1

LOGIKA MATEMATIKA

I PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA SERTA INGKARANNYAA. Pengertian Pernyataan

Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah.ContohPernyataan Bukan pernyataan

1. 2 bilangan prima ( benar )2. Parabola y = x2 + 1 ,

terbuka ke bawah ( salah )

1. apakah 2 bilangan prima ?2. selamat , kamu lulus

B. Kalimat terbuka, peubah / variabel , Konstanta dan Penyelesaian Kalimat Terbuka.Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat peubah / variabel sehingga belum dapat ditentukan benar atau salahnya.ContohKalimat terbuka x2 – x – 2 = 0 , x RX disebut variabel- 2 disebut konstantakalimat terbuka di atas benar untuk nilai x = ....x2 – x – 2 = 0( x – 2 )( x + 1 ) = 0x = 2 atau x = - 1 jadi kalimat di atas benar untuk x = 2 atau x = - 1 x = 2 dan x = - 1 disebut penyelesaian kalimat terbuka x2 – x – 2 = 0, x R

C. Himpunan Penyelesaian suatu kalimat terbukaContohTentukan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka x2 – 3x – 10 = 0 , x RJawabX2 – 3x – 10 = 0( x – 5 ) ( x + 2 ) = 0x = 5 atau x = - 2 jadi himpunan penyelesaian

D. Negasi atau Ingkaran suatu pernyataan.Diketahui suatu pernyataan ” p ” maka negasinya disimbolkan ” ” atau ” ~p” dibaca ” non p ” atau ” bukan p ” atau ” tidak benar bahwa p ”Untuk : jika p : 2 adalah bilangan prima maka : 2 adalah bukan bilangan prima atau tidak benar bahwa 2 adalah bilangan prima.Jiak p bernilai benar maka bernilai salah atau sebaliknya.

II KONJUNGSI , DISJUNGSI , IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI.A. Konjungsi.

Kongjungsi adalah operasi dalam logika dengan tanda hubung ” DAN ” yang disimbulkan ” ” Tabel kebenaran untuk konjungsi dua pernyataan

p Q pqBBSS

BSBS

BSSS

Cara mengingatJika salah satu pernyataan bernilai salah maka konjungsi dari dua pernyataan itu bernilai salah

Logika Matematika

2

B. Disjungsi.Disjungsi adalah operasi dalam logika dengan tanda hubung ” atau ” yang disimbolkan ” ”Tabel kebenaran untuk konjungsi dua pernyataan

p Q pqBBSS

BSBS

BBBS

Cara mengingatJika salah satu pernyataan bernilai benar maka disjungsi dari dua pernyataan itu bernilai benar.Menentukan nilai x agar kalimat ” p(x) q ” dan ” p(x) q ” bernilai ” benar atau salah ”Contoh

1. tentukan nilai y agar pernyataan berikut bernilai benar : ” dua bukan bilangan prima atau 2log y = 3 ”jawabAgar bernilai benar 2log y = 3 harus benar , 2log y = 3 benar untuk y = 23 = 8

2. Tentukan nilai y agar pernyataan berikut bernilai salah : ” sin2 + cos2 = 1 dan cos y = 0,5 , y di kuadaran IV ”JawabAgar bernilai salah maka cos y = 0,5 harus bernilai salah , maka cos y = 0,5 yang benar y = 3000

Jadi agar salah maka y ≠ 3000

C. Implikasi ( pernyataan bersyarat ).Diketahui dua pernyataan p dan q, implikasi dari p dan q disimbolkan dengan ” p q ”atau ” p q ” ( p disebut sebab / alasan dan q disebut kesimpulan ).Simbol / notasi ” p q ” dibaca

1. jika p maka q2. q jika p3. p hanya jika q 4. p syarat cukup bagi q5. q syarat perlu untuk p

Tabel kebenaran untuk implikasi ” p q ” P Q p qBBSS

BSBS

BSBB

Contoh1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :2. Tentukan nilai x yang menyebabkan implikasi ” jika 2x + 1 = x – 2 maka

3x + 2 < 2x , x R ” bernilai benarJawab3x + 2 < 2x 3x – 2x < - 2 x < - 2 catatanjika p dan q masing – masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka “ p(x) q(x) bernilai benar jika P Q „

Implikasi LogisPada pernyataan majemuk “ p(x) q(x) ” jika pada setiap pengantian nilai x yang menjadikan kalimat p(x) benar akan menjadikan kalimat q(x) benar pula, maka pernyataan majemuk ” p(x) q(x) ” disebut implikasi logis.ContohJika x = 2 maka x – 2 = 0

D. Biimplikasi ( Implikasi dwiarah )Diketahui pernyataan p dan q maka biimplikasi dari p dan q disimbolkan ” pq ” atau ” pq ” yang dibaca :

1. p jika dan hanya jika q

Logika Matematika

p q ~p ~p q ~p qBBSS

BSBS

S.........

...

...

...

...

...

........

3

2. jika p maka q dan jika q maka p disimbolkan ” (pq) (q p) ”3. p syarat perlu dan cukup bagi q4. q syarat perlu dan cukup bagi pTabel kebenaran untuk ” p q ” adalah

P Q pqBBSS

BSBS

BSSB

Biimplikasi dalam bentuk p(x) q(x)Biimplikasi p(x) q(x) akan bernilai benar jika himpunan kalimat terbuka p(x) dan q(x) adalah sama.ContohJika x = 1 maka 3x + 5 = 8 dan jika 3x + 5 = 8 maka x = 1Biimplikasi logisBiimplikasi logis p(x) q(x) disebut biimplikasi logis jika nilai x sehingga p(x) benar maka q(x) juga benar dan sebaliknyaContohx 3 jika dan hanya jika 2x + 1 7

LEMBAR KEGIATAN SISWA ( PORTOFOLIO ).Lengkapilah titik – titik berikut!1. Tentukan nilai x agar pernyataan beikut benar !

a) 3log x = 4 atau

b) dan 2 sin x = 1 , 0 < x < 900

c) jika maka

d) 36 kelipatan dari 3 jika dan hanya jika

e) sin2x – cos2x = - 1 syarat prlu untuk tan x = 1 , 1800 < x < 2700

jawab

a) karena ( salah ), maka 3log x = 4 harus benar. Agar benar

b) Agar benar 2 sin x = 1 ( harus benar ). Sin x = ..... x = ............

c) Karena ( benar ) maka x2 – x – 2 0 harus benar

Agar benar x2 – x – 2 0 ( x ..........)( x ...........) 0jadi ......................

d) Karena 36 kelipatan dari 3 benar maka harus ...........

Agar .................. ,

Harga nol : x = ............ atau x = ............Jadi ............

e) Karena sin2x – cos2x = - 1 adalah ........... , tan x = 1 harus ...........Agar ……………. Tan x = 1 maka x ……………

2. Lengkapilah tabel berikuta)

Logika Matematika

p q ~q p ~ q p ~ qBBSS

...

...

...

...

S.........

...

...

...

...

...

........

p q ~q ~q p ~q p (~qp)~qBBSS

BSBS

S………

S………

…………

…………

p q ~p ~q ~p q ~p~q (~pq)(~p~q)BBSS

BSBS

S.........

p q r ~q p~q qr (p~q)(qr)BBBBSSSS

B…S……………

…S……B………

4

b)

c)

d)

e)

3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikuta) 2log 8 = 3 atau 3 bilangan kompositb) jika sin2x + cos2 x = 1 maka sin 2 = - 1 c) 8x – 1 = 4 , x = 5/3 dan d) log a + log b = log ab jika dan hanya jika ( 2log 3 )( 3log2 ) = 1e) 5 bilangan prima syarat cukup bagi 5 bilangan ganjil.

Jawaba) p q ( B ) jika salah satu benar

p : 2log 8 = 2log 2... = ..... jadi ......b) p : sin2 x + cos2 x = 1 adalah pernyataan ………..

q : sin 2 = sin ( ….)o = …… pernyataan ………..jadi p q adalah …………..

c) p : ( …)

q : ( …. )jadi pernyataan p q = ………

d) p : log a + log b = log ab ( ........)q :( 2log 3 )( 3log 2 ) = ....log ........ = ...........( ..... )jadi pq ( ......... )

e) p : 5 bilangan prima ( ......)q : 5 bilangan ganjil ( ...... )jadi p syarat cukup bagi q ( ...... )

E. Tugas1. Buatlah lima contoh kalimat yang merupakan pernyataan dan tiga contoh

kalimat yang bukan pernyataan.

Logika Matematika

p q ~ p ~p qBBSS

BSBS

5

2. Buatlah masing – masing sebuah kalimat majemuk yang menggunakan operasi kongjungsi , disjungsi, implikasi dan biimplikasi kemudian tentukan nilai kebenarannya!

UJI MATERI 1A Berilah tanda silang ( x ) pada huruf a, b , c , d atau e di depan jawaban yang

tepat.1 Kalimat berikut merupakan pernyataan kecuali ...

a) Matahari terbit dari baratb) Bunga melati berwarna putihc) Log 10 = 2d) Kamu sangat hebat.e) Ngawi berada di jawa

2 Diketahui pernyataan p,q,r dengan p(B) ,q(S) dan r(B), pernyataan majemuk berikut benar kecuali ...a) ( p q ) r b) ( ~ p q ) rc) ( p r ) qd) ( ~ p q ) re) ( ~ r p ) ~ q

3 diberikan empat pernyataan p, q , r dan s jika pernyataan p q , q r dan r s adalah salah maka pernyataan berikut benar kecuali ...a) ~sb) ~pc) ~p ~ qd) p qe) ~ s ~ p

4 agar pernyataan berikut bernilai salah ” jika 2log a + 2log b = 2 log ab maka x2

+ 3x – 4 ≤ 0 ” nilai x adalah ...a) – 4 ≤ x ≤ 1b) x ≤ - 4 atau x 1c) x < - 4 atau x > 1d) – 4 < x < 1e) x < - 1 atau x > 4

5 jika p(B), ~ q (B) dan ~ r (S) maka pernyataan berikut yang bernilai benar adalah .a) ( p q ) rb) ( p ~ qc) p ( q r )d) p ( q r )e) p ( ~ q ~r )

6

Nilai kebenaran dari kolom ke 4 adalah ....a. BBSBb. BBBSc. BSBBd. SBSBe. SBBB

7 Diketahui pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah , maka :1. ~ p q2. ~ p ~ q3. q p4. ~ q pPernyataan di atas yang benar adalah ...a) 1,2 dan 3b) 1 dan 3c) 2 dan 4d) 4 sajae) semua benar

Logika Matematika

p q ~ q p ~ qBBSS

BSBS

p q pq p (pq)BBSS

BSBS

6

8 Agar pernyataan berikut bernilai benar ” 2 bilangan komposit atau x2 – 2x – 3 = 0 ” maka nilai x = ....a) 3 atau – 2 b) – 3 atau 2c) 3 atau 2d) 1 atau – 2 e) 3 atau – 1

9 jika pernyataan p benar, q salah dan s benar, maka pernyataan berikut yang bernilai benar adalah ...a) ( p q ) sb) (~ p q ) sc) ( p q ) sd) p ( q ~ s )e) ( q s ) ~ p

10 Negasi dari pernyataan ” semua siswa SMA tidak suka belajar ” adalah ...a) semua siswa SMA suka belajarb) ada siswa SMA tidak suka belajarc) Tidak semua siswa SMA suka belajard) Ada siswa SMA suka belajare) Tidak ada siswa SMA suka belajar

11 Jika pernyataan p(B) , q(B) dan r(S) maka pernyataan (1) ( p q ) r(2) ( p ~q ) ~ r(3) (r p ) ~ q (4) ( q r ) p

yang bernilai benar adalah ...a) 1 , 2 dan 3b) 1 dan 3c) 2 dan 4d) 4 saja e) semua benar

12 jawaban kolom terakhir dari tabel dibawah ini adalah ...

a) SBSBb) SBBSc) SBSSd) BBBBe) SBBB

13 Agar pernyataan berikut ” dan 3log ( x + 5 ) = 2 ” bernilai benar,

nilai x = ...a) 9b) 6c) 4d) 3e) 2

14

Nilai kebenaran pada kolom terakhir adalah ....a) SSBBb) BSSSc) SSBSd) SBSBe) SBBB

15 Kalimat untuk kolom terakhir pada tabel di bawah adalah ....

Logika Matematika

p q ~ p ….BBSS

BSBS

BBBS

p q ~ p ~ p q ( ~ p q ) pBBSS

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

........

p q ~q p ~ q q ( p ~ q )BBSS

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

........

p q r q r p ( q r )BBBBSSSS

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...........

...

...

...

...

...

.....................

7

a) p qb) ~ p qc) ~ p ~ qd) ~ q pe) q ~ p

B . Jawablah soal – soal berikut dengan benar!1 Diketahui pernyataan p(B), ~q(B) dan r(S) tentukan nilai kebenaran dari

pernyataan majemuk berikut :a) ( p q ) ~ rb) ~ p ( q r )c) ~r ( p q )d) ( q r ) pe) ( ~ q p )( r q )f) ( p ~ q ) r

2 Diketahui ketiga pernyataan berikut bernilai benar p ~ q , q r dan r s. Jika p bernilai benar, maka tentukan nilai kebenaran dari a) qb) rc) sd) ~ r s

3 Tentukan nilai x agar pernyataan berikut benar !a) 2log 8 = 3 dan xlog 5 = 1b) jika 25 bilangan kuadrat maka 2x2 – x – 1 = 0c) 6 adalah faktor dari 86 atau 2 sin x = 1 , 0 ≤ x ≤

d) jika dan hanya jika 2log 32 = x

e) jika log 100 = 2 maka 2log 2log x = 24 Lengkapilah tabel berikut :

a)

b)

c)

Logika Matematika

p q r qr p ( q r )BBBBSSSS

BBSSBBSS

BSBSBSBS

...

...

...

...

...

........

p q ~ p ~ q q ~ p p ~ q (q~p)(p~q)BBSS

8

d)

e)

5 Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut !a) Sin = 0 atau sin2 x – cos2 x = 1b) Jika 5 bilangan komposit maka 5 bilangan ganjilc) 15 kelipatan 5 jika dan hanya jika 15 bilangan prima

d) dan log 10 = 1

e) jika log 1 = 0 maka log 0,1

III PERNYATAAN MAJEMUK.A. Pengertian

Pernyataan majemuk adalah yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal ( komponen ) yang dipakai dengan menggunakan kata hubung logika.Contoh ~ p q( p q ) r

B. Pernyataan majemuk yang ekuivalen.Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen – komponen selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama.ContohPerhatikan tabel berikut !

p q ~ p ~ p q p qBBSS

BSBS

SSBB

BSBB

BSBB

Kolom 3 dan 4 bernilai sama sehingga ( ~ p q ) ekuivalen dengan p q yang ditulis ( ~ p q ) p qSifat – sifat operasi dalam logika1. Komutatif : p q q p

p q q p2. Assosiatif : p ( q r ) ( p q ) r

p ( q r ) ( p q ) r3. Distributif : p ( q r ) ( p q ) ( p r )

p ( q r ) ( p q ) ( p r )4. De Morgan : ~ ( p q ) ~ p ~ q

~ ( p q ) ~ p ~ q5. Ingkaran rangkap : ~ ( ~ p ) p6. Idempoten : p p p

Logika Matematika

9

p p p7. Identitas : p B B

p S p p B p p S S

8. Kesetaraan : ( ~ p q ) p q p q ( p q )( q p )

9. Komplemen : p ~ p B p ~ p S

10. TautologiSebuah kalimat majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran Contoh( p q ) p selalu bernilai B

11. KontradiksiSebuah kalimat yang benilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran misalnya ~ p ~ ( p q )

C. Ingkaran / negasi Konjungsi , Disjungsi , Implikasi dan Biimplikasi.1. ~ ( p q ) ~ p ~ q2. ~ ( p q ) ~ p ~ q3. ~ ( p q ) p ~ q4. ~ ( p q ) ( p ~ q )( q ~ p )

IV HUBUNGAN KONVERS , INVERS DAN KONTRAPOSISI.Jika diketahui implikasi p q maka :1. Konvers : q p2. Invers : ~ p ~ q3. Kontraposisi : ~ q ~ p

p q p q q p ~ p ~ q ~ q ~ pBBSS

BSBS

BSBB

BBSB

BBSB

BSBB

Dari di atas disimpulkan bahwa p q ~ q ~ p~ p ~ q q pcontoh1. tentukan negasi dari invers implikasi ” jika ibu pergi ke pasar maka adik

menangis”jawabinvers ” Jika ibu tidak pergi ke pasar maka adik menangis ”Negasinya ” Ibu tidak pergi ke pasar dan adik tidak menangis ”

2. Tentukan kontraposisi dari konvers implikasi ” p ( q ~ r ) ”Jawab Konvers ( q ~ r ) pKontraposisi dari konversnya ~ p ( ~ q r )Ternyata kontraposisi dari konvers implikasi sama dengan invers dari implikasi tersebut

V PERNYATAAN BERKUANTOR.A. Kuantor universal ( umum )

Kata yang digunakan : semua , setiap , seluruhnya Simbol yang dipakai ” Ax ” atau ” x ” dibaca ” setiap x ”Contoh semua siswa SMA berseragam OSIS

B. Kuantor eksistensial ( khusus )Kata yang digunakan : ada , beberapa , sebagian , terdapatSimbol yang dipakai ” Ex “ atau “ x “ dibaca “ ada x “Contoh ada bilangan prima yang genap

C. Negasi pernyataan berkuantor.1. Diketahui pernyataan p : ” x P(x) ” dibaca ” setiap x berlaku sifat P(x) ”

maka ~ p : Ex ~P(x) dibaca ” ada x yang tidak berlaku sifat P(x) ”Logika Matematika

p q ~ q p ~ q ( ~ q p )BB

BS

p q ~ q p ~ q ( ~ q p )B

S

p q rBBBBSSSS

BB.....B....S

BS............

10

2. Diketahui pernyataan q : ”Ex Q(x) ” dibaca ” ada x berlaku sifat Q(x) ” maka ~ q : ” Ax ~Q(x) ” dibaca ” setiap x berlaku sifat bukan Q(x) ”

Contohp : semua warga menginginkan pemimpin yang tidak korupsi~ p : ada warga yang menginginkan pemimpin yang korupsiq : Beberapa bilangan ganjil habis dibagi 3~ q : semua bilangan ganjil tidak habis dibagi 3

LEMBAR PORTOPOLIO1. Tentukan konvers , invers dan kontraposisi dari implikasi

a) Jika bulan bersinar terang maka langit cerah sekalib) ( p q ) r

c) atau nilai maksimum y = cos ax adalah 1

d) ~ p q jawab

a) konvers invers kontraposisi

b) konvers r ( p q )inverskontraposisi

c) diubah dulu menjadi : jika maka ......

konversinverskontraposisi

d) diubah dulu menjadi : ~ p q .... .......konversinverskontraposisi

2. Tentukan nilai dari pernyataan majemuk berikut !a) q ~ pb) ~ q ( ~ q p )c) ( p q ) ~ pd) ( p ~ r ) q

jawaba) karena ada 2 pernyataan maka tabelnya terdiri 4 baris

p q ~ p q ~ pBBSS

BSBS

b)

c)

d) Karena ada 3 pernyataan maka tabelnya terdiri 8 baris

Logika Matematika

p q p q q ( p q )BBSS

p q ~ p p q (p q ) ~ p (( p q ) ~ p ) qBBSS

p q p q ( p q ) pBBSS

p q ( ~ p q ) ( p q ) ( ~ p q )BBSS

11

3. Tunjukkan pernyataan majemuk berikut, apakah merupakan tautologi , kontradiksi atau bukan keduanya.

a) q ( p q )b) (( p q ) ~ p ) q c) ( p q ) pd) ( p q ) ( ~ p q )

jawaba) q ( p q )

cara 1dengan sifat – sifat operasi logikaq ( p q ) ~ p ( p q )

( ~ p p ) ... B ... ....

cara 2 dengan tabel kebenaran

Karena kolom terakhir bernilai ........... semua maka tautologib) (( p q ) ~ p ) q

dengan tabel kebenaran

c) ( p q ) pdengan tabel kebenaran

d) ( p q ) ( ~ p q )dengan tabel kebenaran

4. Tentukan negasi dari pernyataana) Jika semua bilangan prima ganjil maka 2 bukan bilangan primab) Gajah tidak punya taring dan kucing mengeongc) Bulan bersinar di malam hari atau 4 faktor dari 24d) ( ~ p q ) re) p q

jawaba) Negasi dari p q adalah ...

Logika Matematika

12

Jadi negasi pernyataan di atas adalah ....b) ~ ( p q ) = ....

jadi negasinya ...c) ~ ( p q ) ...

jadi negasinya d) ~ (( ~ p q ) r ) = ......e) ~ (p q ) = .....

UJI MATERI 2A. Berilah tanda silang pada huruf a , b , c , d atau e pada jawaban yang benar !1. Negasi dari pernyataan p ~ q adalah ..

a) p qb) ~ p ~ qc) ~ p qd) p ~q e) p q

2. Ingkaran dari pernyataan ” semua siswa SMA 1 teladan tidak suka membolos ”

a) Tidak ada siswa SMA 1 teladan suka membolosb) Ada siswa SMA 1 teladan tidak suka membolosc) Semua siswa SMA 1 teladan suka membolosd) Ada siswa SMA 1 teladan suka membolose) Semua siswa SMA 1 teladan rajin belajar

3. invers dari konvers implikasi ( ~ p q ) r adalah ...a) ( p ~q ) ~ rb) r ( ~ p q )c) ~ r ( ~ p ~ q )d) ~ r ( p ~ q )e) ~ r ( ~ p ~ q )

4. Bentuk p ( q ~ p ) ekuivalen dengan :1. ( ~ q p ) ~ p2. ~ p ( q ~ p )3. ~ p q4. ~ p ( ~ q p )

pernyataan yang benar adalah ...a) 1 , 2 dan 3b) 1 dan 3c) 2 dan 4d) 4 e) semua salah

5. Negasi kontraposisi implikasi : jika rina sakit maka semua orang susah adalah ...

a) Jika rina tidak sakit maka semua orang tidak susahb) Jika rina sakit maka ada orang tidak susahc) Ada orang susah dan rina tidak sakitd) Ada orang tidak susah dan rina sakite) Semua orang tidak susah atau rina sakit

6. konvers dari implikasi ” ( ~ p q ) ~q ” adalah ..a) ( p `~ q ) qb) ( p `~ q ) ~ qc) ~(~ p q ) qd) ~ p qe) p q

7. pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ...a) ~ ( p ~q ) ~ p qb) ~( p ~ q )p ~ qc) ( p q) ~ q p ~ qd) ( p ~ q ) p p ( p ~ q)e) ~p q p q

8. pernyataan majemuk berikut yang merupakan kontradiksi adalah ...a) ( p q ) ( p q ) b) p ( ~ p q )c) ( p q ) pd) q ( p ~ q )e) ( p ~ q ) p

Logika Matematika

13

9. negasi dari invers implikasi ” ~ p q ” adalah ...a) ~ p ~ q b) ~ p q c) ~ p q d) p qe) p q

10.Negasi dari pernyataan “ jika Nafila tidak rajin belajar maka semua temannya tidak senang “ adalah ....

a) Jika nafila belajar maka semua temannya senangb) Jika nafila tidak rajin belajar maka ada temannya senangc) Nafila rajin belajar dan ada temannya senangd) Nafila tidak rajin belajar dan ada temannya senange) Nafila tidak rajin belajar atau ada temannya senang

11.pernyataan ( p q ) ( ~ q p ) memiliki nilai kebenaran yang sama dengan ...

a) BBSSb) BBBSc) SSBBd) Tautologie) Kontradiksi

12.invers dari ” ( p ~ q ) ~ p ” adalah ...a) ( p ~ q ) pb) ( p ~ q ) pc) ~ p qd) p ~ q e) p ~ q

13.negasi dari ~ p ( ~ q r ) adalah ...a) p ( q ~ r )b) p ( q ~ r )c) ~ p ( q ~ r )d) ~ p ( q ~ r )e) p ( ~ q r )

14.diketahui tiga pernyataan berikut bernilai benar p q , q ~ r dan ~ r s. Jika nilai kebenaran p benar, maka pernyataan berikut yang bernilai benar adalah ...

a) r sb) p rc) r pd) r ~ qe) q r

15.konvers dari pernyaaan p q adalah ...a) ~ p q b) p q c) ~ p q d) q ~ pe) ~ q ~ p

16.pernyataan berikut bernilai benar kecuali ...a) ~ ( p q ) ~ p ~ q b) ( p q ) ~ q p ~ q c) ~ ( p ~ q ) ~ p ~ qd) ~ ( p q ) p ~ qe) ~ ( p ~ q ) p q

17.jika pernyataan p(B ) dan p ~ q ( S ) maka pernyataan berikut :1. p q 2. ~ p ~q3. ~ p ~ q4. ( p q ) ~ pyang benar adalah ...

a) 1 , 2 , 3b) 1 , 3 c) 2 , 4 d) 4e) semua benar

18.Pernyataan p ( ~ p q ) ekuivalen dengan ...a) ~ p ( ~ p q )

Logika Matematika

14

b) p ( p ~ q )c) ~ p ( ~ p q)d) ~ p ( ~ p q )e) p ( ~ p q )

19.Pernytaan berikut selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran kecuali ...a) P ~ pb) ~ ( p ~ p )c) ( p q ) pd) ~ p ~ ( p q )e) ( p ~ q ) ~ q

20.Negasi dari pernyataan ” jika Khurin pandai menyanyi maka semua orang senang” adalah ...

a) Jika khurin tidak pandai menyanyi maka semua orang tidak senangb) Jika khurin tidak pandai menyanyi maka ada orang yang senangc) Jika semua orang tidak senang maka khusin pandai menyanyid) Khurin pandai menyanyi dan ada orang tidak senange) Khurin tidak pandai menyanyi dan semua orang senang

B. Jawablah soal berikut dengan benar !1. Tentukan konvers , invers dan kontraposisi dari

a) ( p q ) ~ rb) ~ p q c) jika semua siswa naik kelas maka ada guru yang tidak senangd) Harminingsih suka menyanyi atau semua orang senang

2. Manakah yang merupakan tautologi, kontradiksi atau bukan keduanya dari kalimat majemuk berikut ?

a) ( ~ p q ) ~ pb) ( p q ) ( ~ p q )c) ( p ~ q ) q d) p ( ~ q p )e) ( p q ) ~ q f) ( p ~ q ) ( q ~ p )g) ~ p ~ ( p q )

3. Tentukan negasi dari invers implikasi berikut :a) Jika 4 + 3 > 5 maka semua bilangan prima adalah ganjilb) ( p ~ q ) ~ pc) Taufik menang lomba jika ia bersemangat tinggi

4. Buktikan ekuivalen berikut !a) ( p q ) r ( p r ) ( q r )b) p ( q r ) ( p q ) r c) ( p q ) ( p r ) p ( ~ q r )d) ( p ~ q ) ~ p p qe) p ~ q ( p ~ q ) ( q p )

5. tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut :a) ( ~ p q ) ( p q )b) p ( ~ q p )c) ( ~ p q ) rd) ( p ~ q ) ( ~ r q )

VI PENARIKAN KESIMPULAN.Penarikan kesimpulan dai suatu argumen didasarkan dari beberapa pernyataan yang benar ( disebut premis ) sehingga didapatkan suatu kesimpulan ( konklusi ) yang benar. Suatu argumen dikatakan sah ( valid ) jika dapat dibuktikan konjungsi dari premis –premisnya adalah benar atau merupakan sebuah tautologi.Cara sederhana untuk membukikan suatu argumen itu sah ( valid ) atau tidak adalah dengan bantuan tabel kebenaranContohSelidiki apakah penarikan kesimpulan berikut valid Luthfi tidak rajin belajar atau ia naik kelasLuthfi rajin belajarKesimpulan luthfi naik kelasJawabMisal p = luthfi rajin belajar

Logika Matematika

p q ~ p ~p q p q q ((~pq)(pq))qBBSS

BSBS

SSBB

SSBS

BSBB

BSBS

BBBB

15

q = luthfi naik kelassehingga kalimat di atas dapat disimbolkan premis 1 : ~ p q ( B ) premis 2 : p ( B )konklusi : q ( B )Perhatikan tabel kebenaran ( ( ~ p q ) p ) q berikut !

p q ~ p ( ~ p q ) ( ~ p q ) p ( ( ~ p q ) p ) qBBSS

BSBS

SSBB

BSBB

BSSS

BBBB

Dari tabel terlihat bahwa ( (~ p q ) p ) q merupakan tautologi jadi kesimpulan dari di atas validBerbagai pola penarikan kesimpulanA Modus ponen

Premis 1 : p q ( B )Premis 2 : p ( B )Konklusi : q ( B )

B Modus tollens.Premis 1 : p q ( B )Premis 2 : ~ q ( B )Konklusi : ~ p ( B )

C Silogisma.Premis 1 : p q ( B )Premis 2 : q r ( B )Konklusi : p r ( B )

D Silogisme disjungtifPremis 1 : p q ( B )Premis 2 : ~ q ( B )Konklusi : p ( B )

E Kombinasi dua argumen modus ponens ( dilema konstruktif ).Premis 1 : (pq)(rs)( B )Premis 2 : p r ( B )Konklusi : q s ( B )

F Kombinasi dua argumen modus tollens ( dilema destruktif ).Premis 1 : (pq)(rs)( B )Premis 2 : ~ q ~ s ( B )Konklusi : ~ p ~ r ( B )

G Konjungsi.Premis 1 : p ( B )Premis 2 : q ( B )Konklusi : p q ( B )

H Addition ( penambahan )Premis 1 : p ( B )Konklusi : p q ( B )

CatatanUntuk membuktikan suatu argumen dari beberapa premis, bentuklah ke pola- pola penarikan kesimpulan diatas, jika ternyata sulit gunakan tabel kebenaranContohApakah penarikan kesimpulan berikut valid ?Premis 1 : ~ p q ( B )Premis 2 : p q ( B )Konklusi : q ( B )Bukti dengan tabel

Logika Matematika

16

Pada tabel diatas pada kolom terakhir menunjukkan tautologi karena nilai kebenaran B semua sehingga argumen valid

VII BUKTI LANGSUNG DAN TAK LANGSUNG.Sebuah rumus / dalil / teorema dapat dibuktikan kebenarannya dengan mengambil kesimpulan yang didasarkan pada pernyataan – pernyataan yang benar ( misalnya definisi , aksioma atau sifat ) dan dari dalil – dalil lain yang telah dibuktikan benar.A Bukti langsung.

Cara penarikan kesimpulan dengan silogisma , modus ponen , modus tollen dan lain – lain seperti di atas merupakan contoh – contoh bukti langsungContohBuktikan bahwa untuk semua a dan b R maka berlaku ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2 Jawab( a – b )2 = ( a – b )( a – b ) ( definisi perpangkatan )

= a(a - b) – b( a – b ) ( distributif perkalian ) = a2 – ab – ba + b2 ( distributif perkalian ) = a2 – ab – ab + b2 ( komutatif pekalian ) = a2 – 2ab + b2 ( definisi penjumlahan )

B Bukti tak langsung.Jika akan membuktikan kebenaran sebuah pernyataan tunggal p maka dilakukan dengan cara kontradiksi yaitu dengan membuktikan ~ p salah. Karena ~ p salah maka p haruslah benar.ContohDengan bukti tak langsung buktikan kebenarannya :1. adalah bilangan irrasional

jawabmisal p : adalah bilangan irasional

~ p: bukan bilangan irasional~ p bernilai salah jadi pastilah p benar

2. jika n genap maka n2 genap n bilangan bulat.JawabMisal p : n genap

q : n2 genapjadi p q ( implikasi )

akan dibuktikan kontraposisinya ~ q ~ p benaryaitu jika n2 bukan bilangan genap maka n bukan bilangan genapjelas bahwa ~ q ~ p benar jadi p q benar

VIII BUKTI DALAM MATEMATIKA DENGAN INDUKSI MATEMATIKA1. pengertian induksi matematika.

Induksi matematika adalah proses pembuktian teorema / pernyataan dari kasus-kasus khusus yang harus berlaku untuk setiap bilangan asli.

2. Langkah – langkah pembuktian dengan induksi matematikaa) Dibuktikan apakah benar teorema tersebut berlaku untuk n = 1 ( bilangan

asli terkecil ) pada kasus tertentu pengambilan n tidak harus 1b) Dianggap teorema tersebut benar untuk n = k , k Ac) Dibuktikan apakah teorema tersebut benar untuk n =k+ 1 jika benar maka

disimpulkan teorema tersebut berlaku untuk semua nilai n.ContohDengan induksi matematika buktikan bahwa untuk nA berlaku 2 + 4 + 6 + ..+ 2n = n2 + nJawab untuk n = 1

ruas kiri 2n = 2.1 = 2ruas kanan n2 + n = 1 + 1 = 2 jadi benar

untuk n = k dianggap benar, sehingga berlaku 2 + 4 + 6 + ...+ 2k = k2 +k akan dibuktikan apakah benar untuk n = k + 1

2 + 4 + 6 + ....+ 2k + 2 ( k + 1 ) = k2 + k + 2 ( k + 1 )= k2 + k + 2k + 2= k2 + 3k + 2= k2 + 2k + 1 + k + 1= ( k + 1 )2 + ( k + 1 )

Logika Matematika

17

jadi terbukti benar untuk 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 ( k+1 ) = ( k + 1) 2 + ( k+ 1 )

LEMBAR PORTOFOLIOA isilah titik – titik di bawah dengan jawaban yang benar!

1 Dari premis-premis berikut, tentukan kesimpulannyaa) p ~ q ( B )

q ( B ).....

b) ~ p q .......... kesimpulan ................~ r ~ q .......... ................p p ............................... ................

c) ( p q ) r .......... kesimpulan ............~ s ~ r .......... ............s t .......... .............

2 dengan induksi matematika buktikan bahwa yang berikut berlaku untuk semua x bilangan aslia) 3 + 6 + 9 + 12 + .........+ 3n = ½ n (3 + 3n )b) 34n – 1 habis dibagi 80c) 2n > njawaba) 3 + 6 + 9 + ....+ 3n = ½ n ( 3 + 3n )

* untuk n = 1 ruas kiri 3n = 3 . 1 = 3 ruas kanan ½ n ( 3 + 3n ) = ½ ( 3 + ........) = ........ jadi benar * dianggap benar untuk n = k jadi 3 + 6 + 9 + ..........+ ........= ½ k ( ........... )* apakah benar untuk n = k + 1 3 + 6 + 9 + ..........+ 3k + 3( k+1 ) = ½ ( k + 1 )( ....... + .........) ruas kiri 3 + 6 + 9 + ..........+ 3k + 3( k+1 ) ½ k ( .......... + ...........) + 3 ( k+1 ) ................................................... ................................................... ................................................... = ruas kanan

b) 34n – 1 habis dibagi 80 untuk n = 1 maka 34 – 1 = 80 habis dibagi 80 dianggap benar untuk n = k jadi 34k – 1 habis ............... akan ditunjukkan apakah benar untuk n = k + 1

34( k + 1 ) – 1 apakah habis dibagi 80 ?3 ..... – 1 = ( 3 ...... - 1 ) - ................................. = ............................jadi ................

c) 2n > n untuk n = 1 dianggap benar untuk n = k jadi 2k > k apakah benar untuk n = k + 1 2 k + 1 > .......... bukti 2k + 1 = 2 .... 2..... > 2k karena 2k > k

2.... 2.... > k + k k + 1 karena k 1jadi ................

3 Buktikan sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut :a) ~ q ~ p ( B ) b) p q ( B ) c) p q ( B )

~ q r ( B ) q ( B ) ~ p ( B )p r ( B ) p ( B ) ~ q ( B )

jawaba. ~ q ~ p p ..... silogisme

~ q r .... .....sehingga p r ( B )

b. dengan tabel Logika Matematika

18

p q p q ( p q ) q p q pBBSS

B B

b) p q ( B ) ~ p ( B )

~ q ( B ) akan dibuktikan apakah ( p q ) ( ~ p ) ~ q merupakan tautologi ( p q ) ~ p ~q ( p ~ p ) ( q ...... ) ~ q ............... ( q ........ ) ~ q

.............................. ~ q ~ ( ....................... ) ~ q ............................. ~ q..........................................jadi .............................

UJI MATERI 3A Berilah tanda silang ( x ) pada huruf a , b , c , d atau e di depan jawaban yang

benar!1 Diketahui 3 premis seperti berikut

1) p q ( B )2) ~ q r ( B )3) ~ r ( B )kesipulan dari 3 premis di atas adalah ...a) pb) p ~ rc) qd) ~ pe) ~ q

2 Diketahui premis – premis ” jika amerika marah maka dunia geger, ternyata amerika marah ” maka kesimpulan yang dapat diambil adalah ..a) Dunia marahb) Dunia tidak gegerc) Jika dunia geger maka amerika marahd) Dunia gegere) Dunia tidak marah

3 Argumen berikut yang tidak sah adalah ...a) p q

p q

b) ~ p q~ p ~ p

c) p qq p

d) p qq ~ rp ~ r

e) p qq r ~ p r

4 jika premis 1 : ( p q ) ( r s ) ( B )jika premis 2 : p r ( B )maka konklusinya adalah ....a) p q b) p rc) q sd) q se) q r

5 Diketahui premis 1 : ~ p q ( B ) Premis 2 : ~ p r ( B ) Premis 3 : ~ ( ~ s r ) ( B )

Logika Matematika

19

Konklusinya adalah …a) ~ s b) ~ q ~ sc) q sd) q ~ se) ~ q s

6 diketahui premis – premis berikut :premis 1 : ( p q ) ( r s ) ( B )premis 2 : p r ( B )premis 3 : ~ q ( B )kesimpulan dari ketiga premis di atas adalah ...a) p qb) ~ p c) ~ s d) se) p ~ s

7 diketahui penarikan kesimpulan :premis 1 : ~ p ( q r )premis 2 : q ~ r konklusi : pakan benar jika , jika

1. q diganti ~ q pada premis 22. ~ r diganti r pada premis 23. p diganti ~ p pada konklusi4. ~ diganti p pada premis 1

jawaban yang tepat adalah ...a. 1 , 2 , 3 b. 1 , 3c. 2 , 4 d. 4e. semua

8 Ali jago tinju atau ia jago gulat, ternyata ali tidak jago tinju. Kesimpulan dari pernyataan di atas adalah ...a) Ali tidak jago tinjub) Ali jago tinjuc) Ali tidak jago gulatd) Ali jago gulate) Ali jago tinju dan gulat

9 Diketahui beberapa premis berikut :(1) Jika ifah terlambat masuk sekolah maka pak guru marah(2) Pak guru tidak marah atau semua siswa takut(3) Ada siswa tidak takut

Kesimpulan dari premis (1 ) , ( 2 ) dan ( 3 ) adalah ...a. ifah terlambat masuk sekolahb. jika ifah terlambat masuk sekolah maka semua siswa takutc. pak guru marahd. ifah tidak terlambat masuk sekolahe. ifah tidak takut

10 diketahui p dan q adalah suatu pernyataan dari penarikan kesimpulan berikut :1 p q 2 p q 3 p q ~ q p r p ~ p q r q yang sah adalah ...a) 1 sajab) 1 dan 2c) 1 dan 3d) 2 dan 3e) 1 , 2 dan 3

B Jawablah soal – soal di bawah ini dengan singkat dan benar !1 Buktikan sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut

a) p q ( B )~ q ( B )p ( B )

b) p q ( B )

Logika Matematika

20

q ( B )p ( B )

c) p q ( B )~ q r ( B )~ r ( B )~ p ( B )

d) q ~ p ( B )q ( B )p ( B )

e) ~ p q ( B )r ~ q ( B )r ~ s ( B )p ~ s ( B )

f) p q ( B )q r ( B )p r ( B )

2 dengan induksi matematika buktikan pernyataan berikut !a) 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + .....+ n . ( n + 1 ) = 1/3 n ( n + 1 )(n + 2 ) n A

b)

c)

d) k2 + 1 habis dibagi 2 , k bilangan ganjile) n ( n + 1 ) habis dibagi 2 . n A

f) 1.2.3 + 2 .3 . 4 + 3.4.5 + ...+ n (n+1)(n+2)= n ( n+1 )( n + 2 )( n + 3 )

g)

3 dengan menggunakan bukti langsung, buktikan kebenaran tiap pernyataan berikut:a) untuk semua a dan b R maka ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2 b) jika 3x – 2 = 1 maka x2 + 4x – 5 = 0 , x Rc) untuk semua sudut x maka a + cos x > 0

4 Tentukan kesimpulan dari premis – premis berikut a) p ~ q ( B )

q ( B )b) p ~ q ( B )

p r ( B )~ r ( B )

c) ( q ~ r ) p ( B )~ p ( B )

d) p ~ q ( B ) q r ( B )s ~ r ( B )

5 dengan menggunakan bukti tak langsung atau langsung , buktikan tiap pernyataan berikut !a) ( cos x + sin x ) 2 = 1 + 2 sin x cos x b) jika n2 bilangan bulat genap maka n bilangan genapc) buktikan bahwa adalah irrasionald) jika x2 + 3x – 4 < 0 maka – 4 < x < 1

Logika Matematika