Upload
international-advisers
View
85
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
mathematics
Citation preview
1
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
2
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
KÜMELER VE SAYILAR 11..11 KKÜÜMMEELLEERR
11..11..11.. TTEEMMEELL TTAANNIIMMLLAARR
Kesin bir tanımı yapılmamakla beraber,sezgisel olarak,kümeye iyi tanımlanmış biri
birinden farklı nesneler topluluğudur diyebiliriz. Kümeyi meydana getiren nesnelere
kümenin elemanları adı verilir. Örneğin haftanın günleri topluluğu bir küme olup
elemanları pazar, pazartesi, salı, çarşamba, perşembe,cuma ve cumartesidir.
Kümeler , , ,A B C ... gibi büyük harfler ile, elemanları ise , ,a b c ... gibi küçük harflerle
gösterilir. Bir a nesnesi bir A kümesinin elemanı ise yani A kümesinin içinde ise
a A∈ ,değilse a ∉ A ile gösterilir. Bir A kümesi üç ayrı şekilde ifade edilir.
Örneğin ”5 den küçük rakamların kümesi”;
1) Liste yöntemi ile : {0,1, 2,3, 4 }A =
2) Genelleme (ortak özellik) yöntemi ile : { | ,5 A x x= den küçük rakam}
3) Venn Şeması ile:
BÖLÜM 1
3
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
şeklinde gösterilir. Burada 2 , 4A A∈ ∈ fakat 8 A∉ dır.
Kümeyi oluşturan varlıkların sayısına kümenin eleman sayısı denir.
A kümesinin eleman sayısı ( )s A ile gösterilir.
Eleman sayıları sonlu olan kümelere sonlu küme, eleman sayıları sonsuz
olan kümelere sonsuz kümeler denir.
{ | ,H x x= haftanın günleri } kümesinin eleman sayısı ( ) 7s H = dir.
Bu küme, H ={ Pazar,Pazartesi,Salı,Çarşamba,Perşembe,Cuma,Cumartesi }
olup sonlu bir kümedir.
Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Ø veya { } sembollerinden biriyle gösterilir. Örneğin boyu 4 metre olan insanların kümesi boş küme olup eleman sayısı 0 dır.
Öyle ise (Ø) 0s = dır. Tanım : A ve B iki küme olmak üzere A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi dir denir ve A ⊂ B ile gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi değilse A B⊄ şeklinde gösterilir. Örnek :
{1, 2,3, 4,5}, {1, 2, 4}, {4,5,6}A B C= = = kümeleri için B A⊂ dır fakat B C⊄ dir. Alt Küme Özellikleri
1) Ø A∈
2) A A⊂
3) A B⊂ ve B A⊂ ise A B=
4
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
4) A B⊂ ve B C⊂ ise A C⊂
5) Bir A kümesinin alt kümelerinin sayısı ( )2S A ile hesaplanır.
Örnek :
{ }, ,A a b c= kümesinin alt kümeleri ∅ , ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , } A a b c a b a c b c , olup bunların sayısı ( ) 3s A = olduğundan ( )2S A = 32 8= dir. Tanım : Bir kümenin kendisi dışındaki bütün alt kümelerine bu kümenin özalt kümeleri denir.O halde bir A kümesinin özalt kümelerinin sayısı ( )2 1s A − ile hesaplanır. Tanım : Bir A kümesinin tüm alt kümelerinin kümesine kuvvet kümesi denir ve
( )P A ile gösterilir. Örneğin, { , }A x y= kümesinin kuvvet kümesi, ( ) {Ø , ,{ },{ }} P A A x y= şeklindedir. 1.1.2. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER Tanım : Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir. Tanım : E evrensel küme, A evrensel kümenin alt kümesi olmak üzere E kümesinin A kümesinde olmayan elemanlarının kümesine A kümesinin tümleyeni denir ve A ile gösterilir
5
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
A ve B kümeleri için ; Birleşim kümesi , { }A B x x A veya x B∪ = ∈ ∈
Kesişim kümesi , { ve }A B x x A x B∩ = ∈ ∈
kümesiA B∪ kümesiA B∩
şeklinde ifade edilir. Eğer ØA B∩ = ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir.
ØA B∩ = ( A ile B ayrık)
Örnek: E = { | 9, x x x< rakam } ve { | 9, A x x x= < tek sayılar } ise
Tanım : İki yada daha fazla kümenin bütün elemanlarından oluşan yeni kümeye birleşim kümesi,ortak elamanların oluşturduğu kümeye de kesişim kümesi denir.
6
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Tanım : A ve B iki küme olsun. A kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve \A B = { x | x ∈ A ve x ∉ B } şeklinde ifade edilir.
\ BA Kümesi
Örnek : A ={1,2,3,4} B ={3,4,5,6} kümeleri için ;
{1, 2,3, 4,5,6}A B∪ =
{3, 4}A B∩ =
{ }\ 1, 2A B =
{ }\ 5,6B A = dır. 1.1.3. KÜMELER İLE İLGİLİ TEMEL ÖZELLİKLER 1) A B B A∪ = ∪ (Değişme özelliği) B A A B∩ = ∩ 2) ( ) ( ) A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ (Birleşme özelliği) ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩ 3) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
(Dağılma Özelliği) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
\A B \B AA B∩
7
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
4) A A A∪ = (Tek kuvvet özelliği)
A A A∩ = 5) A A∪∅ =
A∩∅ =∅ 6) A E E∪ = A E A∩ = 7) ( )A B A B∪ = ∩ (De Morgon Kuralları) ( )A B A B∩ = ∪ 8) ( ) ( ) ( ) ( )s A B s A s B s A B∪ = + − ∩ 9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s A B C s A s B s C s A B s A C s B C s A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩ 1.2. SAYILAR 1.2.1. SAYI KÜMELERİ ¥ ={0,1,2,3,...} kümesinin her bir elemanına bir doğal sayı denir. ¢ ={-3,-2,-1,0,1,2,3,...} kümesinin her bir elemanına bir tamsayı denir. Bunlardan
+¢ ={1,2,3,...} kümesinin her bir elemanına pozitif tamsayı,
−¢ ={...,-3,-2,-1} kümesinin her bir elemanına negatif tamsayı denir. “Sıfır” sayısı bir tamsayı olup ne pozitif ne de negatiftir. Yani işareti yoktur.
| , , 0a a b bb
= ∈ ≠
¤ ¢ kümesinin her bir elemanına bir rasyonel sayı denir.
52
, 14
− ,5,3,0,... birer rasyonel sayıdır.
′¤ = | , , , 0ax x a b bb
≠ ∈ ≠
¢ kümesinin her bir elemanına bir irrasyonel sayı denir.
,.... , e, 10, 3, 2 33 π sayıları birer irrasyonel sayıdır.
8
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
′= ∪¡ ¤ ¤ kümesinin her bir elemanına bir reel (gerçel) sayı denir. Sayı doğrusu reel sayılar kümesini temsil eder.
...... , 5 , 3, 17110,- ,-1
74, ,8 0 3 sayıları birer reel sayıdır.
Tanım : Sayı doğrusu üzerinde sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar,sıfırdan küçük sayılara da negatif sayılar denir. Bir a ∈ ¡ sayısı için i) a >0 ii) a <0 iii) a =0 durumlarından yalnızca biri mevcuttur Tanım : 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara asal sayı denir. A ={2,3,5,7,11,13,...} kümesinin elemanları birer asal sayıdır. Asal sayılar kümesinin en küçük elemanı 2 olup 2 den başka çift asal sayı yoktur. 1.2.2. REEL SAYILARIN ÖZELLİKLERİ a ve b birer reel sayı olmak üzere ;
1) a >0 ve b >0 ise a +b >0; a b⋅ >0; ab
>0 dır.
2) a <0 ve b <0 ise a +b <0, a b⋅ >0, ab
>0 dır.
3) a >0 ve b <0 ise a b⋅ <0, ab
<0 dır.
4) a >0 ve n∈ ¢ ise 0na > dır.
5) a <0 ve n tek doğal sayı ise 0na < dır.
9
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
6) a <0 ve n çift doğal sayı ise 0na > dır.
Örnek :
² ³ 0, ³ 0x y x y< > ve 0x y z⋅ ⋅ > ise , ,x y z nin işaretleri nedir? Çözüm :
² ³ 0x y < ise,her x∈ ¡ için ² 0x > olduğundan ³ 0y < ise 0y < dır.
³ 0x y > ise 0y < olduğundan ³ 0x < ise 0x < dır.
0x y z⋅ ⋅ > ise 0x < , 0y < ise 0x y⋅ < olduğundan 0z > dır. O halde 0x < , 0y < , 0z > dır.
Tanım : ,a b ∈ ¢ ve b ≠0 olmak üzere ab
ifadesine rasyonel (kesirli) ifade denir. ab
kesrinde a ya kesrin payı , b ye de kesrin paydası denir. ab
kesrinin pay ve paydası
sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılır yada bölünürse kesrin değeri değişmez. 1.2.3. RASYONEL SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1) a c a d b cb d b d
⋅ ⋅=
⋅mm
2) dbca
dc
ba
⋅⋅
=⋅
3) cd
ba
dc
ba
⋅=÷
10
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
ARİTMETİKSEL İŞLEMLERDE İŞLEM ÖNCELİĞİ
1) İşleme,parantezler ve kesir çizgileri yön verir.
2) Varsa üslü işlemler yapılır.
3) Çarpma ve Bölme (önce olan)
4) Toplama ve Çıkarma Örnek : Aşağıdaki işlemleri yapınız.
1) ?54
57
52
=−+
Çözüm : 155
549
5472
54
57
52
==−
=−+
=−+
2) 2 1 12 : ?3 2 4
+ − =
Çözüm : 2 2 1 1 6 2 2 1 8 1 8 4 32: : :1 3 2 4 3 3 4 4 3 4 3 1 3
(3) (1) (2) (1)
+ − = + − = = ⋅ =
3) ?32
23
125:
61
65
513 =−⋅−⋅
Çözüm : (5) (3) (5)
16 5 1 12 3 2 8 3 2 40 9 10 75 6 6 5 2 3 3 5 3 15 5
− − ⋅ − ⋅ ⋅ − = − − = =
4) 1 3 12 6 1 : ?2 2 2
− ⋅ + − =
Çözüm:
(6) (2) (3)
1 2 1 1 1 1 6 2 3 52 6 1 2 6 2 6 2 6 2 5 32 3 2 1 3 2 6 6
+ − − ⋅ + ⋅ − = − ⋅ + − = − ⋅ = − ⋅ = − = −
11
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
5) ?
211
143
217
=
++
Çözüm :
17 172 2
3 1 3 234 4 32
= =+ +
1717 122 69 8 2 17
12
= ⋅ =+
Tanım : Paydası 10’nun pozitif tam kuvveti olan kesirlere ondalıklı sayı denir.
2 3
1 413 430,1; 4,13; 0,04310 10 10
= = − = − sayıları birer ondalıklı sayıdır.
Eğer bir kesir ondalıklı yazıldığında ondalıklı kısımdaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu sayıya devirli ondalıklı sayı denir.
7 22032,333.... 2,3; 2, 2252525.... 2, 2253 990= = = = Sayıları birer devirli ondalıklı sayıdır.
Her devirli ondalıklı sayı rasyonel olarak yazılabilir.
Örnek : 152,0 devirli ondalıklı sayıyı rasyonel şekilde yazalım Çözüm: ....2151515,0152,0 ==x olsun Yukarıdaki eşitliğin her iki tarafını önce 1000 sonra 10 ile çarpıp taraf tarafa çıkaralım.
1000 x = 215,151515...
- 10 x = 2,151515...
213 71990 213 990 330
x x= ⇒ = = olur.
12
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
1.3. ÜSLÜ İFADELER
Tanım : a ∈ ¡ ve n ∈ +¢ olmak üzere n tane a nın çarpımı olan na ifadesine üslü
ifade denir. na ifadesinde a ya taban , n ye de üs (kuvvet) denir.
tane
...n
n a
a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 4 2 4 3 dir.
Örnek :
25 5 5 25= ⋅ = 4³ 4 4 4 64= ⋅ ⋅ =
4( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 81− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =
5( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 32− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = −
31 1 1 1 12 2 2 2 8
= ⋅ ⋅ =
1.3.1. ÜSLÜ İFADELERİN ÖZELLİKLERİ 1) na n a≠ ⋅ çünkü ...n a a a a a⋅ = + + + +
43 4 3≠ ⋅
2) a ≠ 0 olmak üzere 0 1a =
3) 00 belirsiz.
4) 1 = 1n dir.
5) ( )m n m na a ⋅= dir.
( ) ( ) ( )33 2 32 4 8 2416 2 2 2 = = =
13
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
6) a ve b sıfırdan farklı olmak üzere ;
a) n na b
b a
− =
b) nn
aa 1
=− dir.
7) n ma a= ⇔ n m= dir.( 0, 1, -1a a a≠ ≠ ≠ )
8) n na b= ⇔ , tek ise, çift ise
a b na b n=
= m
9) 1na = ⇔
1,0, 0
1 ve
a nn aa n
= ∈ = ≠ = −
¡
çift ise
Örnek : 1 12 5 ?
5 2
− − + =
Çözüm :
(5) 5
131026
10125
101
25
251
25
==+
=+=+
10) a) 0 0nx x> ⇒ >
b) 0x < ⇒ n
0, tek0, çift
nx nx n
<
>
Örnek : 0 3 2
1 4 3
4 ( 2) 2 ?2 ( 1) ( 1)− −
+ − −=
+ − + −
14
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Çözüm:
0 3 2
1 4 3
4 ( 2) 2 1 8 4 11 221 12 ( 1) ( 1) 1 12 2
− −
+ − − − − −= = = −
+ − + − + −
UYARI: n çift, a +∈ ¡ olmak üzere ( ) n na a− ≠ − dir.
42 = − (2 2 2 2) 16− ⋅ ⋅ ⋅ = −
4( 2) =( 2) ( 2) ( 2) ( 2)=16− − ⋅ − ⋅ − ⋅ − 11) Toplama ve Çıkarma: Tabanları ve üsleri aynı olan üslü ifadeler toplanıp çıkarılabilir.
( )n n n na x b x c x x a b c⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ + − Örnek:
2 2 2 2 2 22 3 3 3 4 3 3 (2 3 4) 1 3 3 9⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ + − = ⋅ = = 12) Çarpma: a) Tabanları eşit olan üslü ifadeler çarpılırken ;üsler toplanır,ortak taban aynen yazılır. 0a ≠ olmak üzere ;
m n m na a a +⋅ = b) Üsleri eşit olan üslü ifadeler çarpılırken;tabanlar çarpılır,ortak üs aynen yazılır.
0 0a ve b≠ ≠ olmak üzere ;
( )m m ma b a b⋅ = ⋅
Örnek :
5 3 ?3 5
x y x yx y
y x
− −
⋅ =
15
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Çözüm:Üsler aynı olduğu için 5 3 1 13 5
x yx yx y
y x
−
− ⋅ = =
Örnek: 9 4 -2( ) ( ) ( )a a a− ⋅ − ⋅ − işleminin sonucu nedir? Çözüm:
9 9( )a a− = −
4 4( ) a a− = −
2 2( )a a− −− = olduğu için
9 4 -2 11( ) ( ) ( )a a a a− ⋅ − ⋅ − = 13) Bölme: a) Tabanları eşit olan üstlü ifadeler bölünürken, üstler çıkartılır,ortak taban aynen yazılır.
0a ≠ olmak üzere
mm n m n
n
a a a aa
− −= ⋅ =
b) Üsleri eşit olan üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünür, ortak üst aynen yazılır. 0b ≠ olmak üzere
mm
m
a ab b
=
Örnek : 3a+4 a-52 =4 ise a kaçtır? Çözüm: 3a+4 2 a-52 = (2 )
3a+4 2a-102 =2 3 4 2 10a a⇔ + = − 3 2 10 4a a− = − − 14a = −
16
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek : -2 -3(0, 2) 5 125n⋅ = ise n hangi sayıdır ? Çözüm:
2 3(0, 2) 5 125n− −⋅ =
-2-3 31 5 5
5n =
( ) 21 3 35 5 5n−− −⋅ =
2 3 35 5 5n−⋅ = 2 ( 3) 35 5n+ − = ( )2 3 3n+ − = 1 3n − = ⇒ 4n = bulunur. Örnek : 3 3(2 1) ( 7)x x− = + ise x kaçtır ? Çözüm: 3 tek sayı olduğundan 2 1 7x x− = + ⇒ 8x = olur. Örnek : 4 4( 5) (2 7)x x+ = + olduğuna göre x ’in alabileceği değerler toplamı kaçtır? Çözüm: 4 çift sayı olduğundan ;
a) 5 2 7x x+ = + ⇒ 1 2x = −
b) 5 (2 7)x x+ = − + ⇒ 2 4x = −
1 2 ( 2) ( 4) 6x x+ = − + − = − bulunur. Örnek : 1)2( 82 2
=− −xx ifadesini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? Çözüm:
2
2
2 8
2
2 8 0 ve 2 0...................1)( 2) 1 2 1 ....................................2)
2 1 ve 2 8 çift...............3)
x
x xx x
x x
−
− = − ≠− = ⇒ − = − = − −
17
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
1) durum: 22 8 0x − = ve 2 0x − ≠ ise 22 8x = ⇒ 2 4x = ⇒ 2x = − veya 2x =
2 0x − ≠ ise 2x ≠ olacağından 1 2x = −
2) durum: 2 1x − = ⇒ 2 3x =
3) durum: 2 1x − = − ve 22 8 x − çift ise
1x = ve 22 8 x − çifttir. Buradan 3 1x =
1 2 3 2 3 1 2x x x+ + = − + + = 1.4. KÖKLÜ İFADELER Tanım : n ,1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere, nx a= ifadesini sağlayan x sayısına a nın n.dereceden kökü denir ve n ax = şeklinde gösterilir.
aa =2 ; karekök a , 3 a ; küp kök a 4 a ; dördüncü dereceden kök a şeklinde okunur. UYARI: n çift sayı ve a <0 ise n a ifadesi bir reel sayı belirtmez.
3 32, 5, 5− sayıları reeldir. Ancak
465, 2, 16− − − sayıları reel değildir. Reel sayılarda tanımlı olan her köklü ifadeyi rasyonel üst şeklinde yazabiliriz.
nm n ma a= olup; n tek ise n na a=
m çift ise m ma = ; 0; 0
a aa a
≥− <
18
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek : 23 536 27 (-4) -32 ?+ + + =
Çözüm: 3 53 53 52 3 2 56 3 (-4) (-2) 6 3 4 (-2)+ + + = + + +
6 3 4-2 11= + + = bulunur. 1.4.1. KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELLİKLERİ
1) 0t > olmak üzere n nnt a t a⋅ = ⋅ 2) n tek doğal sayı ve t∈ ¡ için n nnt a t a⋅ = ⋅ dır. Örnek:
25 2 5 2 50= ⋅ =
3 33 43 33 3 3 3 3 81= ⋅ = =
298 7 2 7 2= ⋅ =
5 5 55 64 2 2 2 2= ⋅ = ⋅
3) Köklerinin dereceleri ve içleri aynı olan ifadeler toplanır veya çıkarılır.
( )n n n na x b x c x a b c x+ − = + − Örnek : 8 2 18 200− + işleminin sonucu kaçtır ? Çözüm: 4 2 2 9 2 100 2⋅ − ⋅ + ⋅ 2 2 2 3 2 10 2 6 2= − ⋅ + =
4) a) Kök dereceleri aynı olan köklü ifadelerde
İ) n n nx y x y⋅ = ⋅
İİ) n
nn
x xyy
=
19
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
b) Kök dereceleri eşit olmayan köklü ifadelerde ise kök derecelerinin en küçük ortak katları alınıp kök dereceleri eşitlenir ve işlemler yapılır. Örnek : 1) 3 6 50 3 6 50 900 30⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =
2) 3 32 2 3 33 3 312 18 12 18 2 3 3 2 2 3 2 3 6⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
3) 150 150 25 566
= = =
4) 3 2 62 3 63 1 2 1 3 23 6 65 2 5 2 5 2 125.4 500⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅ = ⋅ = = (Burada 2 ile 3 ün en küçük ortak katı 6 dır)
5) 0, 0b c≠ ≠ üzere
a) a a b a bbb b b
= =⋅
b) ( )a b cab cb c
=−±
m
Örnek : ( )10
9 9 3 3 100,910 1010 10
= = = =
Örnek : ( 5 2)
1 5 2 5 2 5 2 5 25 4 15 2 ( 5 2) ( 5 2)
+
+ + += = = = +
−− − ⋅ +
1.5. ORAN VE ORANTI
Tanım : a ve b reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olmak üzere ab
’ye a ’nın
b ’ye oranı denir.
20
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Oranlanan çoklukların birimleri aynı olup oranın birimi yoktur.
2cm ‘nin 5cm ‘ye oranı 52
52
=cmcm dir.
2cm ‘nin 5kg ‘a oranı söz konusu değildir. Örnek : Bir sınıftaki öğrencilerin %30 ‘u İngilizce diğerleri ise Almanca bilmektedir. İngilizce bilenlerin sayısının Almanca bilenlerin sayısına oranı kaçtır?
Çözüm : İngilizce bilenlerin sayısı %30 ise, Almanca bilenlerin sayısı %70 olur. O
halde İngilizce bilenlerin sayısının Almanca bilenlerin sayısına oranı 30 370 7
= dir.
Tanım : a cveb d
gibi iki oranın eşitliğini ifade eden önermeye, yani a cb d=
eşitliğine orantı denir. 1.5.1. ORANTININ ÖZELLİKLERİ a c iseb d=
1) ad bc=
2) a bc d=
3) d cb a=
4) b da c=
5) 2 2
2
2 2ve 0 a c a ck k ise k
b d b d= = ≠ = =
6) ve 0, 0 ise dır.a c ma nck m n kb d mb nd
+= = ≠ ≠ =
+
21
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek : 53
a bb+
= olduğuna göre, a ba− ‘nın değeri kaçtır?
Çözüm 35
35
=+⇒=+
bb
ba
bba
135
351 −=⇒=+
ba
ba
23
32
=⇒=ab
ba
Buna göre 21
231 −=−=−=
−ab
aa
aba dir.
Örnek : 235cba
== ve 2 20a b c− + = olduğuna göre a kaçtır?
Çözüm : kcba===
235 olsun.
Buna göre 5 , 3 , 2a k b k c k= = = olur. 2 20a b c− + = eşitliğinde,
,a b cve ’nin k cinsinden değeri yazılırsa; 5 2 3 2 20k k k− ⋅ + = ⇒ 20 k = ⇒ 5 5 20 100 a k= = ⋅ = olur. Tanım : 1 2 3, , , ... , nx x x x ∈ ¡ olmak üzere n tane sayının ;
Aritmetik ortalaması 1 2 nx x xn
+ +…+
Geometrik ortalaması 1 2
n nx x x⋅ … dır. Örnek : 16 kız, 34 erkek öğrencinin katıldığı bir sınavda kız öğrencilerin puanlarının ortalaması 50 , erkek öğrencilerin puanlarının ortalaması 40 olduğuna göre,tüm öğrencilerin puanlarının ortalaması kaçtır?
22
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Çözüm : 16 kızın puan ortalaması 50 ise puanların toplamı 50⋅16 = 800
34 erkeğin puan ortalaması 40 ise puanların toplamı 40⋅34 = 1360 Tüm öğrencilerin puan ortalaması, puanlarının toplamının öğrenci sayısının bölümüne eşit olduğundan :
Tüm öğrencilerin puanlarının ortalaması 800 1360 2160 43, 216 34 50+
= =+
bulunur.
Örnek : a ile b nin aritmetik ortalaması 5 dir. a ile geometrik ortalaması 32 , b ile geometrik ortalaması 34 olan sayı kaçtır? Çözüm : istenen sayı x olsun. Verilenlere göre ;
5 , 2 3 , 4 3 dir.2
a b a x b x+= ⋅ = ⋅ =
10 , 12 , 48a b ax bx+ = = = olduğundan, 60ax bx+ = ( ) 60x a b+ = 10 60x ⋅ = 6x = dır. Tanım : İki çokluktan biri artarken(azalırken), diğeri de aynı oranda artar(azalır) ise bu iki çokluk doğru orantılıdır yada orantılıdır denir. k bir sabit ve x ile y aralarında orantılı ise y kx= ‘e doğru orantı bağıntısı denir. Bu bağıntının grafiği ;
y=kxy
x1 2 3
k
2k3k
(k > 0 için)
23
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
, ,x y z sayıları sırasıyla , ,a b c sayıları ile orantılı ve x y z ka b c= = = orantı sabiti
bağıntısı vardır. Örnek : 50 km. lik yol 1 saat te gidilirse 400 km. lik yol kaç saatte gidilir? Çözüm : artar 50 km. yol 1 saatte gidilirse artar 400 km. yol x saatte gidilir. Doğru orantı 1⋅400 = x ⋅50 ⇒ x = 8 saat Örnek : Un, yağ ve şeker ağırlık bakımından sırasıyla 8 : 2 : 3 sayıları ile orantılı olarak karıştırılarak 39 kğlik bir hamur yapılıyor. Bu hamurda kaç kg yağ kullanılmıştır?
Çözüm : , 398 2 3u y ş k u y ş= = = + + =
8 8 2 3 39 32
ş 3
u k k k k ky k
k
= + + = ⇒ ===
Buradan yağ 2 2 3 6y k= = ⋅ = kg bulunur.
24
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Tanım : İki çokluktan biri artarken(azalırken) diğeri aynı oranda azalıyor(artıyor) ise bu iki çokluk ters orantılıdır denir. k sabit ve x ile y aralarında ters orantılı ise
xky = bağıntısına ters orantı bağıntısı denir. Bu bağıntının grafiği ;
y
xy= kx
k
2
1
k2
1 k
(k>0 için)
, , x y z sayıları sırasıyla , , a b c sayıları ile ters orantılı ve k orantı sabiti olmak üzere
ax by cz k= = = dır. Örnek : Kapasiteleri eşit olan 11 işçi bir işi 24 günde yapabiliyor. Buna göre aynı işi 6 işçi kaç günde yapar?
Çözüm : 11 işçinin 24 günde yapacağı işi 6 işçi daha fazla günde yapar. Yani işçi sayısı ile işin yapılma süresi arasında ters orantı vardır.
11 işçi 24 günde yapıyor azalma 6 işçi x günde yapar artma Ters Orantı ; 11⋅24 = 6⋅ x ⇒ x = 44 günde yapar.
Örnek : Ali, Bülent ve Cem 58 tane bilyeyi sırasıyla 6,8 ve 9 sayıları ile ters orantılı olarak paylaşıyorlar. Alinin payına düşen bilye sayısı kaçtır?
25
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Çözüm : Ali, Bülent ve Cemil sırasıyla , ,a b c tane bilyesi olsun . Bu durumda 6 8 9 , ,
6 8 9k k ka b c k a b c= = = ⇒ = = =
58 1446 8 9k k k k+ + = ⇒ =
Buradan Ali’ye düşen bilye sayısı ; 144 246 6ka = = = dir.
Tanım : k bileşik orantı sabiti olmak üzere, y ; x ile doğru ve z ile ters orantılı ise k xy
z⋅
= ifadesine bileşik orantı bağıntısı denir.
Örnek : ,6x ile ters orantılı ve ,8y ile doğru orantılıdır. 98x y+ = ise y x− kaçtır?
Çözüm : 6 , 88 6y kx k x y k= = ⇒ = =
⇒ 98x y+ = ise 9886
=+ kk
⇒ 49 588k = ⇒ 12k =
⇒ 26
12==x ve 8 12 96y = ⋅ = ⇒ 94y x− = olur.
Örnek : 12 işçi 8m2 halıyı 24 günde dokuyor. Buna göre, 9 işçi 3m2 halıyı kaç günde dokur?
Çözüm : 12 işçi 8m2 halıyı 24 günde yaparsa
(-) (-) (+) (-) 9 işçi 3m2 halıyı x günde yapar
Ters Orantı-Doğru Orantı 9 8 3 12 24x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
12x = günde yapar.
26
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
1.6. ARALIK KAVRAMI Sayı doğrusu üzerindeki sayıları üç farklı aralık olarak ifade ederiz.
1) Kapalı Aralık :
, [ , ]a x b x a b≤ ≤ ∈ 2) Açık Aralık :
, ( , )a x b x a b< < ∈ 3) Yarı Açık Aralık :
, ( , ]a x b x a b< ≤ ∈
Örnek : Küme Olarak { | , 1 3 }x x x∈ − ≤ ≤¡
Aralık Olarak [ 1,3]x∈ − Küme Olarak { | , 4 3 }x x x∈ − ≤ <¡ Aralık Olarak [ 4,3)x∈ −
NOT : ( , )= −∞ +∞¡ aralığı her zaman açık aralıktır. Bir a sayısı ile ±∞ arasındaki aralık aşağıdaki şekilde ifade edilir. ( , ) { | , }a x x x a∞ = ∈ >¡
( , ] { | , }a x x x a−∞ = ∈ ≤¡
[ 4 , ) { | , 4 }x x x− +∞ = ∈ ≥ −¡ −∞ 4− 0 +∞ Örnek : 342 5 8x x x− + − + − toplamının bir reel sayı belirtmesi için x hangi aralıkta olmalıdır ?
a b
a b
a b
+∞−∞ −1 3
+∞−∞ −4 3
27
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Çözüm: Bu toplamın reel sayı belirtmesi için terimlerin üçünün de ayrı ayrı reel sayı belirtmesi gerekir. Buna göre
2−x reel ise 2 0x − ≥ => 2x ≥ ......................1) 4 5 x− reel ise 5 0x− ≥ => 5 x≥ => 5x ≥ ......2) 3 8−x reel ise x∈ ¡ ....................................3) (1),(2) ve (3) den 2≤ x ≤ 5 veya [ ]2,5x∈ olur.
1.7. MUTLAK DEĞER Tanım : Sayı doğrusu üzerindeki bir x sayısının sıfıra olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir. Ve | x | ile gösterilir.
+ x ; x > 0
| x |= 0 ; x = 0 şeklinde tanımlanır. x− ; x < 0
Örnek : | 3 | = 3 | −5 | = − (−5) = 5 | 0 | = 0
5 5=
1 3 (1 3) 3 1− = − − = −
28
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
1.7.1. MUTLAK DEGERE AİT ÖZELLİKLER
1) 0a > olmak üzere a) | |x a= ⇒ x a= veya x a= − b) | | x a< ⇒ a x a− < < c) | |x a> ⇒ x a> veya x a< − 2) | | | | | |x y x y⋅ = ⋅
3) , y 0x x
yy= ≠
4) | | | | , n nx x n= ∈¥ 5) | | | |x x− =
Örnek : 1) | | 4x = ⇒ 4x = veya 4x = −
2) | | 4x < ⇒ 4 4x− < <
3) | | 4x > ⇒ 4x > veya 4x < −
4) | 8 | | 3 | | ( 8) ( 3) | | 24 | 24− ⋅ − = − ⋅ − = =
5) 8 8 4 4
22= = =
6) | (−2)3 | = | −2 |3 = 23 = 8
7) | −10 | = | 10 | = 10
Örnek : | 2 x +1 | = 5 eşitliğini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? Çözüm : 2 x +1 = 5 ve 2 x +1 = -5
2 x = 4 2 x = -6 x 1= 2 x 2= -3 ⇒ x 1⋅ x 2 = 2⋅(-3) = -6
29
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
BÖLÜM ALIŞTIRMALARI 1) { | 45, A x x x= < pozitif ve 3’ün katı} kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır?
{1,3} , {2,3, 4}A B= = kümeleri için A D⊂ ve B D⊂ olacak şekilde dört
2) elemanlı D kümesini bulunuz.
3) { |1 20 , E x x x= < ≤ tamsayı}
{2,3, 4,7}, {9,12,16, 20}, {2,3,5,7,9}A B C= = = kümeleri için aşağıdakileri bulunuz:
a) ( )A B C∩ ∪ b) ( )A C B∩ ∩ c) \ ( )A B C∪ d) ( )A B∩ 4) 16 kişilik bir sınıfta Fransızca bilenlerin kümesi F ,Almanca bilenlerin kümesi A
dır. ( ) 8 , ( ) 9 , ( ) 14s F s A s A F= = ∩ = olduğuna göre bu sınıfta sadece Almanca bilen kaç kişi vardır?
5) A ve B herhangi iki kümedir. \ , , \A B A B B A∩ kümelerinin özalt küme sayıları sırası ile 15,31,0 dır. A B∪ kümesinin eleman sayısı kaçtır?
6) , ,K L M ayrık olmayan kümeler olsun .Aşağıda belirtilen bölgeleri Venn şemasında gösteriniz.
a) ( ) \ MK L∪ b) ( \ ) ( \ )K L M L∪ c) ( ) \L M K∩ d) ( )K L M∪ ∩
30
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
7) Aşağıda taralı bölgeleri küme işlemleri ile ifade ediniz
8)Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz:
a)
2 2
3 1
2 3
1 1:2 2 ?
( 2 )
− −
− − − =
−
b) 54 22 15 36 ?− + − =
c) 3 3 30, 27 0,27 0,27 ?⋅ ⋅ =K
d) ?)121,0()24,0(:
)1,12()4,2(
6
4
6
4
=−
−
−
−
e) 3 3 30,162 2 0,048 0,384 ?− + = f) 1 4 5 ?
7 3 7 2 7 1+ − =
− − −
9) Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz:
a) 2 1
0,15 210 10 10 ?−
⋅ ⋅ =
b) 1 5 13 3 94 2 8 ?
−⋅ ⋅ =
c) 0,4 53 9 3 ?⋅ ⋅ =
d) 1 1
33 38 16 4 ?−⋅ ⋅ =
31
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
e) 1,3 0,7 1,42 2 2 ?−⋅ ⋅ =
f) 4 1 33 12 47 7 7 ?
− −⋅ ⋅ =
g) 0,7 0,44 2 ?−⋅ =
h) 0,3 1,425 5 ?⋅ =
i) 132 64 ?
−⋅ =
j) 1,54 9 3 ?−⋅ =
k) 364 27 ?125⋅
=
10) Aşağıdaki problemleri çözünüz: a) 20 Kız ve 8 Erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta matematik sınav sonucu kız öğrencilerin ortalaması 6,8 ve erkek öğrencilerin ortalaması 7,5 ise sınıf ortalaması kaçtır? b)12 işçi günde 6 şar saat çalışarak bir işi 15 günde bitiriyorlar. Aynı işi 9 işçi günde 8er saat çalışarak kaç günde bitirir? c) , , x y z maddelerini, sırasıyla 0,2 ; 0,8 ve 0,6 sayıları ile orantılı olacak şekilde karıştırarak 112 kg.lık bir karışım yapılıyor. Bu karışımda z maddesi kaç gramdır? d) 465 milyon üç kardeş arasında 2 ile doğru 3 ve 4 sayılarıyla ters orantılı olarak paylaştırılırsa en az olan kaç lira alır? e) Bir işyerinde çalışan işçi sayısı 6 katına, günlük çalışma süresi 2 katına ve iş miktarı 18 katına çıkarılırsa işi tamamlama süresi kaç katına çıkar?
32
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
11) Aşağıdakileri hesaplayınız: a) 2 33( 5 2,5) (1,5 5) 1 ?− − − − =
b) (5 3 50) (5 24) ?75 5 2
+ ⋅ −=
−
c) 2( 225 3 121) : 0,09 0,78 100 ?3
+ + =
d) 1 324 0,166 : 25 ?4 2 0,2
− + ⋅ =
12) Aşağıdaki bağıntılardan x ’i hesaplayınız:
a) 2 62,5x
x−
=
b) 3 6,52 1,5
xx−
=−
c) 4,85 1, 2
xx
=+
d) 4 51, 2 3
xx
−=
+
33
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
BÖLÜM TESTİ 1) Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir kümeyi tam olarak belirlemez? A) { | x x birer doğal sayı B) {Salı, Cuma, Pazar}
C) 1 2 3 4 6 7 , , , , , 2 3 4 5 7 8
D) { | x x Türkiye’nin şu andaki bir il merkezi} E) { | x x uzun boylu bir insan}
2) " "KARAR kelimesindeki harflerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { }, ,K A R B) { }, , ,A A R R C) { },K R D) { }, , , ,A A K R R E) { }, ,A A K 3) { | " "A x x ARKADAŞ= sözcüğündeki harflerden biri} kümesi veriliyor.Bu kümenin eleman sayısı ( )s A nedir? A) 3 B) 6 C) 5 D) 4 E) 7 4) Aşağıdaki kümelerden hangisi {1,3, 5, 7, 9} kümesinin bir alt kümesi değildir? A) {1, 5} B) {3, 9} C) {0, 1, 3, 5} D) {1, 3, 5, 7} E) ∅
34
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
5) Aşağıdaki kümelerden hangisi { , , , , }S I N A V kümesinin bir alt kümesi değildir? A) ∅ B) { , , }V I A C) { , , }S A V D) { , , , }A N V R E) { , , , ,}S I N A 6) { −2, 0, 2} kümesi aşağıdakilerden hangisinin altkümesi değildir? A) { −2, −1, 0, 1, 2} B) { −3, −2, 0, 2} C) {0, 1, 2, 3} D) { −4, -2, 0, 2} E) { −2, 0, 2} 7) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} ve {2,4,6,8}A B= = olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B B∩ = B) A B A∪ = C) {1, 3, 5, 7, 9}A B = D) B A =∅ E) ( ) ( ) {1, 4, 8}A B A B∪ ∩ =
35
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
8) {0, 1, 2, 3}, {0, 3} ve {0, 2, 4}A B C= = = olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) {0, 1, 2, 3}A B∪ = B) {0, 2}A C∩ = C) {4}C A = D) ( ) {0, 1}A B C∩ ∩ = E) ( ) {1, 3}A B C∪ = 9) {5, 10, 15}, { , , }, {1, 2, 3, 4, 5}K L r s t M= = = olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) {5}K M∩ = B) {10, 15}K L = C) K L M∩ ∩ =∅ D) K L K= E) M K⊂ 10) {3, 5, 7}, {2, 4, 6, 8}M K= = olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) M K∩ ≠ ∅ B) M K⊂ C) M K =∅ D) {2, 4, 6, 8}K M = E) {2, 3, 4, 5, 6}M K∪ =
36
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
11) {1, 2, 3, 4, 5}, {4, 5, 6, 7} {6, 7, 8}A B ve C= = =
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) {4, 5, 6}B = B) {4, 5}B A∩ = C) {6}A C∩ = D) B C∩ =∅ E) {4}B C = 12) A B C⊂ ⊂ olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
) )
) )
)
A A B B A C
C A B A D B C C
E A B C
⊂ ⊂
∩ = ∪ =
∪ =
13) Aşağıdakilerden hangisi bir rasyonel sayıdır?
2 2A) B) 3 C) 2 D) E) 3 3
π
14) Aşağıdaki sayılardan hangisi rasyonel sayı değildir?
3A) 25 B) 7 C) 2 D) 0 E) 4
15) [ ]0 ,3− aşağıdaki kümelerden hangisi ile ifade edilir?
) { , 3 0}
) { 3, 0}) { 3, 2, 1, 0}
) { , 3 0}
) { , 0 5}
A x x x
BCD x x x
E x x x
∈ − ≤ ≤
−− − −
∈ − < <
∈ < ≤
¡
¡
¡
37
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
16) Aşağıdakilerden hangisi ]( 5 ,0 yarı açık aralığını gösterir?
) { , 5}
) { , 0 5}
) { , 5}
) { , 0 5}
) { , 0 5}
A x x x
B x x x
C x x x
D x x x
E x x x
∈ ≤
∈ ≤ ≤
∈ >
∈ < <
∈ < ≤
¡
¡
¡
¡
¡
17) { , 2 5}x x x∈ ≤ <¡ kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisi ile gösterilir? A) (2, 5) B) [2, 5) C) (2, 5] D) [2, 5] E) [ 2, 2]− 18) { 4 1, }x x x− ≤ ≤ ∈ ¡ kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisi ile gösterilir? A) ( 4, 1]− B) ( 4, 1)− C) [ )4, 1− D) [ ]4, 1− E) [ ]1, 4 19) \{1}¡ kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) ( , 1) B) ( 1,1)C) ( ,1) D) ( ,1) (1, )
) ( , )E
−∞ − −−∞ −∞ ∪ ∞−∞ ∞
20) 31 ≤−x eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir? A) [ 2, 4]− B) [ 3, 3]− C) [1, 3] D) [ 1, 3]− E) [0, 3] 21) 12 ≤+x eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir? A) [ 3, 1] B) [ 1, 3] C) [ 1, 0]D) (0, ) E) ( , )
− − − −+∞ −∞ +∞
38
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva
22) 45 <−x eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
) 1 5 ) 5 4) 4 5 ) 1 1) 1 9
A x B xC x D xE x
− < < − < <− < < − < <
< <
23) 82 <+x eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir? A) 20 3x− < < B) 3 6x− < < C) 6 10x< < D) 20 25x< < E) 10 6x− < < 24) 11 ≥−x eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [0, 1] B) ( , 0] [2, )C) ( , 1] (2, ) D) (0, 2)E) ( , 1] [2, )
−∞ ∪ +∞−∞ ∪ +∞−∞ ∪ +∞
25) 325 ≤+x eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir? A) [ 3, 3] B) ( , )
1 1C) 1, D) 1, 5 5
E) ( 5, 1)
− −∞ ∞
− − − −
26) 752 ≤+x eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir? A) [5, 7] B) [ 6, 1]− C) [2, 5] D) [2, 7] E) [ 1, 6]− 27) 952 =+x eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 3 B) 5− C) 3− D) 4− E) 1