Logica Matemática

Capítulo 1

Lógica matemática

1.1. Formas proposicionalesLa lógica matemática se ocupa del análisis de las proposiciones y demostraciones del razona-

miento lógico, proporciona ideas claras y precisas sobre la naturaleza de la conclusión deductiva,desarrolla el pensamiento funcional y hace una contribución esencial al desarrollo del pensamientocientífico y creador. Esto se manifiesta, por ejemplo, en la correcta comprensión de las estructuraslógicas y las tareas formales, en el reconocimiento de las semejanzas de los diferentes fenómenoslógicos, en la aplicación de las leyes y reglas lógicas y en la pretensión de claridad, sencillez yeconomía en la expresión lingüística.

Una de las propiedades de la forma de expresión matemática, es la de representar los objetos,las imágenes mentales, los vínculos y las relaciones mediante símbolos (signos), y combinarlos entresí.

Definición 1.1 ConstanteUna constante es un signo que tiene una determinada significación fija.

Es decir; una constante tiene, en todo el desarrollo de una investigación o en la solución de unatarea, siempre la misma significación.

Definición 1.2 VariableUna variable es un signo que representa cualquier elemento de un dominio básico previamenteestablecido.

Esto quiere decir que una variable se puede sustituir por el signo de cualquier elemento deldominio básico. Entonces se habla de la sustitución de la variable, o de la interpretación de lavariable.

Definición 1.3 TérminoPor término entendemos las constantes, las variables y sus combinaciones mediante los signos deoperación y los signos técnicos.

Los términos son, por tanto, las denominaciones de los objetos matemáticos o las combinacio-nes de signos donde se presentan variables, constantes y signos de operaciones, y que mediante lainterpretación de las variables se omiten en las designaciones de los objetos matemáticos. El ob-jeto matemático, identificado como un término, y en cuya denominación se omite este calificativo

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CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 2

después de la interpretación de las variables, se conoce como valor del término.

Las proposiciones son estructuras lingüísticas cuyo valor de verdad es, o verdadero o falso. Lalógica clásica, a través de sus axiomas y principios, ha hecho algunas consideraciones sobre el con-tenido de verdad de una proposición. El principio de la bivalencia expresa: Toda proposición o esfalsa o es verdadera.

De este principio se pueden deducir dos teoremas.1. El teorema de la tercera posibilidad excluida, expresa:Toda proposición es falsa o verdadera.2. El teorema de la contradicción excluida, expresa:Ninguna proposición es falsa y verdadera al mismo tiempo.

En las observaciones posteriores veremos que los dos teoremas, considerados en conjunto, ex-presan exactamente lo mismo que el principio de la bivalencia. Por consiguiente, se puede procedera la inversa; es decir deducir el teorema de la bivalencia a partir del principio de la tercera posibi-lidad excluida y del principio de la contradicción excluida.

A cada proposición se le hace corresponder un valor de verdad, o falso F o verdadero V. Es poresta razón que también se habla de una lógica bivalente. La asignación de los valores de verdad F oV de una proposición, no es tan sencillo de determinar. Aunque en el principio de la bivalencia seexpresa claramente que una proposición es falsa o verdadera, no se puede decir inmediatamente sicada proposición es falsa o verdadera. En matemáticas existen actualmente muchas proposicionesque hasta el momento no han podido ser demostradas, concebida, la demostración, como unaaseveración de la verdad, a continuación se dan dos ejemplos de este tipo de proposiciones.

Ejemplo 1.1 La proposición: ¨Todo número par que sea mayor que 4, se puede representarcomo la suma de dos números primos, excepto el 2¨, existe desde el año 1742. Hasta el momentono se ha podido demostrar si es una proposición falsa o verdadera. (Suposición de Goldbach).

Definición 1.4 Forma proposicionalUna estructura lingüística que contiene por lo menos una variable libre, se convierte en una pro-posición, cuando se sustituyen todas las variables por símbolos, que denotan objetos del dominiobásico, recibe el nombre de forma proposicional.

Ejemplo 1.2 8 + x <12 con x ∈ N no representa evidentemente ninguna proposición. Estasucesión de signos no es ni falsa ni verdadera. Mediante las sustituciones de la variable x podemosformar proposiciones falsas y verdaderas. Así, con las sustituciones 0, 1, 2, 3 obtenemos siempreproposiciones verdaderas, y cualquier otra sustitución dará lugar a proposiciones falsas. En es-te caso, encontramos una expresión lingüística especial que no es una proposición, pero que, sinembargo, se convierte en una proposición mediante la sustitución de la variable.

A las expresiones matemáticas de este tipo se las denomina formas proposicionales. Las variablesen tales expresiones se denominan variables libres. Las formas proposicionales surgen cuando entrelos términos que contienen variables se coloca un determinado signo de relación. De forma análogaal convenio establecido para la notación de términos, denotamos una forma proposicional conP(x1, x2, ..., xn). Todos los elementos cuyos símbolos convierten una forma proposicional en unaproposición, constituyen el conjunto solución de esta forma proposicional. El conjunto solucióncomprende solamente aquellos elementos del dominio básico cuyos símbolos convierten una formaproposicional en una proposición verdadera. Las formas proposicionales se pueden clasificar en laforma siguiente: aquellas formas proposicionales que mediante una sustitución por lo menos, se


pueden transformar en una proposición verdadera, se denominan interpretables. Todas las demásse denominan no interpretables. Entre las interpretables se destacan las formas proposicionales devalidez general, que son aquellas que al hacer cualquier sustitución por los elementos del dominiobásico se convierten en una proposición verdadera.

Ejemplo 1.3 (x+ y)2 = x2+2xy+ y2 ∀ x, y ∈ R. En toda sustitución de x e y por elementosdel dominio básico se obtiene una proposición verdadera. Este ejemplo es, por tanto, una formaproposicional de validez general en el conjunto de los números reales. El conjunto solución es elconjunto de todos los pares (x, y) donde x e y son elementos de un dominio básico; luego, en estecaso coincide con el conjunto base de solución. Este ejemplo trata entonces de una identidad.

Ejemplo 1.4 Sea (x+ y)2 = x2 + y2 ∀ x, y ∈ R.

(x+ y)2 x2 + y2 Valor de verdad0 0 V9 9 V36 36 V9 5 F361 193 F

La presente tabla muestra que a partir de esta forma proposicional se pueden obtener propo-siciones falsas y verdaderas. El conjunto solución es, un subconjunto propio del conjunto base desolución. El conjunto solución consta, de los pares ordenados de elementos del dominio básico. Esteejemplo trata entonces de una neutralidad.

Ejemplo 1.5 x2 − 5x+ 10 = 0 x ∈ R. En el dominio básico no hay elementos que satisfaganesta forma proposicional, es decir, toda sustitución la convierte en una proposición falsa. Esteejemplo trata por consiguiente de una contradicción.

1.1.1. Operaciones entre proposiciones lógicasEn esta sección trataremos exclusivamente las proposiciones y las formas proposicionales. Pri-

meramente, introduciremos algunas combinaciones de proposiciones, mediante las cuales a su vez seobtienen otras proposiciones. Después obtendremos mediante definiciones las funciones proposicio-nales y más tarde las funciones veritativas. En todas las operaciones con proposiciones señalaremosel proceso de abstracción circunstancia - proposiciones - valores de verdad.

Definición 1.5 ProposiciónDenominaremos proposición a una frase narrativa que puede calificarse como verdadera o falsa,pero no ambas al mismo tiempo.

Los valores verdadero y falso mencionados en la definición se denominan valores de certeza ovalores de verdad. Así cuando una proposición se considere verdadera o falsa diremos que dichaproposición tiene valor de certeza verdadero o falso.

Ejemplo 1.6 Las siguientes frases son proposiciones:- La tierra es plana.- 547 es un número primo.- Los números irracionales son complejos.- Los números complejos son un subconjunto de los reales.- La Escuela Politécnica del Ejercito es un instituto de educación superior.- No es verdadero que 3 sea un entero par o 7 un primo.


- 2n = n2 para alguna n ∈ N.- 289301 + 1 es un número primo.- Si un árbol tiene n vértices, entonces tiene exactamente n - 1 aristas.- 2n + n es un número primo para una infinidad de n.- Todo entero par mayor que 4 es la suma de dos números primos.- Las matemáticas son divertidas.- Los árboles son más interesantes que las matrices.

Ejemplo 1.7 Las siguientes frases no son proposiciones:- ¿Porqué es importante la lógica proposicional?- 323789 ext 205- ¿Porqué es importante la inducción?- x - y = y - x.

Es importante hacer notar que el valor de verdad de una proposición no es trabajo ni partede la lógica aquí tratada, por tal razón dichos valores los supondremos ya asignados. Todas lasproposiciones constituyen una clase que, a su vez, se descompone en dos subclases, en la clase delas proposiciones verdaderas V y en la clase de las proposiciones falsas F.

La verdad o falsedad de las proposiciones no puede ser demostrada inmediatamente en todoslos casos, pero, para toda proposición, independientemente de que aún no haya sido comprobada nirefutada, solo cabe una de las dos posibilidades, es verdadera V o es falsa F. El proceso de negaciónlo denominamos operación lógica de un lugar. Los enlaces de dos proposiciones, como resultado delos cuales se obtiene una proposición única se denominan operaciones lógicas de dos lugares.

Definición 1.6 Función proposicional de n-lugaresCuando a cada n-uplo de proposiciones se le hace corresponder unívocamente una proposición, estacorrespondencia se denomina función proposicional de n-lugares.

Se entiende por n-uplo, un conjunto de n elementos dependientes del orden, en este caso pro-posiciones. De todas las funciones proposicionales, las llamadas funciones proposicionales clásicastienen una gran importancia por las razones siguientes:a) porque las restantes funciones se pueden representar en términos de estas.b) porque en la lógica formal tradicional se han tratado especialmente las cinco siguientes fun-ciones:

Nombre Argumento Funciones proposicionales Número de lugaresNegación P No P Uno

Conjunción P, Q P y Q DosDisyunción P, Q P o Q DosImplicación P,Q Si P, entonces Q DosEquivalencia P, Q P exactamente cuando Q Dos

En estas funciones proposicionales el valor de verdad de la proposición resultante depende so-lamente de los valores de verdad de los argumentos correspondientes, y no de su contenido, y sedenominan funciones proposicionales extensionales. Además de las funciones proposicionales clási-cas existen otras funciones proposicionales que son extensionales.

En el transcurso de las observaciones hemos hecho abstracción del contenido concreto de lasproposiciones o de los enlaces de proposiciones y, alcanzado las etapas de abstracción de las fun-ciones proposicionales.


Continuamos el proceso de abstracción sobre la base de las afirmaciones ya hechas. Si tambiénrealizamos el paso de transición de las proposiciones a los valores de verdad, entonces obtenemoslas funciones veritativas correspondientes a las funciones proposicionales.

Definición 1.7 Función veritativa de n-lugaresCuando a cada n-uplo de valores de verdad se le hace corresponder unívocamente un valor deverdad, entonces esta correspondencia recibe el nombre de función veritativa de n lugares.

Las funciones proposicionales y las funciones veritativas pertenecen a diferentes niveles de abs-tracción. Por este motivo es conveniente introducir otros símbolos para las funciones veritativas.Con la negación de una proposición queremos expresar la idea de que esto no se refiere a la cir-cunstancia que a ella corresponde. Cuando negamos una proposición P, entonces obtenemos otraproposición ¬P, es decir, la negación de P. A través de esta operación obtenemos una proposicióncuyo valor de verdad es contrario al valor de verdad de P.

Frecuentemente en el lenguaje común, una negación se expresa mediante prefijos que indicannegación o mediante adverbios de negación. Por ejemplo, se dice en lugar de no regular, irregular,y en lugar de no un, simplemente ningún, etc. Al formular ciertas negaciones pueden surgir conmucha facilidad algunas confusiones, cuando simplemente se expresa la negación mediante antóni-mos o contrarios.

Por ejemplo, negro y blanco, pequeño y grande, positivo y negativo, orden y caos son, en ciertosentido, contrarios que no pueden ser expresados a través de una negación. Aquí definiremos lanegación como una función veritativa, aunque la denominación de negación se utiliza también parala función proposicional ¬P y para la operación negación.

Definición 1.8 NegaciónSe denomina negación a la función veritativa de un lugar, cuyos valores se fijan de la manerasiguiente:

P ¬ PV FF V

La negación corresponde a la función proposicional de un lugar ¬P. La afirmación ¬P es verda-dera cuando la proposición P es falsa, y ¬P es falsa cuando la proposición P es verdadera. Mediantela negación de una proposición P se obtiene una nueva proposición ¬P cuyo valor de verdad esopuesto al valor de verdad de P.

Ejemplo 1.8 Sea P: ¨Los billetes de $ 5000 contienen la efigie de Rumiñahui¨.La negación de P es la proposición:¬P: ¨Los billetes de $ 5000 no contienen la efigie de Rumiñahui¨.

Dadas las proposiciones P, Q consideremos la construcción de proposiciones de la forma (P yQ).

Ejemplo 1.9 En la búsqueda de un profesor la ESPE publica el siguiente aviso:¨Se solicita profesor con especialidad en Pedagogía y Álgebra¨.Se presentan cuatro candidatos A, B, C y D con las características siguientes:A: Tiene ambas especialidades (V,V)B: Sólo tiene la especialidad de Pedagogía (V,F)C: Sólo tiene la especialidad de Álgebra (F,V)


D: Sólo tiene la especialidad de Química (F,F)Como podemos darnos cuenta, puesto que A cumplió con los requisitos, entonces A es el ganadordel empleo.

Definición 1.9 ConjunciónSe denomina conjunción o producto lógico de las proposiciones P y Q, dadas en este orden, a lafunción veritativa de dos lugares que se obtiene enunciando Q luego de enunciar P, unidas ambaspor la palabra ÿ¨, cuyos valores de verdad se fijan de la siguiente manera:

P Q P ∧ QV V VV F FF V FF F F

El enlace de proposiciones P ∧ Q es verdadera cuando ambas proposiciones P, Q son verda-deras. Una conjunción cuyo valor de verdad es V, expresa que las circunstancias que se reflejana través de las proposiciones parciales, existen en conjunto. Pero, cuando una conjunción tiene elvalor de verdad F, esto significa que, por lo menos, una de sus proposiciones parciales no refleja co-rrectamente una circunstancia. En las explicaciones posteriores, consideraremos el enlace de variasproposiciones como una conjunción si aparece la expresión y/o sus sinónimos.

Ejemplo 1.10 Sean las proposiciones:P: ¨2 es un divisor de 10¨Q: ¨5 es un divisor de 10¨La conjunción de P y Q es la siguiente proposición:P ∧Q: ¨2 es un divisor de 10, pero también 5 es un divisor de 10¨Por lo tanto la proposición P ∧Q es verdadera.

Estudiaremos ahora proposiciones de la forma (P o Q) y (o P o Q).

Ejemplo 1.11 Consideremos ahora el siguiente aviso:¨Se solicita profesor con especialidad de Pedagogía o Álgebra¨Se presentan cuatro candidatos A, B, C y D con las características siguientes:A: Tiene ambas especialidades (V,V)B: Sólo tiene la especialidad de Pedagogía (V,F)C: Sólo tiene la especialidad de Algebra (F,V)D: Sólo tiene la especialidad de Química (F,F)En este caso sólo D no podrá ser seleccionado.

El punto central de esta parte lo constituye el uso de la palabra ö¨, la cual puede ser utilizadaen un sentido exclusivista ö ... o ...¨ o no exclusivista. Por este motivo procederemos en dos pasosintermedios.

Definición 1.10 DisyunciónSe denomina disyunción a la función veritativa bivalente cuyos valores se fijan de la manera si-guiente:

P Q P ∨ QV V VV F VF V VF F F


La disyunción corresponde a la función proposicional bivalente P o Q. Según la definiciónanterior P o Q es verdadera cuando, como mínimo, una de las proposiciones enlazadas es verdadera.En discusiones posteriores, el enlace de varias proposiciones con ö¨ recibe el nombre de disyunción.Entonces, un enlace de proposiciones de este tipo representa una proposición verdadera cuandotodas las proposiciones enlazadas son verdaderas.

Ejemplo 1.12 - 2 · 3 = 6 ó 3 + 2 = 5- 75% de 45 m es 135/4 m, ó 33,75 m.

A causa de la extensionalidad de las funciones proposicionales las proposiciones enlazadas pue-den o no, tener relaciones de contenido entre sí. La abstracción hecha de las relaciones de contenidoentre las proposiciones enlazadas es necesaria para poder fundamentar la relación lógica. Mediantela definición anterior se ha determinado el sentido de la palabra ö¨. Para nosotros son de graninterés aún los valores de verdad de las proposiciones parciales. En otros enlaces se procederá deforma similar.

Definición 1.11 AlternativaSe denomina alternativa a la función veritativa de dos lugares cuyos valores se fijan de la manerasiguiente:

P Q P ∨ QV V VV F VF V VF F F

La alternativa corresponde a la función proposicional de dos lugares ö P o Q¨ es verdaderocuando una de las dos proposiciones es verdadera. Es falso cuando ambas proposiciones son verda-deras o falsas. La alternativa es igualmente extensional.

En las explicaciones que demos posteriormente, un enlace de más de dos proposiciones con ö... o¨ recibe el nombre de alternativa. En el uso diario del lenguaje se dice frecuentemente ö¨ enlugar de ö ... o¨, actuando esta palabra, en tales casos, de forma excluyente.

Cuando en el lenguaje familiar corriente se habla de una disyunción, se hace referente a laalternativa que hemos definido. Estos hechos hay que tenerlos siempre en cuenta.

Ejemplo 1.13 - La suma de los siete primeros números naturales es o par o impar.- 1969 es o un número primo o divisible por 9.

Un verdadero enlace mediante la alternativa de ambas proposiciones refleja que de dos circuns-tancias posibles existe exactamente una. Para evitar las confusiones se debe utilizar, en tales casos,siempre ö ... o¨. ö¨ puede usarse en el lenguaje común pero con otro sentido, cuando se quieredecir que las dos circunstancias enlazadas entre sí no pueden existir en conjunto. Como máximo,esto puede referirse a una de ellas.

El conocimiento de estas distintas interpretaciones de ö¨ en el lenguaje común es muy im-portante para la conclusión lógica y, además, nos motiva a velar por la exactitud de nuestrasformulaciones.

A continuación formularemos, mediante la disyunción, algunos teoremas importantes de lalógica de las proposiciones.


Teorema 1.1 Toda proposición es verdadera o falsa.

Este teorema se denomina, teorema del tercero excluido. Esto podemos representarlo mediantela función proposicional ¨P o ¬P¨. Esta función proposicional es una identidad, porque paracualquier argumento P, siempre obtenemos una proposición verdadera.

Teorema 1.2 Toda proposición es o verdadera o falsa.

Este teorema se denomina, principio de la bivalencia. Este principio expresa que entre unaproposición y su negación no hay una tercera posibilidad, y que una proposición no puede sersimultáneamente verdadera y falsa.

Proposiciones como P ∧ Q y P ∨ Q que resultan de combinar otras proposiciones reciben elnombre de proposiciones compuestas.

Es posible una proposición compuesta G ∼= G(P1, P2, ..., Pn) sea verdadera sin importar quéasignaciones de verdad se hayan hecho a las proposiciones P1, P2, ..., Pn.

Ejemplo 1.14 En el Instituto de Ciencias Básicas existe el siguiente reglamento: ¨Para queun estudiante pueda tomar materias de avance de primer nivel, tiene que haber aprobado materiasconcatenadas de prepolitécnico¨. ¿En cuáles de los siguientes casos se viola el reglamento?A: Toma avances y aprobó materias concatenadas (V,V).B: Toma avances y no aprobó materias concatenadas (V,F).C: No toma avances pero aprobó materias concatenadas (F,V).D: Ni toma avances ni aprobó materias concatenadas (F,F).Un poco de reflexión nos conduce a aceptar que se viola el reglamento en el caso B.

Definición 1.12 ImplicaciónSe denomina implicación o condicional a la función veritativa de dos lugares cuyos valores deverdad se fijan de la manera siguiente:

P Q P → QV V VV F FF V VF F V

La proposición P se denomina hipótesis o antecedente y la proposición Q, conclusión o conse-cuente. Considérese el problema de asignar un valor de verdad a la proposición implicación ¨si P,entonces Q¨. En efecto, si la hipótesis P es verdadera y la conclusión Q es también verdadera (estoes, la hipótesis y la conclusión son ambas verdaderas), entonces la proposición condicional ¨si P,entonces Q¨ debe ser verdadera.

Por otra parte, si la hipótesis P es verdadera y la conclusión Q es falsa, entonces ¨si P, enton-ces Q¨ debe ser falsa. (No se debe deducir una conclusión falsa de una hipótesis verdadera). Ladefinición normal dice que ¨si P, entonces Q¨ es verdadera en caso de que la hipótesis P sea falsa,sin considerar el valor de verdad de la conclusión Q. En las ulteriores explicaciones, al enlace devarias proposiciones con ¨si P, entonces Q¨ lo llamaremos implicación.

En el lenguaje ordinario, la hipótesis y la conclusión en una proposición implicación estánnormalmente relacionadas, pero en lógica no se requiere que la hipótesis y la conclusión en una


proposición implicación se refieran al mismo tema.

Tienen interés particular las proposiciones implicación verdaderas. Los teoremas de matemáti-cas con frecuencia se expresan como proposiciones implicación. Una demostración de un teoremade esta forma lo constituye la verificación de que la proposición implicación es verdadera.

Sean P ∼= P(P1, P2, ..., Pn) y Q ∼= Q(P1, P2, ..., Pn) proposiciones compuestas y supóngaseque P → Q es verdadera. Se sabe que si P es falsa, P → Q es verdadera, no importando si Q esverdadera o falsa. Por otra parte, si P es verdadera, Q también debe serlo, pues en caso contrarioP → Q sería falsa.

Ejemplo 1.15 Sean las siguientes proposiciones:P : Hoy es 30 de Febrero.Q : Entre 5 y 15 hay números primos.P→ Q : Si hoy es 30 de febrero, entonces entre 5 y 15 hay números primos.Esta proposición compuesta es verdadera, ya que podemos decir que toda implicación, cuyo primermiembro sea falso tiene el valor de verdad V, sin tener en cuenta si el primero y el segundomiembros tienen relación de contenido o no.

Ejemplo 1.16 La proposición compuesta ¨si entre 5 y 15 hay números primos, entonces entre13 y 15 hay números primos¨, es falsa, ya que el primer miembro de esta implicación es verdaderoy su segundo miembro es falso.

Otra proposición compuesta de gran utilidad es

P si y sólo si Q

Este enunciado se interpreta como:

(Si P, entonces Q) y (si Q, entonces P)

Determínese el valor de verdad de la primera proposición. Supóngase que P y Q son ambasverdaderas. Entonces las dos proposiciones implicación de la segunda son verdaderas. Y como laconectiva ÿ¨ resulta verdadera para ambas verdaderas, se tiene que la segunda también lo es.Dado que la primera se interpreta como la segunda, se considera que la primera es verdaderacuando ambas P y Q lo son. Si P y Q son falsas, nuevamente las dos proposiciones implicaciónde la segunda son verdaderas. En consecuencia, la segunda es verdadera. Por lo tanto, si ambasproposiciones P y Q son falsas, se considera que la primera es verdadera.

Si P es falsa y Q es verdadera, entonces la segunda proposición implicación en la segunda esfalsa. Ahora bien, cuando en la conectiva ÿ¨ uno de los valores es falso, el resultado es falso. Porconsiguiente, se considera que la primera es falsa si P es falsa y Q es verdadera. Esto motiva lasiguiente definición.

Definición 1.13 EquivalenciaSe denomina implicación o condicional a la función veritativa de dos lugares cuyos valores deverdad se fijan de la manera siguiente:

P Q P ↔ QV V VV F FF V FF F V


Otra forma de enunciar ¨P si y sólo si Q¨ es ¨P es una condición necesaria y suficiente paraQ¨.Así mismo, ¨P si y sólo si Q¨ en ocasiones se escribe ¨P ssi Q¨.La proposición compuesta (Si P, entonces Q) y (si Q, entonces P), también podemos expresarla ensímbología lógica de la siguiente manera

P↔ Q ∼= (P→ Q) ∧ (Q→ P)

Ejemplo 1.17 SeanP: El número 2013 es divisible por 3.Q: La suma de las cifras básicas de 2013 es divisible por 3.P↔ Q: El número 2013 es divisible por 3 cuando la sumas de sus cifras básicas es divisible por 3.Esta proposición es verdadera, ya que ambos enlaces son verdaderos.

Ejemplo 1.18 Si P→ Q es una proposición implicación, entonces denominamos:Q→ P recíproca de P→ Q.¬P→ ¬Q inversa de P→ Q.¬Q→ ¬P contrapositiva de P→ Q.

Ejemplo 1.19 Implicación: Si 2272 es divisible por 4, entonces 2272 es un número par.Recíproca: Si 2272 es un número par, entonces 2272 es divisible por 4.Contrapositiva: Si 2272 no es un número par, entonces 2272 no es divisible por 4.Inversa: Si 2272 no es divisible por 4, entonces 2272 no es un número par.

Ejemplo 1.20 Implicación: Si un triángulo es equilátero, entonces es isósceles.Recíproca: Si un triángulo es isósceles, entonces es equilátero.Contrapositiva: Si un triángulo no es isósceles, entonces tampoco es equilátero.Inversa: Si un triángulo no es equilátero, entonces tampoco es isósceles.

1.1.2. Tarea1. Suponga que x, y, z ∈ R. Represente en forma simbólica los enunciados dados tomando:

P: x < y, Q: y < z, R: x < z

a) (x ≥ y e y < z) o x ≥ z;b) No es cierto que (x < y e y < z);c) x < y o no es verdad que (y < z y x < z);d) (No es verdad que (x < y y (x < z o y < z))) o (x ≥ y y x < z).Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

2. Sean P, Q, R las proposiciones:

P: Está lloviendo, Q: El Sol está brillando, R: Hay nubes en el cielo.

Traduzca la siguiente notación lógica, utilizando P, Q, R y conectivos lógicos.a) Está lloviendo y el Sol está brillando;b) Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo;c) Si no está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el cielo;d) El Sol está brillando si y sólo si no está lloviendo;e) Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .


3. Sean P, Q, R como en el ejercicio anterior. Traduzca lo siguiente a oraciones en español:a) (P ∧Q)→ R; b) (P→ R)→ Q; c) ¬P↔ (Q ∨ R); d) ¬(P↔ (Q ∨ R));e) ¬(P ∨Q) ∧ R.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

4. Sean p : tengo un loro y q : tengo un gato, escribir en lenguaje corriente y luego simplificar

¬(¬p ∨ ¬(¬q)) ∧ ¬(¬p)

Resp: p ∧ (¬q): tengo un loro y no tengo un gato.

5. A un blanco se han efectuado tres tiros. Sea Pi la proposición ël blanco ha sido batidopor el i-ésimo tiro¨, i = 1, 2, 3. ¿Qué significan las siguientes proposiciones:a) P1 ∨ P2 ∨ P3; b) P1 ∧ P2 ∧ P3; c) (¬P1 ∨ ¬P2) ∧ P3?¿Cuáles de estas tres proposiciones son verdaderas si P3 es verdadera y P1 y P2, falsas?Resp: a) ; b) ; c) .

6. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones? Proporcione los valores de verdadde las proposiciones:a) x2 = x para toda x ∈ R; b) x2 = x para alguna x ∈ R; c) x2 = x;d) x2 = x para exactamente una x ∈ R; e) xy = xz implica y = z;f) xy = xz implica y = z para toda x, y, z ∈ R.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

7. Considere la frase ambigua x2 = y2 implica x = y para todo x, y:a) Transforme esta frase en una proposición no ambigua cuyo valor de verdad sea verdadero;b) Transforme esta frase en una proposición no ambigua cuyo valor de verdad sea falso.Resp: a) ; b) .

8. Formule verbalmente las expresiones simbólicas contenidas en los siguientes literales, uti-lizando las proposiciones:

P : Hoy es lunes, Q : Está lloviendo, R : Hace calor.

a) ¬P ∧ (Q ∨ R); b) ¬(P ∨Q) ∧ R; c) (P ∧ (Q ∨ R)) ∧ (R ∨ (Q ∨ P));d) (P∨ (¬P∧¬(Q∨R)))∧ (P∨¬(R∨Q)); e) ¬P→ (Q∨R); f) ¬(P∨Q)↔ R;g) (P ∧ (Q ∨ R))→ (R ∨ (Q ∨ P)); h) (P ∨ (¬P ∧ ¬(Q ∨ R)))→ (P ∨ ¬(R ∨Q)).Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) .

9. En los siguientes literales, represente cada proposición en la forma de una proposicióncondicional:a) Para todo número x ∈ R, |x| < 2 siempre que 0 < x < 2;b) Una condición suficiente para que una función f sea integrable es que f sea continua.Resp: a) ; b) .

10. Enuncie la recíproca, la inversa y la contrapositiva de cada uno de los literales del ejercicioanterior.Resp: .

11. Proporcione las recíprocas, las inversas y las contrapositivas de las siguientes proposiciones:a) Si soy listo entonces soy rico; b) Si x2 = x entonces x = 0 o x = 1;c) Si 2 + 2 = 4 entonces 2 + 4 = 8.Resp: a) ; b) ; c) .


12. a) Muestre que n = 3 es un contraejemplo de la afirmación n3 < 3n para toda n ∈ N;b) ¿Puede encontrar otros contraejemplos?Resp: a) ; b) .

13. a) Muestre que x = −1 es un contraejemplo de (x+ 1)2 ≥ x2 para toda x ∈ R;b) Encuentre otro contraejemplo;c) ¿Puede servir de contraejemplo cualquier número no negativo? Explique su respuesta.Resp: a) ; b) ; c) .

14. Encuentre contraejemplos de las siguientes afirmaciones:a) 2n − 1 es primo para toda n ≥ 2; b) 2n + 3n es primo para toda n ∈ N;c) 2n + n es primo para todo entero impar positivo n.Resp: a) ; b) ; c) .

15. a) Proporcione un contraejemplo para: x > y implica x2 > y2 para toda x, y ∈ R. Surespuesta debe ser un par ordenado;b) ¿Cómo debe restringir x e y para que sea verdadera la proposición de la parte a)?Resp: a) ; b) .

16. Exprese en forma simbólica cada uno de los enunciados, suponiendo que x, y, z ∈ R y que

P : x < y, Q : y < z, R : x < z :

a) Si x < y, entonces y ≥ z; b) Si (x < y e y < z), entonces x < z;c) Si (x ≥ y e y < z), entonces x ≥ z;d) Si no es verdad que (x < z e y < z), entonces x ≥ z;e) x < y si y sólo si (y < z y x < z);f) Si es falso que (x < y y (ya sea x < y o y < z)), entonces (x ≥ y, entonces x < z).Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

17. ¿Cuáles de las proposiciones P, Q, R deben ser verdaderas y cuáles falsas para que

(¬(¬P ∨ P) ∧Q)→ R

sea verdadera?Resp: .

18. Represente simbólicamente cada una de las proposiciones condicionales dadas a continua-ción. Escriba su recíproca, inversa y contrapositiva tanto con símbolos como con palabras.Determine también el valor de verdad para la proposición condicional, para su recíproca,inversa y para su contrapositiva:a) Si 4 < 6, entonces 9 > 12; b) Si 4 > 6, entonces 9 > 12;c) |1| < 3 si −3 < 1 < 3; d) |4| < 3 si −3 < 4 < 3.Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

19. Proporcione la recíproca, inversa y contrapositiva de cada una de las siguientes proposi-ciones:a) Si x+ y = 1 entonces x2 + y2 ≥ 1; b) Si 2 + 2 = 4 entonces 3 + 3 = 8.Resp: a) ; b) .

20. Considere la proposición: si x > 0 entonces x2 > 0 para x ∈ N:a) Proporcione la recíproca, inversa y contrapositiva de la proposición;b) ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera: la proposición original, la recíproca,la inversa o la contrapositiva?Resp: a) ; b) .


21. Determine los valores de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:a) Si 2 + 2 = 4, entonces 2 + 4 = 8; b) Si 2 + 2 = 5, entonces 2 + 4 = 8;c) Si 2 + 2 = 4, entonces 2 + 4 = 6; d) Si 2 + 2 = 5, entonces 2 + 4 = 6;e) Si la tierra es plana, entonces Vicente Rocafuerte fue el primer presidente de Ecuador;f) Si la tierra es plana, entonces Sixto Durán-Ballen es presidente de Ecuador en el periódo92 - 96;g) Si Sixto Durán-Ballen es presidente de Ecuador en el periódo 92 - 96, entonces la tierraes plana;h) Si Sixto Durán-Ballen es presidente de Ecuador en el periódo 92 - 96, entonces 2 + 2 =4.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) .

22. Supóngase que sabemos que P → Q es falso. Proporcione los valores de verdad para:a) P ∧ Q; b) P ∨ Q; c) Q → P; d) P → Q; e) ¬P→ ¬Q;f) ¬Q→ ¬P; g) Q ∧ ¬P; h) P ∧ ¬Q; i) P ∨ Q; j) ¬(P↔ Q).Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) .

23. Un lógico le dijo a su hijo Si no terminas tu cena, te irás directo a dormir y no verástelevisión. Terminó su cena y fue enviado directamente a la cama. Discútalo.Resp: .

24. A la pregunta de cuál de tres estudiantes estudiaba lógica fue obtenida una respuestacorrecta: si la estudiaba el primero, también lo hacía el tercero, pero no era cierto que si laestudiaba el segundo lo hacía asímismo el tercero. ¿Quién estudiaba lógica?Resp: .

25. Luis, Carlos, Joe, Fred ocuparon en la olimpiada de matemáticas los cuatro primeros pues-tos. Cuando les preguntaron acerca de la distribución de los puestos, dieron las tres siguientesrespuestas:a) Fred - primero, Carlos - segundo; b) Fred - segundo, Luis - tercero;c) Joe - segundo, Luis - cuarto.¿Cómo se distribuyeron los puestos si en cada una de las respuestas sólo una de las afirma-ciones era verdadera?Resp: a) ; b) ; c) .

26. Determine cuál de cuatro estudiantes dio el examen si sabemos que:a) Si lo dio el primero, el segundo también;b) Si lo dio el segundo, el tercero también o bien el primero no lo dio;c) Si no lo dio el cuarto, lo dio el primero, pero el tercero no;d) Si el cuarto lo dio, el primero también.Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

27. Para una expedición de ocho pretendientes A, B, C, D, E, F, G, H hay que elegir seisespecialistas: biólogo, hidrólogo, sinóptico, radista, mecánico y médico. Las funciones delbiólogo pueden ser realizadas por E y G, las del hidrólogo, B y F. Las del sinóptico, F y G,las del radista, C y D, las del mecánico, C y H, las del médico, A y D. Aunque algunos de lospretendientes tienen dos especialidades, en la expedición cada uno puede realizar sólo unafunción. ¿Quién y en calidad de qué ha de incluirse en la expedición si F no puede ir sin B,D sin H y sin C, C no puede ir simultáneamente con G, y A no puede ir junto con B?Resp: .


1.2. Construcción de tablas de verdadEl enunciado G ∼= P → [(Q ∧ R) → Q] incluye tres proposiciones: P, Q y R, cada una puede

ser verdadera o falsa de manera independiente. Existen en total 23 = 8 combinaciones posibles delos valores de verdad para P, Q y R y la tabla de verdad para G deberá dar el valor de verdad deG para cada uno de los casos.

Definición 1.14 CombinacionesSi una proposición compuesta G consta de n enunciados, habrá 2n combinaciones de valores deverdad, es decir, n filas en la tabla de verdad de G.

Una tabla que despliega todos los valores de verdad de una fórmula, para todas las posiblesinterpretaciones que pueda tener, se denomina tabla de verdad de la fórmula. Esta tabla puedeconstruirse sistemáticamente de la siguiente manera:1. Las primeras n columnas se encabezan con las variables proposicionales; y se construyen máscolumnas para las combinaciones parciales de enunciados y se culmina con el enunciado dado.2. Bajo cada una de las primeras n columnas, se enlistan las 2n n-adas posibles de los valores deverdad de los componentes del enunciado G. Cada n-tupla se enlista en una fila separada.3. Para cada fila se calculan sucesivamente los valores de verdad restantes.

Ejemplo 1.21 Sea G ∼= (P→ Q)→ (¬P ∨Q), construir la correspondiente tabla de verdad:

P Q P → Q ¬ P ∨ Q GV V V V VV F F V FF V V V VF F V V F

Ejemplo 1.22 Sea G ∼= [(P→ Q) ∧ ¬Q]→ ¬P), construir la correspondiente tabla de verdad:

P Q P → Q (P → Q) ∧¬ Q GV V V F VV F F F VF V V V VF F F F V

Ejemplo 1.23 Sea G ∼= [(P ∨Q) ∧ ¬P]→ Q), construir la correspondiente tabla de verdad:

P Q P ∨ Q (P ∨ Q) ∧¬ P GV V V F VV F V F VF V V V VF F F F V

Ejemplo 1.24 Sea G ∼= (P→ Q)↔ (¬Q→ ¬P), construir la correspondiente tabla de verdad:

P Q P → Q ¬ Q → ¬ P GV V V V VV F F F VF V V V VF F V V V


Ejemplo 1.25 Sea G ∼= (P↔ Q)↔ [(P→ Q) ∧ (Q→ P)], construir la correspondiente tablade verdad:

P Q P ↔ Q P → Q Q → P (P → Q) ∧ (Q → P) GV V V V V V VV F F F V F VF V F V F F VF F V V V V V

1.2.1. Operaciones con fórmulas lógicas y sus propiedadesEn el estudio de las funciones proposicionales hemos utilizado las variables P, Q, R, ... para

designar las proposiciones. Estas variables podemos interpretarlas con elementos de un dominiobásico, es decir, con proposiciones. Su dominio está formado solamente por dos elementos, losvalores de verdad V y F. Las constantes en este caso las constituyen los conectores lógicos. Medianteel enlace lineal de las variables con valores de verdad P, Q, etc., y conectores, así como mediantela aplicación de los signos técnicos (paréntesis), podemos formar series de signos.

Definición 1.15 Fórmula bien formadaUna fórmula bien formada, se define dentro de la lógica proposicional en los siguientes términosrecursivos:1) Las variables P, Q, ... son fórmulas.2) a) Si P es una fórmula, entonces ¬P también es una fórmula.b) Si P y Q son fórmulas entonces P ∨ Q, P ∧ Q, P → Q, P ↔ Q también son fórmulas.3) Una serie de signos P, Q, ... es una fórmula solo cuando se trata de los casos 1 y 2.

En la representación simbólica se interpretan los signos ¬, ∧, ∨, →, ↔, que reciben el nom-bre de conectores, como signos de funciones proposicionales y también como signos de funcionesveritativas. A los literales tales como P, Q, R,... que son usados para denotar proposiciones sedenominan fórmulas atómicas o átomos. No es difícil reconocer que expresiones como P→, P ∨ noson fórmulas. Cuando no exista confusión se suprimen los paréntesis asignando rangos decrecientesa los conectores proposicionales de la siguiente manera; ↔, →, ∧, ∨, ¬ de manera que al conectorproposicional con mas alto rango se lo evalue al final.

Ejemplo 1.26 1) P→ Q ∧ R = P→ (Q ∧ R);2) P→ Q ∧ ¬R ∨ S = P→ Q ∧ (¬R ∨ S) = P→ [Q ∧ (¬R ∨ S)].

Ahora vamos a establecer una relación entre los valores de verdad y las funciones veritativaspor una parte y las expresiones, por otra. Las variables P, Q, ... las utilizamos ahora como variablesdel valor de verdad, y de igual forma los conectores proposicionales ¬, ∧, ∨, →, ↔ como signos delas funciones veritativas clásicas.

Sobre la base de las afirmaciones hechas podemos indicar el correspondiente valor de verdadpara cada interpretación de las variables P, Q, ... con los valores de verdad. En las expresionescomplicadas de la lógica proposicional también es posible calcular de esta forma, en finitos pasos,los valores de verdad, al hacer las diferentes interpretaciones de las variables.

Comparando las tablas de verdad podemos decidir si dos fórmulas G y H tienen la misma tablade valores de verdad. Con esto también podemos mostrar si una fórmula formada a partir de Gy H, es una identidad de la lógica proposicional. La igualdad de las tablas de valores de verdady la identidad de la lógica proposicional, sin embargo, no son exactamente lo mismo. La igualdad


de la tabla de valores de verdad es una relación entre dos fórmulas; y la propiedad de ser unaidentidad es una peculiaridad de una fórmula. Cuando nos interesamos por la igualdad de la tablade valores de verdad, entonces comparamos los valores de verdad de dos fórmulas en todas lassustituciones posibles. Cuando nos interesamos por la validez general de una fórmula, queremosestablecer si esta determinada fórmula toma, en cada interpretación, el valor de verdad V. En estecaso, se determina el valor de verdad de una nueva fórmula formada a partir de las fórmulas G yH en todas las sustituciones posibles. De las fórmulas con las mismas tablas de verdad, G y H, sepueden formar siempre identidades de la lógica proposicional, es decir, fórmulas de validez general.

Teorema 1.3 Una fórmula doblemente negada tiene la misma tabla de valores de verdad que lacorrespondiente fórmula dada, es decir; ¬¬ P ∼= P es una identidad de la lógica proposicional.Demostración

P ¬ P ¬¬ PV F VF V F

Teorema 1.4 Para la conjunción, la disjunción y la equivalencia se cumplen la ley conmutativay la ley asociativa con respecto a la igualdad de las tablas de valores de verdad. Para la implicaciónno se cumple ni la ley asociativa, ni la ley conmutativa.Demostración

P Q P ∨ Q Q ∨ P P ∧ Q Q ∧ P P ↔ Q Q ↔ PV V V V V V V VV F V V F F F FF V V V F F F FF F F F F F V V

Dado que G1 = (P ↔ Q) ↔ R y G2 = P ↔ (Q ↔ R), entonces

P Q R (P ∨ Q) ∨ R P ∨ (Q ∨ R) (P ∧ Q) ∧ R P ∧ (Q ∧ R) G1 G2

V V V V V V V V VV V F V V F F F FV F V V V F F F FV F F V V F F V VF V V V V F F F FF V F V V F F V VF F V V V F F V VF F F F F F F F F

En lógica las proposiciones idénticamente verdaderas o bien idénticamente falsas desempeñanimportante papel. Las proposiciones idénticamente verdaderas son siempre verdaderas indepen-diente de si las proposiciones que las forman son verdaderas o falsas.

Teorema 1.5 Para las proposiciones idénticamente verdaderas e idénticamente falsas, con todoP son ciertas las siguientes fórmulas:

P ∨ ¬P ∼= V; P ∨V ∼= V; P ∨ F ∼= P

P ∧ ¬P ∼= F; P ∧V ∼= P; P ∧ F ∼= F

Demostración


P P ∨ ¬ Q P ∨ V P ∨ F P ∧ ¬ P P ∧ V P ∧ FV V V V F V FF V V F F F F

Teorema 1.6 Las equivalencias siguientes

P→ Q ∼= ¬Q→ ¬P; ¬P→ Q ∼= ¬Q→ P

P→ ¬Q ∼= Q→ ¬P; ¬P→ ¬Q ∼= Q→ P

son identidades de la lógica proposicional.Demostración

P Q P → Q ¬ Q → ¬ P ¬ P → Q ¬ Q → PV V V V V VV F F F V VF V V V V VF F V V F F

P → ¬ Q Q → ¬ P ¬ P → ¬ Q Q → PF F V VV V V VV V F FV V V V

Teorema 1.7 Las equivalencias siguientes

¬(P ∨Q) ∼= ¬P ∧ ¬Q; ¬(P ∧Q) ∼= ¬P ∨ ¬Q

(P ∨Q) ∧ P ∼= P; (P ∧Q) ∨ P ∼= P

(P ∨Q) ∧Q ∼= Q; (P ∧Q) ∨Q ∼= Q

P→ Q ∼= ¬P ∨Q; P↔ Q ∼= (P→ Q) ∧ (Q→ P)

son identidades de la lógica proposicional.Demostración

P Q ¬(P ∨ Q) ¬ P ∧ ¬ Q ¬(P ∧ Q) ¬ P ∨¬ Q (P ∨ Q) ∧ P (P ∧ Q) ∨ PV V F F F F V VV F F F V V V VF V F F V V F FF F V V V V F F

(P ∨ Q)∧ Q (P ∧ Q) ∨ Q P → Q ¬ P ∨ Q P ↔ Q (P → Q) ∧ (Q → P)V V V V V VF F F F F FV V V V F FF F V V V V

Teorema 1.8 La conjunción es, con respecto a la disjunción en ambos lados, distributiva yviceversa, es decir, que las siguientes fórmulas son identidades de la lógica proposicional

P ∧ (Q ∨ R) ∼= (P ∧Q) ∨ (P ∧ R); (Q ∨ R) ∧ P ∼= (Q ∧ P) ∨ (R ∧ P)

P ∨ (Q ∧ R) ∼= (P ∨Q) ∧ (P ∨ R); (Q ∧ R) ∨ P ∼= (Q ∨ P) ∧ (R ∨ P)

Demostración


P Q R P ∧ (Q ∨ R) (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) (Q ∨ R) ∧ P (Q ∧ P) ∨ (R ∧ P)V V V V V V VV V F V V V VV F V V V V VV F F F F F FF V V F F F FF V F F F F FF F V F F F FF F F F F F F

P ∨ (Q ∧ R) (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) (Q ∧ R) ∨ P (Q ∨ P) ∧ (R ∨ P)V V V VV V V VV V V VV V V VV V V VF F F FF F F FF F F F

Teorema 1.9 Conjuntamente con la distributividad se cumple que la implicación, con respectoa las demás funciones veritativas, es distributiva a la derecha, pero no distributiva a la izquierda,es decir, que las siguientes fórmulas son de validez general

P→ (Q ∧ R) ∼= (P→ Q) ∧ (P→ R); P→ (Q ∨ R) ∼= (P→ Q) ∨ (P→ R)

P→ (Q→ R) ∼= (P→ Q)→ (P→ R); P→ (Q↔ R) ∼= (P→ Q)↔ (P→ R)

Demostración

P Q R P → (Q ∧ R) (P → Q) ∧ (P → R) P → (Q ∨ R) (P → Q) ∨ (P → R)V V V V V V VV V F F F V VV F V F F V VV F F F F F FF V V V V V VF V F V V V VF F V V V V VF F F V V V V

P → (Q → R) (P → Q) → (P → R) P → (Q ↔ R) (P → Q) ↔ (P → R)V V V VF F F FV V F FV V V VV V V VV V V VV V V VV V V V


Teorema 1.10 Si la conclusión, segundo miembro, de una implicación es igualmente una impli-cación, entonces las dos premisas (primeros miembros), se pueden unir formando una sola premisa

P→ (Q→ R) ∼= (P ∧Q)→ R; (P ∧Q)↔ R ∼= (P→ R) ∨ (Q→ R)

Demostración

P Q R P → (Q → R) (P ∧ Q) → R (P ∧ Q) ↔ R (P → R) ∨ (Q → R)V V V V V V VV V F F F F FV F V V V V VV F F V V V VF V V V V V VF V F V V V VF F V V V V VF F F V V V V

Ejemplo 1.27 Utilizando las leyes de la lógica proposicional, demostrar que:

(P ∧Q)↔ (P ∨Q) ∼= (P ∨Q)→ (P ∧Q).

Solución

(P ∧Q)↔ (P ∨Q) ∼= [(P ∧Q)→ (P ∨Q)] ∧ [(P ∨Q)→ (P ∧Q)]∼= [¬(P ∧Q) ∨ (P ∨Q)] ∧ [(P ∨Q))→ (P ∧Q)]∼= [(¬P ∨ ¬Q) ∨ (P ∨Q)] ∧ [(P ∨Q)→ (P ∧Q)]∼= (¬P ∨ ¬Q ∨ P ∨Q) ∧ [(P ∨Q)→ (P ∧Q)]∼= [(¬P ∨ P) ∨ (¬Q ∨Q)] ∧ [(P ∨Q)→ (P ∧Q)]∼= (V ∨V) ∧ [(P ∨Q)→ (P ∧Q)]∼= V ∧ [(P ∨Q)→ (P ∧Q)]∼= (P ∨Q)→ (P ∧Q).


[(P→ Q) ∧ ¬P]→ ¬Q ∼= Q→ P.

Solución

[(P→ Q) ∧ ¬P]→ ¬Q ∼= ¬[(P→ Q) ∧ ¬P] ∨ ¬Q∼= ¬[(¬P ∨Q) ∧ ¬P] ∨ ¬Q∼= ¬(¬P) ∨ ¬Q∼= P ∨ ¬Q∼= Q→ P.


[(P→ Q) ∧ (P→ R)]→ (Q→ R) ∼= Q→ (P ∨ R).


Solución

[(P→ Q) ∧ (P→ R)]→ (Q→ R) ∼= ¬[(¬P ∨Q) ∧ (¬P ∨ R)] ∨ (¬Q ∨ R)∼= ¬(¬P ∨Q) ∨ ¬(¬P ∨ R) ∨ (¬Q ∨ R)∼= (P ∧ ¬Q) ∨ (P ∧ ¬R) ∨ ¬Q ∨ R∼= ¬Q ∨ R ∨ (P ∧ ¬R)∼= ¬Q ∨ [(R ∨ P) ∧ (R ∨ ¬R)]∼= ¬Q ∨ [(R ∨ P) ∧V]∼= ¬Q ∨ (R ∨ P)∼= Q→ (P ∨ R).


[(P→ Q)→ R]→ [(Q→ P)→ R] ∼= (P ∧ ¬Q)→ R.

Solución

[(P→ Q)→ R]→ [(Q→ P)→ R] ∼= ¬[¬(¬P ∨Q) ∨ R] ∨ [¬(¬Q ∨ P) ∨ R]∼= ¬[(P ∧ ¬Q) ∨ R] ∨ [(Q ∧ ¬P) ∨ R]∼= [¬(P ∧ ¬Q) ∧ ¬R] ∨ [(Q ∧ ¬P) ∨ R]∼= [(¬P ∨Q) ∧ ¬R] ∨ [(Q ∧ ¬P) ∨ R]∼= [(¬P ∨Q) ∧ (Q ∧ ¬P) ∨ R] ∧ [¬R ∨ (Q ∧ ¬P) ∨ R]∼= [(¬P ∨Q ∨Q) ∧ (¬P ∨Q ∨ ¬P)] ∨ R ∧V∼= [(¬P ∨Q) ∧ (¬P ∨Q)] ∨ R∼= (¬P ∨Q) ∨ R∼= ¬(P ∧ ¬Q) ∨ R∼= (P ∧ ¬Q)→ R.


[(P→ Q)→ P]→ (P→ Q) ∼= P→ Q.

Solución

[(P→ Q)→ P]→ (P→ Q) ∼= ¬[¬(¬P ∨Q) ∨ P] ∨ (¬P ∨Q)∼= ¬[(P ∧ ¬Q) ∨ P] ∨ (¬P ∨Q)∼= ¬P ∨ ¬P ∨Q∼= ¬P ∨Q∼= P→ Q.

1.2.2. Tautologías y falaciasDefinición 1.16 TautologíaSi una proposición compuesta es siempre verdadera bajo todas sus interpretaciones, independien-temente de los valores de verificación de sus componentes, decimos que la proposición compuestaes una tautología.


Es decir, a un enunciado que es verdadero para todos los valores posibles de sus variablesproposicionales se le denomina tautología. Cuando se comprueba que una equivalencia es unatautología, significa que sus dos partes componentes son siempre o ambas verdaderas o ambasfalsas, para cualesquier valores de las variables proposicionales. Por tanto los dos lados son sólodiferentes maneras de proponer el mismo enunciado y se dice que son logicamente equivalentes.

Definición 1.17 FalaciaUna fórmula G es una falacia, si ¬G es una tautología.

Ejemplo 1.32 Utilizando una tabla de verdad, determinar si la fórmula

G = (P→ Q)→ (¬P ∨Q)

es tautología.Solución

P Q P → Q ¬ P ∨ Q (P → Q) → (¬ P ∨ Q)V V V V VV F F F VF V V V VF F V V V

Por lo tanto G si es tautología.


G = (Q→ P)→ (P→ Q)


P Q Q → P P → Q (Q → P) → (P → Q)V V V V VV F V F FF V F V VF F V V V

Por lo tanto G no es tautología.


G = (P→ Q)↔ (¬Q→ ¬P)


P Q P → Q ¬ Q → ¬ Q (P → Q) ↔ (¬ Q → ¬ P)V V V V VV F F F VF V V V VF F V V V




G = (P↔ Q)↔ [(P→ Q) ∧ (Q→ P)]


P Q P ↔ Q (P → Q) ∧ (Q → P (P ↔ Q) ↔ [(P → Q) ∧ (Q → P)]V V V V VV F F F VF V F F VF F V V V



G = [(P→ Q) ∧ (Q→ R)]→ (P→ R)


P Q R (P → Q) ∧ (Q → P P → Q [(P → Q) ∧ (Q → R)] → (P → R)V V V V V VV V F F F VV F V F V VV F F V F VF V V V V VF V F F V VF F V V V VF F F V V V



G = [P→ (Q→ R)]↔ [(P→ Q)→ R]


P Q R (P → (Q → R) (P → Q) → R [P → (Q → R)] ↔ [(P → Q) → R]V V V V V VV V F F F VV F V V V VV F F V V VF V V V V VF V F V F FF F V V V VF F F V F F

Por lo tanto G no es tautología.


1.2.3. Tarea1. Construya la tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones:

a) (P→ Q)→ [(P ∨ ¬ Q)→ (P ∧Q)]; b) [(P ∨Q) ∧ R]→ (P ∧ ¬Q);c) [(P↔ Q) ∨ (P→ R)]→ (¬Q ∧ P)]; d) P ∨ P; e) (P ∨ Q) ∨ R;f) (P ∨ P) ∨ P; g) P ∨ Q; h) ¬(P↔ Q).Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) .

2. Utilizando las leyes de la lógica proposicional, demostrar que

P ∨ Q ∼= (P ∨Q) ∧ ¬(P ∧Q)

Resp: .

3. Utilizando las leyes de la lógica proposicional, demuestre o refute:a) P ∨ Q ∼= (P ∨Q) ∧ ¬(P ∧Q); b) P ∨ (Q→ R) ∼= (P ∨ Q)→ (P ∨ R);c) (P ∨ Q) ∨ R ∼= P ∨ (Q ∨ R).Resp: a) ; b) ; c) .

4. Simplifique las siguientes fórmulas y diga cuales son tautologías y cuales falacias:a) P ∨ (¬P ∧ ¬Q)] ∨ (P ∧ ¬Q); b) (P ∧Q) ∨ [(R ∨ P) ∧ ¬Q].Resp: a) ; b) .

5. Simplifique las siguientes fórmulas y diga cuales son tautologías y cuales falacias:a) (R ∧Q) ∨ (P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (¬P ∧ ¬Q ∧ R); b) (P→ Q) ∧ ¬(R→ Q);c) (¬P ∨Q) ∧ ¬Q ∧ [¬(R ∧Q)→ P].Resp: a) ; b) ; c) .

6. Simplifique las siguientes fórmulas y diga cuales son tautologías y cuales falacias:a) (P ∧Q) ∧ (R ∨ ¬S) ∧ (P→ S); b) (¬P ∨Q) ∧ (¬P→ R) ∧ ¬R;c) (P ∧Q) ∧ (P→ R) ∧ (Q→ S).Resp: a) ; b) ; c) .

7. Simplifique las siguientes fórmulas y diga cuales son tautologías y cuales falacias:a) (P ∨Q) ∧ ¬Q ∧ (P→ R); b) (P ∧Q) ∧ (P→ ¬R) ∧ (Q→ ¬R);c) (P→ ¬Q) ∧Q ∧ (¬P→ (R ∨ S)].Resp: a) ; b) ; c) .

8. Simplifique las siguientes fórmulas y diga cuales son tautologías y cuales falacias:a) (P→ S) ∧ (P ∧Q) ∧ [(S ∧ R)→ ¬T] ∧ (Q→ R);b) ¬P ∧ (Q→ P) ∧ [(¬Q ∨ R)→ S];c) (P ∧ ¬Q) ∧ (R→ Q) ∧ (R ∨ S) ∧ [(S ∨ P)→ T].Resp: a) ; b) ; c) .

9. Simplifique las siguientes fórmulas y diga cuales son tautologías y cuales falacias:a) (P↔ Q)↔ [(P→ Q) ∧ (Q→ P)]; b) [(P→ Q) ∧ (Q→ R) ∧ P]→ R;c) [P→ (Q ∨ R)] ∧ (Q→ ¬R) ∧ [(S→ ¬R) ∧ P]→ ¬S.Resp: a) ; b) ; c) .

1.3. Transformación de fórmulasLa igualdad de los valores de verdad de dos proposiciones la hemos demostrado hasta ahora

utilizando las tablas completas de valores de verdad. Con su ayuda pudimos decidir si una fórmula


dada es o no una identidad de la lógica proposicional.

Por esta vía hemos conocido mumerosas fórmulas con las tablas de valores. Otras identidades,es decir; las leyes de la lógica proposicional, las obtenemos a partir de las fórmulas dadas y me-diante sustituciones o transformaciones en fórmulas equivalentes.

En esta sección veremos cómo obtener equivalencias e implicaciones lógicas sin utilizar tablasde verdad. También explicaremos el significado de teorema y de demostración. Empezaremos condos reglas útiles, que sin embargo deben manejarse con cuidado.

Teorema 1.11 Si en una fórmula de validez general, es decir, en una identidad de la lógicaproposicional, se sustituye una variable proposicional por una fórmula cualquiera en todos los lu-gares donde se presenta la fórmula correspondiente, entonces se obtiene nuevamente una fórmulade validez general.

Teorema 1.12 Cuando en una fórmula G se sustituye una cierta subfórmula G1 por una fór-mula G2, que toma los mismos valores de verdad que G1, entonces la fórmula obtenida F tiene losmismos valores de verdad que la fórmula G. La fórmula G, una vez sustituida G1 debe sustituirsepor G2 en todos los lugares donde esta se presenta.

Ejemplo 1.38 Consideremos la proposición

G ∼= [P ∧ (P→ Q)]→ Q

que es una tautología. Si reemplazamos, cada vez que aparece P, por la proposición

G1∼= Q→ R

obtenemos la tautologíaH ∼= [(Q→ R) ∧ ((Q→ R)→ Q)]→ Q.

Si en cambio reemplazamos Q, cada vez que aparece, por G1, obtenemos la tautología

H ∼= [P ∧ (P→ (Q→ R))]→ (Q→ R).

Ejemplo 1.39 Consideremos la proposición

G ∼= ¬[(P→ Q) ∧ (P→ R)]→ [Q→ (P→ R)]

que no es una tautología. Obtenemos proposiciones lógicamente equivalentes si reemplazamos P→ Qpor su equivalencia lógica ¬P ∨Q o si reemplazamos una o las dos veces que aparece P→ R por¬P ∨ R. Podemos también reemplazar (P→ Q) ∧ (P→ R) por P→ (Q ∧ R). De esta manera Ges lógicamente equivalente a las siguientes proposiciones entre otras:

¬[(¬P ∨Q) ∧ (P→ R)]→ [Q→ (P→ R)]

¬[(P→ Q) ∧ (¬P ∨ R)]→ [Q→ (P→ R)]

¬[(P→ (Q ∧ R)]→ [Q→ (¬P ∨ R)].

Definición 1.18 Fórmula válidaUna fórmula G es válida o constituye una tautología, si y sólo si es verdadera bajo todas lasinterpretaciones. En caso contrario la fórmula G es inválida.


Definición 1.19 Fórmula inconsistenteUna fórmula G se denomina inconsistente o insatisfactible, si y sólo si es falsa bajo todas lasinterpretaciones. En caso contrario la fórmula G es consistente o satisfactible.

De las definiciones anteriores, las observaciones siguientes son obvias:

1. Una fórmula es válida, si y sólo si su negación es inconsistente.

2. Una fórmula es inconsistente, si y sólo si su negación es válida.

3. Una fórmula es inválida, si y sólo si hay por lo menos una interpretación bajo la cual lafórmula es falsa.

4. Una fórmula es inconsistente, si y sólo si hay por lo menos una interpretación bajo la cualla fórmula es verdadera.

5. Si una fórmula es válida, entonces es consistente pero no viceversa.

6. Si una fórmula es inconsistente, entonces es inválida pero no viceversa.

Ejemplo 1.40 Verificar la validez o inconsistencia de la fórmula:

[(P→ Q) ∧ (Q→ R)]→ (P→ R)

Solución

P Q R (P → Q) ∧ (Q → R) P → R [(P → Q) ∧ (Q → R)] → (P → R)V V V V V VV V F F F VV F V F V VV F F V F VF V V V V VF V F F V VF F V V V VF F F V V V

Por lo tanto G es una fórmula válida.

Ejemplo 1.41 Verificar la validez o inconsistencia de la fórmula:

[(P→ (Q→ R)]↔ [(P→ Q)→ R]

Solución

P Q R (P → (Q → R) (P → Q) → R [(P→ (Q→ R)]↔ [(P→ Q)→ R]V V V V V VV V F F F VV F V V V VV F F V V VF V V V V VF V F V F FF F V V V VF F F V F F

Por lo tanto G no es una fórmula válida.


1.3.1. Formas normalesEn lógica matemática es muy importante el poder transformar fórmulas de una forma a otra,

especialmente a las denominadas formas normales. Para lograr estas transformaciones de fórmulas,se utiliza el concepto de equivalencias de fórmulas.

Definición 1.20 Fórmulas equivalentesLas fórmulas G y H son equivalentes si los valores de verdad de G y H son los mismos bajo todaslas interpretaciones de estas fórmulas.

Por supuesto que nuestro interés no se limita a estudiar una simple clasificación de los enun-ciados del lenguaje; pero tampoco intentamos internarnos en el fascinante mundo de la deducciónlógica sin antes estar seguros de conocer y comprender algunos conceptos elementales. Las dosformas normales que nos interesa obtener y que son utilizadas en prueba mecánica de teoremas,son la forma normal conjuntiva y la forma normal disjuntiva.

Definición 1.21 Forma normal conjuntivaUna fórmula G se dice que está en forma normal conjuntiva si y sólo si G tiene la forma

G ∼= G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn n ∈ N

donde cada una de las fórmulas G1, G2, ..., Gn, se expresan como una conjunción de literales.

Ejemplo 1.42 Expresar la fórmula

G ∼= (Q→ P)→ (P→ Q)

en forma normal conjuntiva.Solución

(Q→ P)→ (P→ Q) ∼= ¬(Q→ P) ∨ (P→ Q)∼= ¬(¬Q ∨ P) ∨ (P→ Q)∼= (Q ∧ ¬P) ∨ (P→ Q)∼= [Q ∨ (P→ Q)] ∧ [¬P ∨ (P→ Q)].


G ∼= (P↔ Q)↔ [(P→ Q) ∧ (Q→ P)]


(P↔ Q)↔ [(P→ Q) ∧ (Q→ P)] ∼= (P↔ Q)↔ (P↔ Q)∼= [(P↔ Q)→ (P↔ Q)] ∧ [(P↔ Q)→ (P↔ Q)].

Definición 1.22 Forma normal disjuntivaUna fórmula G se dice que está en forma normal disjuntiva si y sólo G si tiene la forma

G ∼= G1 ∨G2 ∨ · · · ∨Gn n ∈ N

donde cada una de las fórmulas G1, G2, ..., Gn, se expresan como una disjunción de literales.



G ∼= (Q→ P)→ (P→ Q)

en forma normal disjuntiva.Solución

(Q→ P)→ (P→ Q) ∼= ¬(Q→ P) ∨ (P→ Q)


G ∼= (P↔ Q)↔ [(P→ Q) ∧ (Q→ P)]


(P↔ Q)↔ [(P→ Q) ∧ (Q→ P)] ∼= (P↔ Q)↔ (P↔ Q)∼= [(P↔ Q)→ (P↔ Q)] ∧ [(P↔ Q)→ (P↔ Q)]∼= (P↔ Q)→ (P↔ Q)∼= ¬(P↔ Q) ∨ (P↔ Q)

Un hecho que es muy importante anotar, es que cualquier fórmula de la lógica proposicionalpuede ser transformada a una de las formas normales, utilizando las leyes de la lógica proposicional.

1.3.2. Consecuencias lógicasDefinición 1.23 Consecuencia lógicaDadas las fórmulas G1, G2, ..., Gn y una fórmula G, G se denomina consecuencia lógica de G1,G2, ..., Gn si y sólo si para cualquier interpretación en la cual G1 ∧ G2 ∧ · · · ∧ Gn es verdad, Gtambién lo es G1, G2, ..., Gn se denominan axiomas de G.

Teorema 1.13 Dadas las fórmulas G1, G2, ..., Gn y una fórmula G, G es una consecuencialógica de G1, G2, ..., Gn si y sólo si la fórmula (G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn)→ G es válida.Demostración⇒ Suponga que G es una consecuencia lógica de G1, G2, ..., Gn. Sea I una interpretación ar-bitraria. Si G1, G2, ..., Gn son verdaderos en I, entonces por definición de consecuencia lógicaG es verdadero en I. Entonces (G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn)→ G es verdadero en I. Por otra parte, siG1, G2, ..., Gn son falsos en I, entonces (G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn)→ G es verdadero en I. Así, de-mostramos que (G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn)→ G es verdadero bajo cualquier interpretación. Esto es,(G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn)→ G es una fórmula válida.⇐ Supongamos que (G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn)→ G es una fórmula válida. Para cualquier interpreta-ción I, si G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn es verdadero en I, G debe ser verdadero en I. Por consiguiente G esuna consecuencia lógica de G1, G2, ..., Gn.

Ejemplo 1.46 Sean

G1 P ∨ (¬Q→ R)G2 ¬(P ∨ S) ∧ ¬RG Q

Pruebe si G es consecuencia lógica de G1 y G2.Solución


Debemos probar que la fórmula {[P ∨ (¬Q→ R)] ∧ [¬(P ∨ S) ∧ ¬R]} → Q, es verdadera o falsa,decir:

{[P ∨ (¬Q→ R)] ∧ [¬(P ∨ S) ∧ ¬R]} → Q ∼= ¬{[P ∨ (Q ∨ R)] ∧ [¬P ∨ ¬S ∧ ¬R]} ∨Q∼= ¬[(P ∨Q ∨ R) ∧ (¬P ∨ ¬S ∧ ¬R)] ∨Q∼= (¬P ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ (P ∨ S ∨ R) ∨Q∼= ¬(P ∨Q ∨ R) ∨ (P ∨Q ∨ R) ∨ S∼= V.

Lo cual indica que G es consecuencia lógica de G1 y G2.

Ejemplo 1.47 Sean

G1 P→ Q)G2 Q→ RG3 ¬RG ¬R

Pruebe si G es consecuencia lógica de G1, G2 y G3.SoluciónDebemos probar que la fórmula [(P→ Q) ∧ (Q→ R) ∧ ¬R]→ ¬R, es verdadera o falsa, decir:

[(P→ Q) ∧ (Q→ R) ∧ ¬R]→ ¬R ∼= ¬[(¬P ∨Q) ∧ (¬Q ∨ R) ∧ ¬R] ∨ ¬R∼= ¬(¬P ∨Q) ∧ ¬(¬Q ∨ R) ∨ (R ∨ ¬R)∼= V.

Lo cual indica que G es consecuencia lógica de G1, G2 y G3.

Teorema 1.14 Dadas las fórmulas G1, G2, ..., Gn y una fórmula G, G es una consecuencialógica de G1, G2, ..., Gn si y sólo si la fórmula G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn ∧G es inconsistente.DemostraciónPor el teorema anterior, G es una consecuencia lógica de G1, G2, ..., Gn si y sólo si la fórmula(G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn)→ G es válida. Así, G es una consecuencia lógica de G1, G2, ..., Gn si y sólosi la negación de (G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn)→ G es inconsistente

¬[(G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn)→ G] ∼= ¬[¬(G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn) ∨G]∼= ¬¬(G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn) ∧ ¬G∼= (G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn) ∧ ¬G∼= G1 ∧G2 ∧ · · · ∧Gn ∧ ¬G

Por lo tanto, concluimos que el teorema es verdadero.

Ejemplo 1.48 Sean

G1 P ∨ (¬Q→ R)G2 ¬(P ∨ S) ∧ ¬RG Q

Pruebe si G es consecuencia lógica de G1 y G2.Solución


Debemos probar que la fórmula {[P ∨ (¬Q→ R)] ∧ [¬(P ∨ S) ∧ ¬R]} ∧ ¬Q, es verdadera o falsa,decir:

{[P ∨ (¬Q→ R)] ∧ [¬(P ∨ S) ∧ ¬R]} ∧ ¬Q ∼= [(P ∨Q ∨ R) ∧ (¬P ∧ ¬S ∧ ¬R)] ∧ ¬Q∼= (P ∨Q ∨ R) ∧ (¬P ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∧ ¬S∼= (P ∨Q ∨ R) ∧ ¬(P ∨Q ∨ R) ∧ ¬S∼= F.

Lo cual indica que G es consecuencia lógica de G1 y G2.

Ejemplo 1.49 Sean

G1 P→ Q)G2 Q→ RG2 ¬RG ¬R

Pruebe si G es consecuencia lógica de G1, G2 y G3.SoluciónDebemos probar que la fórmula [P→ Q) ∧ (Q→ R) ∧ ¬R] ∧ R, es verdadera o falsa, decir:

[P→ Q) ∧ (Q→ R) ∧ ¬R] ∧ R ∼= (P→ Q) ∧ (Q→ R) ∧ (¬R ∧ R)∼= F.

Lo cual indica que G es consecuencia lógica de G1, G2 y G3.

1.3.3. Tarea1. Determine la validez o inconsistencia, luego transforme a una de sus formas normales las

siguientes fórmulas::a) [P ∨ (¬P ∧ ¬Q)] ∨ (P ∧ ¬Q);b) (P ∧Q) ∨ [(R ∨ P) ∧ ¬Q];c) (R ∧Q) ∨ (P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (¬P ∧ ¬Q ∧ R);d) (¬P ∨Q) ∧ ¬Q ∧ [¬(R ∧Q)→ P].Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

2. Determine la validez o inconsistencia, luego transforme a una de sus formas normales lassiguientes fórmulas:a) (P ∧Q) ∧ (R ∨ ¬S) ∧ (P→ S);b) (¬P ∨Q) ∧ (¬P→ R) ∧ ¬R;c) (P ∧Q) ∧ (P→ R) ∧ (Q→ S);d) (P ∨Q) ∧ ¬Q ∧ (P→ R);e) (P ∧Q) ∧ (P→ ¬R) ∧ (Q→ ¬R);f) [(P→ Q) ∧ (Q→ R) ∧ P]→ R.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

3. Determine la validez o inconsistencia, luego transforme a una de sus formas normales lassiguientes fórmulas:a) (P→ ¬Q) ∧Q ∧ [¬P→ (R ∨ S)];b) (P→ S) ∧ (P ∧Q) ∧ [(S ∧ R)→ ¬T] ∧ (Q→ R);c) ¬P ∧ (Q→ P) ∧ [(¬Q ∨ R)→ S];


d) (P ∧ ¬Q) ∧ (R→ Q) ∧ (R ∨ S) ∧ [(S ∨ P)→ T];e) (P↔ Q)↔ [(P→ Q) ∧ (Q→ P)];f) [P→ (Q ∨ R)] ∧ (Q→ ¬R) ∧ [(S→ ¬R) ∧ P]→ ¬S.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

4. Decir cual de los siguientes enunciados son consecuencia lógica:a)

G1 (P ∨Q)→ R)G2 S ∧ TG3 U→ ¬LG4 P ∨UG5 S→ LG R

b)

G1 (P→ Q)→ RG2 ¬R ∨ SG3 ¬(P ∧ ¬Q)G4 (S ∨ T)→ UG U

c)

G1 ¬(P ∨Q)→ (R ∨ S)G2 ¬(P ∨Q)G3 ¬(R ∨ S) ∨ (T ∧U)G T ∧U

Resp: a) ; b) ; c) .

5. Los alumnos son estudiosos o los estudiosos reprueban. Si los estudiosos reprueban, enton-ces los inteligentes son felices o los alumnos no son estudiosos. Los alumnos son estudiososy los inteligentes no son felices. No es verdad que los inteligentes son felices. Los estudiantesno reprueban?Resp: .

6. Juego fútbol o estudio. Si paso el examen no estudio. Sucede que no voy a jugar fútbol.En consecuencia no pasé el examen.Resp: .

7. La lógica es fácil. Si el álgebra es hermosa, entonces la Lógica no es fácil o la Matemáticaes la reina de las ciencias. El Algebra es hermosa. En consecuencia, la Matemática es la reinade las ciencias.Resp: .

8. Ayer no fue miércoles o mañana no es martes. Hoy es jueves y ayer fue miércoles. Hoy eslunes si y sólo si mañana es martes. En consecuencia, hoy es lunes.Resp: .


9. Luis hará un viaje a Europa si logra terminar su carrera. Luis termina su carrera, y sihace un viaje a Europa, entonces no asiste a nuestra reunión anual. En consecuencia, Luisno asistirá a nuestra reunión anual.Resp: .

10. Si faltan ejercicios o encuentro premisas, entonces acabo la tarea. Si el libro está claro y nome falta creatividad, entonces encuentro premisas. No acabo la tarea. En consecuencia mefalta creatividad o el libro no está claro.Resp: .

11. Si ganamos el campeonato, recibimos el premio. Si jugamos y ganamos el campeonato,recibiremos el premio. Jugaremos y ganaremos el campeonato. En consecuencia, recibiremosel premio.Resp: .

12. Repruebo el examen o sigo mis estudios. Si repruebo el examen, perderé la beca y me iréde la ciudad. No perderé la beca o no me iré de la ciudad. Luego, seguire estudiando.Resp: .

13. Los aviones son veloces o las diligencias respetan los semáforos. Si los hombres vuelan y lasbicicletas no contaminan, entonces no es verdad que las diligencias respetan los semáforos.Los hombres vuelas y las bicicletas no contaminan. En conclusión, los aviones son veloces.Resp: .

1.4. Expresiones de la lógica de predicadosEl cálculo proposicional es una teoría de la lógica, completa y autónoma, pero totalmente inade-

cuada para la mayor parte de las matemáticas. El problema reside en que el cálculo proposicionalno permite el uso de un número infinito de proposiciones. Además, la notación es difícil para ma-nejar un gran número finito de proposiciones.

Por ejemplo, con frecuencia encontramos una sucesión infinita de proposiciones P (x) con índi-ces en N. La afirmación informal ¨P (x) es verdadera para toda x¨ significa ¨P (0) es verdadera,P (1) es verdadera, P (2) es verdadera, etc.¨ El único simbolismo que podríamos utilizar, según elcálculo proposicional sería P (0)∧P (1)∧P (2)∧ ..., pero no es aceptable en el cálculo proposicional.

En forma similar, la afirmación informal ¨P (x) es verdadera para alguna x¨ correspondería alinaceptado P (0)∨P (1)∨P (2)∨ .... Para darle la vuelta a este problema, necesitamos dos símbolosnuevos: uno que signifique ¨para todo¨ y otro que signifique ¨para algún¨.

Entonces necesitamos saber las reglas para utilizar los nuevos símbolos y combinarlos con losviejos. Este sistema de símbolos y reglas se llama cálculo de predicados. Los nuevos símbolos queintroduciremos se llaman cuantificadores.

Supongamos que {P (x)/x ∈ U} es una familia con índices en un conjunto U que puede seinfinito; el conjunto U se llama el dominio de individuos o universo de individuos.

Mediante la introducción de ëxiste ...¨ es confirmada la existencia de por lo menos un elementodel conjunto base que satisface la forma proposicional dada. Esta proposición es una proposiciónexistencial. Proposiciones con la formulación una parte, casi todo, la mayoría, algunos, etc., son


también proposiciones existenciales. Cuando hablamos de proposiciones existenciales, nos referi-mos también a proposiciones particulares, ya que estas no se refieren a todos los elementos delconjunto que nos interesa, sino solo a una parte. En este caso denominamos a la cuantificación,particularidad.

De forma análoga, se denomina a las proposiciones en que aparece la formulación ¨para todos¨,proposiciones universales o generales, ya que estas se refieren a todos los elementos del conjunto devariables. Tal cuantificación se denomina también generalización. La cuantificación particularidady generalización son operaciones de la lógica de predicados.

Partiendo de las formas proposicionales relacionadas previamente con los operadores, tales comoëxiste ...¨, ¨para todo ...¨, ¨no existe ningún ...¨, hemos obtenido proposiciones falsas o verdade-ras. Para estos operadores denominados también cuantificadores, se han introducido en la lógicamatemática signos especiales.

El cuantificador existencial (particularizador) ëxiste (por lo menos) un ...¨ es simbolizado con?∃. Si el símbolo ∃? se encuentra ante una forma proposicional P (x), esto quiere decir que existepor lo menos un elemento del conjunto fundamental que posee la propiedad reflejada en la formaproposicional P (x). Utilizamos las escrituras ¨∃ x P (x)¨.

La tachadura vertical o la relación que se establece entre el símbolo ¨∃¨ y el símbolo 6̈ ∃¨, debeexpresar que no existe ningún elemento del conjunto fundamental que posea la propiedad indicadaen la forma proposicional P (x).

El cuantificador universal (operador universal, generalizador) ¨para todo ...¨ se representa conel símbolo ¨∀¨. Si el símbolo ¨∀¨ se encuentra ante una forma proposicional P (x), esto quieredecir que la propiedad reflejada en la forma proposicional P (x) es aplicable para cada elementodel dominio de individuos. El cuantificador universal forma pareja con una variable, ∀ x, significa,¨para todo x ...¨.

La tachadura vertical o la relación que se establece entre el cuantificador universal y el símbolo6̈ ∀¨ debe expresar que la propiedad reflejada en P (x) no es aplicable para todos los elementos deldominio de individuos.

La lógica de predicados o lógica de primer grado, nos enseña que para la cuantificación sóloson admisibles las variables de individuos. Las variables de individuos cuantificados dejan de servariables libres para convertirse en variables ligadas. Para crear expresiones de la lógica de predi-cados utilizamos además de los símbolos para las variables de individuos, constantes de individuos,variables predicativas, cuantificadores y los conectores de la lógica proposicional.

En la lógica proposicional comprobamos el valor de verdad de una expresión mediante la sus-titución de las variables de dicha expresión por sus valores de verdad, teniendo en cuenta lasdisposiciones correspondientes. El valor de verdad de una expresión de la lógica de predicadosdepende no solo del cuantificador sino también de las variables de individuos y del conjunto de in-dividuos tomado como base, así como de la sustitución o interpretación de las variables predicativas.

A la proposición compuesta ∀ x P (x) se le asignan valores de verdad de la manera siguiente:¨∀ x P (x) es verdadero si P (x) es verdadero para toda x en U ; en cualquier otro caso ∀ x P (x) esfalsa¨


La proposición compuesta ∃ x P (x) tiene los siguientes valores de verdad:¨∃ x P (x) es verdadero si P (x) es verdadera para al menos una x en U ; ∃ x P (x) es falso si P (x)es falsa para toda x en U¨

Analicemos la proposición ∀ x P (x) de manera más detallada. La expresión P (x) se llamapredicado. Para formar una oración hay que tener un sujeto. Por ejemplo, el predicado ¨... es maspoblada que Quito¨ se transforma en la oración ¨Guayaquil es mas poblada que Quito¨ al dar co-mo sujeto Guayaquil. Si llamamos P al predicado la oración podría escribirse como P (Guayaquil).Cada sujeto da una oración.

En nuestra lógica simbólica dar un predicado es establecer una función que produce una proposi-ción siempre que le demos un elemento del dominio de individuos, esto es, una función proposicional- valuada con dominio de individuos U . Seguimos nuestra práctica usual y denotamos tal funciónpor P (x). La variable x en la expresión P (x) se llama variable libre del predicado. En tanto xvaría en U los valores de verdad de P (x) pueden variar. En contraste, la proposición ∀ x P (x)tiene un significado fijo y un valor de verdad que no varía con x. La variable x en ∀ x P (x) sellama variable acotada; está acotada por el cuantificador ∀. Como ∀ x P (x) tiene un significado fijoy un valor de verdad sería inútil y poco natural cuantificarla de nuevo. Esto es, sería vano intro-ducir ∀ x[∀ x P (x)] y ∃ x[∃ x P (x)] ya que sus valores de verdad son los mismos que los de ∀ x P (x).

Podemos también considerar predicados que son funciones de más de una variable, posiblementede más de un dominio de individuos, y en tales casos el uso de varios cuantificadores resulta natural.

Ejemplo 1.50 Con estos ejemplos en mente vamos a dar una descripción más detallada yformal. Sean U1, U2, ..., Un conjuntos no vacíos. Un predicado de n argumentos sobre U1 x U2

x ... x Un es una función P (x1, x2, ..., xn) con dominio de individuos U1 x U2 x ... x Un y losvalores de la función son proposiciones. Las variables x1, x2, ..., xn para P (x1, x2, ..., xn) son todasvariables libres para el predicado y cada xj varía en su correspondiente dominio de individuos Uj . Eltérmino ¨libre¨ es la abreviación de ¨libre para sustitución¨, queriendo decir que la variable xj estádisponible en caso de que queramos sustituir un valor particular de Uj cada vez que aparezca xj .Si sustituimos xj por un valor, digamos que por ejemplo sustituimos x1 por a, en P (x1, x2, ..., xn)obtenemos el predicado P (a, x2, ..., xn) que es libre en las restantes n− 1 variables x2, ..., xn peroya no lo es en x1. Al aplicar un cuantificador ∀xj o ∃xj a un predicado P (x1, x2, ..., xn) obtenemosun predicado ∀xj P (x1, x2, ..., xn) o ∃xj P (x1, x2, ..., xn) cuyos valores dependen únicamente de lasrestantes n− 1 variables. Decimos que el cuantificador liga la variable xj , haciendo que xj sea unavariable acotada para el predicado. Al aplicar n cuantificadores, uno para cada variable, obtenemosque todas las variables estén acotadas y obtenemos una proposición cuyo valor de verdad puededeterminarse aplicando las reglas para ∀x y ∃x, para los dominios de individuos U1, U2 , ..., Un.

Ejemplo 1.51 Anteriormente notamos que un predicado de n argumentos se transforma enun predicado de (n − 1) argumentos cuando se liga una de las variables con un cuantificador. Suvalor de verdad depende de los valores de verdad de las restantes (n − 1) variables libres y enparticular no depende de qué nombre elijamos para llamar la variable acotada. De esta manera siP (x) es predicado de un argumento con dominio de individuos U , entonces ∀x P (x), ∀y P (y) y∀z P (z) tienen todas el mismo valor de verdad, es decir P (n), es verdadero para toda n en U yfalso en cualquier otro caso. De manera semejante, si Q(x, y) es un predicado de dos argumentoscon dominio de individuos U y V , entonces ∃y Q(x, y), ∃t Q(x, t) y ∃s Q(x, s) describen todas elmismo predicado de un argumento, a saber, el predicado que es verdadero para una x dada en Usi y sólo si Q(x, V ) es verdadero para alguna V en V que es el dominio de la segunda variable. Porotro lado, el predicado ∃x Q(x, x), no es el mismo que los tres últimos. La diferencia consiste en


que el cuantificador en este caso liga las dos variables libres.Otra práctica común es dar una descripción del dominio de individuos justo después de la variablecuantificada. Por ejemplo, en lugar de ¨sea R el dominio de individuos ... ∀x P (x)¨ podríamosescribi ∀x ∈ R P (x). De manera similar, ∃x ∈ R ∀n ∈ P (xn > x) se lee como ¨hay un número realx tal que para toda n en P, xn > x¨ o como ¨hay un número real x tal que xn > x para toda n enP¨.

1.4.1. Leyes de la lógica de predicadosLas ideas de demostración y de teorema que se discutió para el cálculo proposicional, pueden

extenderse al ámbito del cálculo de predicados. No es sorprendente que con más expresiones po-sibles tengamos también mayores complicaciones. Una relación moderadamente completa de estetema puede formar una parte sustancial de otro libro. En esta sección nos limitaremos a discutiralgunas de las más básicas y útiles conexiones entre los cuantificadores y los operadores lógicos.En el capítulo anterior utilizamos la expresión proposición compuesta de manera informal paradescribir proposiciones construidas a partir de proposiciones más simples.

Las leyes de la lógica de predicados que no se pueden obtener por medio de la sustitución delas leyes de la lógica proposicional, son por ejemplo:

1. ∀x P (x)→ P (a)∀x P (x) → P (a) prueba que, si cada individuo de un conjunto posee una determinadapropiedad P , entonces existe también un individuo determinado a que posee esta propiedad.

2. P (a)→ ∃x P (x)P (a) → ∃x P (x) prueba que, si un individuo determinado de un conjunto de individuosposee una determinada propiedad P , existe entonces, por lo menos un individuo a con estapropiedad.

Toda expresión de la lógica proposicional con validez general puede convertirse en una expresiónde la lógica de predicados con validez general, pero el recíproco es falso.

Podríamos intentar obtener, por medio de la ssustitución de una expresión de la lógica pro-posicional satisfactible sin validez general, una expresión de la lógica de predicados igualmentesatisfactible, pero sin validez general. Pongamos por ejemplo en la neutralidad de la lógica propo-sicional P ∧ Q para la variable proposicional

P ∼= ∀x[P (x) ∨ ¬P (x)]

y paraQ ∼= ∃x[P (x) ∧ ¬P (x)]

de esta forma obtenemos la expresión

∀x[P (x) ∨ ¬P (x)] ∧Q ∼= ∃x[P (x) ∧ ¬P (x)].

Esta expresión es una contradicción.

Por el contrario resulta que: ¨Toda expresión de la lógica proposicional, no ejecutable, satisfac-tible, es también una expresión de la lógica de predicados, no ejecutable, satisfactible¨.

Algunas equivalencias de la lógica de predicados, que expresan la relación que se establece entrelos cuantificadores ∀ y ∃ reciben especial atención. Una equivalencia de la lógica de predicados tiene


tanta validez general como una equivalencia de la lógica proposicional, si coinciden en cada casolos valores de verdad de ambos términos en iguales sustituciones de sus variables.

Se obtiene una proposición verdadera en cada sustitución de las variables del dominio, a partirde un conjunto no vacío dado, y en cada sustitución de las variables del predicado P. Esta expre-sión es una forma, en la lógica de predicados del conocido teorema del tercer excluido de la lógicaproposicional.

Las identidades de la lógica de predicados (leyes) se pueden obtener de las identidades lógicasproposicionales si las variables son sustituidas por formas proposicionales de la lógica de predicadosen las expresiones de la lógica proposicional correspondiente.

En muchos casos nos encontramos que estas expresiones tienen que ver con formas proposicio-nales, que se han obtenido mediante la combinación de dos o más proposiciones como dos formasproposicionales. La traducción de expresiones de la lógica de predicados en el lenguaje común esgeneralmente más fácil que la traducción en dirección contraria. Sobre todo existen dificultadescuando se presentan, por ejemplo, dos o más operadores.

Teorema 1.15 Las siguientes equivalencias son válidas:

∀x ∀y P (x, y) ∼= ∀y ∀x P (x, y) y ∃x ∃y P (x, y) ∼= ∃y ∃x P (x, y)

DemostraciónPara demostrar que ∃x ∃y P (x, y) ∼= ∃y ∃x P (x, y) es una tautología, debemos revisar que estaproposición es verdadera para todos los dominios del discurso posibles. Por la definición de ↔,necesitamos revisar solamente que ∃y ∃x P (x, y) es verdadera para un dominio dado si y sólo si∃x ∃y P (x, y) es verdadera para ese dominio.Supongamos que ∃x ∃y P (x, y) tiene valor verdadero. Entonces ∃y P (x0, y) es verdadera paraalguna x0 en el universo, por lo tanto P (x0, y0) es verdadera para alguna y0 en el dominio. De ahíque ∃x P (x, y0) es verdadera y por lo tanto ∃y ∃x P (x, y) es verdadera. La implicación en la otradirección es similar.Más aún, las dos proposiciones ∃x ∃y P (x, y) y ∃y ∃x P (x, y) son lógicamente equivalentes a laproposición ∃(x, y) P (x, y) donde (x, y) varía sobre D1 x D2, con D1 y D2 los dominios del discursode las variables x e y respectivamente.

Teorema 1.16 Es válida la siguiente identidad:

∃x ∃y P (x, y) ∼= ∀y ∃x P (x, y)

DemostraciónPara poder demostrar este teorema, asumimos que si la parte izquierda de esta proposición esverdadero entonces existe x0 en el dominio de discurso tal que ∀y P (x0, y) es verdadero y asíP (x0, y) es verdadero para toda y. Por lo tanto, para cada y, ∃x P (x, y) es verdadero; de hechola misma x0 sirve para cada y. Como ∃x P (x, y) es verdadero para toda y, el lado derecho de laproposición tiene valor de verdad verdadero. De esta manera la proposición es una tautología.Por otra parte el recíproco de esta proposición, es decir ∀y ∃x P (x, y) ∼= ∃x ∀y P (x, y) no es engeneral verdadero. Para enfatizar la diferencia, supongamos que x e y varían sobre un dominio Dde tres elementos, digamos D = {a, b, c}. El predicado de 2 argumentos P (x, y) tiene nueve posiblesvalores;

P (a, a); P (a, b); P (a, c); P (b, a); P (b, b); P (b, c); P (c, a); P (c, b); P (c, c).


Entonces ∃x ∀y P (x, y) es verdadero si ∀y P (x0, y) es verdadero para alguna x0. Como x0 tieneque ser igual a a, b o c vemos que ∃x ∀y P (x, y) es verdadero si y sólo si todas las proposiciones deuna de las filas dadas arriba son verdaderas. En contraste, ∀y ∃x P (x, y) sería verdadera siempreque al menos una proposición de cada columna sea verdadera.Por ejemplo si consideramos un predicado P (x, y) con valores de verdad

P (a, a) P (a, b) P (a, c) P (b, a) P (b, b) P (b, c) P (c, a) P (c, b) P (c, c)V F F F F V F V V

entonces ∀y ∃x P (x, y) será verdadera en tanto que ∃x ∀y P (x, y) será falsa. Para esta elecciónde predicado P (x, y), ∃x P (x, y) es verdadera para toda y pero la x adecuada depende de la y,ninguna x única sirve para toda y.

Teorema 1.17 Las identidades siguientes son válidas:

¬∀x P (x) ∼= ∃x [¬P (x)]; ¬∃x P (x) ∼= ∀x [¬P (x)];

∀x P (x) ∼= ¬∃x [¬P (x)]; ∃x P (x) ∼= ¬∀x [¬P (x)].

Ejemplo 1.52 Las leyes de DeMorgan pueden utilizarse repetidamente para negar cualquierproposición cuantificada

¬∃w ∀x ∃y ∃z P (w, x, y, z)

es sucesivamente lógica equivalente a

∀w[¬∀x ∃y ∃z P (w, x, y, z)]; ∀w ∃x[¬∃y ∃z P (w, x, y, z)];

∀w ∃x ∀y[¬∃z P (w, x, y, z)]; ∀w ∃x ∀y ∀z[¬P (w, x, y, z)];

Esto ilustra la regla general: La negación de un predicado cuantificado es lógicamente equiva-lente a la proposición que se obtiene al sustituir cada ∀ por ∃ y cada ∃ por ∀ y reemplazando elmismo predicado por su negación.

Ejemplo 1.53 La negación de

∀x ∀y ∃z (x < z < y) es ∃x ∃y ∀z [¬(x < z < y)].

Aplicando las leyes de DeMorgan vemos que la negación es lógicamente equivalente a

∃x ∃y ∀z [(z ≤ x) ∨ (z ∧ y)]

Ejemplo 1.54 La negación de

∀x ∀y (x < y → x2 < y2) es ∃x ∃y [¬(x < z → x2 < y2)].

Aplicando las leyes de DeMorgan vemos que la negación es lógicamente equivalente a

∃x ∃y [(x < y) ∧ (x2 ≥ y2)]


1.4.2. Interpretación de fórmulas en la lógica de predicadosEn la lógica proposicional una interpretación es una asignación de valores de verdad a átomos.

En la lógica de predicados, puesto que hay variables involucradas, hay que hacer más que eso. Paradefinir una interpretación para una fórmula en la lógica de predicados, tenemos que especificar doscosas, el dominio y una asignación a constantes, símbolos de función y símbolos de predicado queocurren en la fórmula. A continuación se da la definición formal de interpretación de una fórmulaen la lógica de predicados.

Definición 1.24 Interpretación de una fórmulaUna interpretación de una fórmula G en la lógica de predicados, consicte de un dominio D novacío, y una asignación de valores a cada constante, símbolos de función, y símbolos de predicadoque ocurre en G de la siguiente manera:

1. A cada constante asignamos un elemento en D;

2. A cada símbolo de función asignamos una aplicación de Dn a D, Dn = {x1, x2, ..., xn ∈ D}

3. A cada símbolo de predicado asignamos una aplicación de Dn a {V, F}.

Algunas veces para enfatizar el dominio D, hablaremos de una interpretación de la fórmula sobreD. Cuando evaluamos el valor de verdad de una fórmula en una interpretación sobre el dominioD, ∀x será interpretada como ¨para todos los elementos x en D¨, y ∃x como ¨hay un elemento enD¨. Para cada interpretación de una fórmula sobre un dominio de individuos D, la fórmula puedeser evaluada a V o F de acuerdo a las siguientes reglas:

1. Si los valores de verdad de las fórmulas H y G son evaluadas, entonces los valores de verdadde las fórmulas ¬H, H ∨ G, H ∧ G, H → G, H ↔ G son evaluadas de la siguiente manera:

H G ¬ H H ∨ G H ∧ G H → G H ↔ GV V F V V V VV F F V F F FF V V V F V FF F V F F V V

2. ∀x H es evaluada a V si el valor verdadero de H es valuado a V para cada d ∈ D, de otramanera es evaluado a F.

3. ∃x H es evaluado a V si el valor de verdad de H es V para por lo menos un d ∈ D, de otramanera es evaluada a F.

Se puede notar fácilmente que cualquier fórmula conteniendo variables libres no puede serevaluada. En adelante asumiremos, ya sea que las fórmulas no contienen variables libres o que lasvariables son tratadas como constantes.

Ejemplo 1.55 Considere la fórmula ∀x ∃y P (x, y), D = {1, 2}

P (1, 1) ∼= V ; P (1, 2) ∼= F ; P (2, 1) ∼= F ; P (2, 2) ∼= V.

Si x = 1, podemos ver que hay un y tal que P (1, y) es verdadero. Si x = 2 hay también un ydenominado 2 tal que P (2, y) es verdadero, por consiguiente en las interpretaciones de arriba, paracada x en D hay un y tal que P (x, y) es verdadero, esto es ∀x ∃y P (x, y) es verdadero en estainterpretación.


Ejemplo 1.56 Considere la fórmula ∀x [P (x)→ Q(f(x), k)]. Hay una constante k, un símbolode función f de un lugar, un símbolo de predicado P de un lugar, y un símbolo de predicado Q dedos lugares. La siguiente es una interpretación I. Dominio D = {1, 2}.Asignación para k: a = 1.Asignación para f : f(1) = 2; f(2) = 1.Asignaciones para P y Q:

P (1) = F ; P (2) = V ; Q(1, 1) = V ; Q(1, 2) = V ; Q(2, 1) = F ; Q(2, 2) = V.

Si x = 1, entonces

P (x)→ Q(f(x), k) = P (1)→ Q(f(1), k) = P (1)→ Q(2, 1) = F → F = V.

Si x = 2, entonces

P (x)→ Q(f(x), k) = P (2)→ Q(f(2), k) = P (2)→ Q(1, 1) = V → V = V.

Puesto que P (x)→ Q(f(x), k) es verdadero para todos los valores de x en D, la fórmula

∀x [P (x)→ Q(f(x), k)]

es verdadera bajo las interpretaciones I.

Ejemplo 1.57 Evaluar los valores de verdad de las siguientes fórmulas bajo las interpretacio-nes dadas en el ejemplo anterior.

1. ∃x [P (f(x)) ∧Q(x, f(k))];

2. ∃x [P (x) ∧Q(x, k)];

3. ∀x ∃y [P (x) ∧Q(x, y)].

Para 1): Si x = 1, entonces

P (f(x)) ∧Q(x, f(k)) = P (f(1)) ∧Q(1, f(1)) = P (2) ∧Q(1, f(1)) = P (2) ∧Q(1, 2) = V ∧ V = V.

Si x = 2, entonces

P (f(x)) ∧Q(x, f(k)) = P (f(2)) ∧Q(2, f(1)) = P (1) ∧Q(2, 1) = F ∧ F = F.

Puesto que hay un elemento en el dominio D, esto es x = 1 tal que P (f(x))∧Q(x, f(k)) es verdadero,el valor de verdad de la fórmula ∃x [P (f(x)) ∧Q(x, f(k))] es verdadera bajo la interpretación I.Para b): Si x = 1, entonces

P (x) ∧Q(x, k) = P (1) ∧Q(1, 1) = F ∧ V = F.

Si x = 2, entoncesP (x) ∧Q(x, k) = P (2) ∧Q(2, 1) = V ∧ F = F.

Puesto que no hay elemento en el dominio D tal que P (x) ∧Q(x, k) sea verdadero, la fórmula

∃x [P (x) ∧Q(x, k)]

es evaluada a falsa bajo la interpretación I.Para c): Si x = 1, entonces P (x) = P (1) = F .Por consiguiente P (x) ∧Q(x, y) = F para y = 1 e y = 2. Puesto que existe un x, que es x = 1, lafórmula ∃y [P (x)∧Q(x, y)] es falsa, la fórmula ∀x ∃y [P (x)∧Q(x, y)] es falsa bajo la interpretaciónI, esto es, la fórmula es falsificada por I.


Definición 1.25 Fórmula consistenteUna fórmula G es consistente (satisfactible) si y sólo si existe una interpretación I tal que G esevaluada verdadero en I. Si una fórmula G es verdadera en una interpretación I, decimos que I esun modelo de G e I satisface a G.

Definición 1.26 Fórmula válidaUna fórmula G es válida si, y sólo si cada interpretación de G satisface a G.

Definición 1.27 Fórmula inconsistenteUna fórmula G es inconsistente (insatisfactible) si y sólo si, no existe una interpretación quesatisface a G.

Las relaciones entre validez (inconsistencia) y consecuencias lógicas, como se indica en la lógicaproposicional, son también verdaderas para la lógica de predicados. En efecto, la lógica de predica-dos puede ser considerada como una extensión de la lógica proposicional. Cuando una fórmula enla lógica de predicados no contiene variables y cuantificadores, puede ser tratada justo como unafórmula en la lógica proposicional.

Ejemplo 1.58

1. ∀x P (x) ∧ ∃y ¬P (y) es inconsistente;

2. ∀x P (x)→ ∃y P (y) es válido;

3. P (k)→ ¬∃x P (x) es consistente;

4. ∀x P (x) ∨ ∃y ¬P (y) es válido.

En la lógica de predicados, puesto que hay un número infinito de elementos en el dominio D, engeneral, hay un número infinito de interpretaciones de una fórmula. Por consiguiente al contrario dela lógica proposicional, no es posible verificar la validez e inconsistencia de una fórmula, evaluandola fórmula bajo todas las posibles interpretaciones.

1.4.3. Forma normal prenexaEn la lógica proposicional hemos introducido dos formas normales, la forma normal conjuntiva

y la forma normal disjuntiva. En la lógica de predicados hay una forma normal llamada formanormal Prenexa. La razón para considerar una forma normal Prenexa de una fórmula es simplificarprocedimientos de prueba.

Definición 1.28 Forma normal prenexaUna fórmula G en la lógica de predicados se dice que es una forma normal Prenexa si y sólo si, lafórmula G está en la forma

(Q1x1)(Q2x2)...(Qnxn)(M)

donde cada (Qixi), i = 1, 2, ..., n ya sea ∀xi o ∃xi, y M es una fórmula que no contiene cuan-tificadores, (Q1x1)(Q2x2)...(Qnxn) es llamada el prefijo y M es llamada la matriz de la fórmulaG.

Dada una fórmula G, consideraremos un método de transformarla en una forma normal Prene-xa. Esto se logra primero considerando algunos pasos básicos de fórmulas equivalentes en la lógicade predicados. Recordemos que dos fórmulas G y H son equivalentes si, y sólo si los valores deverdad de G y H son los mismos bajo cada interpretación.


Los pares básicos de fórmulas equivalentes dadas en la lógica proposicional son todavía verdadpara la lógica de predicados, adicionalmente hay otros pares de fórmulas equivalentes conteniendocuantificadores, y que se estudiaron en secciones anteriores. Consideraremos estos pares adicionalesde fórmulas equivalentes.

Sea G una fórmula que contiene una variable libre x, para enfatizar que la variable libre está enG, representamos G por G[x]. Sea H una fórmula que no contiene variable x, tenemos los siguientespares de fórmulas equivalentes, donde Q es ya sea ∀ o ∃:

1. (Qx)G[x] ∨H ∼= (Qx)(G[x] ∨H);

2. (Qx)G[x] ∧H ∼= (Qx)(G[x] ∧H);

3. ¬(∀xG[x]) ∼= ∃x(¬G[x]);

4. ¬(∃xG[x]) ∼= ∀x(¬G[x]).Las leyes 1 y 2 son obviamente verdaderas puesto que H no contiene x, por consiguientepuede ser introducida en el alcance del cuantificador Q. Las leyes 3 y 4 no son difíciles deprobar. Sea I cualquier interpretación arbitraria sobre el dominio D.

Si ¬(∀x G[x]) es verdadera en I, entonces ∀x G[x] es falsa en I. Esto significa que hay unelemento d en D tal que G[d] es falso. Esto es ¬G[d] es verdadero en I. Por consiguiente,∃x (¬G[x]) es verdadera en I. Por otra parte si ¬(∀x G[x]) es falsa en I, entonces ∀x G[x] esverdadera en I. Esto significa que G[x] es verdadera para cada elemento x en D, esto es ¬G[x]es falso para cada elemento x en D, por consiguiente, ∀x (¬G[x]) es falsa en I. Puesto que¬(∀x G[x]) y ∀x (¬G[x]) siempre asume el mismo valor de verdad para cada interpretaciónarbitraria, por definición, ¬(∀x G[x]) ∼= ∃x (¬G[x]). Así la ley 3 es probada e igualmentepodemos probar la ley 4.

Supongamos que F [x] y G[x] son dos fórmulas que contienen x,

5. ∀x F [x] ∧ ∀x G[x] ∼= ∀x (F [x] ∧G[x])

6. ∃x F [x] ∨ ∃x G[x] ∼= ∃x (F [x] ∨G[x])

Esto es, el cuantificador universal ∀ y el existencial ∃, pueden distribuirse sobre ∧ y ∨,respectivamente. Sin embargo el cuantificador universal y existencial no pueden distribuirsesobre ∨ y ∧ respectivamente. Esto es

∀x F [x] ∨ ∀x G[x] 6= ∀x (F [x] ∨G[x])

∃x F [x] ∧ ∃x G[x] 6= ∃x (F [x] ∧G[x])

Para casos como estos tenemos que hacer algo especial. Puesto que cada variable ligada enuna fórmula puede ser considerada como una variable renombrable, cada variable x puedeser renombrada z, y la fórmula ∀x G[x] se transforma en ∀z G[z].

Supongamos que escogemos la variable z que no aparece en F [x]. Entonces

∀x F [x] ∨ ∀x G[x] ∼= ∀x F [x] ∨ ∀z G[z] ∼= ∀x∀z (F [x] ∨G[z])

Similarmente, renombrando todas las x que ocurren en ∃x G[x] como z, podemos tener

∃x F [x] ∧ ∃x G[x] ∼= ∃x F [x] ∧ ∃z G[z] ∼= ∃x∃z (F [x] ∧G[z])


Por consiguiente, para estos dos casos podemos todavía pasar todos los cuantificadores a laizquierda de la fórmula. En general, tenemos

7. (Q1x)F [x] ∨ (Q2x)G[x] ∼= (Q1x)(Q2x)(F [x] ∨G[z])

8. (Q3x)F [x] ∧ (Q4x)G[x] ∼= (Q3x)(Q4x)(F [x] ∧G[z])

donde Q1, Q2, Q3 y Q4 son ya sea ∀ o ∃, y z no aparece en F [x].

Naturalmente si Q1 = Q2 = ∃ y Q3 = Q4 = ∀, entonces no tenemos que renombrar las x en(Q2x)G[x] o (Q4x)G[x]. Podemos usar las leyes 5 y 6 directamente. Usando las leyes de la lógicaproposicional y las leyes 1 - 8, podemos siempre transformar una fórmula dada en forma normalPrenexa.

La siguiente es una guía del procedimiento de transformación:

PASO 1: Use las leyes

1. F ↔ G ∼= (F → G) ∧ (G→ F );

2. F → G ∼= ¬F ∨G;Para eliminar las conectividades lógicas ↔ y →.

PASO 2: Repetidamente use las leyes

3. ¬(¬F ) ∼= F ;

4. ¬(F ∨G) ∼= ¬F ∧ ¬G;

5. ¬(G ∧G) ∼= ¬F ∨ ¬G;

6. ¬(∀x F [x]) ∼= ∃x (¬F [x]);

7. ¬(∃x F [x]) ∼= ∀x (¬F [x]);para traer los signos de negación inmediatamente antes de los átomos.

PASO 3: Renombrar las variables ligadas si es necesario.

PASO 4: Use las leyes

8. (Qx)F [x] ∨G ∼= (Qx)(F [x] ∨G);

9. (Qx)F [x] ∧G ∼= (Qx)(F [x] ∧G);

10. ∀x F [x] ∧ x G[x] ∼= ∀x (F [x] ∧G[x]);

11. ∃x F [x] ∨ ∃x G[x] ∼= ∃x (F [x] ∨G[x]);

12. (Q1x)F [x] ∨ (Q2x)G[x] ∼= (Q1x)(Q2x)(F [x] ∨G[z]);

13. (Q3x)F [x] ∧ (Q4x)G[x] ∼= (Q3x)(Q4x)(F [x] ∧G[z]).para mover los cuantificadores a la izquierda de la fórmula y obtener una forma normalPrenexa.


Ejemplo 1.59 Transformar la fórmula ∀x P (x)→ ∃x Q(x) en forma normal prenexa.Solución

∀x P (x)→ ∃x Q(x) ∼= ¬∀x P (x) ∨ ∃x Q(x)∼= ∃x¬P (x) ∨ ∃x Q(x)∼= ∃x [¬P (x) ∨Q(x)].

Ejemplo 1.60 Transformar la fórmula ∀x ∀y {∃z [P (x, z) ∧ P (y, z)] → ∃u Q(x, y, u)} enforma normal Prenexa.Solución

∀x ∀y{∃z [P (x, z) ∧ P (y, z)]→ ∃u Q(x, y, u)} ∼= ∀x ∀y{¬∃z [P (x, z) ∧ P (y, z)] ∨ ∃u Q(x, y, u)}∼= ∀x ∀y{∀z ¬[P (x, z) ∧ P (y, z)] ∨ ∃u Q(x, y, u)}∼= ∀x ∀y ∀z ∃u {¬P (x, z) ∨ ¬P (y, z) ∨ ∃u Q(x, y, u)}.

1.4.4. Tarea1. Sea A = {1, 2, 3, 4} el conjunto universal. Determine el valor de verdad de cada enunciado:

a) ∀x : x+ 3 < 6; b) ∀x : x2 − 10 ≤ 8; c) ∃x : x2 > 1 → x+ 2 = 0;d) ∃x : 2x2 + x = 15.Resp: a) Falso; b) Verdadero; c) Verdadero; d) Falso.

2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo N el universo:a) ∀x ∃y (2y = x); b) ∃y ∀x (2x = y); c) ∀x ∃y (2x = y);d) ∃y ∀x (2y = x); e) ∀x ∀y [¬(2y = x)].Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo R el universo:a) ∀x ∃y (xy = 1); b) ∀x ∀y [(x+ y)2 = x2 + y2]; c) ∃x ∃y (x2 + y2 + 1 = 2xy);d) ∃x ∃y [(x+ 2y = 4) ∧ (2x− y = 2)].Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

4. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo R el universo:a) ∀x ∈ R x2 ≥ x; b) ∃x ∈ R 2x = x; c) ∀x ∈ R 2x−1

4x−2 = 12 ;

d) ∃x ∈ R x2 + 2x+ 1 ≤ 0.Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

5. Negar los siguientes enunciados:a) ∃y p(y) → ∀x(¬q(x)); b) ∃x(¬p(x)) ∨ ∀x q(x); c) ∃x ∃y (p(x, y)→ q(x, y)).Resp: a) ∃y p(y)∧∃x q(x); b) ∀x p(x)∧∃x(¬q(x)); c) ∀ ∃y(p(x, y)∧¬q(x, y)).

6. Negar las siguientes afirmaciones:a) ∀x ∀y [(x+ y es impar)→ (x es impar ∨ y es impar)];b) ∀x ∃y (x+ y = 5→ y = −x); c) ∃x ∀y (x < y ∧ x2 ≥ y);d) ∀x ∀y ∃z (x < y → x+ z = y).Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

7. Averiguar el valor de verdad siendo U = R:a) ∀x ∈ R (x < 0→ x < 3); b) ∃x ∈ R (x2 ≥ 0→ x4 = x3);c) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R (x2 + y2 = 1); d) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R (y < x→ 2y < 10).Resp: a) Verdadero; b) Verdadero; c) Falso; d) Falso.


8. Considere el universo U de todos los profesores de ciencias básicas. Sea P(x) el predicadoä x le gusta la lógica matemática¨:a) Exprese la proposición ¨no a todos los profesores de ciencias básicas les gusta la lógicamatemática¨, utilizando símbolos de la lógica de predicados;b) Haga lo mismo para ä todos los profesores de ciencias básicas no les gusta la lógicamatemática¨;c) Escriba el signficado de ¬∃x P (x) ∼= ∀x [¬P (x)] para U y P(x);d) Haga lo mismo con ∃x P (x) ∼= ¬∀x [¬P (x)].Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

9. Escriba la negación de las siguientes fórmulas:a) ∃x P (x, x)→ [∀y ∀z ¬P (y, z)→ ∃x P (x, x)];b) ∀x ∀y {¬∃x P (f(x, y), y)→ [∃x P (f(x, y), y)→ ∀z [f(z, x) = y]};c) ∀x [P (x)→ Q(x)]→ [∀x P (x)→ ∀x Q(x)];d) ∀x ∃y P (x, y)→ ∃y P (f(x, y), y);e) ∀x ∀y P (x, y)→ ∀y P (y, y);f) ∀x [∃y ∀x P (x, y) ∨Q(x)]→ [∃y ∀x P (x, y) ∨Q(f(y, y))].Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

10. Considere la siguiente interpretación: D = {1, 2}.Asignaciones a las constantes k y t: k = 1 y t = 2.Asignaciones para la función f : f(1) = 2 y f(2) = 1.Asignaciones para el predicado P : P (1, 1) = V ; P (1, 2) = V ; P (2, 1) = F ; P (2, 2) = F .Evalúe el valor de verdad de las siguientes fórmulas en cada interpretación:a) P (k, f(k)) ∧ P (t, f(t)); b) ∀x ∃y P (y, x); c) ∀x ∀y [P (x, y)→ P (f(x), f(y))].Resp: a) ; b) ; c) .

11. Dadas las siguientes fórmulas, hallar la correspondiente forma normal prenexa:a) ∀x ∃y [P (x, y)→ P (y, x)]; b) ∀x ∀y {[P (x)↔ P (y)]→ x = y};c) ∃x ∀y (x = y)→ [∀x P (x) ∨ ∀x ¬P (x)].Resp: a) ; b) ; c) .

12. Escriba la negación de las siguientes fórmulas:a) ∀x [P (x)→ Q(x)]→ [∀x P (x)→ ∀x Q(x)];b) ∀x ∃y P (x, y)→ ∃y P (f(x, y), y);c) ∀x ∀y P (x, y)→ ∀y P (y, y);d) ∀x [∃y ∀x P (x, y) ∨Q(x)]→ [∃y ∀x P (x, y) ∨Q(f(y, y))];e) ∀x [P (x) ∨Q(x)]→ [P (x) ∨Q(x)];f) ∀x ∃y P (f(y, x), x)→ ∃y P (f(y, f(z, x)), f(z, x));g) ∃x P (x, x)→ [∀y ∀z ¬P (y, z)→ ∃x P (x, x)];h) ∀x ∀y {¬∃x P (f(x, y), y)→ [∃x P (f(x, y), y)→ ∀z [f(z, x) = y]}.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) .

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