CALCULO INTEGRAL

Pérez José

CI : 24 394 244

Longitud De Curvas

La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud

en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener

soluciones cerradas para algunos casos

La longitud de una curva plana

se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor

seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es

suave y su gráfica es una curva suave

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2.

Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b

Deducción de la fórmula para funciones

Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva que va desde un punto a uno . Con este propósito es posible diseñar

una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método

"más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a , de manera que para cada uno existirá un

cateto asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa, , al aplicarse el teorema de Pitágoras Así, una

aproximación de estaría dada por la sumatoria de todas aquellas hipotenusas desplegadas

Métodos anteriores al cálculo

A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había

descubierto una aproximación rectangular para calcular el área bajo una curva con un método de agotamiento, pocos creyeron que fuera posible que una curva tuviese una longitud definida, como las líneas rectas. Las primeras mediciones se hicieron

posibles, como ya es común en el cálculo, a través de aproximaciones: los matemáticos de la época trazaban un polígono dentro de la curva, y calculaban la

longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno,

se obtenía una aproximación cada vez mejor