INTRODUCCIÓN

En la naturaleza hay muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales de tiempo,

estos son llamados movimientos periódicos. En Física se ha idealizado un tipo

de movimiento oscilatorio, en el que se considera que sobre el sistema no existe

la acción de las fuerzas de rozamiento, es decir, no existe disipación de energía y el

movimiento se mantiene invariable, sin necesidad de comunicarle energía exterior a este.

Este movimiento se llama MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

El movimiento Armónico Simple, un movimiento que se explica en el movimiento armónico

de una partícula tiene como aplicaciones a los péndulos, es así que podemos estudiar el

movimiento de este tipo de sistemas tan especiales, además de estudiar las expresiones de

la Energía dentro del Movimiento Armónico Simple.

EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Definición: es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora

elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.

Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se representa gráficamente

por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento

armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo

vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento.

Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto

cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia.

Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su

proyección (Q) sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento

armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la

circunferencia, se trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la

circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto

proyectado en el diámetro, realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo.

Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico simple de un

punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período (T/12,

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T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la

circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante

es una sinusoide, ya que la variación del tiempo t, se traduce como una variación del sen x,

donde x es el ángulo que forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es

proporcional al tiempo).

Elementos:

1. Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta

regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.

2. Elongación: es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición

de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.

3. Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la

posición de equilibrio.

4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se

designa con la letra "t".

5. Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo.

6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la

partícula oscilante.

Péndulo simple

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Definición: es llamado así porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo

largo de longitud l, que cumple las condiciones siguientes:

el hilo es inextensible

su masa es despreciable comparada con la masa del cuerpo

el ángulo de desplazamiento que llamaremos 0 debe ser pequeño

Como funciona: con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada con la masa

del cuerpo el ángulo de desplazamiento debe ser pequeño.

Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo

Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo simple, es

decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio

constante, es uno de ellos.

Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se

produce una oscilación periódica. Para estudiar esta oscilación es necesario proyectar las

fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo momento, y ver que componentes nos interesan

y cuáles no. Esto se puede observar en la figura 

Considerando únicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir, el arco que

se está recorriendo, podemos poner

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ml d2∝dt 2

+mg sin (∝ )=0

Donde no hemos hecho sino aplicar la segunda ley de newton. Esto se puede ver

considerando que el arco l∝ y , como les longitud del hilo y es constante, la aceleración

será l d2∝dt 2

. Por otra parte aplicando ∑ F⃗=ma⃗ , en este caso la fuerza es solo la de la

gravedad, mg que se descompone en una componente, que se contrarresta con la tensión,

más otra, que es la que exista el movimiento en la trayectoria marcada por el arco.

Esta ecuación diferencial no es nada fácil de resolver y por ello recurrimos a la

aproximación siguiente: suponiendo que el ángulo que desplazamos es pequeño, tomamos

que sen (∝ )≈∝ y asi tenemos que

d2∝dt2

+ gl

α=0

Que a veces también se expresa como.

∝+ gl

α=0

Esta ecuación es absolutamente análoga a la de un movimiento armónico simple, y por

tanto su solución también será teniendo, únicamente, la precaución de sustituir el valor

de  antiguo por el que tiene ahora para un péndulo

ω=√ gl

A partir de aquí se pueden extraer todas las demás relaciones para un péndulo simple, el

periodo, frecuencia, etc.

Período de un Péndulo

Período: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa.

Para determinar el período se utiliza la siguiente expresión T /N ° de Osc. (Tiempo

empleado dividido por el número de oscilaciones).

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El periodo de un péndulo es independiente de su amplitud. Esto significa que si se

tienen 2 péndulos iguales (longitud y masa), pero uno de ellos tiene una amplitud

de recorrido mayor que el otro, en ambas condiciones la medida del periodo de

estos péndulos es el mismo.

El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su

longitud. Esto significa que el periodo de un péndulo puede aumentar o disminuir

de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de ese péndulo.

Aplicaciones

Algunas aplicaciones del péndulo son la medición del tiempo, el metrónomo y la plomada.

Otra aplicación se conoce como Péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la

rotación de la Tierra. Se llama así en honor del físico francés León Foucault y está

formado por una gran masa suspendida de un cable muy largo.

También sirve, puesto que un péndulo oscila en un plano fijo, como prueba efectiva de la

rotación de la Tierra, aunque estuviera siempre cubierta de nubes: En 1851 Jean León

Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris

(latitud≅ 49 º) Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre; el hilo de

arena que caía del cubo mientras oscilaba el Péndulo señalaba la trayectoria: demostró

experimentalmente que el plano de oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora y por

tanto que la Tierra rotaba.

Movimiento armónico simple resortes

Periodo (T) de un sistema vibratorio es el tiempo que requiere éste para completar un

ciclo o vibración completa. En el caso de la vibración, es el tiempo total para el

movimiento combinado, hacia atrás y hacia delante, del sistema. El periodo es el número

de segundos por ciclo.

Frecuencia (f) es el número de vibraciones que se realizan en la unidad de tiempo o el

número de ciclos por segundo. Como T es el tiempo para una vibración, f =1/T . La unidad

de frecuencia es el Hertz (Hz) que equivale a un ciclo/s.

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Grafica de un Movimiento Vibratorio se muestra en la Fig. El movimiento que ahí se

ilustra es el de ascenso y descenso de una masa sujeta en el extremo de un resorte. Un

ciclo completo es desde a hasta h, o desde c hasta d, o desde e hasta f . El tiempo que

transcurre en un ciclo es T, o sea el periodo.

Desplazamiento (x o y)

Es la distancia de la posición del objeto que vibra, medida desde la posición de equilibrio

(posición normal de reposo), es decir, desde el centro de su trayectoria de vibración.

Al desplazamiento máximo se le llama amplitud

Fuerza restauradora

Es aquella que se opone al desplazamiento del sistema; es necesaria para que ocurra una

vibración. En otras palabras, es una fuerza cuya dirección siempre es tal que empuja o jala

el sistema a su posición de equilibrio (reposo normal). En el caso de una masa en el

extremo de un resorte, al estirar el resorte, éste tira de la masa hacia atrás hasta llevarla a

su posición de equilibrio, mientras que un resorte comprimido la empuja hacia atrás hasta

llevarla también a la posición de equilibrio.

Movimiento Armónico Simple (MAS)

Es el movimiento vibratorio de un sistema que obedece la ley de Hooke ilustra un

movimiento armónico simple (MAS). Debido a la semejanza de su gráfica con las curvas de

las funciones seno y coseno, el MAS se llama con frecuencia movimiento senoidal.

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Una característica central del MAS os que el sistema oscila a una sola frecuencia

constante. Eso es lo que hace que el movimiento armónico sea “simple”.

Sistema Hookeano (un resorte, un alambre, una varilla, etc.)

Es aquel que regresa a su configuración original después de haber sido deformado, y a

continuación, dejado en libertad. Es más, cuando ese sistema se estira una distancia x

(para comprensión, x es negativa), la fuerza de restitución ejercida por el resorte se

expresa por la ley de Hooke.

F=−kx

El signo menos indica que la fuerza restauradora siempre tiene dirección opuesta a la de

la deformación. La constante del resorte k tiene unidades de N/m y es una medida de la

rigidez (dureza) del resorte. La mayoría de los resortes obedecen la ley de Hooke si las

deformaciones son pequeñas.

En algunas ocasiones es útil expresar dicha ley en términos de la fuerza externa F ext.

Necesaria para estirar el resorte una cierta cantidad x. Esta fuerza es el negativo de la

fuerza restauradora, y por lo tanto

F ext=kx

Energía Potencial Elástica almacenada en un resorte de Hooke (EPe) que se deforma una

distancia x S es 12

k x2.Si la amplitud del movimiento es x0 Para una masa sujeta en el

extremo de un resorte, entonces la energía de vibración del sistema esx=12

k x02 Para todo

tiempo. Sin embargo, esta energía está completamente almacenada en el resorte cuando

x=± x0 Esto es, cuando la masa tiene su máximo desplazamiento.

Intercambio de Energía entre la energía cinética y la energía potencial ocurre

constantemente en un sistema que vibra. Cuando éste pasa por su posición de equilibrio, la

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EC= máxima y la EPc=0. Cuando el sistema tiene su máximo desplazamiento, entonces

EC=0 y la EPc=maxima . De la ley de la conservación de la energía, en un sistema en el

que no hay pérdidas por fricción

EC+E Pc=constante

Para una masa m se encuentra en el extremo de un resorte (cuya propia masa es

despreciable), esta se convierte en

12

m v2+ 12

k x2=12

k x02

Donde x0 Es la amplitud del movimiento.

ARQUÍMEDES

Matemático, físico e ingeniero griego (c. 287–212 a. C.)

Arquímedes fue quizá el más grande científico de la antigüedad.

Fue el primero en calcular con precisión la proporción de la

circunferencia de un círculo a su diámetro, y también demostró

cómo calcular el volumen y el área superficial de las esferas,

cilindros y otras formas geométricas. Es bien conocido por

descubrir la naturaleza de la fuerza de flotación y también fue un

inventor genial.

Una de sus invenciones prácticas, todavía en uso actual, es el

tornillo de Arquímedes, un tubo anillado rotatorio e inclinado que

se usó originalmente para levantar agua de las galeras de los barcos. También inventó la

catapulta y vislumbró sistemas de palancas, poleas y pesos para levantar cargas pesadas.

Tales invenciones tuvieron una aplicación afortunada en la defensa de su ciudad natal,

Siracusa, durante un acoso de dos años por los romanos.

Fuerzas de flotación y principio de Arquímedes

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¿Alguna vez ha intentado empujar una pelota de playa hacia abajo del agua? Es

extremadamente difícil hacerlo debido a la gran fuerza hacia arriba que ejerce el agua

sobre la pelota. La fuerza hacia arriba que un fluido ejerce sobre cualquier objeto

sumergido se llama fuerza de flotación (boyante). Se puede determinar la magnitud de una

fuerza de flotación al aplicar algo de lógica. Imagine una porción de agua del tamaño de

una pelota de playa bajo la superficie del agua, como en la figura.

Ya que esta parte está en equilibrio, debe haber una fuerza hacia arriba que equilibre la

fuerza gravitacional hacia abajo sobre la porción. Esta fuerza hacia arriba es la fuerza de

flotación y su magnitud es igual al peso del agua en la porción. La fuerza de flotación es la

fuerza que resulta sobre la porción debido a todas las fuerzas aplicadas por el fluido que

rodean la porción.

Ahora imagine sustituir la porción de agua del tamaño de una pelota de playa con una

pelota de playa del mismo tamaño. La fuerza neta aplicada por el fluido que rodea la

pelota es la misma, sin importar si se aplica a una pelota de playa o a una porción de

agua.

En consecuencia, la magnitud de la fuerza de flotación sobre un objeto siempre es igual

al peso del fluido desplazado por el objeto. Este enunciado se conoce como principio de

Arquímedes.

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Con la pelota de playa bajo el agua, la fuerza de flotación, igual al peso de una porción de

agua del tamaño de la pelota de playa, es mucho mayor que el peso de la pelota de playa.

Por lo tanto, existe una gran fuerza neta hacia arriba, que explica por qué es tan difícil

sostener la pelota de playa bajo el agua. Note que el principio de Arquímedes no se refiere

a la configuración del objeto que experimenta la fuerza de flotación. La composición del

objeto no es un factor en la fuerza de flotación porque la fuerza de flotación la ejerce el

fluido.

Para comprender mejor el origen de la

fuerza de flotación, considere un cubo

sumergido en un líquido, como en la figura.

De acuerdo con la ecuación, la presión Pfondo

en el fondo del cubo es mayor que la presión

P¿en la parte superior por una cantidad

ρ fluido gh donde h es la altura del cubo y ρ fluido

es la densidad del fluido. La presión en el

fondo del cubo causa una fuerza hacia

arriba igual a ρ fondo A, donde A es el área de

la cara inferior. La presión en la parte

superior del cubo causa una fuerza hacia

abajo igual a P¿A.

La resultante de estas dos fuerzas es la fuerza de flotación B⃗ con magnitud

B=( P fondo−P¿ ) A=( ρ fluido gh )A

Fuerza de flotación

B=( ρfluido gV )

Donde V=Ah es el volumen del fluido desplazado por el cubo. Ya que el ρ fluido V es igual a

la masa de fluido desplazado por el objeto

B=Mg

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Donde Mg es el peso del fluido desplazado por el cubo. Este resultado es consistente con el

enunciado anterior acerca del principio de Arquímedes, en función de la discusión de la

pelota de la playa.

Bajo condiciones normales, el peso de un pez es ligeramente mayor que la fuerza de

flotación sobre el pez. Por ende, el pez se hundiría si no tuviese algún mecanismo para

ajustar la fuerza de flotación. El pez logra esto mediante la regulación interna del tamaño

de su vejiga natatoria llena de aire para aumentar su volumen y la magnitud de la fuerza

de flotación que actúa sobre él, de acuerdo con la ecuación. De esta forma, el pez es capaz

de nadar a diversas profundidades.

Caso 1: Objeto totalmente sumergido. Cuando un objeto está totalmente sumergido en un

fluido de densidad ρ fluido, la magnitud de la fuerza de flotación hacia arriba es

B=ρ fluido gV=ρ fluido g V obj, donde V obj es el volumen del objeto. Si el objeto tiene una masa

M y densidad ρobj, su peso es igual a Fg=M g=ρbj g V obj y la fuerza neta sobre el objeto es

B−Fg=( ρfluido−ρobj) g V obj . En consecuencia, si la densidad del objeto es menor que la

densidad del fluido, la fuerza gravitacional hacia abajo es menor que la fuerza de flotación

y el objeto sin apoyo acelera hacia arriba. Si la densidad del objeto es mayor que la

densidad del fluido, la fuerza de f flotación hacia arriba es menor que la fuerza

gravitacional hacia abajo y el objeto sin apoyo se hunde (figura). Si la densidad del objeto

sumergido es igual a la densidad del fluido, la fuerza neta sobre el objeto es cero y el

objeto permanece en equilibrio. Por lo tanto, la dirección de movimiento de un objeto

sumergido en un fluido está determinada por las densidades del objeto y el fluido.

Caso 2: Objeto que flota. Ahora considere un objeto de volumen V obj y densidad

ρobj<ρfluido en equilibrio estático que flota en la superficie de un fluido, es decir, un objeto

que solo está parcialmente sumergido. En este caso, la fuerza de flotación hacia arriba se

equilibra mediante la fuerza gravitacional hacia abajo que actúa en el objeto. Si V fluido es

el volumen del fluido desplazado por el objeto (este volumen es el mismo que el volumen de

dicha parte del objeto bajo la superficie del fluido), la fuerza de flotación tiene una

magnitud

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B=ρ fluido gV fluido

Ya que el peso del objeto es Fg=Mg=ρobj gV obj, y ya que Fg=B, se ve que

ρ fluido gV fluido=ρobj gV obj, o

V fluido

V obj=

ρobj

ρ fluido

Esta ecuación demuestra que la fracción del volumen de un objeto en flotación que está

debajo de la superficie del fluido es igual a la relación de la densidad del objeto a la del

fluido.

Principio de Pascal

En física, el principio de Pascal es una ley enunciada por el físico y matemático francés

Blaise Pascal (1623-1662) que se resume en la frase: «el incremento de la presión

aplicada a una superficie de un fluido incompresible, contenido en un recipiente

indeformable, se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo». Es

decir, que si se aplica presión a un líquido no comprimible en un recipiente cerrado, ésta

se transmite con igual intensidad en todas direcciones y sentidos. Este tipo de fenómeno se

puede apreciar, por ejemplo en la prensa hidráulica la cual funciona aplicando este

principio.

Aplicaciones

Prensa Hidráulica ó Prensa hidrostática:

Para Multiplicar una fuerza de acuerdo a la relación de áreas de los pistones.

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Frenos hidráulicos: Los frenos hidráulicos de los automóviles son una aplicación

importante del principio de Pascal. La presión que se ejerce sobre el pedal del freno se

transmite a través de todo el líquido a los pistones los cuales actúan sobre los discos de

frenado en cada rueda multiplicando la fuerza que ejercemos con los pies.

Refrigeración: La refrigeración se basa en la aplicación alternativa de presión elevada y

baja, haciendo circular un fluido en los momentos de presión por una tubería. Cuando el

fluido pasa de presión elevada a baja en el evaporador, el fluido se enfría y retira el calor

de dentro del refrigerador. Como el fluido se encuentra en un ciclo cerrado, al ser

comprimido por un compresor para elevar su temperatura en el condensador, que también

cambia de estado a líquido a alta presión, nuevamente está listo para volverse a expandir y

a retirar calor (recordemos que el frío no existe es solo una ausencia de calor).

Principio de Arquímedes

Es un principio físico que afirma que un cuerpo total o

parcialmente sumergido en un fluido estático, será empujado con

una fuerza vertical ascendente igual al peso del volumen de fluido

desplazado por dicho cuerpo. Esta fuerza recibe el nombre de

empuje hidrostático o de Arquímedes, y se mide en newtons (en el

SI).

El principio de Arquímedes se formula así:

E=mg=ρ f gV

Donde ρ f es la densidad del fluido, V el volumen del cuerpo sumergido y g la aceleración

de la gravedad, de este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del

cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar. El empuje actúa siempre verticalmente

hacia arriba y está aplicado en el centro de gravedad del fluido desalojado por el cuerpo;

este punto recibe el nombre de centro de carena.

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Historia

La anécdota más conocida sobre Arquímedes, matemático griego, cuenta cómo inventó un

método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular. Según cuentan,

una corona con forma de corona triunfal había sido fabricada para Hierón II, tirano

gobernador de Siracusa, el cual le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba

hecha de oro sólido o si un orfebre deshonesto le había agregado plata. Arquímedes tenía

que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla y convertirla en un

cuerpo regular para calcular su densidad.

Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en la tina cuando entraba, y así

se dio cuenta de que ese efecto podría usarse para determinar el volumen de la corona.

Debido a que la compresión del agua sería despreciable, la corona, al ser sumergida,

desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la

corona por el volumen de agua desplazada, se podría obtener la densidad de la corona. La

densidad de la corona sería menor si otros metales más baratos y menos densos le

hubieran sido añadidos. Entonces, Arquímedes salió corriendo desnudo por las calles, tan

emocionado estaba por su descubrimiento para recordar vestirse, gritando "¡Eureka!" (En

griego antiguo: "εὕρηκα!," que significa "¡Lo he encontrado!)"

La historia de la corona dorada no aparece en los trabajos conocidos de Arquímedes, pero

en su tratado Sobre los cuerpos flotantes él da el principio de hidrostática conocido como

el principio de Arquímedes. Este plantea que todo cuerpo sumergido en un fluido

experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido

desalojado es decir dos cuerpos que se sumergen en una superficie (ej: agua), y el más

denso o el que tenga compuestos más pesados se sumerge más rápido, es decir, tarda

menos tiempo, aunque es igual la distancia por la cantidad de volumen que tenga cada

cuerpo sumergido.

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