Upload
lobo-noble
View
686
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Presentación en la que se explica el fundamento de las notas musicales y el trabajo de Pitágoras.
Citation preview
Las Matemáticas y la Música.¿Porqué la escala musical occidental tiene 12 notas?
2o Residencial AFAMaC
Arturo Portnoy
Departamento de Matemáticas, UPRM
Pitágoras y la Música
Un amor místico por las matemáticas y la música.
Descubre que existe una relación entre monocordios de longitudes cuyas razones son “muy” racionales y la armonía de los sonidos que emiten.
TODO ES NUMERO.Intervalos Pitagóricos: Octava (2/1),
Quinta (3/2), Cuarta (4/3).
Demostraciones físicas y musicales
Saltando la cuerda.El tubo que canta.Intervalos armónicos: generador de tonos
Círculo de quintas
Tono base: f. Quinta: (3/2)f. Quinta de la quinta (3/2)²f. etc… ¿Hasta cuando? Hasta cerrar en octava:
32
2
mnf f
Algo de matemáticas
Podemos reescribir la ecuación anterior:
Esta ecuación no tiene solución en los enteros. ¿Porqué?
Lo mejor que podemos hacer es aproximar:
Esto es un problema de aproximar un irracional con un racional.
Recordemos que m representa el numero de notas en la escala.
3 2m n m
log(3)
log(2)
n m
m
Notemos que de estar charlando sobre musiquita, anécdotas históricas, etc., de pronto, ¡estamos hasta el cuello en matemáticas!
Aproximaciones racionales de irracionales
Pensemos en un ejemplo famoso:
π=3.14159265...
Usualmente usamos la aproximación decimal: 3.1416=31416/10000.
Hay aproximaciones mucho “mejores”, mas eficientes, que con un denominador menor, hacen mejor trabajo: 22/7=3.142857…, | π-22/7|<1/100<1/(7²) 355/113=3.14159292…, | π-355/113|<1/(100³)<1/(113²).
El Teorema de Dirichlet y el principio del palomar Si tenemos n+1 palomas y n
palomares, al menos hay dos palomas durmiendo juntas.
Sea a>0 el irracional que deseamos aproximar y sean a·m-[a·m], m=1,2,3,…,n+1 las n palomas.
Dividamos el intervalo [0,1] en n partes iguales (estos son los n palomares).
Entonces hay dos palomas en un palomar:
1 1 2 2
1[ ] [ ]a m a m a m a m
n
1 2 1 2
1( ) [ ] [ ]a m m a m a m
n
1 22
1 2 1 2 1 2
[ ] [ ] 1 1
( ) | | ( )
a m a ma
m m n m m m m
Aproximación racional
Denominador al cuadrado
Teorema de Dirichlet, fortalezas y debilidades
Fortalezas: Argumento muy lindo, elegante, demuestra la existencia de una infinidad de estas “buenas” aproximaciones racionales para cualquier irracional.
Debilidades: No nos dice como construir estas “buenas” aproximaciones… Nada mas nos antoja…
Como construir estas aproximaciones: fracciones continuadas
Ejemplo: 19/12.
19 7 1 1 11 1 1 1
12 5 112 12 1 177 75
1 1 11 1 1
1 1 11 1 1
2 1 11 1 1
5 15 22 2
[1;1,1,2,2]
Fracción continuadafinita
Notación parafracción continuada
Nuevo concepto: convergente
Sabemos ya que 19/12=[1;1,1,2,2].
Consideremos ahora los convergentes asociados a esta fracción continuada:
Observemos ahora que:
Por lo tanto:
0 1
2 3
[1], [1;1],
[1;1,1], [1;1,1,2].
C C
C C
0 1
2 3
[1] 1, [1;1] 2,
[1;1,1] 3/ 2, [1;1,1,2] 8 / 5.
C C
C C
0 2 3 1
19
12C C C C
Observaciones
Los convergentes se van acercando al valor de la fracción continuada asociada.
Lo hacen “acorralando” al valor de la fracción continuada: los convergentes pares por abajo, y los impares por arriba.
Esto no lo hemos demostrado, solo sugerido, pero se demuestra en el módulo que se entregará.
Otras observaciones
A cada racional le corresponde una sola fracción continuada finita, y cada fraccion continuada finita representa a un solo racional.
Quizás podríamos hacer algo similar con los irracionales.
Fracciones continuadas infinitas
Sea α un irracional positivo.
0 0 0 0 0 1 21 1
0
1 1... [ ; , ,...]
1a a a a a a
a
Parte entera de
Parte entera de
Hagamos un ejemplo interesante: π.1 1
3 0.141592... 3 3 ... [3;7,15,1,...]1 7 0.062513...
0.141592...
Fracción continuada de π
3.14159265358979 3 3 1 3.000000000000007.06251330593105 7 22 7 3.14285714285714
15.99659440668410 15 333 106 3.141509433962261.00341723101500 1 355 113 3.14159292035398
292.63459087501200 292 103993 33102 3.141592653011901.57581843574470 1 104348 33215 3.141592653921421.73665853318280 1 208341 66317 3.141592653467441.35748105119942 1 312689 99532 3.141592653618942.79735106698611 2 833719 265381 3.141592653581081.25415270814132 1 1146408 364913 3.141592653591403.93464231529632 3 4272943 1360120 3.141592653589391.06992801806000 1 5419351 1725033 3.14159265358982
14.30041959922260 14 80143857 25510582 3.14159265358979
Observaciones
Los convergentes de las fracciones continuadas infinitas asociadas a un irracional son las “buenas” aproximaciones racionales que el teorema de Dirichlet nos asegura existen.
De hecho, es posible demostrar que si una aproximación es “buena”, entonces es un convergente de la fracción continuada. Para mas detalles, ver el módulo.
Volvamos al problema original
Recordemos que el problema que nos arrastro en esta dirección es:
log(3)
log(2)
n m
m
Representa el numerode notas en la escala.
Ya sabemos que las buenas aproximaciones son los convergentes, así que…
Fracción continuada de log(3)/log(2)
1.58496250072116 1 1 1 1.000000000000001.70951129135146 1 2 1 2.000000000000001.40942083965321 1 3 2 1.500000000000002.44247459618086 2 8 5 1.600000000000002.26001675267080 2 19 12 1.583333333333333.84590604154676 3 65 41 1.585365853658541.18216439046998 1 84 53 1.584905660377365.48954709216229 5 485 306 1.584967320261442.04270440170134 2 1054 665 1.58496240601504
Observaciones
Tienen que haber 12 notas en la escala. 5 son muy pocas, resulta en música
aburrida (escala penta tónica, música oriental).
41 notas son demasiadas, ni un pulpo podría tocar el piano.
Otro ejemplo interesante: la razón áurea
Razón áurea: 1 5
2
La razón áurea es solución de:
2 1 0x x Observemos entonces que:
1 1 11 1 ... [1;1,1,1,1,...]
11
xx
x xx
Últimas observaciones
Hemos visto que el deseo de recorrer el circulo de quintas y el de cerrar la escala en la octava son irreconciliables. El mejor compromiso es la escala de 12 notas.
Sin embargo, no hemos discutido como vamos a corregir la escala de 12 notas para que cierre en la octava. ¿Ponemos toda la corrección en la ultima nota? ¿Cómo hacemos?
Temperamentos de la escala musical
Durante siglos, matemáticos y músicos han propuesto muchas soluciones a este problema. Una de ellas se llama la escala bien atemperada, y Bach le dedico a esta solución en el clavecín una serie de composiciones: El clavecín bien atemperado.
La solución moderna es la escala equi-atemperada:
La escala moderna permite transposiciones arbitrarias, sin que cambie el temperamento de la composición.
12 2