На завтрак Вова может выбрать На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может вариантов завтрака Вова может выбирать?выбирать?

Пример 1.Пример 1.

ПлюшкаПлюшка БутербродБутерброд ПряникПряник КексКекс

КофеКофе Кофе,Кофе, плюшкаплюшка

КофеКофе, , бутербродбутерброд

КофеКофе, , пряникпряник

КофеКофе, , кекскекс

СокСок Сок,Сок, плюшкаплюшка

СокСок, бутербродбутерброд

СокСок, пряникпряник

СокСок, кекскекс

КефирКефир КефирКефир, плюшкаплюшка

КефирКефир, бутербродбутерброд

КефирКефир, пряникпряник

КефирКефир, кекскекс

Правило умножения.Правило умножения.Для того чтобы найти число всех Для того чтобы найти число всех возможных исходов возможных исходов независимогонезависимого проведение двух проведение двух испытаний А и В, следует испытаний А и В, следует перемножить число всех перемножить число всех исходов испытания А и число исходов испытания А и число всех исходов испытания В.всех исходов испытания В.

Пример 2.Пример 2.

Несколько стран в качестве символа Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать своего государства решили использовать флаг в виде трех горизонтальных полос флаг в виде трех горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный.цвету: белый, синий, красный.Сколько стран могут использовать такую Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?страны свой, отличный от других, флаг?

***

***

***

*** *****

*****

*

***

*

*** **** ***

**** ***

* **

* **

Сколько трехзначных чисел можно Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5 и 7, составить из цифр 1,3,5 и 7, используя в записи числа каждую из используя в записи числа каждую из них не более одного раза?них не более одного раза?

Решение будем искать с помощью Решение будем искать с помощью дерева возможных вариантовдерева возможных вариантов..

13 5 7

3 5 7 15 7 1 3 7 1 3 5

5 7 3 7 3 5 3 57 3 5 3 5 3 7 5

3 5 3 5 7 5 1 7

Рассмотрим пример.Рассмотрим пример.Имеются три книги. Обозначим их буквами а, б, с. Имеются три книги. Обозначим их буквами а, б, с. Эти книги нужно расставить на полке по разному.Эти книги нужно расставить на полке по разному.

а б с

а с б

б а с

Рассмотрим пример.

Имеются три книги. Обозначим их буквами а, б, с. Эти книги нужно расставить на полке по разному.

б с а

Рассмотрим пример.

Имеются три книги. Обозначим их буквами а, б, с. Эти книги нужно расставить на полке по разному.

с а б

Рассмотрим пример.

Имеются три книги. Обозначим их буквами а, б, с. Эти книги нужно расставить на полке по разному.

с б а

Перестановкой из n элементов называют каждое расположения этих элементов в определенном порядке.Обозначают

Pn = n!

ЗадачаЗадача №№11

Сколькими способами 4 человека Сколькими способами 4 человека смогут разместиться на смогут разместиться на

четырехместной скамейке?четырехместной скамейке?

ЗадачаЗадача №2№2

Сколько различных четырехзначных Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не чисел, в которых цифры не

повторяются, можно составить из чисел повторяются, можно составить из чисел 0,2,4,6?0,2,4,6?

Задача №3Задача №3

Имеются девять различных книг, четыре из Имеются девять различных книг, четыре из которых учебники. Сколькими способами которых учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, можно расставить эти книги на полке так,

чтобы все учебники стояли рядом?чтобы все учебники стояли рядом?

Задача № 4Задача № 4

В расписании на понедельник шесть уроков : алгебра, В расписании на понедельник шесть уроков : алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия.геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом.стояли рядом.

Алгебра

Геометрия

Биология

История

Физкультура

Химия

Алгебра

Геометрия

История

Биология

Физкультура

Химия

Физкультура

Геометрия

Алгебра

История

Биология

Химия

Пусть имеются 4 шара и 3 пустых Пусть имеются 4 шара и 3 пустых ячейки. ячейки. Обозначили шары буквами Обозначили шары буквами a, b, c, d. a, b, c, d. В пустые ячейки можно по – разному В пустые ячейки можно по – разному разместить три шара из этого набора.разместить три шара из этого набора.

а b c

а c b

b а c

c bd

abc, abd, acb, acd, adb, adc,bac, bad, bca, bcd, bda, bdccab, cad, cba, cbd, cda, cdbdab, dac, dba, dbc, dca, dcb

Размещением из n элементов по k (k<n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.

Akn

A = n*(n-1)(n-2)…(n-(k-1))kn

Ann =Pn=n!

Задача № Задача № 55

Учащиеся второго класса изучают 8 Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами предметов. Сколькими способами можно составить расписание можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?различных предмета?

Задача №6Задача №6

На странице альбома 6 свободных мест На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколько существует для фотографий. Сколько существует способов размещения фотографий в способов размещения фотографий в свободные места?свободные места?aa) 4 фотографии;) 4 фотографии;bb) 6 фотографий.) 6 фотографий.

Задача №7Задача №7

Сколько трехзначных чисел ( без Сколько трехзначных чисел ( без повторения цифр в записи числа) повторения цифр в записи числа)

можно составить из цифр можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, и 6?0, 1, 2, 3, 4, 5, и 6?

Решение

АА7733-А-А66

22= 7*6*5-6*5=6*5(7-1)=6*5*6=180= 7*6*5-6*5=6*5(7-1)=6*5*6=180

Задача №8Задача №8

Из трехзначных чисел, записанных с Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр помощью цифр 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9 (без повторений цифр). 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9 (без повторений цифр). Сколько таких в которых:Сколько таких в которых:

aa) не встречаются цифры 6 и 7;) не встречаются цифры 6 и 7;bb) цифра 8 является последней?) цифра 8 является последней?

Задача №9Задача №9

Сколько существует семизначных Сколько существует семизначных телефонных номеров, телефонных номеров, в которых все цифры различные и в которых все цифры различные и первая цифра отличается от 0?первая цифра отличается от 0?

Если в букет не входит цветок а, Если в букет не входит цветок а, а входит а входит bb, то можно получить такие , то можно получить такие букеты:букеты:

Сочетанием из Сочетанием из n n элементов по элементов по k k называется любое множество, называется любое множество, составленное из составленное из k k элементов, элементов,

выбранных из данных выбранных из данных nn элементов элементов

Cnk

=

Задача № 10Задача № 10

Из 15-ти членов туристической группу надо Из 15-ти членов туристической группу надо выбрать трех дежурных. выбрать трех дежурных.

Сколькими способами можно сделать этот Сколькими способами можно сделать этот выбор?выбор?

Задача №11Задача №11

Из вазы с фруктами, где лежит 9 Из вазы с фруктами, где лежит 9 яблок и 6 груш, яблок и 6 груш,

нужно выбрать 3 яблока и 2 груши. нужно выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами это можно Сколькими способами это можно

сделать?сделать?

Задачи для закрепленияЗадачи для закрепления

Задача № Задача № II

В классе 7 человек успешно занимаются В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в выбрать из них двоих для участия в олимпиаде?олимпиаде?

Задача № Задача № IIII

В лаборатории, в которой работают В лаборатории, в которой работают заведующий и заведующий и 10 сотрудников, надо отправить в 10 сотрудников, надо отправить в командировку 5 человек. командировку 5 человек. Сколькими способами это можно Сколькими способами это можно сделать если, сделать если, aa)заведующий лаборатории должен )заведующий лаборатории должен ехатьехатьbb) заведующий должен остаться.) заведующий должен остаться.

Задача № Задача № IIIIII

В классе учатся 16 мальчиков и 12 В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. девочек. Для уборки территории нужно Для уборки территории нужно выделить 4 мальчиков и 3 девочек.выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами это можно Сколькими способами это можно сделать?сделать?

Задача № Задача № IVIV

В библиотеке читателю В библиотеке читателю предложили на выбор 10 книг и 4 предложили на выбор 10 книг и 4 журнала. журнала. Сколькими способами он может Сколькими способами он может выбрать из низ 3 книги и 2 выбрать из низ 3 книги и 2 журнала?журнала?