53

B. Relasi

Sebelum mendefinisikan produk Cartesius, terlebih dahulu Anda perlu mengenal

pengertian pasangan terurut. Dalam sistem koordinat Cartesius dengan sumbu x dan sumbu

y, kita mengetahui bahwa titik dengan koordinat (2,5) tidaklah sama dengan titik yang

berkoordinat (5,3). Begitu pula titik (4,7) dengan (7,4) tidak berimpit letaknya maka kedua

titik ini tidak sama. Dalama hal koordinat titik seperti contoh di atas ternyata bahwa urutan

pasangan bilangan itu harus diperhatikan karena urutan yang berlainan akan menentukan letak

(posisi) titik dalam bidang XOY yang berbeda pula.

Sepasang bilangan x dan y dengan x dalam urutan pertama dan y dalam urutan kedua,

ditulis (x, y) dan dinamakan pasangan terurut. Selain itu, perlu pula untuk kita ketahui

tentang perbedaan pasangan terurut (x,y) dengan himpunan {x, y}. Himpunan {x, y} sama

dengan {y, x} karena dalam himpunan urutan tidak dipentingkan.

Sekarang kita perhatikan A dan B sebagai dua himpunan yang diketahui. Dari kedua

himpunan ini kita dapat membentuk suatu himpunan baru yang anggota-anggotanya

merupakan pasangan terurut yang unsur pertamanya adalah anggota-anggota A dan unsur

keduanya adalah anggota-anggota B. Himpunan yang baru dibentuk ini dinamakan Produk

Cartesius (produk cartesius) dari A ke B atau disebut pula himpunan perkalian dari A ke B,

dan ditulis A x B dibaca “A kros B” atau “A kali B” atau “A silang B”.

Contoh 4.12

1) Andaikan kita dapat membeli suatu model sepeda motor dengan warna pilihan tertentu

maka dapat kita pandang model dan warna tersebut sebagai unsur produk Cartesius dua

himpunan yaitu model sepeda motor dan warna. Misalnya, unsur produk Cartesius itu

adalah (vespa, biru), (honda, merah), (suzuki, hitam), dan sebagainya.

2) Jika R = {x│x himpunan bilangan real} maka R x R merupakan himpunan semua

pasangan terurut (a, b) dengan aR dan bR yang salah satunya dapat dituliskan oleh

salah satu titik P(a, b) pada bidang XOY seperti Gambar 4.8

Definisi 4.7

Jika A dan B dua himpunan maka produk Cartesius dari A ke B

adalah himpunan semua pasangan trurut (x, y) dengan xA, yB

yang ditulis A x B = {(x, y)│xA, yB}

54

Gambar 4.8

3) Misalkan A = {1. 2, 3} dan B = {a, b} maka;

A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

B x A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

A x A = {(1, 1), (1, 2, ), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3,2), (3, 3)}

B x B = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}

Pada contoh di atas dapat di tentukan n(A) = 3 dan n(B) = 2 maka jelaslah bahwa n(A

x B) = 3 x 2 = 6. Secara umum jika P dan Q dua himupunan dengan n(P) = p dan n(Q) = q,

maka n( P) x n (Q) = p . q

Perhatikan pula bahwa P x Q tidak sama dengan Q x P bila P ≠ Q (lihat kembali

contoh di atas).

Istilah “relasi” yang dapat diartikan “hubungan” sudah sering Anda dengan, misalnya

“ayah” dengan “anak”, hubungan “guru” dengan “murid”, dan sebagainya. Dalam

matematika, untuk mendefinisikan sebuah relasi, kita perlu memahami pengetian tentang

himpunan, pasangan terurut, perkalian himpunan (produk cartesius) dan kalimat terbuka.

Materi-materi ini tentunya telah kita pelajari.

Untuk mendefinisikan suatu relasi R diperlukan:

1. suatu himpunan A

2. suatu himpunan B

3. suatu aturan atau kalimat matematika terbuka.

Untuk lebih jelasnya perhatikan uraian berikut, misalnya:

1. himpunan tiga orang siswa SMP: A = {Ajid, Enal, Aulia}

2. himpunan nomr sepatu: B = {37, 38, 39, 40, 41}

Diketahui bahwa:

Ajid memakai sepatu nomor 40

●

x

b

a

P(a,b)

y

55

Enal memakai sepatu nomor 38

Aulia memakai sepatu nomor 38

Dari keterangan di atas dapat kita tentukan suatu relasi dari himpunan orang (A) ke

himpunan nomor sepatu (B) yang relasinya disebut “nomor sepatunya” atau “memakai sepatu

nomor”.

Bila relasi di atas dinyatakan dengan diagram panah maka dapat dilihat pada Gambar 4,9

A B

●37

Ajid ● ●38

Enal ● ●39

Aulia ● ●40

●41

Gambar 4.9

Tanda panah menyatakan anggota-anggota yang berelasi, dan anak panah

menunjukkan arah relasi tersebut, yaitu dari A ke B. Arah itu tidak boleh terbalik, sebab relasi

dari A ke B tidak sama dengan relasi dari B ke A.

Relasi di atas dapat pula dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut, misalnya “ Ajid

memakai sepatu nomor 40” cuku ditulis singkat (Ajid, 40). Demikian pula untuk yang

lainnya. Jadi relasi tersebut bila kita tulis dengan bentuk pasangan terurut adalah:

R = {(Ajid, 40), (Enal, 38), (Aulia, 38)}

Contoh 4.13

Gambar berikut berturut-turut menunjukkan diagram panah relasi

1. “setengah dari” dari himpunan K ke L (Gambarm4.10)

2. “kelipatan dari” dari himpuan P ke Q (Gambar 4.11)

Definisi 4.8

Relasi R dengan suatu kalimat terbuka dari himpunan A ke himpunan B

adalah sebuah himpunan yang anggota-anggotanya semua pasangan terurut

(x, y) dengan xA dan yB sedemikian rupa sehingga kalimat terbukanya

menjadi benar

56

K L P Q

1 2 10 2

2 4 13 4

3 8 18 8

Gambar 4.10 Gambar 4.11

Diagram Panah Relasi R Diagram Panah Relasi T

“Setengah Dari” “Kelipatan Dari”

Seperti kita telah ketahui bahwa selain dengan diagram panah, relasi di atas dapat pula

disajikan dalam bentuk pasangan terurut seperti berikut ini.

1. R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}

2. T = {(10, 2), (16, 2), (16, 4)}

Perlu diketahui bahwa jika (a, b)R artinya a R b dan “ a berelasi R dengan b”,

sedangkan jika (x, y)R artinya x R y dan dibaca “x tidak berelasi dengan y”

Dari contoh di atas, jelas bahwa:

(1, 2)R berarti 1 R 2

(2, 4)R berarti 2 R 4, dan

(3, 4)R berarti 3 R 6, sedangkan

(2, 6)R berarti 2 R 6, dan sebagainya.

Himpunan K dan himpunan P dari dua contoh di atas dinamakan domain (daerah asal)

relasi, kemudian himpunan L dan Q dinamakan kodomain (daerah kawan) relasi. Range

(daerah hasil) relasi dari contoh 4.13 Gamabar 4.10 tidak sama dengan contoh 4.13 Gambar

4.11. Daerah hasil (range) dalam contoh 4.13 Gambar 4.10 adalah himpunan L, kebetulan

sama dengan kodomainnya, yaitu (2, 4, 6), sedangkan daerah hasil (range) dari contoh 4.13

Gambar 4.11 adalah (2, 4), yang merupakan himpunan bagian dari kodomainnya (Q).

Pada contoh 4.13 Gambar 4.10 rangenya sama dengan kodomain, sebab setiap unsur

dari domain mendapat pasangan sama di kodomainnya. Sedangkan pada contoh 4.13 Gambar

4.10 rangenya berbeda dengan kodomainnya, sebab yang mendapat pasangan dari domainnya

sebagian dari kodomainnya, yaitu himpunan {2, 4} saja.

Contoh 4.14

Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan asli. Untuk kalimat terbuka, misal P(x, y) dan

kita tentukan “x membagi y”. Dalam contoh ini misalnya:

P(3, 12)R benar, sebab berlaku relasi 3 R 12, sedangkan

P(2, 7)R salah, sebab 2 R 7, jadi P(2, 7)R, dan sebagainya.

57

Contoh 4.15

Jika A = {3, 4, 6}, B = {2, 3, 5, 6} dan aturan dari relasi R yang memasangkan anggota –

anggota B adalah “lebih besar dari” maka relasi R ini dapat kita nyatakan dalam berbagai cara

berikut ini.

1. Diagram panah

B

A

●2

3●

●3

4●

●5

6●

●8

Gambar 4.12

2. Pasangan terurut

R = {(3, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 2), (6, 3), (6, 5)}

3. Diagram koordinat (grafik)

Suatu relasi dapat pula disajikan dalam diagram koordinat dan untuk menggambarkan

relasi R dengan diagram koordinat, kita ambil dua salib sumbu, yang satu mendatar dan

yang satunya lagi vertikal, sedangkan anggota-anggota R ditandai dengan noktah-noktah

seperti Gambar 4.13.

Gambar 4.13

B

A 0

5

6

3

2

3 4

●

●

●

● ●

58

Dari contoh di atas jika dicari domain, kodomain, dan range dari relasi R tersebut

maka berturut-turut adalah sebagai berikut:

Domain D = {3, 4, 6} = himpunan A

Kodomain K = {2, 3, 5, 6} = himpunan B

Rangenya Rg = {2, 3, 5}

Jika kita perhatikan relasi R dari A ke B, kemudian kita bandingkan dengan produk

Cartesius (perkalian himpunan) dari A ke B maka jelas bahwa relasi R itu merupakan bagian

dari A x B. Secara umum pernyataan ini dikenal sebagai definisi dari relasi yang lebih

populer.

Domain = D = {x│x RyxA ),(, }

Range = Rg = { x│x RyxB ),(, }

Contoh 4.16

1) Sebutkan daerah asal dan daerah hasil dari relasi pasangan terurut {(1, 1), (2, 4), (3, 5), (4,

6)}!

2) Gambarlah diagram panah dari relasi tersebut!

1) Daerah asal (domain) D = {1, 2, 3, 4}, dan daerah hasil (range) adalah Rg = {3, 4, 5, 6}

2) Diagram panahnya:

1● ●3

2● ●4

3● ●5

4 ● ●6

Gambar 4.14

Definisi 4.9

Jika A dan B himpunan yang diketahui dan di antara anggota-anggotanya

ditentukan suatu relasi R dari A ke B maka relasi R ini merupakan

himpunan bagian dari A x B. Daerah asal (domain) dari relasi R tersebut

adalah himpunan bagian dari A yang terdiri dari elemen pertama dari

semua pasangan terurut anggota R. Sedangkan daerah hasil (range) dari

relasi R terdiri dari elemen kedua pada semua pasangan terurut pada R

59

Contoh 4.16 di atas dapat pula dibuat diagram koordinatnya.

Setiap relasi R dari himpunan A ke himpunan B yang didefinisikan R =

{x│x ByA , }, kalimat terbuka P(x, y) benar, selalu mempunyai relasi invers R-1

dari

himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan R-1

= {(x, y)│(x, y)R}

Jadi dapat kita katakan bahwa R-1

adalah semua pasangan terurut yang bersifat bahwa

jika elemen dalam pasangan itu ditukar maka pasangan terurut yang baru ini adalah anggota

R.

Contoh 4.17

Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b} maka R = {(1, a), (1, b), (3, a)} adalah sebuah relasi

dari A ke B. Relasi inversnya yaitu R-1

= {(a, 1), (b, 1), (a, 3)}.

Jadi jelas bahwa jika R sebuah relasi dari A ke B, maka R-1

adalah sebuah relasi dari B

ke A. Unsur-unsur relasi invers R-1

dicari berdasarkan kepada jika (x, y) R maka (y, x)R-1

dengan titik (y, x) diperoleh dengan cara mencerminkan titik (x, y) terhadap garis y = x. Jadi,

titik (y, x) adalah peta (bayangan) titik (x, y) dalam pencerminan terhadap garis y = x.

Contoh 4.18

Misalkan V = {1, 2, 3, 4} dengan R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} adalah sebuah relasi

dalam V maka R-1

= {(1, 1), (4, 2), (3, 3), (1, 4), (4, 4)}

Jelas bahwa titik-titik dalam R-1

adalah peta titik-titik R tehadap refleksi (pencerminan) pada

garis dengan persamaan y = x. Laihat Gambar 4.15

Gambar 4.15

y

x 0 1 2 3 4

1●

2●

3●

4●

●

●

● ● ● ●

●

●

(1,4) (2,4)

(4,4)

(3,3)

(4,2)

(4,1) (1,1)

● ● ● ● ●