian pt = 1 jam = 3 + (-2 x 10-4) . 3600 = 2.28 m

    lt = 1 jam = 2 + (-2 x 10-4) . 3600 = 1.28 m

    ht = 1 jam = 2 + (-2 x 10-4) . 3600 = 1.28 m

    Vt = 1 jam = 2.28 x 1.28 x 1.28

    Vt = 1 jam = 3.735552 m3

    Contoh 1.2

    Di sebuah persimpangan terdapat sebuah mobil dan motor yang melintas. Mobil tersebut

    bergerak ke arah utara, sedangkan motor bergerak ke arah timur. Jika diketahui kecepatan

    mobil tersebut 100 km/jam, dan motor bergerak dengan kecepatan 75 km/jam. Dengan asumsi

    bahwa saat persimpangan kedua kendaraan berpapasan dan jarak kedua kendaraan saat

    persimpangan diabaikan, tentukan laju perubahan jarak antara kedua kendaraan tersebut jika

    kedua kendaraan bergerak dengan kecepatan konstan.

    Diketahui,

    = 100 km/jam,

    = 75 km/jam

    Penyelesaian h = 2 + 2 . . . . . . u = 2 + 2;

    = 2x

    + 2y

    h = u1/2

  • Kalkulus Aplikasi Turunan 2

    =

    1

    2 u-1/2

    =

    1

    22+2 (2x

    + 2y

    )

    =

    1

    2+2 (x

    + y

    )

    =

    75+100

    2+2 atau

    =

    75+100

    Latihan Soal

    1.1) Sebuah kerucut tanpa alas digunakan untuk menampung air. Debit air sebesar 3

    cm3/detik mengisi kerucut tersebut. Tentukan kecepatan tinggi air bertambah saat

    tinggi air 6 cm jika diketahui keliling kerucut adalah 40 cm dan tinggi kerucut adalah 24

    cm.

    1.2) Sebuah papan sepanjang 25 m bersandar di tembok. Jika papan tergelincir dengan

    kecepatan 1 m/s menjauhi tembok, tentukan kecepatan perubahan jarak papan dengan

    tanah saat tinggi papan setinggi 24 m.

    1.3) Gerobak pengangkut beras menuangkan berasnya ke gudang. Gundukan beras tersebut

    membentuk sebuah kerucut. Diketahui bahwa beras tersebut memiliki sisi yang cukup

    licin, sehingga tinggi tumpukan beras pasti tidak lebih dari 5 cm. Gerobak menuang

    beras dengan kecepatan 13 cm3/detik. Tentukan kecepatan pertambahan jari-jari

    gundukan beras tersebut saat 10 detik.

    II. Turunan sebagai indikator perubahan kurva

    Turunan sebuah fungsi dapat digunakan untuk mencari tahu bahwa suatu interval kurva sedang

    menurun, menaik, atau mendatar. Nilai turunan fungsi menentukan apakah fungsi sedang

    menaik, menurun, atau konstan.

    (a) Grafik menurun saat x > 0 (b) Grafik menaik saat x > 0

  • Kalkulus Aplikasi Turunan 3

    (c) Grafik konstan untuk semua x

    Jika,

    (a) f(x) > 0 untuk setiap nilai x dalam selang (a, b), maka f menaik pada [a,b]

    (b) f(x) < 0 untuk setiap nilai x dalam selang (a, b), maka f menurun pada [a,b]

    (c) f(x) = 0 untuk setiap nilai x dalam selang (a, b), maka f konstan pada [a,b]

    Agar mudah dibaca, definisi tersebut bisa dipersingkat.

    (a) f(x) > 0 maka f menaik (di antara dua titk dimana x berada)

    (b) f(x) < 0 maka f menurun (di antara dua titik dimana x berada)

    (c) f(x) = 0 maka f mendatar (di antara dua titik dimana x berada)

    Umumnya digunakan garis bilangan untuk menentukan kemiringan kurva. Perhatikan contoh

    berikut.

    Contoh 2.1

    Tentukan kemiringan selang yang terdapat pada f(x) = x2 + 3x 4.

    Langkah 1 Cari turunan fungsi tersebut

    f(x) = x2 + 3x 4 f(x) = 2x + 3

    Langkah 2 Tentukan titik pembuat 0 turunan fungsi tersebut

    f(x) = 2x + 3

    x = -3

    2

    Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat 0 turunan fungsi.

    Ambil nilai x sembarang yang berada di antara selang tersebut

    x = -3

    2

    Untuk selang (-,-3

    2 ], misal x = -2

    f(-2) = 2(-2) + 3 f(-2) = -1

    Karena f(-2) > 0, selang (-,-3

    2 ] memiliki bentuk kurva menurun

  • Kalkulus Aplikasi Turunan 4

    Untuk selang [-3

    2 , +), misal x = 0

    f(0) = 2(0) + 3 f(0) = 3

    Karena f(0) > 0, selang [-3

    2 , +) memiliki bentuk kurva menaik

    Contoh 2.2

    Tentukan kemiringan selang yang terdapat pada f(x) = x3 - 3x

    Langkah 1 Cari turunan fungsi tersebut

    f(x) = x3 3x f(x) = 3x2 - 3

    Langkah 2 Tentukan titik pembuat 0 turunan fungsi tersebut

    f(x) = 3x2 3 f(x) = 3(x2 - 1) f(x) = 3(x 1)(x + 1) x = {-1, 1}

    Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat 0 turunan fungsi.

    Ambil nilai x sembarang yang berada di interval selang tersebut

    x = {-1, 1}

    Untuk selang (-, -1], misal x = -2

    f(-2) = 3(-2)2 3

  • Kalkulus Aplikasi Turunan 5

    f(-2) = 24 Karena f(-2) > 0, selang (-, -1] memiliki bentuk kurva menaik

    Untuk selang [-1, 1], misal x = 0

    f(0) = 3(0)2 3 f(0) = -3 Karena f(0) < 0, selang [-1, 1] memiliki bentuk kurva menurun

    Untuk selang [1, ), misal x = 2

    f(2) = 3(2)2 3 f(2) = 24 Karena f(2) > 0, selang [1, -) memiliki bentuk kurva menaik

    Latihan Soal

    2.1) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = x2 5x + 6

    2.2) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = x3 12x 10

    2.3) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = x4 x3 + x2 2

    2.4) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = 2 + 4 11

    Catatan: Perhatikan domain natural fungsi

    2.5) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = 5

    329

    III. Kecekungan

    Kecekungan kurva dalam suatu selang dapat diketahui dengan turunan pertama fungsi maupun

    turunan kedua fungsi

  • Kalkulus Aplikasi Turunan 6

    (a) Dengan turunan pertama fungsi, kecekungan dapat diketahui dengan garis bilangan selama

    kurva kontinu

    i. Kurva cekung ke atas apabila bagian kiri titik pembuat nol negatif, dan bagian kanan titik

    pembuat nol positif.

    ii. Kurva cekung ke bawah apabila bagian kiri titik pembuat nol positif, dan bagian kanan

    titik pembuat nol negatif.

    (i) Garis bilangan kurva yang cekung ke atas (ii) Garis bilangan kurva yang cekung ke bawah

    (b) Dengan turunan kedua fungsi, kecekungan dapat diketahui dengan garis bilangan

    i. Kurva cekung ke atas dalam sebuah selang apabila f(x) > 0 pada selang tersebut

    ii. Kurva cekung ke bawah dalam sebuah selang apabila f(x) < 0 pada selang tersebut

    Nilai pembuat nol pada turunan kedua fungsi disebut dengan titik belok, karena pada

    titik tersebut terjadi perubahan arah perubahan kurva.

    [gambar titik belok]

    Contoh 3.1

    Carilah kecekungan seluruh selang yang ada pada f(x) = x2 1

    Langkah 1 Cari turunan pertama fungsi tersebut

    f(x) = x2 1 f(x) = 2x

    Langkah 2 Cari pembuat nol turunan fungsi tersebut

    f(x) = 2x x = 0

    Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat nol fungsi. Ambil nilai x

    sembarang yang berada di interval selang

    x = 0

    Untuk selang (-, 0], ambil x = -1

    f(-1) = 2(-1) f(-1) = -2 Karena f(-1) < 0, selang (-, 0] negatif (menurun)

    Untuk selang [0, ), ambil x = 1

    f(1) = 2(1) f(1) = 2

  • Kalkulus Aplikasi Turunan 7

    Karena f(1) > 0, selang [0, ) positif (menaik)

    Mengikuti garis bilangan, karena sisi kiri 0 negatif dan sisi kanan 0 positif, kecekungan

    (-, ) adalah cekung ke atas

    Alternatif pengerjaan contoh 3.1 adalah sebagai berikut

    Langkah 1 Cari turunan kedua dari f(x)

    f(x) = x2 1 f(x) = 2x f(x) = 2

    Langkah 2 Cari titik pembuat nol turunan kedua fungsi tersebut

    f(x) = 2 x = {}

    Langkah 3 Cari nilai setiap selang dari turunan kedua fungsi tersebut. Ambil x sembarang pada

    interval selang

    x = {}

    Untuk selang (-, ), ambil x = 0

    f(0) = 2 Karena f(0) > 0, selang (-, ) cekung ke atas

    Contoh 3.2

  • Kalkulus Aplikasi Turunan 8

    Carilah kecekungan setiap selang pada f(x) = x2

    3

    Langkah 1 Cari turunan kedua dari f(x)

    f(x) = x2 1

    f(x) = 2

    3x

    1

    3

    f(x) = - 2

    9x

    4

    3

    Langkah 2 Cari titik pembuat nol turunan kedua fungsi tersebut

    f(x) = - 2

    9x

    4

    3

    x = 0

    Langkah 3 Cari nilai setiap selang dari turunan kedua fungsi tersebut. Ambil x sembarang pada

    interval selang

    x = 0

    Untuk selang (-, 0), ambil x = -1

    f(-1) = - 2

    9(-1)

    4

    3

    f(-1) = - 2

    9

    Karena f(0) < 0, selang (-, 0) cekung ke bawah

    Untuk selang (0, ), ambil x = 1

    f(1) = - 2

    9(1)

    4

    3

    f(1) = - 2

    9

    Karena f(0) < 0, selang (0, ) cekung ke bawah

    Perlu diperhatikan bahwa f(0) = . Artinya f(x) tidak kontinu saat x = 0. Dalam kasus ini,

    penggunaan turunan pertama tidak dapat digunakan untuk mencari kecekungan, na