Lista cálculo1(p2) 2011

Lista de

CÁLCULO 1(P2)

“ LISTA DO MÁGICO”

Esta lista contém 57 Exercícios resolvidos

provenientes de P2, P3, listas e livros

Página 2

Índice:

g Derivada ..........................................................páginas (3 à 14)

g Limite ..............................................................páginas (15 à 20)

g Máximos e Mínimos ........................................páginas (21 à 29)

g Reta Tangente e Normal ..................................páginas ( 30 à 37)

g Otimização .......................................................páginas (38 à 53 )

g Taxa de Variação .............................................páginas (54 à 63)

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1a)

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1b)



1c)



1d)



1e)



1f)



1g)



1h) (P2) Derivar implicitamente a função



1i) (P2) Derivar e simplificar



1j) Derive e simplifique



1L) Derive e simplifique:



1m) (P2-2011) Derive e simplifique:



2a)



2b)



2c)



2d)



2e)



2f)



3a)



3b)

b)

portanto tem concavidade para baix o : ] -oo; 0



3c)



3d)





3e)





3f) Dado o gráfico da primeira derivada, encontre os valores de x onde a função f(x) é máximo, mínimo,

crescente, decrescente. Também escreva a concavidade e a inflexão (se existir).

Traçando os “varais” da primeira e segunda derivadas, obtemos o seguinte desenho:

Respostas:

Crescente: ]-3; +4[

Decrescente: ]- 4; -3[

Mínimo local: (-3,f(-3))

Máximo local: Não existe

Concavidade p/ cima:

]-4;-2[ U ]0; +4[

Concavidade p/ baixo:

]-2; 0[

Inflexões:

(-2,f(-2)) e (0,f(0))



3g) Dado o gráfico da primeira derivada, encontre os valores de x onde a função f(x) é

máximo, mínimo, crescente, decrescente. Também escreva a concavidade e a inflexão (se

existir).

Respostas:

Crescente: ]-3; -1[ U]1; + 4[

Decrescente: ]- 4; -3[ U [-1; 1[

Mínimo local: (-3, f(-3)) e (1, f(1))

Máximo local: (-1,f(-1))

Concavidade p/ cima:

]-4;-2[ U ]0; +4[

Concavidade p/ baixo:

]-2; 0[

Inflexões: (-2,f(-2)) e (0,f(0))



4a)



4b)



4c)



4d)



4e)



4f)



4g) Determine a equação da reta tangente ao gráfico que passa pelo ponto

A(19,0).



4h)



5a) Determine as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito abaixo da parábola

de equação y = 3 - x .2



5b)



5c)



5d)





5e)



5f)



5g)



5h)



5i)



5j) Um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados está inscrito na elipse .

Determinar a área máxima posível de um retângulo nestas condições.



5L) Determinar o perímetro máximo possível de um triângulo retângulo de hipotenusa 5cm.



5m) Determinar o volume máximo de uma pirâmide regular reta de base quadrada que pode ser

obtida através de recorte e dobradura a partir de umafolha quadrada de cartolina de 50cm de lado, conforme

a figura.





5n) Determinar o perímetro máximo possível de um triângulo retângulo de hipotenusa 5cm.



5o) A reta y = k, (0< k < 24) intercepta a parábola nos pontos A e B. Determinar

a área máxima possível do triângulo OAB, onde O é a origem.



6a) Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5m de raio da base e 10m de altura. Em

t=0 a água começa a fluir no tanque à razão de 25m /h.3

a) Com que velocidade o nível da água sobe?

b) Quanto tempo levará para encher o tanque?

a) b)



6b) (P2) Um incêndio em campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo cresce

a uma taxa constante de 2,5 m/min. Com que rapidez está crescendo a área incendiada no instante em que

ela é igual a .



6c)



6d) Injeta-se ar em um balão esférico a uma taxa de 36cm /s. Determinar a variação do raio quando3

o diâmetro for 60cm.



6e) Uma bola de neve esférica está derretendo uniformemente de modo que sua superfície

diminui a uma taxa de 10cm /min. Determinar a razão segundo a qual o raio está diminuindo quando o2

mesmo medir 16cm.



6f) Um reservatório tema forma de um cone reto invertido com raio da base 4m e altura 12m. Injeta-se

água no tanque a razão de 0,2 m /min. Determinar a razão segundo a qual o nível da água está se elevando quando3

a altura da água for de 8m.



6g)(P3-2007) (2,5 ) Um tanque tem o formato de um cone reto invertido com altura 12m e raio 4m e está

cheio de água. Sabe-se que o nível da água desce a uma velocidade constante de , em relação

à borda, em virtude de um vazamento. Dado . Pede-se:

a) o volume de água perdido em termos de x (ver figura)b) a taxa com a qual o volume de água eliminado cresce ou decresce no instante em que x = 3m.



6h) (P3-2011) Em um triângulo retângulo ABC o cateto AB aumenta uniformemente à razão de

0,2 cm/min e o cateto AC é constante e igual a 7cm. Se o cateto AB estiver medindo 24cm, determinar

naquele instante:

a) variação da hipotenusa b) variação da área c) variação do ângulo interno formado pelo

cateto AC e a hiotenusa



6i)(P2-2011) Sabendo que o perímetro de uma circunferência varia a umataxa constante de 6cm/s.

Determine:

a) a variação do raio da circunferência b) a variação da área da circunferência no instante em

que o perímetro é igual a cm.



6j)(P3-2011) Determine a variação do lado AB do triângulo abaixo no instante em que o lado BC

mede 10cm, dendo constantes , AC=10cm e a variação do lado BC = 36 cm/s.


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