Mate4 guia3

Universidad Nacional de MoqueguaCarrera Profesional de Ingeniería de Minas

Guia 03 Matemática IV_______________________________________________

A Determine la solución en cada ecuación diferencial de los problemas 1 al 24. Use lareducción de orden. Suponga un intervalo adecuado de validez.

1. y00 + 5y0 = 0; y1 = 1

2. y00 � y0 = 0; y1 = 1

3. y00 � 4y0 + y = 0; y1 = e2x

4. y00 + 2y0 + y = 0; y1 = xe�x

5. y00 + 16y = 0; y1 = cos 4x

6. y00 + 9y = 0; y1 = sen 3x

7. y00 � y = 0; y1 = cosh x

8. y00 � 25y = 0; y1 = e5x

9. 9y00 � 12y0 + 4y = 0; y1 = e2x=3

10. 6y00 + y0 � y = 0; y1 = ex=3

11. x2y00 � 7xy0 + 16y = 0; y1 = x4

12. x2y00 + 2xy0 � 6y = 0; y1 = x2

13. xy00 + y0 = 0; y1 = ln x

14. 4x2y00 + y0 = 0; y1 = x1=2 lnx

15. (1� 2x� x2) y00 + 2 (1 + x) y0 � 2y = 0; y1 = x+ 1

16. (1� x2) y00 � 2xy0 = 0; y1 = 1

17. x2y00 � xy0 + 2y = 0; y1 = x sen (lnx)

18. x2y00 � 3xy0 + 5y = 0; y1 = x2 cos (ln x)

19. (1 + 2x) y00 + 4xy0 � 4y = 0; y1 = e�2x

20. (1 + x) y00 + xy0 � y = 0; y1 = x

21. x2y00 � xy0 + y = 0; y1 = x

22. x2y00�� 20y = 0; y1 = x�4

1

23. x2y00 � 5xy0 + 9y = 0; y1 = x3 lnx

24. x2y00 + xy0 + y = 0; y1 = cos (lnx)

B Aplique el método de reducción para determinar una solución de la ecuaciónno homogénea dada en los problemas 25 a 28. La función indicada, y1 (x),es una solución de la ecuación homogénea asociada. Determine una segundasolución de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación nohomogenéa.

25. y00 � 4y = 2; y1 = e�2x

26. y00 + y0 = 1; y1 = 1

27. y00 � 3y0 + 2y = 5e3x; y1 = ex

28. y00 � 4y0 + 3y = x; y1 = ex

Problema para discusión:

(a) Haga una demostración convincente de que la ecuación de segundo orden ay00+by0 + cy = 0, a; b y c constantes siempre tiene cuando menos una solución dela forma y1 = em1x; donde m1 es una constante.

(b) Explique por qué la ecuación diferencial en la parte a. debe tener, en conse-cuencia,una segunda solución de la forma y2 = em2x o de la forma y2 = xem1x

donde m1 y m2 son constantes.

C En los problemas de 1 a 36 determine la solución general de cada ecuación diferencial.

1. 4y00 + y0 = 0

2. 2x00 � 5y0 = 0

3. y00 � 36y = 0

4. y00 � 8y = 0

5. y00 + 9y = 0

6. 3y00 + y = 0

7. y00 � y0 � 6y = 0

8. y00 � 3y0 + 2y = 0

9. d2ydx2+ 8 dy

dx+ 16y = 0

10. d2ydx2� 10 dy

dx+ 25y = 0

11. y00 + 3y0 � 5y = 0

2

12. y00 + 4y0 � y = 0

13. 12y00 � 5y0 � 2y = 0

14. 8y00 + 2y0 + y = 0

15. y00 � 4y0 + 5y = 0

16. 2y00 � 3y0 + 4y = 0

17. 3y00 + 2y0 + y = 0

18. 2y00 + 2y0 + y = 0

19. y000 � 4y00 � 5y0 = 0

20. 4y000 + 4y00 + y0 = 0

21. y000 � y = 0

22. y000 � 5y00 = 0

23. y000 � 5y00 + 3y0 � 9y = 0

24. y000 + 3y00 � 4y0 + 12y = 0

25. y000 + y00 � 2y = 0

26. y000 � y00 � 4y = 0

27. y000 + 3y00 + 3y0 + y = 0

28. y000 � 6y00 + 12y0 � 8y = 0

29. d4ydx4+ d3y

dx3+ d2y

dx2= 0

30. d4ydx4� 2 d2y

dx2+ y = 0

31. 16 d4ydx4+ 24 d

2ydx2+ 9y = 0

32. d4ydx4� 7 d2y

dx2� 18y = 0

33. d5ydx5� 16 dy

dx= 0

34. d5ydx5� 2 d4y

dx4+ 17 d

3ydx3= 0

35. d5ydx5+ 5 d

4ydx4� 2 d3y

dx3� 10 d2y

dx2+ dy

dx+ 5y = 0

36. 2 d5ydx5� 7 d4y

dx4+ 12 d

3ydx3+ 8 d

2ydx2= 0

D En los problemas 37 a 52 resuelva cada ecuación diferencial, sujeta a las condi-ciones iniciales indicadas.

3

37. y00 + 16y = 0; y (0) = 2; y0 (0) = �2

38. y00 � y = 0; y (0) = y0 (0) = 1

39. y00 + 6y0 + 5y = 0; y (0) = 0; y0 (0) = 3

40. y00 � 8y0 + 17y = 0; y (0) = 4; y0 (0) = �1

41. 2y00 � 2y0 + y = 0; y (0) = �1; y0 (0) = 0

42. y00 � 2y0 + y = 0; y (0) = 5; y0 (0) = 10

43. y00 + y0 + 2y = 0; y (0) = y0 (0) = 0

44. 4y00 � 4y0 � 3y = 0; y (0) = 1; y0 (0) = 5

45. y00 + 3y0 + 2y = 0; y (1) = 0; y0 (1) = 1

46. y00 + y = 0; y��3

�= 0; y0

��3

�= 2

47. y000 + 12y00 + 36y0 = 0; y (0) = 0; y0 (0) = 1; y00 (0) = �7

48. y000 + 2y00 � 5y0 � 6y = 0; y (0) = y0 (0) = 0; y00 (0) = 1

49. y000 � 8y = 0; y (0) = 0; y0 (0) = �1; y00 (0) = 0

50. d4ydx4= 0; y (0) = 2; y0 (0) = 3; y00 (0) = 4; y000 (0) = 5

51. d4ydx4� 3 d3y

dx3+ 3 d

2ydx2� dy

dx= 0; y (0) = y0 (0) = 0; y00 (0) = y000 (0) = 1

52. d4ydx4� y = 0; y (0) = y0 (0) = y00 (0) = 0; y000 (0) = 1

E En los problemas de 53 a 56 resuelva la ecuación diferencial respectiva, sujeta alas condiciones iniciales señaladas.

53. y00 � 10y0 + 25y = 0; y (0) = 1; y (1) = 0

54. y00 + 4y = 0; y (0) = 0; y (�) = 0

55. y00 + y = 0; y0 (0) = 0; y0��2

�= 2

56. y00 � y = 0; y (0) = 1; y0 (1) = 0

57. ¿Qué condiciones deben llenar los coe�cientes constantes a; b y c para garantizar quetodas las soluciones de la ecuación diferencial de segundo orden ay00 + by0 + cy = 0sean acotadas en el intervalo [0;1)?:En los problemas 1 a 26 resuelba las ecuaciones diferenciales por coefícientes inde-terminados.

1. y00 + 3y0 + 2y = 6

4

2. 4y00 + 9y = 15

3. y00 � 10y0 + 25y = 30x+ 3

4. y00 + y0 � 6y = 2x

5. 14y00 + y0 + y = x2 � 2x

6. y00 � 8y0 + 20y = 100x2 � 26xex

7. y00 + 3y = �48x2e3x

8. 4y00 + 4y0 � 3y = cos 2x

9. y00 � y0 = �3

10. y00 + 2y0 = 2x+ 5� e�2x

11. y00 � y0 + 14y = 3 + ex=2

12. y00 � 16y = 2e4x

13. y00 + 4y = 3 sen 2x

14. y00 + 4y = (x2 � 3) sen 2x

15. y00 + y = 2x sen x

16. y00 � 5y0 = 2x3 � 4x2 � x+ 6

17. y00 � 2y0 + 5y = ex cos 2x

18. y00 � 2y0 + 2y = e2x (cosx� 3 senx)

19. y00 + 2y0 + y = senx+ 3 cos 2x

20. y00 + 2y0 � 24y = 16 (x+ 2) e4x

21. y000 � 6y00 = 3� cosx

22. y000 � 2y00 � 4y0 + 8y = 6xe2x

23. y000 � 3y00 + 3y0 � y = x+ 4ex

24. y000 � y00 � 4y0 + 4y = 5� ex + e2x

25. y(4) + 2y00 + y = (x� 1)2

26. y(4) � y00 = 4x+ 2xe�x

F En los problemas 1 a 10, resuelva la ecuación diferencial respectiva, sujeta a lascondiciones iniciales indicadas.

5

1. y00 + 4y = �2; y��8

�= 1

2; y0

��8

�= 2

2. 2y00 + 3y0 + 2y = 14x2 � 4x� 11; y (0) = 0; y0 (0) = 0

3. 5y00 + y0 = �6x; y (0) = 0; y0 (0) = �10

4. y00 + 4y0 + 4y = (3 + x) e�2x; y (0) = 2; y0 (0) = 5

5. y00 + 4y0 + 5y = 35e�4x; y (0) = �3; y0 (0) = 1

6. y00 + y = cosh x; (0) = 2; y0 (0) = 12

7. d2xdt2+ w2x = F0 senwt; x (0) = 0; x

0 (0) = 0

8. d2xdt2+ w2x = F0 cos yt; x (0) = 0; x

0 (0) = 0

9. y000 � 2y00 + y0 = 2� 24ex + 40e5x; y (0) = 12; y0 (0) = 5

2; y00 (0) = �9

2

10. y000 + 8y = 2x� 5 + 8e�2x; y (0) = �5; y0 (0) = 3; y00 (0) = �4

G En los problemas 1 y 3, resuelva la ecuación diferencial sujeta a las condicionesen la frontera indicadas.

1. y00 + y = x2 + 1; y (0) = 5; y (1) = 0

2. y00 � 2y0 + 2y = 2x� 2; y (0) = 0; y (�) = �

3. Muchas veces, la función g(x) es discontinua en las aplicaciones. Resuelva el prob-lema de valores iniciales

y00 + 4y = g (x) ; y (0) = 1; y0 (0) = 2;

en donde g (x) =

�sen x; 0 � x � �

2

0; x > �2

[Sugerencia: resuelva el problema en los dos intervalos y después determine unasolución tal que y y y0 sean continuas en x = �=2:]

H En los problemas 1 a 10 escriba la ecuación diferencial dada en la forma L (y) =g (x) ; donde L es un operador diferencial lineal con coe�cientes. Si es posible,factorice L:

1. 900y � 4y = senx

2. y00 � 5y = x2 � 2x

3. y00 � 4y � 12y = x� 6

4. 2y00 � 3y0 � 2y = 1

5. y000 + 10y00 + 250 = ex

6. y000 + 4y0 = ex cos 2x

6

7. y000 + 2y00 � 13y0 + 10y = xe�x

8. y000 + 4y00 + 3y0 = x2 cosx� 3x

9. y(4) + 8y0 = 4

10. y(4) � 8y00 + 16y = (x3 � 2x) e4x

I En los problemas 1 a 4, determine un operador diferencial lineal que anule lafunción dada.

1. D4; y = 10x3 � 2x

2. 2D � 1; y = 4ex=2

3. (D2 � 2) (D + 5) ; y = e2x + 3e�5x

4. D2 + 64; y = 2 cos 8x� 5 sen 8x

J En los problemas 1 a 12, determine un operador diferencial lineal que anule lafunción dada.

1. 1 + 6x� 2x3

2. x3 (1 + 5x)

3. 1 + 7e2x

4. x+ 3xe6x

5. cos 2x

6. 1 + senx

7. 13x+ 9x2 � sen 4x

8. 8x� sen x+ 10 cos 5x

9. e�x + 2xex � x2ex

10. (2� ex)2

11. 3 + ex cos 2x

12. e�x sen x� e2x cosx

K En los problemas 1 a 8, determine funciones lineales independientes que anulenel operador diferencial dado.

1. D5

2. D2 + 4D

7

3. (D � 6) (2D + 3)

4. D2 � 9D � 36

5. D2 + 5

6. D2 � 6D + 10

7. D3 � 10D2 + 25D

8. D2 (D � 5) (D � 7)

L En los problemas 1 a 30 resuelva la respectiva ecuación diferencial por el métodode los coe�cientes indeterminados.

1. y00 � 9y = 54

2. 2y00 � 7y0 + 5y = �29

3. y00 + y0 = 3

4. y000 + 2y00 + y0 = 10

5. y00 + 4y0 + 4y = 2x+ 6

6. y00 + 3y0 = 4x� 5

7. y000 + y00 = 8x2

8. y00 � 2y0 + y = x3 + 4x

9. y00 � y0 � 12y = e4x

10. y00 + 2y0 + 2y = 5e6x

11. y00 � 2y0 � 3y = 4ex � 9

12. y00 + 6y0 + 8y = 3e�2x + 2x

13. y00 + 25y = 6 senx

14. y00 + 4y = 4 cos x+ 3 sen x� 8

15. y00 + 6y0 + 9y = �xe4x

16. y00 + 3y0 � 10y = x (ex + 1)

17. y00 � y = x2ex + 5

18. y00 + 2y0 + y = x2e�x

19. y00 � 2y0 + 5y = ex sen x

8

20. y000 + y0 + 14y = ex (sen 3x� cos 3x)

21. y00 + 25y = 20 sen 5x

22. y00 + y = 4 cos x� sen x

23. y00 + y0 + y = x sen x

24. y00 + 4y = cos2 x

25. y000 + 8y00 = �6x2 + 9x+ 2

26. y000 � y00 + y0 � y = xex � e�x + 7

27. y000 � 3y00 + 3y0 � y = ex � x+ 16

28. 2y000 � 3y00 � 3y0 + 2y = (ex + e�x)2

29. y(4) � 2y000 + y00 = ex + 1

30. y(4) � 4y00 = 5x2 � e2x

LL Resuelva la ecuación diferencial de cada uno de los problemas 1 a 8, sujeta alas condiciones iniciales dadas.

1. y00 � 64y = 16; y (0) = 1; y0 (0) = 0

2. y00 � ty0 = x; y (0) = 1; y0 (0) = 0

3. y00 � 5y0 = x� 2; y (0) = 0; y0 (0) = 2

4. y00 + 5y0 � 6y = 10e2x; y (0) = 1; y0 (0) = 1

5. y00 + y = 8 cos 2x� 4 senx; y��2

�= �1; y0

��2

�= 0

6. y000 � 2y00 + y0 = xex + 5; y (0) = 2; y0 (0) = 2; y00 (0) = �1

7. y00 � 4y0 + 8y = x3; y (0) = 2; y0 (0) = 4

8. y(4) � y000 = x+ ex; y (0) = 0; y0 (0) = 0; y00 (0) = 0; y000 (0) = 0

M Resolver las siguientes ecuaciones de Cauchy Euler

1. x2y00 + xy0 � y = 0

2. x2y00 + 3xy0 + y = 0

3. x2y00 + 2xy0 + 6y = 0

4. xy00 + y0 = 0

5. (x+ 2)2 y00 + 3 (x+ 2) y0 � 3y = 0

9

6. (2x+ 1)2 y00 � 2 (2x+ 1) y0 + 4y = 0

7. x2y000 � 3xy00 + 3y0 = 0

8. x2y000 = 2y0

9. (x+ 1)2 y000 � 12y0 = 0

10. (2x+ 1)2 y000 + 2 (2x+ 1) y00 + y0 = 0

11. x2y00 + xy0 + y = x (6� lnx)

12. x2y00 � xy0 + y = 2x

13. x2y00 � xy0 � 3y = �16 lnxx

14. x2y00 � 2xy0 + 2y = x2 � 2x+ 2

15. x2y00 + xy0 � y = xm; jmj 6= 1

16. x2y00 + 4xy0 + 2y = 2 ln2 x+ 12x

N Utilice el método de Variación de Parámetros

1. y00 + 4y = 1cos 2x

2. y00 + y = tan2 x

3. y00 � y = 2ex

ex�1

4. y00 � y0 = 1ex+1

5. y00 + y = 1psen5 x cosx

6. y000 � 2y00 � y0 + 2y = 2x3+x2�4x�6x4

7. y00 + y = 13psen7 x cos8 x

8. y00 � 2y0 + y = ex

x2+1

9. y00 + 2y0 + 2y = 1ex senx

10. y00 � y0 = e2x cos ex

11. y00 + y0 = � 1x

12. y00 + 3y0 + 2y = x(x+1)2

13. y00 + y = 1x2

10

14.

Dx� (D + 1) y = �et

x+ (D � 1) y = e2t

15.

(D + 2) x+ (D + 1) y = t

5x+ (D � 3) y = t2

16.

(D + 1) x+ (2D + 7) y = et + 2

�2x+ (D � 3) y = et � 1

(D � 1)x+ (D + 3) y = e�t � 1(D + 2) x+ (D + 1) y = e2t + t

17. �D2 + 16

�x� 6Dy = 0

6Dx+�D2 + 16

�y = 0

18. �D2 + 4

�x+ y = sen2 t�

D2 + 1�y � 2x = cos2 t

19. �D2 +D + 1

�x+

�D2 + 1

�y = et�

D2 +D�x+D2y = e�t

20.

(D � 1)x+ (D + 2) y = 1 + et

(D + 2) y + (D + 1) z = 2 + et

(D � 1)x+ (D + 1) z = 3 + et

21. Un peso de 2lb suspendido de un resorte lo estira 1:5pulgadas. Si el peso se hala3pulgadas por debajo de la posición de equilibrio y se suelta:

(a) Establezca una ecuación diferencial y condiciones que describan el movimiento.

(b) Encuentre la velocidad y posición del peso como una función del tiempo.

11

(c) Encuentre la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento.

(d) Determine la posición, velocidad y aceleración �=64 seg. después de soltar elpeso.

22. Un peso de 3lb en un resorte lo estira 6 pulgadas. Cuando se alcanza el equilibrioel peso se golpea con una velocidad hacia abajo de 2pies=seg: Encuentre:

(a) La velocidad y posición del peso en tiempo t seg. después del impacto;

(b) La amplitud, periodo y frecuencia;

(c) La velocidad y aceleración cuando el peso está 1 pulgada por encima de laposición de equilibrio y se mueve hacia arriba.

23. Un resorte suspendido de un techo tiene una constante de 12lb=pie: Un peso de 8lbse coloca en el resorte, y cuando se alcanza el equilibrio, el peso se eleva 5pulgadaspor encima de la posición de equilibrio y se suelta. Describa el movimiento dandola amplitud, periodo y frecuencia.

24. Un peso de 256lb está suspendido de un resorte vertical el cual tiene una constantede 200lb=pie: Si el peso se eleva 3pulgadas por encima de su posición de equilibrioy se suelta:

(a) Encuentre la posición del peso en un tiempo �=3 seg después y determine encuál dirección y qué tan rápido se está moviendo el peso en este tiempo.

(b) Encuentre la amplitud, periodo y frecuencia de la vibración.

(c) En qué tiempos está el peso 1:5 pulgadas por debajo de la posición de equilibrioy movíendose hacia abajo?

25. Un peso de 64lb está suspendido de un resorte con constante 50lb=pie. El pesoestá bajo la in�uencia de una fuerza resistente numéricamente en libras igual a 12veces la velocidad instantanea en pies por segundo. Si el peso se hala 6pulgadaspor debajo de la posición de equilibrio y se suelta, describa el movimiento, dandola amplitud tiempo variante y el periodo del movimiento.

26. Un resorte vertical con constante de 5lb=pie tiene suspendido un peso de 16lb: Seaplica una fuerza externa dada por F (t) = 24 sen 10; t � 0: Se asume que actúauna fuerza amortiguadora dada numéricamente igual en libras 4v, donde v es lavelocidad instantánea del peso en pies por segundo. Inicialmente el peso está enreposo en su posición de equilibrio. Determine la posición del peso en cualquiertiempo. Indique las soluciones transitoria y de estado estacionario. Encuentre laamplitud, periodo y frecuencia de la solució de estado estacionario.

27. Un resorte vertical con constante de 8lb=pie tiene suspendido un peso de 64lb: Seaplica una fuerza dada por F (t) = 16 cos 4t; t � 0: Asumiendo que al peso, inicial-mente en la posición de equilibrio, se le da una velocidad hacia arriba de 10pies=seg:y en la posicion de equilibrio, se le da una velocidad hacia arriba de 10pies/seg. y

12

que la fuerza amortiguadora es despreciables, determine la posición y velocidad delpeso en cualquier tiempo.Un resorte vertical con constante de 4lb=pie tiene acopladoun peso de 32lb. Se aplica una fuerza dada por F (t) = 16 sen 2t; t � 0: Asumiendoque en t = 0 el peso está en reposo en la posición de equilibrio y que la fuerza amor-tiguadora es despreciable. Establezca una ecuación diferencial y condiciones quedescriban el movimiento; Determine la posición y velocidad del peso en cualquiertiempo.

28. Se encontró experimentalmente que un peso de 4lb estira un resorte 6 pulgadas. Siel peso se suelta desde la posicion de equilibrio con una velocidad dirigida haciaabajo de 4pul/s, determine:

(a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.

(b) La ecuación del movimiento.

(c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después.

29. Una fuerza de 9lb estira un resorte 3 pulgadas. Un cuerpo que pesa 24 lb se sujetaa un resorte y se suelta desde un punto que está 3 pulgadas abajo de la posición deequilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 36pulgadas/s.

(a) Determine la ecuación del movimiento x (t) :

(b) ¿En qué instante pasa el cuerpo por la posición de equilibrio en dirección haciaarriba por tercera vez?

(c) ¿En que instantes está el cuerpo 3 pulgadas abajo de la posición de equilibrio?

30. Una fuerza de 10 N estira un resorte 0:125m. Después, al extremo libre de eseresorte se �ja una masa de 5kg:

(a) Encuentre la ecuación del movimiento si la masa se suelta desde un punto queestá a 0:4m arriba de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida haciaabajo de 1:2m=s:

(b) Escriba la ecuación del movimiento en su forma alternativa.

(c) ¿Cuántas oscilaciones completas realiza el cuerpo durante un intervalo de 8�segundos?

31. Cuando se sujeta una masa de 100kg al extremo de un gran resorte, éste se estira0:98m: Se quita esta masa y se reemplaza por una de 40kg; la cual se suelta desde unpunto que está 0:6m debajo de la posición de equilibrio, con una velocidad dirigidahaacia arriba de 4m=s:

(a) Determine la ecuación del movimiento.


(c) Obtenga los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio.

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32. Un cuerpo de 2kg se suspende de un resorte de constante 162N=m:

(a) Encuentre la ecuación del movimiento si la masa se suelta desde un punto a0:1m sobre la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de1:2m=s:


(c) Obtenga los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibriomoviéndose hacia arriba.

(d) ¿En qué posición se encuentra el cuerpo para t = �=8; �=9; �=3?

33. Se encontró experimentalmente que un cuerpo de 4lb estira un resorte 6pulgadas.El medio ofrece una resistencia al movimiento del cuerpo numéricamente igual a 2:5veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación del movimiento si el peso sedesplaza 4 pulgadas por debajo de la posicición de equilibrio y se suelta.

34. Se encontró experimentalmente que un cuerpo de 4lb estira un resorte 6pulgadas.El medio ofrece una resistencia al movimiento del cuerpo numéricamente igual a 2veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación del movimiento si el peso sedesplaza 4 pulgadas por debajo de la posicición de equilibrio y se suelta.

35. Después de que un cuerpo que pesa 10lb se sujeta a un resorte de 5ft de largo,el resorte mide 7ft: Se quita el cuerpo de 10lb y se reemplaza por uno de 8lb: Elsistema completo se coloca en un medio que ofrece una resistencia numéricamenteigual a la velocidad instantánea.

(a) Obtenga la ecuación del movimiento si el peso se suelta desde un punto que seencuentra 1=2ft abajo de la posición de equilibrio con una velocidad dirigidahacia abajo de 1ft=s:

(b) Encuentre los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrioen dirección hacia abajo.

36. Un peso de 2lb está sujeto a un resorte el cual tiene una constante de elasticidadde 4lb=ft: El peso se suelta desde un punto que se encuentra 6pulgadas abajo de laposición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 2ft=s; en un medioque presenta una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad in-stantánea. Determine:

(a) La ecuación del movimiento.

(b) Los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio.

(c) Los desplazamientos extremos del peso.

37. Un resorte vertical con constante de 6lb=ft tiene suspendida una masa de 1=2slug:Se aplica una fuerza externa dada por f (t) = 40 sen 2t, t � 0. Supóngase que actúauna fuerza amortiguadora numéricamente igual a dos veces la velocidad instantáneay que inicialmente el cuerpo está en reposo en su posición de equilibrio. Determinela posición del cuerpo en cualquier tiempo t > 0:

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38. Un peso de 4lb se suspende de un resorte cuya constante es de k = 8lb=ft: Supongaque una fuerza externa dada por f (t) = 4 cos 8t se aplica al resorte y que no hayamortiguamiento. Describa el movimiento que resulta si se asume que inicialmenteel peso está en la posición de equilibrio y que su velocidad inicial es cero.

39. Una masa de 1slug se encuentra suspendida de un resorte de constante de elasticidadigual a 4lb=ft y el sistema está inmerso en un medio que ofrece una resistencianuméricamente igual a 5 veces la velocidad instantánea. Si la masa se suelta 6pulgadas arriba de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajode 4ft=s: Encuentre la ecuación del movimiento, si actúa una fuerza externa sobrela masa dad por f (t) = 20 cos 2t+ 10 sen 2t:

40. Un peso de 32lb se sujeta a un resorte de constante de elasticidad igual a 5lb=ft. Elpeso y el resorte se sumergen en un medio que ofrece una resistencia numéricamenteigual a 6 veces la velocidad instantánea. El movimiento se inicia en un punto quese encuentra a 4 pulgadas abajo de la posición de equilibrio y partiendo del reposo.Encuentre la ecuación del movimiento si sobre el peso se aplica una fuerza externaigual a f (t) = e�t.

41. Un resorte tiene una constante de elasticidad igual a 1lb=ft. Un peso de 8lb sesuspende de un extremo del resorte y el sistema se coloca en un medio que ofreceuna resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si el peso se sueltaen resposo, 4 pulgadas sobre la posición de equilibrio y sobre él actúa una fuerzaexterna f (t) = 25 sen 4t, obtenga la ecuación del movimiento y su grá�ca.

42. Un peso de 3:2lb estira un resorte 6:4ft. Si el peso se suelta 3 pulgadas abajode la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 6ft=s y elmedio en que está el sistema masa resorte ofrece una fuerza de amortiguamientonuméricamente igual a la quinta parte de la velocidad instantánea, determine laecuación del movimiento si además se aplica al peso una fuerza externa dada porf (t) = e�t cos 2t:

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