Distribuciones de probabilidad discretas

Cátedra: Estadística II

Leonardo Ochoa CollazoC.I. 6860439Junio 2014.

Definición de la Distribución de Probabilidad de variables discretas

Se dice que se ha definido una variable aleatoria para un experimento aleatorioCuando hemos asociado un valor numérico a cada resultado del experimento.Para designar a las variables aleatorias se utilizan letras mayúsculas X, Y, etc., yLetras minúsculas (x, y, etc.) para designar valores concretos de las mismas.

Hay varios tipos de variables aleatorias, variables cualitativas y variables cuantitativas,De éstas últimas se pueden diferenciar entre cuantitativas continuas y continuas Discretas.Una variable es discreta cuando sólo puede tomar ciertos valores enteros en un Número finito de valores o infinito numerable. Como ejemplo podemos mencionar el Número de caras obtenidas cuando se lanzan 3 monedas: (0, 1, 2, 3). Las variablesDiscretas representan algo que se puede contar y no llevan decimales.

Función de Probabilidad

Sea una variable aleatoria discreta X, que toma los valores x1, x2, ..., xn y se conocen las probabilidades de que la variable X tome dichos valores. Una función de probabilidad no es más que la asignación a cada valor de la variable dela probabilidad que le corresponde. Es decir:

f(xi)= P(X=xi)

Es una idealización de la correspondiente distribución de frecuencias ya que en realidad se está estimando las frecuencias absolutas fi y relativas hi de forma experimental o empírica. También se llama función de cuantía o masa.

Características: • A cada valor de la variable aleatoria xi le hacemos corresponder una probabilidad esperada teórica pi . • Se representa gráficamente mediante un diagrama de barras. • La suma de todas las probabilidades esperadas es uno.

Ejemplo 1.

Un dado simétrico tiene tres caras iguales con una puntuación de 6 en cada cara, en otras dos de las caras la puntuación es de 5 en cada una y en la cara restante la puntuación es de 1. Obtener la función de probabilidad o cuantía de la variable X.

Tabla 1: Cálculo de la función de probabilidad Diagrama de barras de la función de probabilidad

X= Xi P(X=xi)1 1/6

5 2/6

6 3/6

Función de distribución

En muchas ocasiones no nos interesa conocer la probabilidad de que la variables aleatoria X tome exactamente un determinado valor xi, sino que puede interesarnos determinar la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor xi. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Es lo que se denomina Función de distribución y se representa por F (X).

F(xi)= P(X≤ xi) Ecuación: Función de distribución

Es decir, ordenados los posibles valores de la variable aleatoria de menos a mayor, se asocia a cada valor de la misma la probabilidad acumulada hasta ese valor, es decir, que tome valores menores o iguales a xi.

Características:

⇒ F( ∞)=P(X ≤ ∞)=0 ‐ ‐ ⇒ F(∞)=P(X ≤ ∞ )=1 ⇒ 0 ≤ F(X) ≤ 1

por ser F(X) una probabilidad F(X) es no decreciente. Esta propiedad Se puede demostrar como sigue:

“Sea b>a, entonces podemos definir, F(b) = F(a) + P(a<X≤b) Y como toda probabilidad es ≥ 0 F(b) es ≥ F(a)”

Forma típica de escalera de diagrama de la función de distribución

Conociendo la Función de Distribución de una determinada V.A., es posible calcular la probabilidad de que dicha variable se halle en un cierto intervalo [a, b], mediante la expresión:

P(a<X<b) = F (b) – F (a) siendo b > a. Ejemplo

Sea X, el número de llamadas recibidas en una determinada empresa por minuto. En la tabla siguiente se muestra los posibles valores de la variable, así como su probabilidad de ocurrencia. Estimar y representa la función de distribución.

X=xi P(X=xi)

0 0,1

1 0,2

2 0,3

3 0,2

4 0,1

5 0,1

>=6 0

La resolución de este tipo de problemas es siempre igual, debiendo seguirse los siguientes pasos: 1. Calcular Función de Probabilidad

En nuestro caso como ya nos daban las probabilidades asociadas a cada resultado en la tabla inicial, sólo faltaría representarlo:

Diagrama de barras de la función de probabilidad

Una vez conocida la función de probabilidad, teniendo la precaución de que los posible resultados de la variable aleatoria estén ordenados de menor a mayor, sólo queda ir acumulando las probabilidades:

X=xi P(X=xi) F(X)=P(X<=xi)

0 0,1 0,1

1 0,2 0,3

2 0,3 0,6

3 0,2 0,8

4 0,1 0,9

5 0,1 1

>=6 0 1

Tabla: Cálculo de la función de distribución

Imagen4. Diagrama de la función de distribución

Distribución de Bernoulli

La distribución de Bernoulli es una distribución que toma dos valores (1 y 0) conprobabilidad p y 1−p. Habitualmente esta distribución aparece en experimentosdonde se identifica el suceso 1=EXITO y 0=FRACASO.Definición 1 Una v.a. X tiene una distribución de Bernoulli si (para algún pcon 0 ≤ p ≤ 1)

P (X = 1) = pP (X = 0) = 1 − p

Ejemplo: La variable aleatoria que define el experimento lanzamiento de una moneda sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p. Donde p es la probabilidad del suceso de interés, cara o cruz.

PropiedadesDistribución de Bernoulli de parámetro pMedia μ E(X) = pVarianza σ2 V ar (X) = p (1 − p)Desviación Típica σ √p p (1 − p)

Distribución Binomial (n,p)

La distribución binomial es una distribución discreta muy importante que surge en muchasaplicaciones bioestadísticas.Esta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de unexperimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”.Por ejemplo, esa respuesta puede ser el hábito de fumar (sí/no), si un paciente Hospitalizado desarrolla o no una infección, o si un artículo de un lote es o no defectuoso. La variable discreta que cuenta el número de éxitos en n pruebas independientes de ese experimento, cada una de ellas con la misma probabilidad de “éxito” igual a p, sigue una Distribución binomial de parámetros n y p. Este modelo se aplica a poblaciones finitas de las que se toma elementos al azar con reemplazo, y también a poblaciones conceptualmente infinitas, como por ejemplo las piezas que produce una máquina, siempre que el proceso de producción sea estable (la proporción de piezas defectuosas se mantiene constante a largo plazo) y sin memoria (el resultado de cada pieza no depende de las anteriores).

Una v.a. X tiene una distribución Binomial si (para algún enteropositivo n y algún p con 0 ≤ p ≤ 1) mideX = "no de éxitos de un total de n si la probabilidad de éxito es p“

Distribución Binomial n= 25, p= 0,25

La forma de la distribución binomial va aumentando hasta m = (n + 1) p y después comienza a bajar.

Una v.a. binomial puede ser considerada como una suma de n variables aleatorias de Bernoulli de parámetro p, es decir, como la variable indicadora del número de éxitos en n pruebas de Bernoulli, es decir, si denotamos por Xi el i-ésimo intento de Bernoulli, entonces,

La distribución de Bernoulli es un caso particular de la distribución Binomial con n = 1.Si X tiene la distribución Binomial con n (número de intentos) y p (probabilidad de éxito que denotaremos por X Bi (n, p)) entonces la variable Y = n − X, que ∼representa el número de fracasos, es una variable de Binomial con n (número de intentos) y probabilidad de éxito 1 − p.

X Bi (n, p) Y = n − X Bi (n, 1 − p)∼ ⇒ ∼

Ejemplo: En una fábrica hay 12 máquinas. Cada una de ellas está averiada un día de cada 10. ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado día haya más de 3 máquinas averiadas?Sea la variable X ="no de máquinas averiadas de un total de 12 si P (avería) =0, 1" Bi (n = 12, p = 0.1) .∈

La v.a. binomial está tabulada para valores pequeños de n. Hay tablas que dan la función de masa de probabilidad P (X = k) o bien la función de distribución P (X ≤ k), aunque sólo vienen para valores p ≤ 0.5.

Distribución Hipergeométrica

La distribución Hipergeométrica de parámetros k, n y N (HG (k, n, N)) surge ensituaciones en donde el modelo aproximado de probabilidad se corresponde conmuestreo sin reemplazamiento de una población dicotómica (Exito y Fracaso)finita. Concretamente, las suposiciones que llevan a considerar esta distribuciónson:• La población o conjunto donde deba hacerse el muestreo consta de Nindividuos o elementos a seleccionar.• Cada individuo puede ser caracterizado como un éxito (E) o fracaso (F).• Se selecciona una muestra de n individuos de entre los k individuos marcadoscomo éxito y los N − k restantes marcados como fracaso.• Hay selección equiprobable en cada paso.Definición 10 Una v.a. X tiene una distribución Hipergeométrica si (paraalgunos enteros positivos k, n y N )X = "no de individuos de un total de n con cierta característica(éxito) si en N hay un total de k"

Ejemplo: De cada 2.000 tornillos fabricados por una determinada máquina hay 2 defectuosos. Para realizar el control de calidad se observan 150 tornillos y se rechaza el lote si el número de defectuosos es mayor que 1. Calcular la probabilidad de que el lote sea rechazado.

Sea X =“N° de defectuosos de un total de n = 150, si en N = 2.000 hay un total de k = 2" HG (k = 2, n = 150, N = 2.000)∈

Se pide P (X > 1) = 1 − [P (X = 0)+P (X = 1)] =

Como los cálculos son complicados, se va a aproximar la v.a. X por unabinomial Bi (n= 150, p = 2/2.000= 0.001)

P (X > 1) = 1 − [P (X = 0)+P (X = 1)] =

Distribución de Poisson

Consideremos sucesos ("éxitos") que ocurren aleatoriamente a lo largo del tiempo dy sea la variable aleatoria X ="no de sucesos en el intervalo de tiempo (0, t)". La distribución de Poisson de parámetro λ surge en los llamados procesos de Poissonque se presenta en relación con el acontecimiento de éxitos de un tipo particulardurante un intervalo continuo de tiempo. Las suposiciones de un proceso de Poisson, durante un intervalo de tiempo que empieza en t = 0 son:

• Existe un parámetro λ tal que para cualquier intervalo corto de tiempo ∆t, la probabilidad de que ocurra exactamente un éxito es λ∆t.• La probabilidad de que se produzca más de un éxito en el intervalo ∆t eso (∆t) .• El número de éxitos ocurrido en un intervalo ∆t es independiente delnúmero ocurrido antes de este intervalo de tiempo.

Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson si (para algún λ con λ>=0)

X = ”no de éxitos en un intervalo de tiempo si el no medio es λ”

1

Proposición : Sea X P oisson (λ1), Y P oisson (λ2) independientes, entonces la variable ∼ ∼X + Y P oisson (∼ λ1 + λ2)

Proposición : Se puede considerar que una v.a. Poisson(λ) es límite de unabinomial Bi (n, p) sip < 0.1 y np < 5Proposición : La distribución de Poisson presenta su máximo en los puntosx = λ y x = λ − 1.

Ejemplo : En un taller se averían una media de 2 máquinas a la semana. Calcula la probabilidad de que no haya ninguna avería en una semana. ¿Y de que haya menos de 6 en un mes?

Sea X =“N° de averías en una semana si de media hay λ = 2"∈ Poisson(λ = 2).Entonces

Si en una semana hay 2 averías de media, entonces en un mes hay 2×4 = 8 averías de media. Sea entonces Y ="no de averías en un mes si de media hay λ = 8"∈Poisson(λ = 8)

Fin de la presentación