Tutorial Kalkulus 1 - Bab Aplikasi Turunan

Kalkulus Aplikasi Turunan 1

Aplikasi Turunan I. Laju yang Saling Berkaitan

Secara definisi, turunan sebuah fungsi merupakan tingkat perubahan dari fungsi yang

diturunkan. Ditinjau dari definisi tersebut, turunan bisa digunakan untuk mengetahui kondisi

suatu nilai pada titik tertentu.

Umumnya, permasalahan yang diberikan adalah mencari nilai pada suatu titik, atau mencari

tingkat perubahan saat titik tertentu. Teknik penyelesaian permasalahan tersebut adalah

dengan mengubah persamaan fungsi agar nilai tertentu dapat digunakan

Contoh 1.1

Diberikan sebuah balok es dengan ukuran 3 x 2 x 2 meter (panjang, lebar, tinggi). Balok tersebut

mencair sehingga ukuran balok tersebut menyusut. Diketahui penyusutan setiap sisi tersebut

sebesar 0.2 mm/s. Tentukan volume balok setelah 1 jam.

Diketahui, p = 3 m

l = 2 m

h = 2 m

=

=

= -2 x 10-4 m/s

Penyelesaian pt = 1 jam = 3 + (-2 x 10-4) . 3600 = 2.28 m

lt = 1 jam = 2 + (-2 x 10-4) . 3600 = 1.28 m

ht = 1 jam = 2 + (-2 x 10-4) . 3600 = 1.28 m

Vt = 1 jam = 2.28 x 1.28 x 1.28

Vt = 1 jam = 3.735552 m3

Contoh 1.2

Di sebuah persimpangan terdapat sebuah mobil dan motor yang melintas. Mobil tersebut

bergerak ke arah utara, sedangkan motor bergerak ke arah timur. Jika diketahui kecepatan

mobil tersebut 100 km/jam, dan motor bergerak dengan kecepatan 75 km/jam. Dengan asumsi

bahwa saat persimpangan kedua kendaraan berpapasan dan jarak kedua kendaraan saat

persimpangan diabaikan, tentukan laju perubahan jarak antara kedua kendaraan tersebut jika

kedua kendaraan bergerak dengan kecepatan konstan.

Diketahui,

= 100 km/jam,

= 75 km/jam

Penyelesaian h = 2 + 2 . . . . . . u = 2 + 2;

= 2x

+ 2y

h = u1/2

Kalkulus Aplikasi Turunan 2

=

1

2 u-1/2

=

1

22+2 (2x

+ 2y

)

=

1

2+2 (x

+ y

)

=

75+100

2+2 atau

=

75+100

Latihan Soal

1.1) Sebuah kerucut tanpa alas digunakan untuk menampung air. Debit air sebesar 3

cm3/detik mengisi kerucut tersebut. Tentukan kecepatan tinggi air bertambah saat

tinggi air 6 cm jika diketahui keliling kerucut adalah 40 cm dan tinggi kerucut adalah 24

cm.

1.2) Sebuah papan sepanjang 25 m bersandar di tembok. Jika papan tergelincir dengan

kecepatan 1 m/s menjauhi tembok, tentukan kecepatan perubahan jarak papan dengan

tanah saat tinggi papan setinggi 24 m.

1.3) Gerobak pengangkut beras menuangkan berasnya ke gudang. Gundukan beras tersebut

membentuk sebuah kerucut. Diketahui bahwa beras tersebut memiliki sisi yang cukup

licin, sehingga tinggi tumpukan beras pasti tidak lebih dari 5 cm. Gerobak menuang

beras dengan kecepatan 13 cm3/detik. Tentukan kecepatan pertambahan jari-jari

gundukan beras tersebut saat 10 detik.

II. Turunan sebagai indikator perubahan kurva

Turunan sebuah fungsi dapat digunakan untuk mencari tahu bahwa suatu interval kurva sedang

menurun, menaik, atau mendatar. Nilai turunan fungsi menentukan apakah fungsi sedang

menaik, menurun, atau konstan.

(a) Grafik menurun saat x > 0 (b) Grafik menaik saat x > 0

Kalkulus Aplikasi Turunan 3

(c) Grafik konstan untuk semua x

Jika,

(a) f(x) > 0 untuk setiap nilai x dalam selang (a, b), maka f menaik pada [a,b]

(b) f(x) < 0 untuk setiap nilai x dalam selang (a, b), maka f menurun pada [a,b]

(c) f(x) = 0 untuk setiap nilai x dalam selang (a, b), maka f konstan pada [a,b]

Agar mudah dibaca, definisi tersebut bisa dipersingkat.

(a) f(x) > 0 maka f menaik (di antara dua titk dimana x berada)

(b) f(x) < 0 maka f menurun (di antara dua titik dimana x berada)

(c) f(x) = 0 maka f mendatar (di antara dua titik dimana x berada)

Umumnya digunakan garis bilangan untuk menentukan kemiringan kurva. Perhatikan contoh

berikut.

Contoh 2.1

Tentukan kemiringan selang yang terdapat pada f(x) = x2 + 3x 4.

Langkah 1 Cari turunan fungsi tersebut

f(x) = x2 + 3x 4 f(x) = 2x + 3

Langkah 2 Tentukan titik pembuat 0 turunan fungsi tersebut

f(x) = 2x + 3

x = -3

2

Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat 0 turunan fungsi.

Ambil nilai x sembarang yang berada di antara selang tersebut

x = -3

2

Untuk selang (-,-3

2 ], misal x = -2

f(-2) = 2(-2) + 3 f(-2) = -1

Karena f(-2) > 0, selang (-,-3

2 ] memiliki bentuk kurva menurun

Kalkulus Aplikasi Turunan 4

Untuk selang [-3

2 , +), misal x = 0

f(0) = 2(0) + 3 f(0) = 3

Karena f(0) > 0, selang [-3

2 , +) memiliki bentuk kurva menaik

Contoh 2.2

Tentukan kemiringan selang yang terdapat pada f(x) = x3 - 3x

Langkah 1 Cari turunan fungsi tersebut

f(x) = x3 3x f(x) = 3x2 - 3

Langkah 2 Tentukan titik pembuat 0 turunan fungsi tersebut

f(x) = 3x2 3 f(x) = 3(x2 - 1) f(x) = 3(x 1)(x + 1) x = {-1, 1}

Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat 0 turunan fungsi.

Ambil nilai x sembarang yang berada di interval selang tersebut

x = {-1, 1}

Untuk selang (-, -1], misal x = -2

f(-2) = 3(-2)2 3

Kalkulus Aplikasi Turunan 5

f(-2) = 24 Karena f(-2) > 0, selang (-, -1] memiliki bentuk kurva menaik

Untuk selang [-1, 1], misal x = 0

f(0) = 3(0)2 3 f(0) = -3 Karena f(0) < 0, selang [-1, 1] memiliki bentuk kurva menurun

Untuk selang [1, ), misal x = 2

f(2) = 3(2)2 3 f(2) = 24 Karena f(2) > 0, selang [1, -) memiliki bentuk kurva menaik

Latihan Soal

2.1) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = x2 5x + 6

2.2) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = x3 12x 10

2.3) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = x4 x3 + x2 2

2.4) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = 2 + 4 11

Catatan: Perhatikan domain natural fungsi

2.5) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = 5

329

III. Kecekungan

Kecekungan kurva dalam suatu selang dapat diketahui dengan turunan pertama fungsi maupun

turunan kedua fungsi

Kalkulus Aplikasi Turunan 6

(a) Dengan turunan pertama fungsi, kecekungan dapat diketahui dengan garis bilangan selama

kurva kontinu

i. Kurva cekung ke atas apabila bagian kiri titik pembuat nol negatif, dan bagian kanan titik

pembuat nol positif.

ii. Kurva cekung ke bawah apabila bagian kiri titik pembuat nol positif, dan bagian kanan

titik pembuat nol negatif.

(i) Garis bilangan kurva yang cekung ke atas (ii) Garis bilangan kurva yang cekung ke bawah

(b) Dengan turunan kedua fungsi, kecekungan dapat diketahui dengan garis bilangan

i. Kurva cekung ke atas dalam sebuah selang apabila f(x) > 0 pada selang tersebut

ii. Kurva cekung ke bawah dalam sebuah selang apabila f(x) < 0 pada selang tersebut

Nilai pembuat nol pada turunan kedua fungsi disebut dengan titik belok, karena pada

titik tersebut terjadi perubahan arah perubahan kurva.

[gambar titik belok]

Contoh 3.1

Carilah kecekungan seluruh selang yang ada pada f(x) = x2 1

Langkah 1 Cari turunan pertama fungsi tersebut

f(x) = x2 1 f(x) = 2x

Langkah 2 Cari pembuat nol turunan fungsi tersebut

f(x) = 2x x = 0

Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat nol fungsi. Ambil nilai x

sembarang yang berada di interval selang

x = 0

Untuk selang (-, 0], ambil x = -1

f(-1) = 2(-1) f(-1) = -2 Karena f(-1) < 0, selang (-, 0] negatif (menurun)

Untuk selang [0, ), ambil x = 1

f(1) = 2(1) f(1) = 2

Kalkulus Aplikasi Turunan 7

Karena f(1) > 0, selang [0, ) positif (menaik)

Mengikuti garis bilangan, karena sisi kiri 0 negatif dan sisi kanan 0 positif, kecekungan

(-, ) adalah cekung ke atas

Alternatif pengerjaan contoh 3.1 adalah sebagai berikut

Langkah 1 Cari turunan kedua dari f(x)

f(x) = x2 1 f(x) = 2x f(x) = 2

Langkah 2 Cari titik pembuat nol turunan kedua fungsi tersebut

f(x) = 2 x = {}

Langkah 3 Cari nilai setiap selang dari turunan kedua fungsi tersebut. Ambil x sembarang pada

interval selang

x = {}

Untuk selang (-, ), ambil x = 0

f(0) = 2 Karena f(0) > 0, selang (-, ) cekung ke atas

Contoh 3.2

Kalkulus Aplikasi Turunan 8

Carilah kecekungan setiap selang pada f(x) = x2

3

Langkah 1 Cari turunan kedua dari f(x)

f(x) = x2 1

f(x) = 2

3x

1

3

f(x) = - 2

9x

4

3

Langkah 2 Cari titik pembuat nol turunan kedua fungsi tersebut

f(x) = - 2

9x

4

3

x = 0

Langkah 3 Cari nilai setiap selang dari turunan kedua fungsi tersebut. Ambil x sembarang pada

interval selang

x = 0

Untuk selang (-, 0), ambil x = -1

f(-1) = - 2

9(-1)

4

3

f(-1) = - 2

9

Karena f(0) < 0, selang (-, 0) cekung ke bawah

Untuk selang (0, ), ambil x = 1

f(1) = - 2

9(1)

4

3

f(1) = - 2

9

Karena f(0) < 0, selang (0, ) cekung ke bawah

Perlu diperhatikan bahwa f(0) = . Artinya f(x) tidak kontinu saat x = 0. Dalam kasus ini,

penggunaan turunan pertama tidak dapat digunakan untuk mencari kecekungan, na