LOGARITMOS

2

Logaritmación• Es una operación inversa de la potenciación, consiste en

calcular el exponente cuando se conocen la base b y la potencia

N.

𝑏𝑥 = 𝑁

54 = 𝑁 𝑏3 = 64 3𝑥 = 243

Para calcular la

potencia N se

emplea la

potenciación

Para calcular la

base b se emplea

la radicación

Para calcular el

exponente x se

emplea la

logaritmación

3

Definición de logaritmo• Logaritmo de un número positivo N en una base b, positiva y

diferente de 1, es el exponente x al cual debe elevarse la base

b para obtener el número N.

Expresión de los logaritmos• Los logaritmos se expresan en dos formas equivalentes: «forma

exponencial» y «forma logarítmica».

4

Forma

exponencial

Forma

logarítmica

log x

b N x b N

Algunas precisiones sobre

logaritmos• Los logaritmos son exponentes y pueden ser cualquier número

real.

• Sólo tienen logaritmo los números reales positivos.

• La base de los logaritmos es un número real positivo y diferente

de 1.5

0

10

0𝑥 < 0 𝑥 = 0 𝑥 > 0

𝑏 > 0 𝑏 ≠ 0

N > 0

6

Identidad fundamental de los

logaritmos• Si el logaritmo de un número N en una base b es exponente de

su propia base, es igual número N.

Ejemplos.

4

2008

log 6

log 1500

1) 4 6

2) 1500

2008

Propiedades

Propiedades generales de los logaritmos

7

8

Logaritmo de 1• El logaritmo de 1, en cualquier base, es igual a cero.

• Ejemplos:

5

7

1) log 1 0

2) log 1 0

9

Logaritmo de la base• El logaritmo de la base es igual a la unidad.

• Ejemplos:

6

2

1) log 6 1

2) log 2 1

10

Logaritmo de un producto• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos

de los factores.

• Ejemplos:

2 2 2

5 5 5

1) log 7 5 log 7 log 5

2) log 25 4 log 25 log 4

11

Logaritmo de un cociente

• El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo

del dividendo (numerador) menos el logaritmo del divisor

(denominador).

• Ejemplos:

2 2 2

5 5 5

11) log log 1 log 6

6

102) log log 10 log 5

5

12

Logaritmo de una potencia

• El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente

por el logaritmo de la base.

• Ejemplos:

3

2 2

4

5 5

1) log 6 3log 6

2) log 5 4log 5

13

Logaritmo de una raíz• El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando

dividido entre el índice.

• Ejemplos:

33

log 121) log 12

2 4 5

5

log 62) log 6

4

14

Producto de logaritmos recíprocos

• El producto de dos logaritmos recíprocos es igual a la unidad.

• Ejemplos:

2 5

32

1) log 5 . log 2 1

2) log 3 . log 2 1

15

Número y base potencias• Si el número y la base son potencias indicadas con igual base, el

logaritmo es igual al cociente de los exponentes de las

potencias.

• Ejemplos:

4

6

2

61) log 2

4 5

2

3

22) log 3

5

16

Invariabilidad del logaritmo• Si al número y a la base de un logaritmo se eleva a una misma

potencia o se extrae radicales del mismo grado, el logaritmo no

varía.

• Ejemplos:

4

4

331) log 5 log 5 1212

2) log 6 log 6

Más Propiedades

Propiedades complementarias de los

logaritmos

17

18

Reducción de potencias• Si en un logaritmo, número y base son potencias, es igual al

producto del cociente de los exponentes por el logaritmo de la

base del número en la base de la base.

• Ejemplos.

5

4

22

41) log 3 log 3

5 2

3

66

32) log 5 log 5

2

19

Base y número inversos

• Si base y número de un logaritmo son inversos de números enteros, es igual al logaritmo del número inverso, en la base inversa.

• Ejemplos.

1 2

2

11) log log 13

13

1 4

4

12) log log 8

8

20

Cambio de base• El logaritmo de cualquier número, en cualquier base, es igual al

logaritmo del número dividido entre el logaritmo de la base, ambos logaritmos en la nueva base.

• Ejemplos.

52

5

log 31) log 3

log 2 3

6

3

log 212) log 21

log 6

21

Regla de la cadena

• Si en un producto de logaritmos hay un encadenamiento entre base y

número, de tal modo que la base de un logaritmo es número en el siguiente

factor, es igual al logaritmo del primer número en la última base.

• Ejemplos.

2 4 5 5

6 3 5 8 8

1) log 3.log 2.log 4 log 3

2) log 2.log 6.log 3.log 5 log 2

CologaritmoSe llama cologaritmo de un número de una base dada

al opuesto (negativo) del logaritmo de dicho número,

es decir:

0log log

0 1b b

xco x x

b b

Ejemplos:

2 2log 8 log 8 3co

log100 log100 2co

1.-

2.-

Antilogaritmo

Llamada también exponencial, se define así:

log0 1

x

b

xanti x b

b b

Ejemplos:

5

3log 5 3 243anti

10

2log 10 2 1024anti

1.-

2.-

Ejercicios Resueltos

EJERCICIOS PROPUESTOS

GRACIAS

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