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Colégio Trilíngüe Inovação

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Prof. Denise Ortigosa Stolf

Aulas

Sumário

Números inteiros ....................................................................................................................................... 2

Bibliografia ............................................................................................................................................... 6

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NÚMEROS INTEIROS Slide 1

Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Números inteiros

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Slide 2 Números positivos e números negativos

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Em nosso dia-a-dia, muitas medidas ou contagens são representadas por números negativos. Medidas de temperaturas, dados de extratos bancários e saldos de gols são apenas alguns exemplos de situações em que os números negativos costumam aparecer.

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Situação 1

Em um mesmo dia, é possível encontrar dois locais no mundo com temperaturas muito diferentes. No dia 19 de março de 2007, por exemplo, a temperatura mínima em São Luís, no Maranhão, era 24°C, já em Berlim, na

Alemanha, registrava-se −1°C.

Você percebeu que, para indicar a temperatura em Berlim, usamos o sinal

negativo (−), mas para indicar a temperatura em São Luís, que foi positiva (estava acima de zero), não escrevemos o sinal positivo (+). Isso porque, na representação de valores positivos, o uso do sinal + junto ao número é optativo, na representação dos valores negativos, o uso do sinal −−−− deve, necessariamente, acompanhar o número a que se refere.

Já para representação do número zero (0), não usamos nenhum dos sinais, pois o zero não é positivo nem negativo.

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Situação 2

O extrato bancário a seguir descreve alguns créditos (valores positivos) e débitos (valores negativos) em uma conta-corrente e mostra como o saldo da conta ficou negativo.

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Situação 3

No Campeonato Brasileiro de Futebol, os números negativos podem aparecer no saldo de gols, ou seja, na diferença entre o número de gols marcados e o número de gols sofridos. Abaixo, apresentamos a classificação final de alguns times da série A no Campeonato Brasileiro de 2006.

Slide 6 Conjunto dos números inteiros

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O número - 4 é elemento do conjunto Z, assim como +5, que também pertence a esse conjunto.

Indicamos: - 4 ∈ Z e +5 ∈ Z (lê-se “- 4 pertence a Z e +5 pertence a Z”).

O conjunto dos números inteiros é, portanto, o conjunto formado pelos números naturais, acrescidos dos números negativos.

OBS:

{ }...5,4,3,2,1,0N =

{ }...,4,3,2,1,0,1,2,3,4...,Z −−−−=

• Em Z não há menor número, nem maior número;• O conjunto dos números inteiros sem o zero é representado por ;

• Todos os elementos do conjunto são também elementos do conjunto Z, isto é, N ⊂ Z (lê-se “ N está contido em Z”).

*Z{ }...,4,3,2,1,1,2,3,4...,Z* −−−−=

3 Slide 7 Representação dos números inteiros na reta

numérica

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O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à direita do número dado. Já o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à esquerda do número dado.

Por exemplo: o sucessor de - 4 é - 3, e o antecessor de - 4 é - 5.

Slide 8 Par ordenado: localização de pontos no plano

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Vamos ver como se constrói um sistema de coordenadas cartesianas:

• partindo-se de um ponto de referência, são traçadas duas retas perpendiculares e orientadas;

• cada reta orientada é chamada de eixo. Observe que o sentido de cada eixo indica o crescente dos números;

• o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou normalmente eixo x;

• o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou normalmente eixo y;

• o ponto de intersecção dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema, e corresponde ao par ordenado (0,0);

• nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um número: os números positivos à direita e acima da origem; os números negativos à esquerda e abaixo da origem.

• O sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano.

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Dessa maneira um ponto P (x,y) pode ser representado por um par de números que chamamos de par ordenado. O primeiro número do par indica a abscissa do ponto e o segundo número indica a ordenada. Por exemplo, P(3,4), teria sua representação assim:

Slide 10 Módulo ou valor absoluto de um número

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No esquema abaixo:• o menino está ao nível do mar, então dizemos que sua distância em relação

ao nível do mar é nula (0);• já a pipa está 6 m acima do nível do mar;• e o cardume 10 m abaixo do nível do mar.

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A distância de um ponto da reta numérica à origem é chamada de valor

absoluto, ou módulo, do número que corresponde a esse ponto.

Assim, o valor absoluto, ou módulo, do número +4 é 4 distância (do ponto A à origem). Da mesma forma, o módulo de - 3 é 3 (distância do ponto B à origem).

Indicamos o valor absoluto, ou módulo, de um número, colocando esse número entre duas barras paralelas. Por exemplo: o módulo de - 3 é representado por .

Exemplos:

55 =−

77 = 1010 =+

1818 =−

00 =

Slide 12 Números opostos ou simétricos

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Os pontos A’ e A representam, respectivamente, os números inteiros - 5 e 5. A distância do ponto A’ à origem é de 5 unidades, assim como a distância de A até a origem também é de 5 unidades. Os pontos A’ e A estão a uma mesma distância da origem, porém situados em lados opostos da reta numérica (em relação ao zero). Por isso, - 5 é 5 são chamados de números simétricos ou números opostos.

Exemplos:

• −7 e 7 são números opostos, ou simétricos.• 4 é o oposto de −4, e −4 é o oposto de 4.

4 Slide 13 Comparação de números inteiros

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Símbolos:

> Maior

< Menor

= Igual

Quanto mais à direita um número estiver na reta numérica, maior ele será.

1º) Os dois números são positivos

Quem é maior, 15 ou 21?

21 > 15 ou 15 < 21

2º) Um número é positivo e o outro é zero

Quem é maior, 0 ou 17?

17 > 0 ou 0 < 17

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3º) Um número é negativo e o outro é zero

Quem é maior, 0 ou - 17?

0 > - 17 ou - 17 < 0

4º) Um número é positivo e o outro é negativo

Quem é maior, 23 ou - 41?

23 > - 41 ou - 41 < 23

5º) Os dois números são negativos

Quem é maior, - 21 ou - 14?

- 14 > - 21 ou -21 < - 14

Slide 15 Operações com números inteiros

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Na adição, podemos encontrar dois casos:

Adição de números inteiros

Quando as duas parcelas têm o mesmo sinal: para somar dois números inteiros de mesmo sinal, somamos seus valores absolutos e atribuímos ao resultado o sinal comum a eles.

Quando as parcelas têm sinais diferentes: para somar dois números inteiros de sinais diferentes, devemos achar seus valores absolutos, subtraí-los e atribuir ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto.

Slide 16 Propriedades da adição de números inteiros

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Fechamento: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.a + b = b + a

Associativa: Na adição, podemos associar as parcelas de diferentes maneiras, pois o resultado será o mesmo.a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Elemento neutro: O elemento neutro da adição é o zero, que, somado a qualquer número inteiro, resulta no próprio número.a + 0 = a ou 0 + a = a

Elemento oposto: Qualquer número inteiro tem um oposto que, adicionado a ele, resulta no elemento neutro.a + (- a) = 0 ou (- a) + a = 0

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Subtração de números inteiros

Para subtrair números inteiros, somamos ao minuendo o oposto do subtraendo.

Adição algébrica

Vimos que a subtração com dois números inteiros equivale a uma adição do minuendo ao oposto do subtraendo. Por isso, a adição e a subtração com números inteiros são consideradas uma única operação: a adição algébrica.

A idéia de adição algébrica ajuda a simplificar uma expressão numérica pela eliminação dos parênteses e dos sinais de + e - das operações. Veja:

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=++−−=++−−+−−

128710

)12()8()7()10(

Podemos resolver essa expressão de duas maneiras:

1ª) Resolvendo as operações na ordem em que aparecem

2ª) Agrupando os valores e, ao final, calculando a diferença

3129

12817

128710

=+−=++−

=++−−

32017

128710

=+−=++−−

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Multiplicação de números inteiros

Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.

Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a⋅⋅⋅⋅bou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Exemplos:

a)

b)

c) d)3248 =⋅

15)3(5 −=−⋅

Slide 20 Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1)⋅⋅⋅⋅(+1) = (+1)

(–1)⋅⋅⋅⋅( –1) = (+1)

(+1)⋅⋅⋅⋅( –1) = (–1)

(–1)⋅⋅⋅⋅(+1) = (–1)

Com o uso das regras apresentadas, pode-se concluir que:

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Sinais dos números Resultado do produto

iguais positivo

diferentes negativo

Slide 21 Propriedades da multiplicação de números inteiros

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Fechamento: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Comutativa: Em uma multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto.a ⋅ b = b ⋅ a

Associativa: Na multiplicação com três ou mais fatores, podemos associar os fatores de maneiras diferentes, pois o resultado será o mesmo.a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c

Distributiva da multiplicação em relação à adição: Em uma multiplicação, dado por uma adição algébrica, podemos multiplicar o primeiro número pelas parcelas e adicionar os resultados.a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c )

Elemento neutro: O elemento neutro da multiplicação é o 1, que, multiplicado a qualquer número inteiro, resulta no próprio número.a ⋅ 1 = a ou 1 ⋅ a = a

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Divisão de números inteiros

Para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.

Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.(+ 20) : (+ 5) = + 4 ou (- 20) : (- 5) = + 4

Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.(+ 20) : (- 5) = - 4 ou (- 20) : (+ 5) = - 4

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos números Resultado do quociente

iguais positivo

diferentes negativo

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Potenciação de números inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

Expoente Base positiva Base negativa

Par Potência positiva Potência positiva

Ímpar Potência positiva Potência negativa

4434421vezesn

n aaaaa ⋅⋅⋅⋅= ... a é multiplicado por a n vezes

Sinal de uma potência de base não nula

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1ª) Produto de potências de mesma base

2ª) Quociente de potências de mesma base

3ª) Potência de uma potência

4ª) Potência de um produto ou de um quociente

mnmn aaa +=⋅

mnmn aaa −=:

( ) mnmn aa ⋅=

nnn

nnn

baba

baba

:):(

)(

=

⋅=⋅

Propriedades da potência no conjunto Z

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Raiz quadrada exata de um número inteiroVamos considerar o exemplo abaixo:

Ao descobrir que o número 3 ao quadrado é igual a 9, encontramos a raiz quadrada de 9. A operação realizada foi a radiciação. Dizemos que extraímos a raiz quadrada de 9. O símbolo da raiz quadrada é: ou .

A raiz quadrada de um número inteiro a é um número positivo b que, elevado ao quadrado, resulta em a.

Assim: é o mesmo que , com b > 0.

23339 =⋅=

2

ba = ab =2

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ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Bened ito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.

GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.

MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.

Bibliografia

BIBLIOGRAFIA

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática . São Paulo: Moderna, 2007.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.

GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.

MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.