Ime i prezime: Aleksandar Milinković Nastavnik: Vinka Grozdanović Predmet: Matematika Tema: Mandelbrotov skup

Mandelbrotov skupMandelbrotov skup

““Oblaci nisu sfere, planine nisu kupe, Oblaci nisu sfere, planine nisu kupe, obale nisu krugovi, kora nije glatka, niti obale nisu krugovi, kora nije glatka, niti

munja putuje ravnom linijom” munja putuje ravnom linijom”

Benoît MandelbrotBenoît Mandelbrot

““U Mandenbrotovom skupu, priroda , (ili je to U Mandenbrotovom skupu, priroda , (ili je to matematika? ) pruža nam snažan pandan muzičke ideje matematika? ) pruža nam snažan pandan muzičke ideje “varijacije na zadatu temu” isti oblici se svuda “varijacije na zadatu temu” isti oblici se svuda ponavljaju, pa ipak je svako ponavljanje donekle ponavljaju, pa ipak je svako ponavljanje donekle različito. Kada bismo se ograničili samo na proste različito. Kada bismo se ograničili samo na proste računske operacije , bilo bi nemoguće otkriti ovu osobinu računske operacije , bilo bi nemoguće otkriti ovu osobinu ponavljanja , i mislim da niko ne može biti tako pametan ponavljanja , i mislim da niko ne može biti tako pametan i dovitljiv da “izmisli” ovu bogatu i komplikovanu temu i i dovitljiv da “izmisli” ovu bogatu i komplikovanu temu i varijacije. Ona nam ne ostavlja mogućnost da se varijacije. Ona nam ne ostavlja mogućnost da se dosađujemo, jer se stalno ponavljaju nove stvari, ni da dosađujemo, jer se stalno ponavljaju nove stvari, ni da se izgubimo, jer se neprestano vraćaju poznate stvari. se izgubimo, jer se neprestano vraćaju poznate stvari. Zbog ove konstantne inovacije, ovaj skup, po mnogim Zbog ove konstantne inovacije, ovaj skup, po mnogim definicijama nije istinski fraktalan ; Možemo ga nazvati definicijama nije istinski fraktalan ; Možemo ga nazvati marginalno fraktalnim, granično fraktalnim , koji sadrži marginalno fraktalnim, granično fraktalnim , koji sadrži mnogo fraktala. U poređenju sa stvarnim fraktalima , mnogo fraktala. U poređenju sa stvarnim fraktalima , njegove strukture su brojnije, njegove harmonije su njegove strukture su brojnije, njegove harmonije su bogatije, a njegova neočekivanost neočekivanija.bogatije, a njegova neočekivanost neočekivanija.

Za generisanje Mandelbrotovog skupa koristi se jednačinaZa generisanje Mandelbrotovog skupa koristi se jednačinaZn=Zn-12 + CZn=Zn-12 + C

gde su Zn i C kompleksni brojevi tj. gde su Zn i C kompleksni brojevi tj. Zn-1 = Rn-1 + In-1 i Zn-1 = Rn-1 + In-1 i

C = Rc + Ic , I je imaginarna jedinica.C = Rc + Ic , I je imaginarna jedinica.

Zn = Zn-1 + CZn = Zn-1 + C Zn = (Rn-1 + In-1 + I)2 + (Rc + Ic + I)Zn = (Rn-1 + In-1 + I)2 + (Rc + Ic + I)

Sređivanjem realnog i imaginarnog dela dobija se:Sređivanjem realnog i imaginarnog dela dobija se:

Zn= (Rn-12 + In-12 + Rc ) + ( 2 * Rn-1* In-1 + Ic )*IZn= (Rn-12 + In-12 + Rc ) + ( 2 * Rn-1* In-1 + Ic )*IOva jednačina se može razbiti na dve odvojene Ova jednačina se može razbiti na dve odvojene jednačine jednačine

Rn= Rn-12 - In-12 + RcRn= Rn-12 - In-12 + RcIn = 2*Rn-1 *In-1 + RcIn = 2*Rn-1 *In-1 + Rc

Korišćenjem ovih jednačina mogu se izračunati realni i Korišćenjem ovih jednačina mogu se izračunati realni i imaginarni deo Z-n za različite vrednosti n. Ako stepen imaginarni deo Z-n za različite vrednosti n. Ako stepen od Zn , koji je dat sa sqr( Rn2 + In2) , ikada pređe 2 , od Zn , koji je dat sa sqr( Rn2 + In2) , ikada pređe 2 , tada će stepen vrednosti Zn težiti beskonačnosti.tada će stepen vrednosti Zn težiti beskonačnosti.

Može se zaključiti da kod Mandelbrot skupa kompleksni Može se zaključiti da kod Mandelbrot skupa kompleksni broj C predstavlja kontrolni parametar koji se može broj C predstavlja kontrolni parametar koji se može izabrati po volji. Kada se početna tačka Z0 podvrgne izabrati po volji. Kada se početna tačka Z0 podvrgne transformaciji, rezultujući niz će se ponašati na jedan od transformaciji, rezultujući niz će se ponašati na jedan od dva moguća načina: ili će se slobodno prostirati prema dva moguća načina: ili će se slobodno prostirati prema beskonačnosti, ili će se naći zarobljen u nekoj oblasti beskonačnosti, ili će se naći zarobljen u nekoj oblasti kompleksne ravni. Ako se početna tačka Z0 izabere iz kompleksne ravni. Ako se početna tačka Z0 izabere iz zarobljenog niza , onda će iz nje opet nastati niz zarobljenog niza , onda će iz nje opet nastati niz zarobljen u numeričkom zatvoru, bez obzira na broj zarobljen u numeričkom zatvoru, bez obzira na broj transformacija. Oblik “zatvora” zavisiće od izabrane transformacija. Oblik “zatvora” zavisiće od izabrane vrednosti C i obrnuto, ako se tačka Z0 izabere izvan vrednosti C i obrnuto, ako se tačka Z0 izabere izvan “zatvora”, niz Zn će se udaljavati od centra ravni prema “zatvora”, niz Zn će se udaljavati od centra ravni prema beskonačnosti. Skup “zatvorenika “odvojen je od skupa beskonačnosti. Skup “zatvorenika “odvojen je od skupa “slobodnjaka” beskonačno uskom graničnom linijom “slobodnjaka” beskonačno uskom graničnom linijom poznatom kao Julija - skup.poznatom kao Julija - skup.