FAKULTETI EKONOMIK

MATEMATIKË

Prishtinë

Grupi: B 4 Emri dhe Mbiemri: Faton Bajrami Nr. ID: 141600

1.

a) Zgjidhni sistemin e ekuacioneve lineare:

b) Njëhsoni nëse: .

2. Të gjendet progresioni aritmetik nëse dhe dhe të

njëhsohet: .

3. Të paraqiten grafikisht drejtëzat: dhe parabola

dhe të njëhsohet .

4. Të studiohet dhe të paraqitet grafikisht funksioni:

5.

a) Të njëhsohet integrali:

b) Të njëhsohet integrali:

Vërejtje: Detyrat me numër rendor 1 dhe 5 të zgjidhet vetëm njëra nga to: a) ose b) .

Zgjidhje:

1.

a)

Rreshtit të parë ia ndërrojmë vendin me rreshtin e dytë, pasiqë minori (vlera) e parë

në rreshtin e parë është 2, ndërsa në rreshtin e dytë është 1, për ta bërë më të lehtë

llogaritjen me 1, dhe fitojmë sistemin:

Gjatë llogaritjes së sistemit, esenca e saj është që ta sjellim sistemin në rastin kur

vlerat në trekëndëshin e vizatuar të jenë 0. Fillojmë llogaritjet ashtu që së pari sjellim

shtyllën e parë në vlera 0, pastaj tjerat. Për të sjellur shtyllën e parë në vlera zero,

duhet që rreshtat e saj t’i shumëzojmë me vlerat e dhëna më lartë, dhe fitojmë

sistemin:

Pasi kemi fituar shtyllën e parë vlerat zero, kryejmë veprimet e caktuara më lartë për të

fituar edhe në shtyllën e dytë vlerat zero, dhe fitojmë sistemin:

Tani fituam edhe në shtyllën e dytë vlera zero. Kryejmë veprimin e caktuar për të fituar edhe në

shtyllën e tretë zero, dhe fitojmë sistemin:

Ky është sistemi përfundimtar me vlerat zero në kushtin e ‘trekëndëshit’. Gjejmë zgjidhjet nga

sistemi i mbetur:

Përfundimisht zgjidhjet e sistemit janë:

b) Për të gjetur duhet së pari të gjejmë matricen inverse , pastaj të shumëzojmë

me vetvetën edhe një herë (d.m.th.: ). Matrica inverse e ka formulën:

Llogarisim së pari determinantën e saj:

pastaj, gjejmë adjunguaren e saj:

= =

Dhe matrica inverse është:

Shumëzojmë, :

=

=

Zëvendësojmë në kushtin e detyrës sonë dhe kemi:

Përfundimisht, fituam:

2. Për të llogaritur vlerat: , duhet të gjejmë

progresionin aritmetik për: , e cila gjendet me anën e formulës:

Dhe kemi:

Vlerat e fituara më lartë zëvendësojmë në kushtin tonë të detyrës dhe kemi:

Gjejmë nga sistemi i fituar:

Vlera e përgjithshme e progresionit aritmetik është:

Pra:

Zëvendësojmë në detyrën e limitit për ta zgjidhur atë, dhe kemi:

3.

Paraqitja grafike e funksionit :

Për : Për :

Paraqitja grafike e funksionit :

Meqë funksioni më lartë është funksion kuadratik, atëherë ai paraqet parabolë.

Për ta paraqitur grafikisht këtë funksion duhet të gjejmë Pikat e Përkufizimit, një pikë që pret

boshtin y dhe Kulmin e Parabolës.

Gjejmë pikat e përkufizimit:

Gjejmë një pikë që e pret boshtin y:

Gjejmë Kulmin e Parabolës :

Meqë , atëherë kulmi i parabolës ka formën: .

Zgjedhja e limitit është:

Meqë vlera i takon ekuacionit kuadratik të formës:

gjejmë me anë të formulës:

Zëvendësojmë më lartë për të gjetur formulën e përgjithshme për dhe pastaj

zëvendësojmë tek limiti formulën e gjetur dhe zgjedhim limitin më lartë.

4.

1. Zona e përkufizimit:

2. Zerot e funksionit:

Funksioni nuk e pret boshtin , sepse nuk ka zero reale.

3. Shenjat e Funksionit:

Funksioni është negativ në intervalin , ndërsa është pozitiv në

intervalin .

4. Simetria e Funksionit:

Meqë funksioni nuk është as çift, as tek atëherë ai është asimetrik.

5. Asimptotat e Funksionit:

a) Asimptota Vertikale

b) Asimptota Horizontale

c) Asimptota e pjerrët

6. Monotonia dhe Vlerat Ekstreme:

Funksioni është monotono rritës në intervalin ndërsa monotono

zvogëlues në intervalin .

7. Konkaviteti, konveksiteti dhe pikat e lakimit:

8. Paraqitja Grafike:

5.

a)

852 2−7 +15 =1122 −7 2−7 +15 +852 2−7 +15

Gjejmë :

Gjejmë :

Dhe përfundimisht, kemi:

b)