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Imagine esta construção:

Vamos construir vários polígonos de vários tipos.

Polígonos?

Sim ... figuras planas. São excelentes para

fazermos experiências de construção de

POLIEDROS.

E para construção de poliedros são

necessários polígonos? porque?

Lógico! Chegamos ao ponto:

POLIEDROS são sólidos limitados por

polígonos (que são as faces de um poliedro.

Vamos continuar a construção;

É possível visualizar um poliedro a partir da

armação construída pelas suas arestas.

Os vértices, as arestas e as faces de um

poliedro dizem-se os elementos do poliedro.

Capitulo 1

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Os poliedros podem

ser Convexos ou Côncavos.

São convexos

quando se encontram

todos para o mesmo

lado em relação ao plano de qualquer uma das

suas faces, ou seja, quando as suas faces

deixam sempre as demais no mesmo semi-

espaço.

Caso contrário, os poliedros dizem-se

côncavos.

Exemplo de um poliedro côncavo:

Uma relação válida para todos os poliedros

que iremos referir neste trabalho, é a Relação de

Euler, descoberta pelo matemático suíço Euler:

n.º faces + n.º vértices = n.º arestas + 2

Em alguns poliedros, todas as faces são

polígonos regulares geometricamente iguais e em

cada um dos seus vértices encontra-se o mesmo

número de arestas. A estes poliedros

chamamos Poliedros Regulares. Estes são

também conhecidos por Sólidos Platónicos.

Capitulo 2

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Falar de poliedros, matematizar, filosofar?

Chegamos em outro estudo importante !!!

Já construímos, agora vamos viajar.... Conhecer os

filósofos, matemáticos que tanto contribuíram para

estes conhecimentos:

Platão foi um filósofo e matemático do período

clássico da Grécia Antiga, autor de diversos diálogos

filosóficos e fundador da Academia em Atenas, a

primeira instituição de educação superior do mundo

ocidental.

Johannes Kepler foi um astrônomo, matemático e

astrólogo alemão e figura-chave da revolução

científica do século XVI.

Louis Poinsot foi um matemático francês.

Nascimento: 3 de janeiro de 1777, Paris, França.

Falecimento: 5 de dezembro de 1859, Paris, França.

Capitulo 3

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E trazendo estes estudiosos para a

matemática e especialmente para os sólidos.

Os sólidos de Platão também são

denominados de poliedros, pois são formados por

faces, arestas e vértices. As faces são

constituídas por seções de planos, considerando

que entre duas faces temos as arestas, as quais

possuem em suas extremidades os vértices.

Platão foi um filósofo grego, que viveu entre

os séculos V e IV a.C., e estabeleceu importantes

propriedades em alguns poliedros. Os poliedros

de Platão possuem características próprias e se

enquadram nas seguintes condições:

O número de arestas é igual em todas as faces;

Os ângulos poliédricos possuem o mesmo

número de arestas;

Nos sólidos considerados poliedros de Platão

vale a relação de Euler (V – A + F = 2) onde V =

vértices, A = arestas e F = faces.

O prisma a seguir pode ser considerado um

Poliedro da Platão, pois se encaixa nas

condições descritas anteriormente.

Capitulo 4

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Os poliedros de Kepler-Poinsot são poliedros

regulares não convexos. Existem apenas quatro destes

sólidos: pequeno dodecaedro estrelado, grande

dodecaedro estrelado, grande icosaedro e grande

dodecaedro.

Para considerá-los como poliedros regulares é

preciso admitir que nesta categoria as faces podem

ser polígonos regulares não convexos e que estas

faces podem se intersectar.

Johannes Kepler apresentou dois deles – pequeno

dodecaedro estrelado e grande dodecaedro estrelado

– em seu trabalho Harmonice Mundi, em 1619.

Embora ilustrações desses sólidos já existissem,

Kepler recebeu os créditos por ser o primeiro a

considerá-los matematicamente.

Em 1809, Louis Poinsot descreve os quatro -

pequeno dodecaedro estrelado, grande dodecaedro

estrelado, grande icosaedro e grande dodecaedro - na

sua obra Polygons and Polyhedra. Assim como no caso

dos poliedros descritos por Kepler, há ilustração do

grande dodecaedro anterior à obra de Poinsot.

Esses poliedros passaram, então, a ser conhecidos

como poliedros de Kepler-Poinsot.

Portanto, são nove os poliedros regulares, os cinco

poliedros de Platão e os quatro de Kepler-Poinsot.

Cauchy provou que são apenas estes os poliedros

regulares.

Capitulo 5

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No pequeno dodecaedro estrelado e no grande

dodecaedro estrelado as faces são pentagramas

(Figura 1). No grande icosaedro, as faces são

triângulos e no grande dodecaedro, as faces são

pentágonos (Figura 2).

Como já falamos anteriormente, o prisma a seguir

pode ser considerado um Poliedro da Platão, pois se

encaixa nas condições descritas anteriormente.

Diante do exposto, podemos concluir, partindo do

princípio que os objetos que nos rodeiam apresentam

as mais diversas formas, ocupando um espaço em um

Capitulo 6

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certo lugar e tendo uma forma imutável, chamamos

sólidos.

Uns limitados por superfícies planas - poliedros, como

já falamos anteriormente, outras curvas e outras ainda

planas e curvas.

Exemplos de sólidos: cubo, prisma, paralelepípedo,

pirâmide, cone, cilindro e esfera.

Se os poliedros são delimitados por regiões planas que

são os polígonos podemos que os cones, cilindros e

esferas não são poliedros.

Sólidos de Platão

ANEXOS

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Sólidos de Kepler-Poinsot

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Sólidos de Kepler-Poinsot