Matemática: Unidad III

Unidad III

Prof.: Christiam Huertas

www.mathesm.blogspot.com

27/02/2012

Funciones elementales y límites

Las matemáticas son fáciles

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1


2

Funciones elementales y límites

Capítulo 1

Funciones elementales

Algunas funciones son de uso frecuente en matemáticas y otras áreas, por lo

que el conocimiento de sus principales características como dominio, rango y

gráfica, se hace indispensable.

1.1 Función constante

Es aquella función que asigna a todos los valores de su dominio un mismo valor

fijo; es decir, su rango está formado por un solo número.

Regla de correspondencia Gráfica

( ) ,

( )

( ) * +

Su gráfica es una recta horizontal que corta al eje en el punto ( ).

Ejemplo 1

Grafique las siguientes funciones: ( ) , ( ) y ( ) .

Solución

UNIDAD

III

𝑐

𝑋

𝑌


3

Gráfica de ( )

Gráfica de ( )

Gráfica de ( )

1.2 Función identidad

Es aquella función denotada por , cuyo dominio es y su gráfica es la recta

. Esta es la única función que actúa sobre todo número real y lo deja

igual.


( )

( )

( )

La función identidad es creciente en

todo su dominio.

Ejemplo 2

Determine la gráfica de la función ( ) si ⟨ -.

Solución

Se quiere graficar la función identidad en el dominio ⟨ -.


4

1.3 Función valor absoluto

Es aquella función cuyo dominio es .


( ) | |

( )

( ) , ⟩

Esta función tiene un cambio abrupto de dirección (una “esquina”) en el origen,

mientras que todas las demás funciones son “suaves” en sus dominios.

Ejemplo 3

Grafique la función ( ) | | si .

Solución

Se pide graficar la función valor absoluto en el dominio , ⟩.

1.4 Función lineal

Es aquella función cuyo dominio es . Su gráfica es una recta no horizontal.

La función lineal es creciente si su pendiente es positiva, y es decreciente si su

pendiente es negativa.


5


( )

( )

( )

A se le llama pendiente de la recta y a la ordenada en el origen.

Ejemplo 4

Grafique las siguientes funciones: ( ) y ( ) .

Solución

Gráfica de ( )

Gráfica de ( )

1.4.1 Funciones definidas por partes

Hay funciones que se definen por la unión de otras funciones, como se muestra

en el siguiente ejemplo. Se les llama funciones definidas por partes o funciones

definidas a trozos.

Ejemplo 5

Dada la función definida por ( ) {

Se pide:

𝑏/𝑎

𝑏


6

a. Evaluar ( ), ( ) y ( ).

b. Hallar su dominio.

c. Trazar su gráfica.

d. Hallar su rango.

Solución

Tenga en cuenta que la función está definida por partes; en este caso está

compuesta de tres funciones:

( ) si . Es decir, su dominio es ( ) , ⟩

( ) si . Es decir, su dominio es ( ) , ⟩

( ) si . Es decir, su dominio es ( ) ⟨ ⟩

a. Para hallar ( ) utilizamos : ( ) ( ) .

Para hallar ( ) utilizamos : ( ) .

Para hallar ( ) utilizamos : ( ) .

b. El dominio de la función esta formado por la unión de los dominios de

, y :

( ) ( ) ( ) ( )

, ⟩ , ⟩ ⟨ ⟩

c. Esbozamos la gráfica de la función :

Gráfica de la función

d. Utilicemos el gráfico de la función para hallar su rango (proyectamos su

gráfica sobre el eje ):

( )


7

1.5 Función cuadrática

Es aquella función cuyo dominio es . La gráfica de esta función, denominada

parábola, tiene una propiedad de reflexión que es útil en la fabricación de faros

y discos de satélites.


( )

( )

( ): depende del valor de .

Ejemplo 6

Gráfica de la función ( ) .

1.6 Función cúbica

Es aquella función cuyo dominio es . Es una función creciente en el intervalo

⟨ ⟩.


8


( )

( )

( )

El origen se denomina “punto de in-

flexión”, ya que, en ese punto, la grá-

fica cambia de curvatura.

Ejemplo 7

Determine la gráfica de la función ( ) en el dominio , ⟩.

Solución

Se pide graficar la función en el dominio , ⟩.

1.7 Función raíz cuadrada

Es aquella función cuyo dominio es el intervalo , ⟩.


( ) √

( ) , ⟩

( ) , ⟩


9

Ejemplo 8

Esboce la gráfica de la función ( ) √ si ⟨ -.

Solución

Se pide graficar la función raíz cuadrada en el dominio ⟨ -.

1.8 Función recíproca (o función inverso multiplicativo)

Es aquella función cuyo dominio es * +.


( )

( ) * +

( ) * +

Esta curva, denominada hipérbola equilátera, también tiene una propiedad de

reflexión que es útil en discos de satélites.

Ejemplo 9

Determine la gráfica de la función ( )

si .

Solución

Se pide graficar la función inverso multiplicativo en el dominio ⟨ ⟩.


10

1.9 Función logaritmo natural

Es aquella función cuyo dominio es todos los reales positivos ( ).


( )

( )

( )

Esta función crece muy lentamente.

Ejemplo 10

Determine la gráfica de la función ( ) si .

Solución

Se pide graficar la función ( ) en el dominio .


11

1.10 Función exponencial

Es aquella función cuyo dominio es .


( )

( )

( ) ⟨ ⟩

El número es un número irracional (al igual que ) que aparece en una

variedad de aplicaciones. El uso de los símbolos y fue popularizado por el

gran matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783).

Ejemplo 11

Determine la gráfica de la función ( ) si , -.

Solución

Se pide graficar la función ( ) en el dominio .

1.11 Función seno

Es aquella función cuyo dominio es . Como la función seno tiene periodo ,

se necesita graficarlo solo en el intervalo , -; el resto de la gráfica

consistirá en repeticiones de esta parte de la gráfica.


12


( )

( )

( ) , -

Ejemplo 12

Determine la gráfica de la función ( ) en el dominio , -.

Solución

Se pide graficar la función ( ) para , -.

1.12 Función coseno

Es aquella función cuyo dominio es . Como la función coseno también tiene

periodo , se necesita graficarlo solo en el intervalo , -; el resto de la

gráfica consistirá en repeticiones de esta parte de la gráfica.


( )

( )

( ) , -

Los extremos locales de la función coseno aparecen exactamente en los ceros

de la función seno, y viceversa.

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋


13

Ejemplo 13

Determine la gráfica de la función ( ) en el dominio , -.

Solución

Se pide graficar la función ( ) para , -.


14

Capítulo 2

Función lineal

Es probable que las funciones que se usan con más frecuencia sean las

funciones lineales, cuyas gráficas son líneas rectas. Son aquellas que tienen una

tasa constante de aumento o disminución.

2.1 Función lineal

Una función es lineal si su pendiente, o tasa de cambio, es igual en cualquier

lugar. En una función que no es lineal, la tasa de cambio varía de punto a punto.

Una función lineal tiene la forma

( )

Su gráfica es una recta donde

es la pendiente, o la razón de cambio de respecto a .

es la ordenada en el origen o valor de cuando es cero.

Intersecciones

Para encontrar la intersección de la gráfica con el eje , considere .

Para hallar la intersección con el eje , hay que establecer .

Ejemplo 1

Calcule las intersecciones con los ejes e , si , y trace la

gráfica de la ecuación.

Solución

Para encontrar la intersección con el eje , hacemos en la ecuación.

La intersección con el eje es .

/.

Para encontrar la intersección con el eje , hacemos en la ecuación.

( )


15

La intersección con el eje es ( ).

Utilicemos los puntos de intersección .

/ y ( ) para dibujar la gráfica.

Gráfica de

2.1.1 Pendiente de una recta

La pendiente de una recta que pasa por los puntos ( ) y ( ) es

Ejemplo 2 Determinación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( ) y ( ).

Solución

Puesto que dos puntos cualesquiera determinan una recta, solo una recta pasa

por esos dos puntos. De acuerdo con la definición, la pendiente es

Esto quiere decir que por cada 3 unidades que nos movamos hacia la derecha,

el desplazamiento vertical es de 2 unidades. La recta se ilustra en la figura.


16

Gráfica de

2.1.2 Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente

La ecuación de una recta con pendiente que pasa por el punto ( ) es

( )

Ejemplo 3

Determine la ecuación de la recta que pase por el punto ( ) y tenga

pendiente / .

Solución

El punto de paso es ( ) ( ) y la pendiente / .

Se sabe que la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente es

( )

Reemplazando los datos:

( )

( )

Gráfica de

( )

𝑃( )

𝑄( )


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Ejemplo 4 Determinación de la ecuación de una recta por medio de dos puntos dados

Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( ) y ( ).

Solución

La pendiente de la recta es

( )

Aplicamos la ecuación de una recta en la forma punto-pendiente que pasa por

el punto ( ) ( ). Se sabe que la ecuación está dada por

( )

( ( ))

Ejemplo 5

La basura que se genera cada año en una cierta ciudad está en aumento. La

basura generada en toneladas, fue de 205,2 en 1990 y de 220,2 en 1998.

a) Suponiendo que la cantidad de basura generada en esta ciudad es una

función lineal del tiempo, encuentre una fórmula para esta función

calculando la ecuación de la recta que pase por estos dos puntos.

b) Use esta fórmula para pronosticar la cantidad de basura que será generada

en el año 2020.

Solución

a) Sea ( ) la cantidad de basura que se genera en el año . Como es una

función lineal, debe ser de la forma

( )

Como pasa por los puntos ( ) y ( ), la pendiente

de la recta es

/

Reemplazamos la pendiente en :

( )

Remplazamos el punto ( ) para hallar :

( )

La ecuación de la recta es ( )


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b) Para pronosticar la basura en el año 2020 sustituimos en la

ecuación de la recta, ( ) y calculamos :

( ) ( )

Esta fórmula pronostica que en el año 2020 habrá 261,45 toneladas de

basura.

2.1.3 Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.

Ejemplo 6 Determinación de la ecuación de una recta paralela a una recta dada

Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ) que es paralela a

la recta .

Solución

Primero escribimos la ecuación de la recta dada en la forma de pendiente y

ordenada en el origen.

Por lo que la recta tiene pendiente

. Como la recta requerida es

paralela a la recta dada, tiene también pendiente

. De acuerdo con la

ecuación de la recta en la forma punto-pendiente, obtenemos

( )

( ) ( ) ( )

Por lo tanto, la ecuación de la recta requerida es .

2.1.4 Rectas perpendiculares

Dos rectas con pendientes y son perpendiculares si y solo si

Es decir, sus pendientes son recíprocas y de signo contrario:


19

Ejemplo 7 Determinación de la ecuación de una recta perpendicular a una recta dada

Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta

y que pasa por el origen.

Solución

Dando forma a la ecuación de la recta

Vemos que su pendiente es

. Por consiguiente, la pendiente de una

perpendicular es la pendiente recíproca y de signo negativo, es decir,

. Puesto

que la recta requerida pasa por ( ), la ecuación de la recta cuando se conoce

un punto y la pendiente es

( )

( )

Resumen de las formas de las ecuaciones lineales

Forma estándar

(Ni ni son 0)

Recta vertical

Pendiente indefinida; la intersecci-

ón con el eje es ( ).

Recta horizontal

La pendiente es 0; la intersección

con el eje es ( ).

Forma pendiente-intercepto

La pendiente es ; la intersección

con el eje es ( ).

( )

Forma punto-pendiente

La pendiente es ; la recta pasa

por ( ).


20

Capítulo 3

Función cuadrática

En el mundo de las comunicaciones y de la energía, la parábola está presente en

diversas formas. No es extraño hoy en día encontrarse con antenas parabólicas,

cocinas solares o estufas eléctricas de sección parabólica.

Por otra parte, las funciones cuadráticas, cuya representación gráfica es una

parábola, permiten modelar problemas y situaciones en que las funciones

lineales son insuficientes.

Una función cuadrática es una función de la forma

( )

donde , y son números reales y .

Ejemplo 1 Caso particular de una función cuadrática

En particular, si se toma y

, se obtiene la función cuadrática simple

( ) cuya gráfica es la parábola que

se dibujó anteriormente.

3.1 Forma estándar de una función cuadrática

Una función cuadrática ( ) se puede expresar en la forma

estándar

( ) ( )

completando el cuadrado. La gráfica de es una parábola con vértice ( ).

La parábola se abre hacia arriba si o hacia abajo si .


21

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

Ejemplo 2 Forma estándar de una función cuadrática

Sea ( ) .

a) Exprese en forma estándar.

b) Esboce la gráfica de .

Solución

a) Puesto que el coeficiente de no es 1, se debe factorizar este coeficiente

a partir de los términos relacionados con antes de completar el

cuadrado.

( )

( )

. ⏟ /

( )

La forma estándar es ( ) ( ) .

b) La forma estándar nos indica que el vértice de la parábola está en ( ) y

la parábola se abre hacia arriba.

( )

𝑘

𝑘

é ( 𝑘)

é ( 𝑘)


22

Ejemplo 3

Exprese la función cuadrática en la forma estándar, halle su vértice y sus

intersectos con el eje e y bosqueje su gráfica.

) ( ) ) ( )

) ( ) ) ( )

) ( ) ) ( )

Solución


23

3.2 Valor máximo o mínimo de una función cuadrática

Sea una función cuadrática con forma estándar ( ) ( ) . El

valor máximo o mínimo de ocurre en .

Si , entonces el valor mínimo de es ( ) .

Si , entonces el valor máximo de es ( ) .

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

Ejemplo 4 Valor mínimo de una función cuadrática

Considere la función cuadrática ( ) .

a) Exprese en la forma estándar.

b) Bosqueje la gráfica de .

c) Halle el valor mínimo de .

Solución

a) Para expresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el

cuadrado.

( )

( )

( )

(( ) )

( )

b) La gráfica es una parábola que tiene su vértice en ( ) y abre hacia

arriba, como se muestra en la figura de abajo.

c) Puesto que el coeficiente de es positivo, tiene un valor mínimo. El

valor mínimo es ( ) .

𝑘

𝑘

Mínimo

Máximo


24

Gráfica de

Ejemplo 5 Valor máximo de una función cuadrática

Considere la función cuadrática ( ) .

a) Exprese en la forma estándar.

b) Bosqueje la gráfica de .

c) Encuentre el valor máximo de .

Solución

a) Para expresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el

cuadrado.

( )

.

/

(.

/

)

.

/

b) De la forma estándar se puede observar que la gráfica es una parábola que

abre hacia arriba y tiene vértice .

/.

Como ayuda para trazar la gráfica, se encuentran las intersecciones. La

intersección con es ( ) . Para hallar las intersecciones con , se

establece ( ) y se resuelve dicha ecuación.

( )

( )( ) cuyas soluciones son: y

Valor

mínimo


25

Así, las intersecciones con el eje son y . La gráfica de

se muestra en la figura de abajo.

c) Puesto que el coeficiente de es negativo, tiene un valor máximo, que

es .

/

.

Gráfica de

Valor máximo o mínimo de una

función cuadrática

El valor máximo o mínimo de una función cuadrática ( )

ocurre en

Si , entonces el valor mínimo es .

/.

Si , entonces el valor máximo es .

/.

Ejemplo 6 Hallar valores máximos y mínimos de funciones cuadráticas

Halle el valor máximo y mínimo de cada función cuadrática.

) ( ) ) ( )

Solución

a) Esta es una función cuadrática con y . Por lo tanto, el valor

máximo o mínimo ocurre en

Valor máximo


26

Puesto que , la función tiene el valor mínimo

( ) ( ) ( )

b) Esta es una función cuadrática con y . Así, el valor máximo

o mínimo ocurre en

( )

Puesto que , la función tiene el valor máximo

( ) ( ) ( )

Ejemplo 7

Un fabricante puede producir discos de video digital (DVD) a un costo de S/. 2

por DVD. Los DVD se han estado vendiendo a S/. 5 la unidad, y a ese precio,

los consumidores han estado comprando 4000 DVD al mes. El fabricante

planea aumentar el precio de los DVD y estima que por cada S/. 1 de aumento

en el precio, se venderán 400 DVD menos cada mes.

a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al

cual se vendieron los DVD.

b) Dibuje la gráfica de la función de utilidad. ¿Qué precio corresponde a la

utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?

Solución

a) Comience planteando la relación deseada con palabras:

( )( )

b)


27

Capítulo 4

Límite de una función

El problema de límites de funciones aparece de la necesidad de dar un signifi-

cado a expresiones que están descritas en forma indeterminada, por ejemplo

expresiones como

, o

. Casos como estos lo encontramos en las funciones

( )

( )

( )

cuando queremos calcular ( ) o ( ). Los

procedimientos que utilizaremos para dar un sentido

a estas expresiones es llamado límites de funciones

que estudiaremos a continuación.

Como dato histórico se tiene que:

Al principio del siglo XIX, el cálculo había

demostrado ya su valor y no cabía duda acerca de la

validez de sus resultados. Sin embargo, no fue sino

hasta que se publicó el trabajo de Augustin Cauchy,

matemático francés (1789-1857) que se contó con

una definición formal de límite.

4.1 Valores indeterminados

Una de las operaciones prohibidas en la aritmética es la división por cero. Esto

porque no produce un resultado coherente.

Ejemplo 1 Ejemplos de expresiones indeterminadas

Supongamos que

, de aquí se obtiene que , lo que es falso.

Si suponemos que

, (donde el símbolo denota al infinito) tenemos que

,

Recordemos que no es un número real, pues si fuese se tendría que

lo que también es falso.


28

Por tanto las operaciones

no están definidas. El objetivo es dar un sentido a estas expresiones

indeterminadas.

Ejemplo 2

A qué valor se aproxima la función cuando esta próximo a .

( )

Solución

No podemos evaluar la función en el punto , porque ( )

es un valor

indeterminado; pero podemos estudiar a que valor la función se aproxima

cuando esta próximo a 1.

Sabemos que ( )( ). Luego,

( )

( )( )

( )

Esto es válido, ya que . Por tanto, si esta próximo a 1, ( ) está

próximo a 2, sin ser igual a 2. Por tanto, el valor de ( ) es indeterminado,

pero se aproxima a 2 cuando se aproxima a 1.

Ejemplo 3

A qué valor se aproxima la función cuando se aproxima a 1.

( )

Solución

Nuevamente tenemos una expresión indeterminada, ( )

. Nos interesa el

valor al cual se aproxima cuando se aproxima a 1.

Como el numerador y denominador se anulan cuando , quiere decir que

es una raíz de y de . Por tanto podemos escribir:

( )( ), ( )( )

Luego,

( )

( )( )

( )( )

Podemos simplificar la expresión solamente si , portanto


29

( )

Así, ( ) se aproxima a

cuando se aproxima a 1.

4.2 Límites

El valor al cual se aproxima la función ( ) cuando se aproxima hacia ,

será llamada límite de cuando esta próximo de .

Notación

( )

Ejemplo 4

De los ejemplos anteriores, encontramos que

Ejemplo 5

Calcule el límite

Solución

Tenemos que calcular el valor al cual la función

( )

se aproxima, cuando esta próximo a 2. Para esto observamos que

( )( )( )

( )( )

Luego,

( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )

Así, ( ) se aproxima a ( )( )

cuando esta próximo de 2, sin ser igual a 2.

Por tanto tenemos que


30

Ejemplo 6

Calcule el siguiente límite.

√ √

Solución

La diferencia puede ser escrita como una diferencia de cuadrados de la

siguiente forma

(√ ) (√ )

(√ √ )(√ √ )

Luego,

√ √

√ √

(√ √ )(√ √ )

√ √

Por tanto tenemos que

√ √

√ √

√

Ejemplo 7

Calcule el límite

( )

Solución

De acuerdo con nuestra definición conceptual, tenemos que calcular a que

valor se aproxima la función ( ) cuando se aproxima a cero.

En este caso es simple verificar que ( ) se aproxima a 1 cuando se

aproxima a cero. Por tanto tenemos que

( )

Ejemplo 8


Solución

Tenemos una fracción donde el numerador y denominador son iguales a cero,

lo que crea una indeterminación. Recuerde que

( )( ), ( )( )


31

Sustituyendo estas expresiones en la fracción obtenemos

( )( )

( )( )

Por tanto, tomando límite cuando , esto es tomando valores de

próximos de 1 sin ser igual a 1 obtenemos

Luego, cuando esta próximo de 1, ( )

esta próximo de

.

4.3 Límites al infinito

Muchas veces escuchamos hablar sobre la grandeza de algunos valores. Por

ejemplo que fulano es millonario. Esta expresión quiere decir que Fulano tiene

mucho dinero. No sabemos cuánto, solo se sabe que el dinero que tiene Fulano

es mucho. En Matemática tenemos una expresión parecida para indicar que una

cantidad es muy grande, esta expresión es llamada infinito, y denotada como .

Este es el símbolo que usamos en matemática para expresar grandeza. Decir que

es un número grande, es equivalente a decir que se aproxima al infinito, o

en símbolos: .

En esta sección estudiaremos el comportamiento de una función ( )

cuando toma valores muy grandes.

Ejemplo 9

Considere la función

( )

Queremos saber cómo se comporta cuando es grande. De una simple

inspección obtenemos:

En la medida que crece, tenemos que ( ) esta más próximo de cero. Así

tenemos que


32

Con este límite podemos conocer muchos otros. Veamos los siguientes

ejemplos.

Ejemplo 10


Solución

Por el momento el único límite al infinito que conocemos es

Para calcular el limite pedido dividimos numerador y denominador por y

obtenemos

Calculando el limite cuando obtenemos

Por lo tanto, cuando crece, el valor de ( ) se aproxima a 3.

Ejemplo 11

Calcule el valor del siguiente límite.

Solución

La idea es aplicar el límite

. Podemos hacer esto si dividimos

numerador y denominador por , así tenemos

Es simple verificar que

para cualquier valor de .


33

Por lo tanto

Ejemplo 12

Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es ,

entonces el volumen de la cosecha, puede modelarse con la función de

Michaelis-Menten

( )

donde y son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el

nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?

Solución

Se desea calcular

( )

Por tanto, el volumen de la cosecha tiende al valor de la constante cuando el

nivel del nitrógeno aumenta indefinidamente. Por esta razón, recibe el

nombre de cosecha máxima alcanzable.

Ejemplo 13

El gerente de una empresa determina que el costo total de producir unidades

de un producto dado se puede modelar por la función

( ) ( )

( ) ( )

( )


34

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Matemática: Unidad III