Lek 7Funk tüüniï qanaruud, funk iïn x¶zgaar

• Täg² ba sondgoï funk • Ösöx ba buurax funk• Üet funk • Näg ba olon utgat funk • Urwuu funk • Dawxar funk

• Dald funk

• Funk iïn x¶zgaar

• Funk iïn örgöösgöl x¶zgaar1

Funk tüüniï qanaruud

x ∈ X, y ∈ Y gäsän xuw´sax xämjigdäxüün aw³¶.

x xuw´sax xämjigdäxüüniï todorxoï näg utgand y gäsän xuw´saxxämjigdäxüüniï todorxoï näg utgyg xargalzuulj baïwal x, y xuw´saxxämjigdäxüüniïg funk än xamaaraltaï xuw´sax xämjigdäxüünüüd gänä.

Xawtgaï däär or²ix koordinatuud n´ y = f(x), x ∈ X tän läär xolbogdox

M(x, f(x)) ägüüdiïn olonlogiïg funk iïn grafik gänä.

2

Täg² ba sondgoï funk Täg² funk f(−x) = f(x)Ji²ää:

y = x2 ⇒ f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x)Sondgoï funk f(−x) = −f(x)Ji²ää:

y = x3 ⇒ f(−x) = (−x)3 = −x3 = f(−x).

3

Ösöx ba buurax funk Ösöx funk :x1 < x2 üed

f(x1) < f(x2)Buurax funk :x1 < x2 üed

(f(x1) > f(x2))Ül buurax funk f(x1) ≤ f(x2)Ül ösöx funk

(f(x1) ≥ f(x2))(xamtad n´ monoton funk gänä)4

Üet funk

Funk iïn argumentyn duryn xolbogdol däär nämäxäd funk iïn utgaöörqlögdöxgüï baïx tägääs ¶lgaataï togtmol too oldoj baïwal ug funk iïgüet funk gänä.f(x + l) = f(x)f(x + 2l) = f((x + l) + l) = f(x + l) = f(x)f(x + 3l) = f((x + 2l) + l) = f(x + l) = f(x)...

f(x + kl) = f(x)

k = ±1,±2,±3, . . .- Ädgäär toonuudyn xamgiïn bagyg funk iïn üe gänä.- Üet funk iïn ¶mar näg x = x0 äg däärx utga f(x0) n´ x0-oos kl urttaïxärqmiïn üzüüriïn ägüüd däär daxin dawtagdana.5

Näg ba olon utgat funk

Argumentyn duryn utgand funk iïn xoër µmuu tüünääs olon utga xargalzajbaïwal y = f(x) funk iïg olon utgat funk gänä.

y = ±√

x x = 4 ⇒ y = ±2

6

Urwuu funk

X-muj däär todorxoïlogdson y = f(x) funk awq tüüniï utgyn mujiïg Y gäe.

Y mujaas awsan y0 ∈ Y utga büxänd y0 = f(x0) tän ätgäliïg xangasan ¶dajnäg x0 äg X mujaas zaawal oldono.Iïmd ∀y ∈ Y büxänd X mujiïn näg buµu xäd xädän utga xargalzax tul Y mujdäär x = ϕ(y) gäsän näg µmuu olon utgataï funk todorxoïlogdox ba tüüniïg

y = f(x) funk iïn urwuu funk gänä.y = f(x) , x ∈ X , y ∈ Y ;

x = f−1(y) = ϕ(y) , y ∈ Y , x ∈ XÄndääs urwuu funk y = f−1(x) = ϕ(x) gäj oldono.I, III möqiïn ön giïn bissektrisiïn xuw´d ug funk üüd täg² xämtäï baïna.

7

Dawxar funk

Y muj däär todorxoïlogdson z = F (y) funk

X muj däär todorxoïlogdson, utgyn muj n´ Y baïx y = f(x) funk awq üz´e.Tägwäl

z = F [f(x)]funk iïg X muj däär todorxoïlogdson dawxar funk gänä.änd y-zawsryn argument, x-ündsän argumentJi²ää: z = cos3

(√1 + sin2 x

)

⇐⇒z = u3, u = cos v, v =

√y, y = 1 + t2, t = sin x

8

Dald funk

F (x, y) = 0 (1)Ji²ää:xy − ln(x + y) = 0.(??) ¶mar q funk iïg ilärxiïläxgüï baïj boldog.

x2 + y2 + 1 = 0funk iïg xangax bodit too oldoxgüï tul ¶mar nägän muruïg todorxoïloxgüï.(näg ba olon utgat)

9

Funk iïn x¶zgaar

Xäräw a ägiïn duryn jijig orqind X toon olonlogoos a ägääs ¶lgaataïnäg äg oldoj baïwal a-g X olonlogiïn x¶zgaaryn äg gänä.

Xäräw X mujaas a tooruu tämüülj buï ¶mar q {xn} daraallyg awaxad tüündxargalzax funk iïn utguudyn daraallal {yn} = {f(xn)} n´ näg ijil A tooruutämüülj baïwal A toog y = f(x) funk iïn x → a üeiïn x¶zgaar gäj närlääd

limx→a

f(x) = A gäj tämdäglänä.

Xäräw ∀ε > 0 , |x − a| < δ tän ätgäl bi²iïg xangasan büx x-üüdiïn xuw´d

|f(x) − A| < ε tän ätgäl bi² bielj baïxaar δ(ε) too oldox bol A toog

f(x) funk iïn x → a üeiïn x¶zgaar gänä.10

Xäräw ∀ε > 0 , |x| > M tän äl bi²iïg xangasan büx x�n xuw´d

|f(x) − A| < ε tän äl bi² bielj baïxaar M too oldox bol A toog

f(x)-iïn x → ∞ üeiïn x¶zgaar gänä.

Xäräw |f(x)| > E baïx ∀E > 0 -g awaxad |x − a| < δ-iïg xangax büx x- üüddäär x → a üed f(x) → ∞ baïna. limx→a

f(x) = ∞.

Xäräw ∀E > 0 -g awaxad |x| > M baïx büx x-üüd däär |f(x)| > E baïx M toooldox bol x → ∞ üed f(x) → ∞ baïna. limx→∞

f(x) = ∞.

11

Funk iïn öröösgöl x¶zgaar

Def: Xäräw y = f(x) funk x n´ a (∞) tooruu zöwxön baruun talaas n´tämüüläxäd b1 gäsän x¶zgaartaï baïwal b1-iïg y = f(x)-iïn a (∞) ägdäärx baruun öröösgöl x¶zgaar gäj närlääd

limx→a+0

f(x) = b1 = f(a + 0)gäj tämdäglänä.Üüntäï adil

limx→a−0

f(x) = b2 = f(a − 0)baïna.

y = f(x) funk x → a üed tögsgölög A gäsän x¶zgaartaï bol

f(a − 0) = f(a + 0) = A.Urwuu todorxoïlolt n´ mön xüqintäï.12