E A P INGENIERIacuteA INFORMAacuteTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSE FAUSTINO SANCHEZ CARRION

FACULTAD DE INGENIERIacuteA INDUSTRIAL SISTEMAS E INFORMAacuteTICA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA INFORMATICA

CURSOINVESTIGACION DE OPERACIONES II

TEMAMODELO DE MARKOV

INTEGRANTES

Alvino Loza AlvinoBrito Salazar Diana

Carbajal Ramos Sergio Goacutemez Molina Diego

Jaimes Landa Luz Ramirez Jara Andrea

Zapata Bazalar Samuel

DOCENTEALCIBIADES SOSA PALOMINO

HUACHO ndash LIMAPERU

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TOMA DE DECISIONES CON CRITERIOS MULTIPLES

Los meacutetodos y modelos para la toma de decisiones con criterios

muacuteltiples proveen herramientas de utilidad a la hora de analizar

problemas complejos Los procesos de toma de decisiones han sido

analizados y modelados matemaacuteticamente para dotar a las

personas encargadas de tomar decisiones de herramientas que les

permitan contar con una mejor visualizacioacuten de los factores que

intervienen en los procesos asiacute como de las preferencias

existentes Los procesos de decisioacuten relacionados al desarrollo

sostenible involucran la interrelacioacuten de tres sistemas con objetivos

muchas veces contrapuestos el sistema econoacutemico el sistema

social y el sistema medioambiental La interrelacioacuten de estos

sistemas produce conflicto de intereses que hace de cualquier

proceso de decisioacuten una tarea compleja que requiere de meacutetodos

sistemaacuteticos

Proceso Analiacutetico de Jerarquiacuteas (PAJ) Permite analizar

tanto criterios cuantitativos como cualitativos

Programacioacuten de Metas (PM) Analiza criterios cuantitativos

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Anaacutelisis de Markov

El anaacutelisis de Markov llamado asiacute por los estudios realizados por el ruso Andreacutei Andreacuteyevich Maacuterkov entre 1906 y 1907 sobre la secuencia de los experimentos conectados en cadena y la necesidad de descubrir matemaacuteticamente los fenoacutemenos fiacutesicos La teoriacutea de Markov se desarrolloacute en las deacutecadas de 1930 y 1940 por ANKolmagoron WFeller WDoeblin PLevy JLDoob y otros

El anaacutelisis de Markov es una forma de analizar el movimiento actual de alguna variable a fin de pronosticar el movimiento futuro de la misma Este meacutetodo ha comenzado a usarse en los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

ANDREY MARKOV

Las cadenas de Markov fueron introducidas por el matemaacutetico ruso Andrey Markov (1856-1922) alrededor de 1905 Su intencioacuten era crear un modelo probabiliacutestico para analizar la frecuencia con la que aparecen las vocales en poemas y textos literarios El eacutexito del modelo propuesto por Markov radica en que es lo suficientemente complejo como para describir ciertas caracteriacutesticas no triviales de algunos sistemas pero al mismo tiempo es lo suficientemente sencillo para ser analizado matemaacuteticamente

Su trabajo teoacuterico en el campo de los procesos en los que estaacuten involucrados componentes aleatorios (procesos estocaacutesticos) dariacutean fruto en un instrumento matemaacutetico que actualmente se conoce como cadena de Maacuterkov secuencias de valores de una variable aleatoria en las que el valor de la variable en el futuro depende del valor de la variable en el presente pero es independiente de la historia de dicha variable Las cadenas de Maacuterkov hoy diacutea se consideran una herramienta esencial en

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disciplinas como la economiacutea la ingenieriacutea la investigacioacuten de operaciones y muchas otras

CADENA DE MARKOV

Las cadenas de markov son modelos probabiliacutesticos que se usan para predecir la evolucioacuten y el comportamiento a corto y a largo plazo de determinados sistemas

En principio fue dirigida a resolver problemas industriales sin embargo posteriormente se ha extendido a muchos otros campos como la economiacutea agricultura recursos ambientales recursos pesqueros etc

Resulta de gran intereacutes sobre todo en problemas complejos de gran tamantildeo

Las cadenas de Maacuterkov son una herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados

Una cadena de Maacuterkov por tanto representa un sistema que variacutea un estado a lo largo del tiempo siendo cada cambio una transicioacuten del sistema Dichos cambios no estaacuten predeterminados aunque siacute lo estaacute la probabilidad del proacuteximo estado en funcioacuten de los estados

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anteriores probabilidad que es constante a lo largo del tiempo (sistema homogeacuteneo en el tiempo) Eventualmente es una transicioacuten el nuevo estado puede ser el mismo que el anterior y es posible que exista la posibilidad de influir en las probabilidades de transicioacuten actuando adecuadamente sobre el sistema (decisioacuten)

Conceptos baacutesicos

Para el estudio de las cadenas de Maacuterkov deben tenerse en cuenta algunos conceptos claves como los siguientes

1 Estados

El estado de un sistema en un instante t es una variable cuyos valores solo pueden pertenecer al conjunto de estaos en el sistema El sistema modelizado por la cadena por lo tanto es una variable que cambia con el valor del tiempo cambio al que llamamos transicioacuten

2 Matriz de transicioacuten

Los elementos de matriz representan la probabilidad de que el estado proacuteximo sea el correspondiente a la columna si el estado actual es el correspondiente a la fila

Posee 3 propiedades baacutesicas

La suma de las probabilidades de los estados debe ser igual a 1

La matriz de transicioacuten debe ser cuadrada

Las probabilidades de transicioacuten deben estar entre 0 y 1

Distribucioacuten actual (Vector Po) Es la manera en la que se distribuyen las probabilidades de los estados en un periodo inicial (periodo 0) Esta informacioacuten te permitiraacute averiguar cuaacutel seraacute la distribucioacuten en periodos posteriores

Estado estable Se puede decir que el estado estable es la distribucioacuten de probabilidades que en cierto punto quedaraacute fija para el vector P y no presentaraacute cambios en periodos posterioresPor consiguiente un estado es recurrente siacute y solo si no es transitorio

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ESTADO ABSORBENTES Un estado tal que si el proceso entra en eacutel permaneceraacute indefinidamente en este estado (ya que las probabilidades de pasar a cualquiera de los otros son cero) se dice estado absorbente

De una cadena de Markov que consta de estados transitorios y absorbentes se dice que es una cadena absorbente de Markov

Si una cadena de Markov contiene alguacuten estado absorbente la liacutenea de la matriz de transicioacuten correspondiente a las probabilidades de transicioacuten de dicho estado constaraacute de un 1 en la diagonal principal y ceros en los demaacutes elementos Seraacute por lo tanto una matriz no regular

Para poder estudiar las cadenas de Markov absorbentes es preciso reordenar la matriz de transicioacuten de forma que las filas correspondientes a los estados absorbentes aparezcan en primer lugar Asiacute ordenada se diraacute que la matriz de transicioacuten estaacute en la forma canoacutenica

Donde

I Matriz Identidad

0Matriz Nula

N Matriz No Absorbente

A Matriz Absorbente

El valor esperado se calcula como

V Esp=(I-N)^-1

La probabilidad de caer en los estados absorbentes se calcula como

P=A(I-N)^-1

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ELEMENTOS DE UNA CADENA DE MARKOV

Un conjunto finito de M estados exhaustivos y mutuamente excluyentes (ejemplo estados de la enfermedad)

Ciclo de markov (ldquopasordquo) periodo de tiempo que sirve de base para examinar las transiciones entre estados (ejemplo un mes)

Probabilidades de transicioacuten entre estados en un ciclo (matriz P)

Distribucioacuten inicial del sistema entre los M estados posibles

TIPO DE CADENAS DE MARKOV

Dependiendo del nuacutemero de estados del sistema pueden ser

FINITAS

Es una cadena de Markov para la que existe soacutelo un nuacutemero finito k de estados posibles s1sk y en cualquier instante de tiempo la cadena estaacute en uno de estos k estados

Consisten en sucesiones finitas de pruebas cada una de las cuales tiene un nuacutemero finito de sucesos con probabilidades dadas Procesos de este tipo reciben el nombre de Procesos estocaacutesticos

INFINITAS

La ocurrencia de los eventos se considera indeterminada pero tienden a una situacioacuten de estabilizacioacuten

COMPONENTES

Estado Condiciones iniciales y finales del proceso de Markov

Ensayo Ocurrencias repetidas del evento que se estudia

Probabilidad de Transicioacuten (pij ) Probabilidad de pasar del estado actual al siguiente

1

iSPSS

| 8

Matriz de transicioacuten (P) Es una matriz cuadrada cuyos elementos son pij

MODELO MATEMATICO CADENA INFINITA

S1(t) + S2(t) +hellip + Sn(t) = 1 ldquo n estados ldquo

pi1 + pi2 + hellip + pin = 1

La transicioacuten de un periodo al siguiente se expresa como

S (t + 1) = S (t) P

Para el primer periodo S (1) = S (0) P

Para el segundo periodo S (2) = S (1) P = S (0) P2

Para un periodo largo S = SP

MATRIZ ESTACIONARIA

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APLICACIOacuteN DEL METODO ldquoDE MARKOVrdquo EN UN CASO DE LA VIDA REAL

Caso 1

La Tienda de Don ldquoJoseacuterdquo estima lo siguiente

40 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas Negras en una semana compraraacuten Gaseosas de otro color la proacutexima semana

20 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas de Color en una semana compraraacuten Gaseosas Negras la proacutexima semana

Se Tiene inicialmente 119878_0= [04 06] Esto significa que en la semana el 40 de los clientes gaseoseros compraron Gaseosas Negras y el 60 compraron de otro Color

El administrador desea saber cuaacutel seraacute la eleccioacuten de clientes en las proacuteximas semanas

| 10

Solucioacuten

P=[0 6 040 2 08]

S0= [04 06]

S ( t+1 )=S (t)P

S1= [0 4 06 ]lowast[0 6 0402 08 ]= [036064 ]

S2= [036 064 ]lowast[06 0402 08 ]=[03440656 ]

S3= [0344 0656 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0337606624 ]

S4=[0337606624 ]lowast[0 6 040 2 08]=[033504066496 ]

S5= [033504 066496 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [03340160665984 ]

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S6=[03340160665984 ]lowast[06 040 2 08 ]

iquest [0333606406663936 ]

S7= [03336064 06663936 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [033344256 066655744 ]

S8=[033344256066655744 ]lowast[0 6 0 402 0 8]

iquest [0333377024 0666622976 ]

S9=[03333770240666622976 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0333350809606666491904 ]

S10=[03333508096 06666491904 ][0 6 0 402 0 8 ]

iquest [03333403238 06666596762 ]

De los anteriores caacutelculos podemos observarse que despueacutes de t = 3 el

mercado alcanza un equilibrio o un estado estable en el sentido que el

mercado no cambia notablemente con el tiempo

COMPROBANDO

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[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

iquest [06S1+02 S20 4 S1+08S2 ]

S1=06 S1+02S2

S2=04S1+0 8S2

S1+S2=1

Resolviendo tenemosResolver en mathcad y colocar los resultados119930120783=( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas negrardquo119930120784= ( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas de otro color rdquo

Por lo tanto queda demostrado que los clientes Gaseores consumiraacuten gaseosas de otro color la primara semana

Graficando el aacuterbol

Probabilidad de consumir ldquogaseosa negrardquo o ldquogaseosa de colorrdquo en cada etapa

| 13

Resumen de resultados

Meacutetodo recursivoMeacutetodo estado estacionario

Meacutetodo de aacuterbol

Gaseosanegra

0344

Gaseosade otro color

0656

ConclusioacutenEl producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

CASO 2

GN

04

02 064 x 02 0128

064 x 08 0512

GN

GC

GN

GC

P

036

064GC

08

036 x 04 0144 Gaseosa negra = 0344

Gaseosa de color= 0656

036 x 06 021606

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La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

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F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

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F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

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Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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TOMA DE DECISIONES CON CRITERIOS MULTIPLES

Los meacutetodos y modelos para la toma de decisiones con criterios

muacuteltiples proveen herramientas de utilidad a la hora de analizar

problemas complejos Los procesos de toma de decisiones han sido

analizados y modelados matemaacuteticamente para dotar a las

personas encargadas de tomar decisiones de herramientas que les

permitan contar con una mejor visualizacioacuten de los factores que

intervienen en los procesos asiacute como de las preferencias

existentes Los procesos de decisioacuten relacionados al desarrollo

sostenible involucran la interrelacioacuten de tres sistemas con objetivos

muchas veces contrapuestos el sistema econoacutemico el sistema

social y el sistema medioambiental La interrelacioacuten de estos

sistemas produce conflicto de intereses que hace de cualquier

proceso de decisioacuten una tarea compleja que requiere de meacutetodos

sistemaacuteticos

Proceso Analiacutetico de Jerarquiacuteas (PAJ) Permite analizar

tanto criterios cuantitativos como cualitativos

Programacioacuten de Metas (PM) Analiza criterios cuantitativos

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Anaacutelisis de Markov

El anaacutelisis de Markov llamado asiacute por los estudios realizados por el ruso Andreacutei Andreacuteyevich Maacuterkov entre 1906 y 1907 sobre la secuencia de los experimentos conectados en cadena y la necesidad de descubrir matemaacuteticamente los fenoacutemenos fiacutesicos La teoriacutea de Markov se desarrolloacute en las deacutecadas de 1930 y 1940 por ANKolmagoron WFeller WDoeblin PLevy JLDoob y otros

El anaacutelisis de Markov es una forma de analizar el movimiento actual de alguna variable a fin de pronosticar el movimiento futuro de la misma Este meacutetodo ha comenzado a usarse en los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

ANDREY MARKOV

Las cadenas de Markov fueron introducidas por el matemaacutetico ruso Andrey Markov (1856-1922) alrededor de 1905 Su intencioacuten era crear un modelo probabiliacutestico para analizar la frecuencia con la que aparecen las vocales en poemas y textos literarios El eacutexito del modelo propuesto por Markov radica en que es lo suficientemente complejo como para describir ciertas caracteriacutesticas no triviales de algunos sistemas pero al mismo tiempo es lo suficientemente sencillo para ser analizado matemaacuteticamente

Su trabajo teoacuterico en el campo de los procesos en los que estaacuten involucrados componentes aleatorios (procesos estocaacutesticos) dariacutean fruto en un instrumento matemaacutetico que actualmente se conoce como cadena de Maacuterkov secuencias de valores de una variable aleatoria en las que el valor de la variable en el futuro depende del valor de la variable en el presente pero es independiente de la historia de dicha variable Las cadenas de Maacuterkov hoy diacutea se consideran una herramienta esencial en

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disciplinas como la economiacutea la ingenieriacutea la investigacioacuten de operaciones y muchas otras

CADENA DE MARKOV

Las cadenas de markov son modelos probabiliacutesticos que se usan para predecir la evolucioacuten y el comportamiento a corto y a largo plazo de determinados sistemas

En principio fue dirigida a resolver problemas industriales sin embargo posteriormente se ha extendido a muchos otros campos como la economiacutea agricultura recursos ambientales recursos pesqueros etc

Resulta de gran intereacutes sobre todo en problemas complejos de gran tamantildeo

Las cadenas de Maacuterkov son una herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados

Una cadena de Maacuterkov por tanto representa un sistema que variacutea un estado a lo largo del tiempo siendo cada cambio una transicioacuten del sistema Dichos cambios no estaacuten predeterminados aunque siacute lo estaacute la probabilidad del proacuteximo estado en funcioacuten de los estados

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anteriores probabilidad que es constante a lo largo del tiempo (sistema homogeacuteneo en el tiempo) Eventualmente es una transicioacuten el nuevo estado puede ser el mismo que el anterior y es posible que exista la posibilidad de influir en las probabilidades de transicioacuten actuando adecuadamente sobre el sistema (decisioacuten)

Conceptos baacutesicos

Para el estudio de las cadenas de Maacuterkov deben tenerse en cuenta algunos conceptos claves como los siguientes

1 Estados

El estado de un sistema en un instante t es una variable cuyos valores solo pueden pertenecer al conjunto de estaos en el sistema El sistema modelizado por la cadena por lo tanto es una variable que cambia con el valor del tiempo cambio al que llamamos transicioacuten

2 Matriz de transicioacuten

Los elementos de matriz representan la probabilidad de que el estado proacuteximo sea el correspondiente a la columna si el estado actual es el correspondiente a la fila

Posee 3 propiedades baacutesicas

La suma de las probabilidades de los estados debe ser igual a 1

La matriz de transicioacuten debe ser cuadrada

Las probabilidades de transicioacuten deben estar entre 0 y 1

Distribucioacuten actual (Vector Po) Es la manera en la que se distribuyen las probabilidades de los estados en un periodo inicial (periodo 0) Esta informacioacuten te permitiraacute averiguar cuaacutel seraacute la distribucioacuten en periodos posteriores

Estado estable Se puede decir que el estado estable es la distribucioacuten de probabilidades que en cierto punto quedaraacute fija para el vector P y no presentaraacute cambios en periodos posterioresPor consiguiente un estado es recurrente siacute y solo si no es transitorio

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ESTADO ABSORBENTES Un estado tal que si el proceso entra en eacutel permaneceraacute indefinidamente en este estado (ya que las probabilidades de pasar a cualquiera de los otros son cero) se dice estado absorbente

De una cadena de Markov que consta de estados transitorios y absorbentes se dice que es una cadena absorbente de Markov

Si una cadena de Markov contiene alguacuten estado absorbente la liacutenea de la matriz de transicioacuten correspondiente a las probabilidades de transicioacuten de dicho estado constaraacute de un 1 en la diagonal principal y ceros en los demaacutes elementos Seraacute por lo tanto una matriz no regular

Para poder estudiar las cadenas de Markov absorbentes es preciso reordenar la matriz de transicioacuten de forma que las filas correspondientes a los estados absorbentes aparezcan en primer lugar Asiacute ordenada se diraacute que la matriz de transicioacuten estaacute en la forma canoacutenica

Donde

I Matriz Identidad

0Matriz Nula

N Matriz No Absorbente

A Matriz Absorbente

El valor esperado se calcula como

V Esp=(I-N)^-1

La probabilidad de caer en los estados absorbentes se calcula como

P=A(I-N)^-1

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ELEMENTOS DE UNA CADENA DE MARKOV

Un conjunto finito de M estados exhaustivos y mutuamente excluyentes (ejemplo estados de la enfermedad)

Ciclo de markov (ldquopasordquo) periodo de tiempo que sirve de base para examinar las transiciones entre estados (ejemplo un mes)

Probabilidades de transicioacuten entre estados en un ciclo (matriz P)

Distribucioacuten inicial del sistema entre los M estados posibles

TIPO DE CADENAS DE MARKOV

Dependiendo del nuacutemero de estados del sistema pueden ser

FINITAS

Es una cadena de Markov para la que existe soacutelo un nuacutemero finito k de estados posibles s1sk y en cualquier instante de tiempo la cadena estaacute en uno de estos k estados

Consisten en sucesiones finitas de pruebas cada una de las cuales tiene un nuacutemero finito de sucesos con probabilidades dadas Procesos de este tipo reciben el nombre de Procesos estocaacutesticos

INFINITAS

La ocurrencia de los eventos se considera indeterminada pero tienden a una situacioacuten de estabilizacioacuten

COMPONENTES

Estado Condiciones iniciales y finales del proceso de Markov

Ensayo Ocurrencias repetidas del evento que se estudia

Probabilidad de Transicioacuten (pij ) Probabilidad de pasar del estado actual al siguiente

1

iSPSS

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Matriz de transicioacuten (P) Es una matriz cuadrada cuyos elementos son pij

MODELO MATEMATICO CADENA INFINITA

S1(t) + S2(t) +hellip + Sn(t) = 1 ldquo n estados ldquo

pi1 + pi2 + hellip + pin = 1

La transicioacuten de un periodo al siguiente se expresa como

S (t + 1) = S (t) P

Para el primer periodo S (1) = S (0) P

Para el segundo periodo S (2) = S (1) P = S (0) P2

Para un periodo largo S = SP

MATRIZ ESTACIONARIA

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APLICACIOacuteN DEL METODO ldquoDE MARKOVrdquo EN UN CASO DE LA VIDA REAL

Caso 1

La Tienda de Don ldquoJoseacuterdquo estima lo siguiente

40 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas Negras en una semana compraraacuten Gaseosas de otro color la proacutexima semana

20 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas de Color en una semana compraraacuten Gaseosas Negras la proacutexima semana

Se Tiene inicialmente 119878_0= [04 06] Esto significa que en la semana el 40 de los clientes gaseoseros compraron Gaseosas Negras y el 60 compraron de otro Color

El administrador desea saber cuaacutel seraacute la eleccioacuten de clientes en las proacuteximas semanas

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Solucioacuten

P=[0 6 040 2 08]

S0= [04 06]

S ( t+1 )=S (t)P

S1= [0 4 06 ]lowast[0 6 0402 08 ]= [036064 ]

S2= [036 064 ]lowast[06 0402 08 ]=[03440656 ]

S3= [0344 0656 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0337606624 ]

S4=[0337606624 ]lowast[0 6 040 2 08]=[033504066496 ]

S5= [033504 066496 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [03340160665984 ]

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S6=[03340160665984 ]lowast[06 040 2 08 ]

iquest [0333606406663936 ]

S7= [03336064 06663936 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [033344256 066655744 ]

S8=[033344256066655744 ]lowast[0 6 0 402 0 8]

iquest [0333377024 0666622976 ]

S9=[03333770240666622976 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0333350809606666491904 ]

S10=[03333508096 06666491904 ][0 6 0 402 0 8 ]

iquest [03333403238 06666596762 ]

De los anteriores caacutelculos podemos observarse que despueacutes de t = 3 el

mercado alcanza un equilibrio o un estado estable en el sentido que el

mercado no cambia notablemente con el tiempo

COMPROBANDO

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[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

iquest [06S1+02 S20 4 S1+08S2 ]

S1=06 S1+02S2

S2=04S1+0 8S2

S1+S2=1

Resolviendo tenemosResolver en mathcad y colocar los resultados119930120783=( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas negrardquo119930120784= ( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas de otro color rdquo

Por lo tanto queda demostrado que los clientes Gaseores consumiraacuten gaseosas de otro color la primara semana

Graficando el aacuterbol

Probabilidad de consumir ldquogaseosa negrardquo o ldquogaseosa de colorrdquo en cada etapa

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Resumen de resultados

Meacutetodo recursivoMeacutetodo estado estacionario

Meacutetodo de aacuterbol

Gaseosanegra

0344

Gaseosade otro color

0656

ConclusioacutenEl producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

CASO 2

GN

04

02 064 x 02 0128

064 x 08 0512

GN

GC

GN

GC

P

036

064GC

08

036 x 04 0144 Gaseosa negra = 0344

Gaseosa de color= 0656

036 x 06 021606

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La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

| 15

F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

| 16

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

| 17

Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

| 18

BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

| 3

Anaacutelisis de Markov

El anaacutelisis de Markov llamado asiacute por los estudios realizados por el ruso Andreacutei Andreacuteyevich Maacuterkov entre 1906 y 1907 sobre la secuencia de los experimentos conectados en cadena y la necesidad de descubrir matemaacuteticamente los fenoacutemenos fiacutesicos La teoriacutea de Markov se desarrolloacute en las deacutecadas de 1930 y 1940 por ANKolmagoron WFeller WDoeblin PLevy JLDoob y otros

El anaacutelisis de Markov es una forma de analizar el movimiento actual de alguna variable a fin de pronosticar el movimiento futuro de la misma Este meacutetodo ha comenzado a usarse en los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

ANDREY MARKOV

Las cadenas de Markov fueron introducidas por el matemaacutetico ruso Andrey Markov (1856-1922) alrededor de 1905 Su intencioacuten era crear un modelo probabiliacutestico para analizar la frecuencia con la que aparecen las vocales en poemas y textos literarios El eacutexito del modelo propuesto por Markov radica en que es lo suficientemente complejo como para describir ciertas caracteriacutesticas no triviales de algunos sistemas pero al mismo tiempo es lo suficientemente sencillo para ser analizado matemaacuteticamente

Su trabajo teoacuterico en el campo de los procesos en los que estaacuten involucrados componentes aleatorios (procesos estocaacutesticos) dariacutean fruto en un instrumento matemaacutetico que actualmente se conoce como cadena de Maacuterkov secuencias de valores de una variable aleatoria en las que el valor de la variable en el futuro depende del valor de la variable en el presente pero es independiente de la historia de dicha variable Las cadenas de Maacuterkov hoy diacutea se consideran una herramienta esencial en

| 4

disciplinas como la economiacutea la ingenieriacutea la investigacioacuten de operaciones y muchas otras

CADENA DE MARKOV

Las cadenas de markov son modelos probabiliacutesticos que se usan para predecir la evolucioacuten y el comportamiento a corto y a largo plazo de determinados sistemas

En principio fue dirigida a resolver problemas industriales sin embargo posteriormente se ha extendido a muchos otros campos como la economiacutea agricultura recursos ambientales recursos pesqueros etc

Resulta de gran intereacutes sobre todo en problemas complejos de gran tamantildeo

Las cadenas de Maacuterkov son una herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados

Una cadena de Maacuterkov por tanto representa un sistema que variacutea un estado a lo largo del tiempo siendo cada cambio una transicioacuten del sistema Dichos cambios no estaacuten predeterminados aunque siacute lo estaacute la probabilidad del proacuteximo estado en funcioacuten de los estados

| 5

anteriores probabilidad que es constante a lo largo del tiempo (sistema homogeacuteneo en el tiempo) Eventualmente es una transicioacuten el nuevo estado puede ser el mismo que el anterior y es posible que exista la posibilidad de influir en las probabilidades de transicioacuten actuando adecuadamente sobre el sistema (decisioacuten)

Conceptos baacutesicos

Para el estudio de las cadenas de Maacuterkov deben tenerse en cuenta algunos conceptos claves como los siguientes

1 Estados

El estado de un sistema en un instante t es una variable cuyos valores solo pueden pertenecer al conjunto de estaos en el sistema El sistema modelizado por la cadena por lo tanto es una variable que cambia con el valor del tiempo cambio al que llamamos transicioacuten

2 Matriz de transicioacuten

Los elementos de matriz representan la probabilidad de que el estado proacuteximo sea el correspondiente a la columna si el estado actual es el correspondiente a la fila

Posee 3 propiedades baacutesicas

La suma de las probabilidades de los estados debe ser igual a 1

La matriz de transicioacuten debe ser cuadrada

Las probabilidades de transicioacuten deben estar entre 0 y 1

Distribucioacuten actual (Vector Po) Es la manera en la que se distribuyen las probabilidades de los estados en un periodo inicial (periodo 0) Esta informacioacuten te permitiraacute averiguar cuaacutel seraacute la distribucioacuten en periodos posteriores

Estado estable Se puede decir que el estado estable es la distribucioacuten de probabilidades que en cierto punto quedaraacute fija para el vector P y no presentaraacute cambios en periodos posterioresPor consiguiente un estado es recurrente siacute y solo si no es transitorio

| 6

ESTADO ABSORBENTES Un estado tal que si el proceso entra en eacutel permaneceraacute indefinidamente en este estado (ya que las probabilidades de pasar a cualquiera de los otros son cero) se dice estado absorbente

De una cadena de Markov que consta de estados transitorios y absorbentes se dice que es una cadena absorbente de Markov

Si una cadena de Markov contiene alguacuten estado absorbente la liacutenea de la matriz de transicioacuten correspondiente a las probabilidades de transicioacuten de dicho estado constaraacute de un 1 en la diagonal principal y ceros en los demaacutes elementos Seraacute por lo tanto una matriz no regular

Para poder estudiar las cadenas de Markov absorbentes es preciso reordenar la matriz de transicioacuten de forma que las filas correspondientes a los estados absorbentes aparezcan en primer lugar Asiacute ordenada se diraacute que la matriz de transicioacuten estaacute en la forma canoacutenica

Donde

I Matriz Identidad

0Matriz Nula

N Matriz No Absorbente

A Matriz Absorbente

El valor esperado se calcula como

V Esp=(I-N)^-1

La probabilidad de caer en los estados absorbentes se calcula como

P=A(I-N)^-1

| 7

ELEMENTOS DE UNA CADENA DE MARKOV

Un conjunto finito de M estados exhaustivos y mutuamente excluyentes (ejemplo estados de la enfermedad)

Ciclo de markov (ldquopasordquo) periodo de tiempo que sirve de base para examinar las transiciones entre estados (ejemplo un mes)

Probabilidades de transicioacuten entre estados en un ciclo (matriz P)

Distribucioacuten inicial del sistema entre los M estados posibles

TIPO DE CADENAS DE MARKOV

Dependiendo del nuacutemero de estados del sistema pueden ser

FINITAS

Es una cadena de Markov para la que existe soacutelo un nuacutemero finito k de estados posibles s1sk y en cualquier instante de tiempo la cadena estaacute en uno de estos k estados

Consisten en sucesiones finitas de pruebas cada una de las cuales tiene un nuacutemero finito de sucesos con probabilidades dadas Procesos de este tipo reciben el nombre de Procesos estocaacutesticos

INFINITAS

La ocurrencia de los eventos se considera indeterminada pero tienden a una situacioacuten de estabilizacioacuten

COMPONENTES

Estado Condiciones iniciales y finales del proceso de Markov

Ensayo Ocurrencias repetidas del evento que se estudia

Probabilidad de Transicioacuten (pij ) Probabilidad de pasar del estado actual al siguiente

1

iSPSS

| 8

Matriz de transicioacuten (P) Es una matriz cuadrada cuyos elementos son pij

MODELO MATEMATICO CADENA INFINITA

S1(t) + S2(t) +hellip + Sn(t) = 1 ldquo n estados ldquo

pi1 + pi2 + hellip + pin = 1

La transicioacuten de un periodo al siguiente se expresa como

S (t + 1) = S (t) P

Para el primer periodo S (1) = S (0) P

Para el segundo periodo S (2) = S (1) P = S (0) P2

Para un periodo largo S = SP

MATRIZ ESTACIONARIA

| 9

APLICACIOacuteN DEL METODO ldquoDE MARKOVrdquo EN UN CASO DE LA VIDA REAL

Caso 1

La Tienda de Don ldquoJoseacuterdquo estima lo siguiente

40 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas Negras en una semana compraraacuten Gaseosas de otro color la proacutexima semana

20 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas de Color en una semana compraraacuten Gaseosas Negras la proacutexima semana

Se Tiene inicialmente 119878_0= [04 06] Esto significa que en la semana el 40 de los clientes gaseoseros compraron Gaseosas Negras y el 60 compraron de otro Color

El administrador desea saber cuaacutel seraacute la eleccioacuten de clientes en las proacuteximas semanas

| 10

Solucioacuten

P=[0 6 040 2 08]

S0= [04 06]

S ( t+1 )=S (t)P

S1= [0 4 06 ]lowast[0 6 0402 08 ]= [036064 ]

S2= [036 064 ]lowast[06 0402 08 ]=[03440656 ]

S3= [0344 0656 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0337606624 ]

S4=[0337606624 ]lowast[0 6 040 2 08]=[033504066496 ]

S5= [033504 066496 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [03340160665984 ]

| 11

S6=[03340160665984 ]lowast[06 040 2 08 ]

iquest [0333606406663936 ]

S7= [03336064 06663936 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [033344256 066655744 ]

S8=[033344256066655744 ]lowast[0 6 0 402 0 8]

iquest [0333377024 0666622976 ]

S9=[03333770240666622976 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0333350809606666491904 ]

S10=[03333508096 06666491904 ][0 6 0 402 0 8 ]

iquest [03333403238 06666596762 ]

De los anteriores caacutelculos podemos observarse que despueacutes de t = 3 el

mercado alcanza un equilibrio o un estado estable en el sentido que el

mercado no cambia notablemente con el tiempo

COMPROBANDO

| 12

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

iquest [06S1+02 S20 4 S1+08S2 ]

S1=06 S1+02S2

S2=04S1+0 8S2

S1+S2=1

Resolviendo tenemosResolver en mathcad y colocar los resultados119930120783=( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas negrardquo119930120784= ( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas de otro color rdquo

Por lo tanto queda demostrado que los clientes Gaseores consumiraacuten gaseosas de otro color la primara semana

Graficando el aacuterbol

Probabilidad de consumir ldquogaseosa negrardquo o ldquogaseosa de colorrdquo en cada etapa

| 13

Resumen de resultados

Meacutetodo recursivoMeacutetodo estado estacionario

Meacutetodo de aacuterbol

Gaseosanegra

0344

Gaseosade otro color

0656

ConclusioacutenEl producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

CASO 2

GN

04

02 064 x 02 0128

064 x 08 0512

GN

GC

GN

GC

P

036

064GC

08

036 x 04 0144 Gaseosa negra = 0344

Gaseosa de color= 0656

036 x 06 021606

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La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

| 15

F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

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F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

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Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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disciplinas como la economiacutea la ingenieriacutea la investigacioacuten de operaciones y muchas otras

CADENA DE MARKOV

Las cadenas de markov son modelos probabiliacutesticos que se usan para predecir la evolucioacuten y el comportamiento a corto y a largo plazo de determinados sistemas

En principio fue dirigida a resolver problemas industriales sin embargo posteriormente se ha extendido a muchos otros campos como la economiacutea agricultura recursos ambientales recursos pesqueros etc

Resulta de gran intereacutes sobre todo en problemas complejos de gran tamantildeo

Las cadenas de Maacuterkov son una herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados

Una cadena de Maacuterkov por tanto representa un sistema que variacutea un estado a lo largo del tiempo siendo cada cambio una transicioacuten del sistema Dichos cambios no estaacuten predeterminados aunque siacute lo estaacute la probabilidad del proacuteximo estado en funcioacuten de los estados

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anteriores probabilidad que es constante a lo largo del tiempo (sistema homogeacuteneo en el tiempo) Eventualmente es una transicioacuten el nuevo estado puede ser el mismo que el anterior y es posible que exista la posibilidad de influir en las probabilidades de transicioacuten actuando adecuadamente sobre el sistema (decisioacuten)

Conceptos baacutesicos

Para el estudio de las cadenas de Maacuterkov deben tenerse en cuenta algunos conceptos claves como los siguientes

1 Estados

El estado de un sistema en un instante t es una variable cuyos valores solo pueden pertenecer al conjunto de estaos en el sistema El sistema modelizado por la cadena por lo tanto es una variable que cambia con el valor del tiempo cambio al que llamamos transicioacuten

2 Matriz de transicioacuten

Los elementos de matriz representan la probabilidad de que el estado proacuteximo sea el correspondiente a la columna si el estado actual es el correspondiente a la fila

Posee 3 propiedades baacutesicas

La suma de las probabilidades de los estados debe ser igual a 1

La matriz de transicioacuten debe ser cuadrada

Las probabilidades de transicioacuten deben estar entre 0 y 1

Distribucioacuten actual (Vector Po) Es la manera en la que se distribuyen las probabilidades de los estados en un periodo inicial (periodo 0) Esta informacioacuten te permitiraacute averiguar cuaacutel seraacute la distribucioacuten en periodos posteriores

Estado estable Se puede decir que el estado estable es la distribucioacuten de probabilidades que en cierto punto quedaraacute fija para el vector P y no presentaraacute cambios en periodos posterioresPor consiguiente un estado es recurrente siacute y solo si no es transitorio

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ESTADO ABSORBENTES Un estado tal que si el proceso entra en eacutel permaneceraacute indefinidamente en este estado (ya que las probabilidades de pasar a cualquiera de los otros son cero) se dice estado absorbente

De una cadena de Markov que consta de estados transitorios y absorbentes se dice que es una cadena absorbente de Markov

Si una cadena de Markov contiene alguacuten estado absorbente la liacutenea de la matriz de transicioacuten correspondiente a las probabilidades de transicioacuten de dicho estado constaraacute de un 1 en la diagonal principal y ceros en los demaacutes elementos Seraacute por lo tanto una matriz no regular

Para poder estudiar las cadenas de Markov absorbentes es preciso reordenar la matriz de transicioacuten de forma que las filas correspondientes a los estados absorbentes aparezcan en primer lugar Asiacute ordenada se diraacute que la matriz de transicioacuten estaacute en la forma canoacutenica

Donde

I Matriz Identidad

0Matriz Nula

N Matriz No Absorbente

A Matriz Absorbente

El valor esperado se calcula como

V Esp=(I-N)^-1

La probabilidad de caer en los estados absorbentes se calcula como

P=A(I-N)^-1

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ELEMENTOS DE UNA CADENA DE MARKOV

Un conjunto finito de M estados exhaustivos y mutuamente excluyentes (ejemplo estados de la enfermedad)

Ciclo de markov (ldquopasordquo) periodo de tiempo que sirve de base para examinar las transiciones entre estados (ejemplo un mes)

Probabilidades de transicioacuten entre estados en un ciclo (matriz P)

Distribucioacuten inicial del sistema entre los M estados posibles

TIPO DE CADENAS DE MARKOV

Dependiendo del nuacutemero de estados del sistema pueden ser

FINITAS

Es una cadena de Markov para la que existe soacutelo un nuacutemero finito k de estados posibles s1sk y en cualquier instante de tiempo la cadena estaacute en uno de estos k estados

Consisten en sucesiones finitas de pruebas cada una de las cuales tiene un nuacutemero finito de sucesos con probabilidades dadas Procesos de este tipo reciben el nombre de Procesos estocaacutesticos

INFINITAS

La ocurrencia de los eventos se considera indeterminada pero tienden a una situacioacuten de estabilizacioacuten

COMPONENTES

Estado Condiciones iniciales y finales del proceso de Markov

Ensayo Ocurrencias repetidas del evento que se estudia

Probabilidad de Transicioacuten (pij ) Probabilidad de pasar del estado actual al siguiente

1

iSPSS

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Matriz de transicioacuten (P) Es una matriz cuadrada cuyos elementos son pij

MODELO MATEMATICO CADENA INFINITA

S1(t) + S2(t) +hellip + Sn(t) = 1 ldquo n estados ldquo

pi1 + pi2 + hellip + pin = 1

La transicioacuten de un periodo al siguiente se expresa como

S (t + 1) = S (t) P

Para el primer periodo S (1) = S (0) P

Para el segundo periodo S (2) = S (1) P = S (0) P2

Para un periodo largo S = SP

MATRIZ ESTACIONARIA

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APLICACIOacuteN DEL METODO ldquoDE MARKOVrdquo EN UN CASO DE LA VIDA REAL

Caso 1

La Tienda de Don ldquoJoseacuterdquo estima lo siguiente

40 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas Negras en una semana compraraacuten Gaseosas de otro color la proacutexima semana

20 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas de Color en una semana compraraacuten Gaseosas Negras la proacutexima semana

Se Tiene inicialmente 119878_0= [04 06] Esto significa que en la semana el 40 de los clientes gaseoseros compraron Gaseosas Negras y el 60 compraron de otro Color

El administrador desea saber cuaacutel seraacute la eleccioacuten de clientes en las proacuteximas semanas

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Solucioacuten

P=[0 6 040 2 08]

S0= [04 06]

S ( t+1 )=S (t)P

S1= [0 4 06 ]lowast[0 6 0402 08 ]= [036064 ]

S2= [036 064 ]lowast[06 0402 08 ]=[03440656 ]

S3= [0344 0656 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0337606624 ]

S4=[0337606624 ]lowast[0 6 040 2 08]=[033504066496 ]

S5= [033504 066496 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [03340160665984 ]

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S6=[03340160665984 ]lowast[06 040 2 08 ]

iquest [0333606406663936 ]

S7= [03336064 06663936 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [033344256 066655744 ]

S8=[033344256066655744 ]lowast[0 6 0 402 0 8]

iquest [0333377024 0666622976 ]

S9=[03333770240666622976 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0333350809606666491904 ]

S10=[03333508096 06666491904 ][0 6 0 402 0 8 ]

iquest [03333403238 06666596762 ]

De los anteriores caacutelculos podemos observarse que despueacutes de t = 3 el

mercado alcanza un equilibrio o un estado estable en el sentido que el

mercado no cambia notablemente con el tiempo

COMPROBANDO

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[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

iquest [06S1+02 S20 4 S1+08S2 ]

S1=06 S1+02S2

S2=04S1+0 8S2

S1+S2=1

Resolviendo tenemosResolver en mathcad y colocar los resultados119930120783=( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas negrardquo119930120784= ( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas de otro color rdquo

Por lo tanto queda demostrado que los clientes Gaseores consumiraacuten gaseosas de otro color la primara semana

Graficando el aacuterbol

Probabilidad de consumir ldquogaseosa negrardquo o ldquogaseosa de colorrdquo en cada etapa

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Resumen de resultados

Meacutetodo recursivoMeacutetodo estado estacionario

Meacutetodo de aacuterbol

Gaseosanegra

0344

Gaseosade otro color

0656

ConclusioacutenEl producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

CASO 2

GN

04

02 064 x 02 0128

064 x 08 0512

GN

GC

GN

GC

P

036

064GC

08

036 x 04 0144 Gaseosa negra = 0344

Gaseosa de color= 0656

036 x 06 021606

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La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

| 15

F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

| 16

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

| 17

Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

| 18

BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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anteriores probabilidad que es constante a lo largo del tiempo (sistema homogeacuteneo en el tiempo) Eventualmente es una transicioacuten el nuevo estado puede ser el mismo que el anterior y es posible que exista la posibilidad de influir en las probabilidades de transicioacuten actuando adecuadamente sobre el sistema (decisioacuten)

Conceptos baacutesicos

Para el estudio de las cadenas de Maacuterkov deben tenerse en cuenta algunos conceptos claves como los siguientes

1 Estados

El estado de un sistema en un instante t es una variable cuyos valores solo pueden pertenecer al conjunto de estaos en el sistema El sistema modelizado por la cadena por lo tanto es una variable que cambia con el valor del tiempo cambio al que llamamos transicioacuten

2 Matriz de transicioacuten

Los elementos de matriz representan la probabilidad de que el estado proacuteximo sea el correspondiente a la columna si el estado actual es el correspondiente a la fila

Posee 3 propiedades baacutesicas

La suma de las probabilidades de los estados debe ser igual a 1

La matriz de transicioacuten debe ser cuadrada

Las probabilidades de transicioacuten deben estar entre 0 y 1

Distribucioacuten actual (Vector Po) Es la manera en la que se distribuyen las probabilidades de los estados en un periodo inicial (periodo 0) Esta informacioacuten te permitiraacute averiguar cuaacutel seraacute la distribucioacuten en periodos posteriores

Estado estable Se puede decir que el estado estable es la distribucioacuten de probabilidades que en cierto punto quedaraacute fija para el vector P y no presentaraacute cambios en periodos posterioresPor consiguiente un estado es recurrente siacute y solo si no es transitorio

| 6

ESTADO ABSORBENTES Un estado tal que si el proceso entra en eacutel permaneceraacute indefinidamente en este estado (ya que las probabilidades de pasar a cualquiera de los otros son cero) se dice estado absorbente

De una cadena de Markov que consta de estados transitorios y absorbentes se dice que es una cadena absorbente de Markov

Si una cadena de Markov contiene alguacuten estado absorbente la liacutenea de la matriz de transicioacuten correspondiente a las probabilidades de transicioacuten de dicho estado constaraacute de un 1 en la diagonal principal y ceros en los demaacutes elementos Seraacute por lo tanto una matriz no regular

Para poder estudiar las cadenas de Markov absorbentes es preciso reordenar la matriz de transicioacuten de forma que las filas correspondientes a los estados absorbentes aparezcan en primer lugar Asiacute ordenada se diraacute que la matriz de transicioacuten estaacute en la forma canoacutenica

Donde

I Matriz Identidad

0Matriz Nula

N Matriz No Absorbente

A Matriz Absorbente

El valor esperado se calcula como

V Esp=(I-N)^-1

La probabilidad de caer en los estados absorbentes se calcula como

P=A(I-N)^-1

| 7

ELEMENTOS DE UNA CADENA DE MARKOV

Un conjunto finito de M estados exhaustivos y mutuamente excluyentes (ejemplo estados de la enfermedad)

Ciclo de markov (ldquopasordquo) periodo de tiempo que sirve de base para examinar las transiciones entre estados (ejemplo un mes)

Probabilidades de transicioacuten entre estados en un ciclo (matriz P)

Distribucioacuten inicial del sistema entre los M estados posibles

TIPO DE CADENAS DE MARKOV

Dependiendo del nuacutemero de estados del sistema pueden ser

FINITAS

Es una cadena de Markov para la que existe soacutelo un nuacutemero finito k de estados posibles s1sk y en cualquier instante de tiempo la cadena estaacute en uno de estos k estados

Consisten en sucesiones finitas de pruebas cada una de las cuales tiene un nuacutemero finito de sucesos con probabilidades dadas Procesos de este tipo reciben el nombre de Procesos estocaacutesticos

INFINITAS

La ocurrencia de los eventos se considera indeterminada pero tienden a una situacioacuten de estabilizacioacuten

COMPONENTES

Estado Condiciones iniciales y finales del proceso de Markov

Ensayo Ocurrencias repetidas del evento que se estudia

Probabilidad de Transicioacuten (pij ) Probabilidad de pasar del estado actual al siguiente

1

iSPSS

| 8

Matriz de transicioacuten (P) Es una matriz cuadrada cuyos elementos son pij

MODELO MATEMATICO CADENA INFINITA

S1(t) + S2(t) +hellip + Sn(t) = 1 ldquo n estados ldquo

pi1 + pi2 + hellip + pin = 1

La transicioacuten de un periodo al siguiente se expresa como

S (t + 1) = S (t) P

Para el primer periodo S (1) = S (0) P

Para el segundo periodo S (2) = S (1) P = S (0) P2

Para un periodo largo S = SP

MATRIZ ESTACIONARIA

| 9

APLICACIOacuteN DEL METODO ldquoDE MARKOVrdquo EN UN CASO DE LA VIDA REAL

Caso 1

La Tienda de Don ldquoJoseacuterdquo estima lo siguiente

40 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas Negras en una semana compraraacuten Gaseosas de otro color la proacutexima semana

20 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas de Color en una semana compraraacuten Gaseosas Negras la proacutexima semana

Se Tiene inicialmente 119878_0= [04 06] Esto significa que en la semana el 40 de los clientes gaseoseros compraron Gaseosas Negras y el 60 compraron de otro Color

El administrador desea saber cuaacutel seraacute la eleccioacuten de clientes en las proacuteximas semanas

| 10

Solucioacuten

P=[0 6 040 2 08]

S0= [04 06]

S ( t+1 )=S (t)P

S1= [0 4 06 ]lowast[0 6 0402 08 ]= [036064 ]

S2= [036 064 ]lowast[06 0402 08 ]=[03440656 ]

S3= [0344 0656 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0337606624 ]

S4=[0337606624 ]lowast[0 6 040 2 08]=[033504066496 ]

S5= [033504 066496 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [03340160665984 ]

| 11

S6=[03340160665984 ]lowast[06 040 2 08 ]

iquest [0333606406663936 ]

S7= [03336064 06663936 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [033344256 066655744 ]

S8=[033344256066655744 ]lowast[0 6 0 402 0 8]

iquest [0333377024 0666622976 ]

S9=[03333770240666622976 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0333350809606666491904 ]

S10=[03333508096 06666491904 ][0 6 0 402 0 8 ]

iquest [03333403238 06666596762 ]

De los anteriores caacutelculos podemos observarse que despueacutes de t = 3 el

mercado alcanza un equilibrio o un estado estable en el sentido que el

mercado no cambia notablemente con el tiempo

COMPROBANDO

| 12

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

iquest [06S1+02 S20 4 S1+08S2 ]

S1=06 S1+02S2

S2=04S1+0 8S2

S1+S2=1

Resolviendo tenemosResolver en mathcad y colocar los resultados119930120783=( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas negrardquo119930120784= ( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas de otro color rdquo

Por lo tanto queda demostrado que los clientes Gaseores consumiraacuten gaseosas de otro color la primara semana

Graficando el aacuterbol

Probabilidad de consumir ldquogaseosa negrardquo o ldquogaseosa de colorrdquo en cada etapa

| 13

Resumen de resultados

Meacutetodo recursivoMeacutetodo estado estacionario

Meacutetodo de aacuterbol

Gaseosanegra

0344

Gaseosade otro color

0656

ConclusioacutenEl producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

CASO 2

GN

04

02 064 x 02 0128

064 x 08 0512

GN

GC

GN

GC

P

036

064GC

08

036 x 04 0144 Gaseosa negra = 0344

Gaseosa de color= 0656

036 x 06 021606

| 14

La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

| 15

F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

| 16

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

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Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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ESTADO ABSORBENTES Un estado tal que si el proceso entra en eacutel permaneceraacute indefinidamente en este estado (ya que las probabilidades de pasar a cualquiera de los otros son cero) se dice estado absorbente

De una cadena de Markov que consta de estados transitorios y absorbentes se dice que es una cadena absorbente de Markov

Si una cadena de Markov contiene alguacuten estado absorbente la liacutenea de la matriz de transicioacuten correspondiente a las probabilidades de transicioacuten de dicho estado constaraacute de un 1 en la diagonal principal y ceros en los demaacutes elementos Seraacute por lo tanto una matriz no regular

Para poder estudiar las cadenas de Markov absorbentes es preciso reordenar la matriz de transicioacuten de forma que las filas correspondientes a los estados absorbentes aparezcan en primer lugar Asiacute ordenada se diraacute que la matriz de transicioacuten estaacute en la forma canoacutenica

Donde

I Matriz Identidad

0Matriz Nula

N Matriz No Absorbente

A Matriz Absorbente

El valor esperado se calcula como

V Esp=(I-N)^-1

La probabilidad de caer en los estados absorbentes se calcula como

P=A(I-N)^-1

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ELEMENTOS DE UNA CADENA DE MARKOV

Un conjunto finito de M estados exhaustivos y mutuamente excluyentes (ejemplo estados de la enfermedad)

Ciclo de markov (ldquopasordquo) periodo de tiempo que sirve de base para examinar las transiciones entre estados (ejemplo un mes)

Probabilidades de transicioacuten entre estados en un ciclo (matriz P)

Distribucioacuten inicial del sistema entre los M estados posibles

TIPO DE CADENAS DE MARKOV

Dependiendo del nuacutemero de estados del sistema pueden ser

FINITAS

Es una cadena de Markov para la que existe soacutelo un nuacutemero finito k de estados posibles s1sk y en cualquier instante de tiempo la cadena estaacute en uno de estos k estados

Consisten en sucesiones finitas de pruebas cada una de las cuales tiene un nuacutemero finito de sucesos con probabilidades dadas Procesos de este tipo reciben el nombre de Procesos estocaacutesticos

INFINITAS

La ocurrencia de los eventos se considera indeterminada pero tienden a una situacioacuten de estabilizacioacuten

COMPONENTES

Estado Condiciones iniciales y finales del proceso de Markov

Ensayo Ocurrencias repetidas del evento que se estudia

Probabilidad de Transicioacuten (pij ) Probabilidad de pasar del estado actual al siguiente

1

iSPSS

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Matriz de transicioacuten (P) Es una matriz cuadrada cuyos elementos son pij

MODELO MATEMATICO CADENA INFINITA

S1(t) + S2(t) +hellip + Sn(t) = 1 ldquo n estados ldquo

pi1 + pi2 + hellip + pin = 1

La transicioacuten de un periodo al siguiente se expresa como

S (t + 1) = S (t) P

Para el primer periodo S (1) = S (0) P

Para el segundo periodo S (2) = S (1) P = S (0) P2

Para un periodo largo S = SP

MATRIZ ESTACIONARIA

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APLICACIOacuteN DEL METODO ldquoDE MARKOVrdquo EN UN CASO DE LA VIDA REAL

Caso 1

La Tienda de Don ldquoJoseacuterdquo estima lo siguiente

40 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas Negras en una semana compraraacuten Gaseosas de otro color la proacutexima semana

20 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas de Color en una semana compraraacuten Gaseosas Negras la proacutexima semana

Se Tiene inicialmente 119878_0= [04 06] Esto significa que en la semana el 40 de los clientes gaseoseros compraron Gaseosas Negras y el 60 compraron de otro Color

El administrador desea saber cuaacutel seraacute la eleccioacuten de clientes en las proacuteximas semanas

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Solucioacuten

P=[0 6 040 2 08]

S0= [04 06]

S ( t+1 )=S (t)P

S1= [0 4 06 ]lowast[0 6 0402 08 ]= [036064 ]

S2= [036 064 ]lowast[06 0402 08 ]=[03440656 ]

S3= [0344 0656 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0337606624 ]

S4=[0337606624 ]lowast[0 6 040 2 08]=[033504066496 ]

S5= [033504 066496 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [03340160665984 ]

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S6=[03340160665984 ]lowast[06 040 2 08 ]

iquest [0333606406663936 ]

S7= [03336064 06663936 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [033344256 066655744 ]

S8=[033344256066655744 ]lowast[0 6 0 402 0 8]

iquest [0333377024 0666622976 ]

S9=[03333770240666622976 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0333350809606666491904 ]

S10=[03333508096 06666491904 ][0 6 0 402 0 8 ]

iquest [03333403238 06666596762 ]

De los anteriores caacutelculos podemos observarse que despueacutes de t = 3 el

mercado alcanza un equilibrio o un estado estable en el sentido que el

mercado no cambia notablemente con el tiempo

COMPROBANDO

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[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

iquest [06S1+02 S20 4 S1+08S2 ]

S1=06 S1+02S2

S2=04S1+0 8S2

S1+S2=1

Resolviendo tenemosResolver en mathcad y colocar los resultados119930120783=( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas negrardquo119930120784= ( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas de otro color rdquo

Por lo tanto queda demostrado que los clientes Gaseores consumiraacuten gaseosas de otro color la primara semana

Graficando el aacuterbol

Probabilidad de consumir ldquogaseosa negrardquo o ldquogaseosa de colorrdquo en cada etapa

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Resumen de resultados

Meacutetodo recursivoMeacutetodo estado estacionario

Meacutetodo de aacuterbol

Gaseosanegra

0344

Gaseosade otro color

0656

ConclusioacutenEl producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

CASO 2

GN

04

02 064 x 02 0128

064 x 08 0512

GN

GC

GN

GC

P

036

064GC

08

036 x 04 0144 Gaseosa negra = 0344

Gaseosa de color= 0656

036 x 06 021606

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La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

| 15

F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

| 16

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

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Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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ELEMENTOS DE UNA CADENA DE MARKOV

Un conjunto finito de M estados exhaustivos y mutuamente excluyentes (ejemplo estados de la enfermedad)

Ciclo de markov (ldquopasordquo) periodo de tiempo que sirve de base para examinar las transiciones entre estados (ejemplo un mes)

Probabilidades de transicioacuten entre estados en un ciclo (matriz P)

Distribucioacuten inicial del sistema entre los M estados posibles

TIPO DE CADENAS DE MARKOV

Dependiendo del nuacutemero de estados del sistema pueden ser

FINITAS

Es una cadena de Markov para la que existe soacutelo un nuacutemero finito k de estados posibles s1sk y en cualquier instante de tiempo la cadena estaacute en uno de estos k estados

Consisten en sucesiones finitas de pruebas cada una de las cuales tiene un nuacutemero finito de sucesos con probabilidades dadas Procesos de este tipo reciben el nombre de Procesos estocaacutesticos

INFINITAS

La ocurrencia de los eventos se considera indeterminada pero tienden a una situacioacuten de estabilizacioacuten

COMPONENTES

Estado Condiciones iniciales y finales del proceso de Markov

Ensayo Ocurrencias repetidas del evento que se estudia

Probabilidad de Transicioacuten (pij ) Probabilidad de pasar del estado actual al siguiente

1

iSPSS

| 8

Matriz de transicioacuten (P) Es una matriz cuadrada cuyos elementos son pij

MODELO MATEMATICO CADENA INFINITA

S1(t) + S2(t) +hellip + Sn(t) = 1 ldquo n estados ldquo

pi1 + pi2 + hellip + pin = 1

La transicioacuten de un periodo al siguiente se expresa como

S (t + 1) = S (t) P

Para el primer periodo S (1) = S (0) P

Para el segundo periodo S (2) = S (1) P = S (0) P2

Para un periodo largo S = SP

MATRIZ ESTACIONARIA

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APLICACIOacuteN DEL METODO ldquoDE MARKOVrdquo EN UN CASO DE LA VIDA REAL

Caso 1

La Tienda de Don ldquoJoseacuterdquo estima lo siguiente

40 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas Negras en una semana compraraacuten Gaseosas de otro color la proacutexima semana

20 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas de Color en una semana compraraacuten Gaseosas Negras la proacutexima semana

Se Tiene inicialmente 119878_0= [04 06] Esto significa que en la semana el 40 de los clientes gaseoseros compraron Gaseosas Negras y el 60 compraron de otro Color

El administrador desea saber cuaacutel seraacute la eleccioacuten de clientes en las proacuteximas semanas

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Solucioacuten

P=[0 6 040 2 08]

S0= [04 06]

S ( t+1 )=S (t)P

S1= [0 4 06 ]lowast[0 6 0402 08 ]= [036064 ]

S2= [036 064 ]lowast[06 0402 08 ]=[03440656 ]

S3= [0344 0656 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0337606624 ]

S4=[0337606624 ]lowast[0 6 040 2 08]=[033504066496 ]

S5= [033504 066496 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [03340160665984 ]

| 11

S6=[03340160665984 ]lowast[06 040 2 08 ]

iquest [0333606406663936 ]

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iquest [0333350809606666491904 ]

S10=[03333508096 06666491904 ][0 6 0 402 0 8 ]

iquest [03333403238 06666596762 ]

De los anteriores caacutelculos podemos observarse que despueacutes de t = 3 el

mercado alcanza un equilibrio o un estado estable en el sentido que el

mercado no cambia notablemente con el tiempo

COMPROBANDO

| 12

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

iquest [06S1+02 S20 4 S1+08S2 ]

S1=06 S1+02S2

S2=04S1+0 8S2

S1+S2=1

Resolviendo tenemosResolver en mathcad y colocar los resultados119930120783=( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas negrardquo119930120784= ( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas de otro color rdquo

Por lo tanto queda demostrado que los clientes Gaseores consumiraacuten gaseosas de otro color la primara semana

Graficando el aacuterbol

Probabilidad de consumir ldquogaseosa negrardquo o ldquogaseosa de colorrdquo en cada etapa

| 13

Resumen de resultados

Meacutetodo recursivoMeacutetodo estado estacionario

Meacutetodo de aacuterbol

Gaseosanegra

0344

Gaseosade otro color

0656

ConclusioacutenEl producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

CASO 2

GN

04

02 064 x 02 0128

064 x 08 0512

GN

GC

GN

GC

P

036

064GC

08

036 x 04 0144 Gaseosa negra = 0344

Gaseosa de color= 0656

036 x 06 021606

| 14

La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

| 15

F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

| 16

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

| 17

Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

| 18

BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

1

iSPSS

| 8

Matriz de transicioacuten (P) Es una matriz cuadrada cuyos elementos son pij

MODELO MATEMATICO CADENA INFINITA

S1(t) + S2(t) +hellip + Sn(t) = 1 ldquo n estados ldquo

pi1 + pi2 + hellip + pin = 1

La transicioacuten de un periodo al siguiente se expresa como

S (t + 1) = S (t) P

Para el primer periodo S (1) = S (0) P

Para el segundo periodo S (2) = S (1) P = S (0) P2

Para un periodo largo S = SP

MATRIZ ESTACIONARIA

| 9

APLICACIOacuteN DEL METODO ldquoDE MARKOVrdquo EN UN CASO DE LA VIDA REAL

Caso 1

La Tienda de Don ldquoJoseacuterdquo estima lo siguiente

40 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas Negras en una semana compraraacuten Gaseosas de otro color la proacutexima semana

20 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas de Color en una semana compraraacuten Gaseosas Negras la proacutexima semana

Se Tiene inicialmente 119878_0= [04 06] Esto significa que en la semana el 40 de los clientes gaseoseros compraron Gaseosas Negras y el 60 compraron de otro Color

El administrador desea saber cuaacutel seraacute la eleccioacuten de clientes en las proacuteximas semanas

| 10

Solucioacuten

P=[0 6 040 2 08]

S0= [04 06]

S ( t+1 )=S (t)P

S1= [0 4 06 ]lowast[0 6 0402 08 ]= [036064 ]

S2= [036 064 ]lowast[06 0402 08 ]=[03440656 ]

S3= [0344 0656 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0337606624 ]

S4=[0337606624 ]lowast[0 6 040 2 08]=[033504066496 ]

S5= [033504 066496 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [03340160665984 ]

| 11

S6=[03340160665984 ]lowast[06 040 2 08 ]

iquest [0333606406663936 ]

S7= [03336064 06663936 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [033344256 066655744 ]

S8=[033344256066655744 ]lowast[0 6 0 402 0 8]

iquest [0333377024 0666622976 ]

S9=[03333770240666622976 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0333350809606666491904 ]

S10=[03333508096 06666491904 ][0 6 0 402 0 8 ]

iquest [03333403238 06666596762 ]

De los anteriores caacutelculos podemos observarse que despueacutes de t = 3 el

mercado alcanza un equilibrio o un estado estable en el sentido que el

mercado no cambia notablemente con el tiempo

COMPROBANDO

| 12

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

iquest [06S1+02 S20 4 S1+08S2 ]

S1=06 S1+02S2

S2=04S1+0 8S2

S1+S2=1

Resolviendo tenemosResolver en mathcad y colocar los resultados119930120783=( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas negrardquo119930120784= ( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas de otro color rdquo

Por lo tanto queda demostrado que los clientes Gaseores consumiraacuten gaseosas de otro color la primara semana

Graficando el aacuterbol

Probabilidad de consumir ldquogaseosa negrardquo o ldquogaseosa de colorrdquo en cada etapa

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Resumen de resultados

Meacutetodo recursivoMeacutetodo estado estacionario

Meacutetodo de aacuterbol

Gaseosanegra

0344

Gaseosade otro color

0656

ConclusioacutenEl producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

CASO 2

GN

04

02 064 x 02 0128

064 x 08 0512

GN

GC

GN

GC

P

036

064GC

08

036 x 04 0144 Gaseosa negra = 0344

Gaseosa de color= 0656

036 x 06 021606

| 14

La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

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F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

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F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

| 17

Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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APLICACIOacuteN DEL METODO ldquoDE MARKOVrdquo EN UN CASO DE LA VIDA REAL

Caso 1

La Tienda de Don ldquoJoseacuterdquo estima lo siguiente

40 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas Negras en una semana compraraacuten Gaseosas de otro color la proacutexima semana

20 de sus clientes que realizaron la compra de Gaseosas de Color en una semana compraraacuten Gaseosas Negras la proacutexima semana

Se Tiene inicialmente 119878_0= [04 06] Esto significa que en la semana el 40 de los clientes gaseoseros compraron Gaseosas Negras y el 60 compraron de otro Color

El administrador desea saber cuaacutel seraacute la eleccioacuten de clientes en las proacuteximas semanas

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Solucioacuten

P=[0 6 040 2 08]

S0= [04 06]

S ( t+1 )=S (t)P

S1= [0 4 06 ]lowast[0 6 0402 08 ]= [036064 ]

S2= [036 064 ]lowast[06 0402 08 ]=[03440656 ]

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S4=[0337606624 ]lowast[0 6 040 2 08]=[033504066496 ]

S5= [033504 066496 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [03340160665984 ]

| 11

S6=[03340160665984 ]lowast[06 040 2 08 ]

iquest [0333606406663936 ]

S7= [03336064 06663936 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [033344256 066655744 ]

S8=[033344256066655744 ]lowast[0 6 0 402 0 8]

iquest [0333377024 0666622976 ]

S9=[03333770240666622976 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0333350809606666491904 ]

S10=[03333508096 06666491904 ][0 6 0 402 0 8 ]

iquest [03333403238 06666596762 ]

De los anteriores caacutelculos podemos observarse que despueacutes de t = 3 el

mercado alcanza un equilibrio o un estado estable en el sentido que el

mercado no cambia notablemente con el tiempo

COMPROBANDO

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[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

iquest [06S1+02 S20 4 S1+08S2 ]

S1=06 S1+02S2

S2=04S1+0 8S2

S1+S2=1

Resolviendo tenemosResolver en mathcad y colocar los resultados119930120783=( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas negrardquo119930120784= ( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas de otro color rdquo

Por lo tanto queda demostrado que los clientes Gaseores consumiraacuten gaseosas de otro color la primara semana

Graficando el aacuterbol

Probabilidad de consumir ldquogaseosa negrardquo o ldquogaseosa de colorrdquo en cada etapa

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Resumen de resultados

Meacutetodo recursivoMeacutetodo estado estacionario

Meacutetodo de aacuterbol

Gaseosanegra

0344

Gaseosade otro color

0656

ConclusioacutenEl producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

CASO 2

GN

04

02 064 x 02 0128

064 x 08 0512

GN

GC

GN

GC

P

036

064GC

08

036 x 04 0144 Gaseosa negra = 0344

Gaseosa de color= 0656

036 x 06 021606

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La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

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F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

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F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

| 17

Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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Solucioacuten

P=[0 6 040 2 08]

S0= [04 06]

S ( t+1 )=S (t)P

S1= [0 4 06 ]lowast[0 6 0402 08 ]= [036064 ]

S2= [036 064 ]lowast[06 0402 08 ]=[03440656 ]

S3= [0344 0656 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0337606624 ]

S4=[0337606624 ]lowast[0 6 040 2 08]=[033504066496 ]

S5= [033504 066496 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [03340160665984 ]

| 11

S6=[03340160665984 ]lowast[06 040 2 08 ]

iquest [0333606406663936 ]

S7= [03336064 06663936 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [033344256 066655744 ]

S8=[033344256066655744 ]lowast[0 6 0 402 0 8]

iquest [0333377024 0666622976 ]

S9=[03333770240666622976 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0333350809606666491904 ]

S10=[03333508096 06666491904 ][0 6 0 402 0 8 ]

iquest [03333403238 06666596762 ]

De los anteriores caacutelculos podemos observarse que despueacutes de t = 3 el

mercado alcanza un equilibrio o un estado estable en el sentido que el

mercado no cambia notablemente con el tiempo

COMPROBANDO

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[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

iquest [06S1+02 S20 4 S1+08S2 ]

S1=06 S1+02S2

S2=04S1+0 8S2

S1+S2=1

Resolviendo tenemosResolver en mathcad y colocar los resultados119930120783=( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas negrardquo119930120784= ( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas de otro color rdquo

Por lo tanto queda demostrado que los clientes Gaseores consumiraacuten gaseosas de otro color la primara semana

Graficando el aacuterbol

Probabilidad de consumir ldquogaseosa negrardquo o ldquogaseosa de colorrdquo en cada etapa

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Resumen de resultados

Meacutetodo recursivoMeacutetodo estado estacionario

Meacutetodo de aacuterbol

Gaseosanegra

0344

Gaseosade otro color

0656

ConclusioacutenEl producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

CASO 2

GN

04

02 064 x 02 0128

064 x 08 0512

GN

GC

GN

GC

P

036

064GC

08

036 x 04 0144 Gaseosa negra = 0344

Gaseosa de color= 0656

036 x 06 021606

| 14

La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

| 15

F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

| 16

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

| 17

Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

| 18

BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

| 11

S6=[03340160665984 ]lowast[06 040 2 08 ]

iquest [0333606406663936 ]

S7= [03336064 06663936 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [033344256 066655744 ]

S8=[033344256066655744 ]lowast[0 6 0 402 0 8]

iquest [0333377024 0666622976 ]

S9=[03333770240666622976 ]lowast[06 0402 08 ]

iquest [0333350809606666491904 ]

S10=[03333508096 06666491904 ][0 6 0 402 0 8 ]

iquest [03333403238 06666596762 ]

De los anteriores caacutelculos podemos observarse que despueacutes de t = 3 el

mercado alcanza un equilibrio o un estado estable en el sentido que el

mercado no cambia notablemente con el tiempo

COMPROBANDO

| 12

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

iquest [06S1+02 S20 4 S1+08S2 ]

S1=06 S1+02S2

S2=04S1+0 8S2

S1+S2=1

Resolviendo tenemosResolver en mathcad y colocar los resultados119930120783=( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas negrardquo119930120784= ( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas de otro color rdquo

Por lo tanto queda demostrado que los clientes Gaseores consumiraacuten gaseosas de otro color la primara semana

Graficando el aacuterbol

Probabilidad de consumir ldquogaseosa negrardquo o ldquogaseosa de colorrdquo en cada etapa

| 13

Resumen de resultados

Meacutetodo recursivoMeacutetodo estado estacionario

Meacutetodo de aacuterbol

Gaseosanegra

0344

Gaseosade otro color

0656

ConclusioacutenEl producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

CASO 2

GN

04

02 064 x 02 0128

064 x 08 0512

GN

GC

GN

GC

P

036

064GC

08

036 x 04 0144 Gaseosa negra = 0344

Gaseosa de color= 0656

036 x 06 021606

| 14

La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

| 15

F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

| 16

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

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Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

[ S1S2 ]=[S1S2 ]lowast[0 6 0402 08 ]

iquest [06S1+02 S20 4 S1+08S2 ]

S1=06 S1+02S2

S2=04S1+0 8S2

S1+S2=1

Resolviendo tenemosResolver en mathcad y colocar los resultados119930120783=( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas negrardquo119930120784= ( )valor porcentual de clientes que compraran ldquogaseosas de otro color rdquo

Por lo tanto queda demostrado que los clientes Gaseores consumiraacuten gaseosas de otro color la primara semana

Graficando el aacuterbol

Probabilidad de consumir ldquogaseosa negrardquo o ldquogaseosa de colorrdquo en cada etapa

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Resumen de resultados

Meacutetodo recursivoMeacutetodo estado estacionario

Meacutetodo de aacuterbol

Gaseosanegra

0344

Gaseosade otro color

0656

ConclusioacutenEl producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

CASO 2

GN

04

02 064 x 02 0128

064 x 08 0512

GN

GC

GN

GC

P

036

064GC

08

036 x 04 0144 Gaseosa negra = 0344

Gaseosa de color= 0656

036 x 06 021606

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La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

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F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

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F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

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Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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Resumen de resultados

Meacutetodo recursivoMeacutetodo estado estacionario

Meacutetodo de aacuterbol

Gaseosanegra

0344

Gaseosade otro color

0656

ConclusioacutenEl producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

CASO 2

GN

04

02 064 x 02 0128

064 x 08 0512

GN

GC

GN

GC

P

036

064GC

08

036 x 04 0144 Gaseosa negra = 0344

Gaseosa de color= 0656

036 x 06 021606

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La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

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F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

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F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

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Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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La sentildeora Rosmery Tafur prepara yogurt artesanal para su venta y posee dos categoriacuteas para la elaboracioacuten la Fermentacioacuten y coagulacioacuten para lo cual se a de emplear el ensayo de Markov donde

Rosmery desea saber cuantos litros de yogurt venderaacute este mes y cuantos se perderaacuten si inicia con 40 litros en fermentacioacuten y 100 litros coagulados

Los Estados Absorbentes

Estado 1 Perdida

Estado 2 Vendidos

Los Estados del Proceso

Estado 3 Fermentacioacuten

Estado 4 Coagulacioacuten

Hallar la Matriz Fundamental

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F Cp

V

F

C

P =

Estados Absorbentes

Estados del proceso

P V F CP

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F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

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F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

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Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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F=[ IminusT ]minus1

F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=hellip

ArarrA Aminus1=I

[0 85 minus0600 082 ]lowast[x y

z w]=[1 00 1]

085 xminus060 z=1rarrx=118

085 yminus060w=0rarr y=086

0x + 082 z=0rarrz=0

0y + 082w=1rarrw=122

Entonces

P

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F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

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Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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F=[085 minus0600 0 82 ]

minus1

=[118 0 860 1 22]

F K=[118 0 860 1 22][015 0

012 080]iquest [028 0 690 15 098 ]

Tenemos

F CP V

FP CP FV CV

P V

P V

Conclusioacuten del Problema

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurt

Para la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

CONCLUSIOacuteN

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Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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Para concluir podemos decir que las cadenas de Markov son una

herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de

determinados tipos de procesos estocaacutesticos esto es procesos que

evolucionan de forma no determiniacutestica a lo largo del tiempo en

torno a un conjunto de estados

Este meacutetodo es muy importante ya que ha comenzado a usarse en

los uacuteltimos antildeos como instrumento de investigaciones de

mercadotecnia para examinar y pronosticar el comportamiento de

los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca y de

sus formas de cambio a otras marcas la aplicacioacuten de esta teacutecnica

ya no solo se limita a la mercadotecnia sino que su campo de

accioacuten se ha podido aplicar en diversos campos

Esperemos que este documentacion sea de gran utilidad y que los

conceptos contenidos queden explicados de manera clara

CONCLUSION ESPECIacuteFICA

El producto que maacutes consumiraacuten los gaseoseros en las proacuteximas semanas seraacuten las gaseosas de otro color ya que es la maacutes vendida seguacuten nuestra muestra

Al final concluimos que los litros que se venden son 126 y se pierden 26 litros de yogurtPara la sentildeora es una perdida inaceptable entonces se le recomienda mejorar el producto e implementar un mejor sistema de ventas

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml

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BIBLIOGRAFIacuteA

Peacuterez J (2011 3 de Junio) Andrei Markov Recuperado dehttpinvestigacindeoperacioneshtml

Morales L (2011 2 de Junio) Cadenas de Markov Recuperado dehttpingindustrialio2-blogspotmx201106cadenas-de-markovhtml