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Cálculo de reacciones internas de una armadura plana estáticamente indeterminada por el Método de
Flexibilidades
José Luis Morales [email protected]ÍA CIVIL, UDAL
Abril 2017
I. IntroducciónUna armadura plana se idealiza como un sistema de miembros en un plano e interconectados en juntas articuladas. Las cargas pueden consistir de fuerzas concentradas en los nudos que dará como resultado fuerzas axiales de tensión y compresión en los elementos.La indeterminación estática se refiere a un exceso de apoyos o miembros en la armadura que producen un exceso de reacciones desconocidas y que las ecuaciones de la estática disponibles no son suficientes para su cálculo. La Indeterminación Interna se obtiene contando el número de elementos más 3 (ecuaciones de la estática) menos dos veces el número de nodos. La Indeterminación Externa se obtiene contando el número de reacciones y restándole 3 (ecuaciones de la estática). Un valor mayor que cero implica que se deben eliminar ese número en exceso de elementos y/o reacciones para que se pueda resolver por estática. A estas cantidades excedentes les llamaremos redundantes, QEl método de la flexibilidad es uno de los métodos fundamentales para el analista estructural y se basa en el concepto de Desplazamientos que incluye conceptos de Energía de Deformación, Carga virtual de Maxwell-Mohr y el Método de Superposición.
Ejercicio 1. Armadura hiperestática de grado 2Hallar las reacciones internas de la armadura hiperestática sujeta a cargas verticales, como se muestra en la figura :
3000 kg 3000 kgA
B
C
D
1
2
3
4
5 6
Las longitudes de los elementos son:L1=2.0 m L4=2.5 mL2=3.5 m L5=3.202 mL3=2.236 m L6=4.031 m
Los ángulos son:∠ABC=60.3° ∠BDA=38.7°∠ADC=77.9° ∠ACD=63.4°∠BAD=51.3° ∠CAD=38.7°∠ACB=29.7°
PASO 1. Identificar grado de indeterminación estática y redundantes:Indeterminación interna=6 elementos+3-2*4 (nodos A,B,C y D)=6+3-8=1. Significa que tiene un elemento en exceso que hay que llamar redundante.Indeterminación externa: El apoyo articulado tiene 2 reacciones, y el apoyo de rodillo uno, se tiene entonces: 4 (reacciones en total)-3=1. Significa que hay una reacción en exceso que hay que llamar redundante.Al haber dos redundantes se dice que la indeterminación es de grado 2.la primera redundante será “eliminando” el apoyo de rodillo en el nodo D y le llamaremos Q1. La segunda redundante será el elemento 6 y la llamaremos Q2.
Observación: pudo haberse eliminado el rodillo del apoyo B y el
elemento 5. La selección es opcional.
PASO 2. Método de Superposición:Construir sistemas estáticamente determinados a modo que el resultado de la suma de las partes sea igual al sistema hiperestático original
3000 kg 3000 kgA
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
3000 kg 3000 kgA
B
C
D
1
2
3
4
5 6 Sistema Hiperestático
Q1
Q2+ +
Sistemas estáticamente determinados
OBSERVACIONES:El sistema 1 tiene todas las cargas externas originales. Cada redundante Q se formará con su propia estructura libre pero sin cargas externas originales como se muestra en sistema 2 y sistema 3. Debe interpretarse que Q1 y Q2 son ahora cargas externas. Observe que la suma de los tres sistemas es equivalente a la estructura hiperestática original.
Sistema 1 Sistema 2Sistema 3
Recordar que vamos a quitar el apoyo de rodillo en D y el elemento 6 para que se pueda resolver por estática, para obtener el sistema 1.
PASO 3. Método de la Flexibilidad. (a) Hallar los desplazamientos que ocurren SÓLO EN LAS REDUNDANTES para el sistema 1:Sistema 1. El Método energético y de Maxwell-Mohr dicen que se debe trabajar con reacciones internas de un sistema original y de otros que implican cargas virtuales unitarias en dirección del desplazamiento deseado de acuerdo a la ecuación matricial : DQL=A’MQFMAML.
3000 kg 3000 kgA
B
C
D
1
2
3
4
5
Sistema 1
DESPLAZAMIENTOS
3000 kg 3000 kgA
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
1
1
1
Donde: D=Desplazamiento en las redundantes Q del sistema Libre 1; .A’MQ=Reacciones internas de los Miembros por carga unitaria en dirección del desplazamiento en las redundantes Q transpuesta; FM=Matriz diagonal de valores de los Miembros, Li/AiEi. AML=Reacciones internas de los Miembros de un sistema Libre original en este caso el sistema 1.
Sistema 1_AML. Sistema 1_AMQ1 Sistema 1_AMQ2
OBSERVACIONES: Lo que se busca es saber el desplazamiento que se presenta al haber “eliminado” las redundantes, en el rodillo en D y el elemento 6. Las direcciones unitarias se tomaron arbitrariamente. Estos sistemas son independientes del método de superposición. Estos sistemas son para hallar los desplazamientos. La coincidencia va a servir para usar estos resultados en los siguientes sistemas.
3000 kg 3000 kgA
B
C
D
1
2
3
4
5
3.1. Cálculo de reacciones internas para el Sistema 1_AML.
(a) Primero hallaremos las reacciones en los apoyos:ΣMA=0; Todas las cargas y reacciones en el nodo A no generan momento;-3000kg(3.5m)+R3(2.0m)=0; R3=5250 kg. ΣFx=0; R3-R2=0; R2=5250 kg ΣFy=0; R1-3000kg-3000kg=0; R1=6000 kg
R1
R2
R3 ARL=6000-5250 kg5250
Los signos se tomaron positivos hacia arriba y hacia la derecha. Esta matriz no participa en los desplazamientos pero la utilizaremos después en el método de superposición.
La matriz de reacciones de los apoyos de la estructura libre,ARL , es:
(b) Cálculo de reacciones internas en los elementos: Debemos comenzar con apoyos y/o menor cantidad de elementos
NODO B (tiene 2 elementos)
R3=5250kg
AB
BD
Puede verse que AB=0;ΣFx=0; R3-BD=0; BD=5250 kg (C)
Descomponer CD, porque está inclinado;ΣFy=0; -3000kg+CDy=0;-3000kg+CDsen63.4°=0 CD=3355 kg (C)
NODO C (tiene 2 elementos)
CDy
AC
3000 kg
CDx
ΣFx=0; -AC+CDx=0; -AC+CDcos63.4°=0 AC=1502 kg (T)
Recordar que AB=0;Descomponer AD, porque está inclinado;Con una condición de equilibrio es suficiente para encontrar AD:ΣFy=0; -3000kg+6000-ADy=0;-3000kg+6000kg-ADsen38.7°=0 AD=4798 kg (T)
NODO A (tiene 3 elementos)
ADy
AC=1502kg
3000 kg
ADx
R1=6000kg
R2=5250kg
AML= 01502 kg-3355-52504798 0
Los signos se tomaron positivos para tensión. Se ordenaron en la matriz de acuerdo a su numeración.Observe que se colocó una sexta reacción interna correspondiente al elemento eliminado 6, que tiene que ser cero porque “no está en la estructura libre” pero sí en la estructura hiperestática
La matriz de reacciones internas de los miembros de la estructura libre,AML , es:
3.2.Cálculo de reacciones internas para el Sistema 1_AMQ1.para carga virtual en el nodo D del rodillo
A
B
C
D
1
2
3
4
5
1
(a) Primero hallaremos las reacciones en los apoyos:ΣMA=0; Todas las cargas y reacciones en el nodo A no generan momento;-1(2.5m)+R3(2.0m)=0; R3=1.25 ΣFx=0; R3-R2=0; R2=1.25 ΣFy=0; R1-1=0; R1=1
R1
R2
R3
ARQ1=1-1.25 1.25Se tiene:
ABC=0
(b) Cálculo de reacciones internas en los elementos: Debemos comenzar con apoyos y/o menor cantidad de elementos
NODO B (tiene 2 elementos)
R3=1.25
AB
BD
Puede verse que AB=0;ΣFx=0; R3-BD=0; BD=1.25 (C)
Descomponer CD, porque está inclinado;Al no existir ninguna fuerza externa, se deduce que:CD= 0AC=0
NODO C (tiene 2 elementos)
CDy
AC
CDx
Recordar que AB=0 y AC=0 ;Descomponer AD, porque está inclinado;Con una condición de equilibrio es suficiente para encontrar AD:ΣFy=0; 1-ADy=0;1-ADsen38.7°=0 AD=1.6 (T)
NODO A (tiene 3 elementos)
ADy
AC=0
ADx
R1=1
R2=1.25
AB=0
La matriz de reacciones internas de los miembros de la estructura con carga virtual en redundante Q1,AMQ1 , es:
AMQ1= 0 0 0-1.25 1.6 0
Los signos se tomaron positivos para tensión. Se ordenaron en la matriz de acuerdo a su numeración.Observe que se colocó una sexta reacción interna correspondiente al elemento eliminado 6, que tiene que ser cero porque “no está en la estructura con carga unitaria en redundante” pero sí en la estructura hiperestática
3.3.Cálculo de reacciones internas para el Sistema 1_AMQ2.para carga virtual en el elemento 6
A
B
C
D
1
2
3
4
5
(a) Primero hallaremos las reacciones en los apoyos:ΣMA=0; Las cargas unitarias internas están en la misma línea de acción anulando todo momento externoR1=R2=R3=0
R1
R2
R3
ARQ2= 0 0 0Se tiene:1
1
(b) Cálculo de reacciones internas en los elementos: Debemos comenzar con apoyos y/o menor cantidad de elementosNODO B (tiene 2 elementos)
R3=0
AB
BD
ΣFx=0; -AB+1cos60.3°=0; AB=0.5 (C)
Descomponer CD, porque está inclinado;ΣFy=0; CDy-1sen29.7°=0; CDsen63.4°-1sen29.7°=0 CD=0.55 (C)ΣFx=0; AC+CDx-1cos29.7°=0; AC+CDcos63.4°-1cos29.7°=0AC=0.62 (C)
NODO C
CDy
ACCDx
1ΣFy=0; -BD+1sen60.3°=0; BD=0.87 (C) 1
Recordar que AB=0 y AC=0 ;Descomponer AD, porque está inclinado;ΣFy=0; 0.5-ADy=0;0.5-ADsen38.7°=0 AD=0.79 (T)
NODO A
ADy
AC=0.62
ADx
R1=0
R2=0
AB=0.5
La matriz de reacciones internas de los miembros de la estructura con carga virtual en redundante Q2,AMQ2 , es:
AMQ2=-0.5-0.62-0.55-0.87 0.79 1
Observe que se colocó una sexta reacción interna correspondiente al elemento eliminado 6 que equivale a 1
3.4.Cálculo de los desplazamientos del sistema 1 de la ecuación DQL=A’MQFMAML:
DQL1 =
DQL2
0 0 0 -1.25 1.6 0
-0.5 -0.62 -0.55 -0.87 0.79 1
2.0 0 0 0 0 0 0 3.5 0 0 0 0 0 0 2.24 0 0 0 0 0 0 2.5 0 0 0 0 0 0 3.2 0 0 0 0 0 0 4.03
1 m kg AE
01502-3355-52504798 0
Realizando las multiplicaciones siguiendo las reglas matriciales, se tiene que:
DQL1 =
DQL2
1 m kg AE
40972
24422.1
Desplazamientos del sistema 1
PASO 4. Método de la Flexibilidad. (b) Hallar los desplazamientos que ocurren SÓLO EN LAS REDUNDANTES para el sistema 2:Sistema 2. El Método energético y de Maxwell-Mohr dicen que se debe trabajar con reacciones internas de un sistema original, dada Q1 y de otros que implican cargas virtuales unitarias en dirección del desplazamiento deseado de acuerdo a la ecuación matricial : DQF1=FQ1.
A
B
C
D
1
2
3
4
5
Sistema 2
DESPLAZAMIENTOS
A
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
1
1
1
Sistema 2_AMQ1Q1
Sistema 2_AMQ1 Sistema 2_AMQ2
OBSERVACIONES: Debido a que se desconoce el valor de Q1 existe una equivalencia en la que se puede obtener las reacciones internas con una carga unitaria y multiplicar todos estos valores al final por la carga Q1 como se muestra en el Sistema 2_AMQ1Q1. El Sistema 2_AMQ1 y Sistema 2_AMQ2 se tomarán igual que los obtenidos en el sistema 1 ya que simplifican el uso de realizar cambios de signos. Estas matrices, entonces se tomarán del sistema 1 (paso 3)
Q1 1 Q1
Donde: D=Desplazamiento en las redundantes Q del sistema 2 usando una matriz de flexibilidades, F, con cargas virtuales; F=matriz de reacciones internas debido únicamente a cargas virtuales unitarias, es decir, F=A’MQFMAMQ; Q1=Valor de la Redundante de la reacción del rodillo en nodo D.
PASO 5. Método de la Flexibilidad. (c) Hallar los desplazamientos que ocurren SÓLO EN LAS REDUNDANTES para el sistema 3:Sistema 3. El Método energético y de Maxwell-Mohr dicen que se debe trabajar con reacciones internas de un sistema original, dada Q2 y de otros que implican cargas virtuales unitarias en dirección del desplazamiento deseado de acuerdo a la ecuación matricial : DQF2=FQ2.
C
Sistema 3
DESPLAZAMIENTOS
A
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
1
1
1
Sistema 3_AMQ2Q2
Sistema 3_AMQ1 Sistema 3_AMQ2
OBSERVACIONES: Debido a que se desconoce el valor de Q2 existe una equivalencia en la que se puede obtener las reacciones internas con una carga unitaria y multiplicar todos estos valores al final por la carga Q2 como se muestra en el Sistema 3_AMQ2Q2. El Sistema 3_AMQ1 y Sistema 3_AMQ2 se tomarán igual que los obtenidos en el sistema 1 ya que simplifican el uso de realizar cambios de signos. Estas matrices, entonces se tomarán del sistema 1 (paso 3)
Q2
Donde: D=Desplazamiento en las redundantes Q del sistema 3 usando una matriz de flexibilidades, F, con cargas virtuales; F=matriz de reacciones internas debido únicamente a cargas virtuales unitarias, es decir, F=A’MQFMAMQ; Q2=Valor de la Redundante de la reacción interna del elemento 6.
A
B
C
D
1
2
3
4
5
Q2
A
BD
1
2
3
5
1
1
Paso 4 y 5. Cálculo de los desplazamientos del sistema 2 y 3 de la ecuación DQL= FQ =(A’MQFMAMQ)Q:
DQF1 =
DQF2
0 0 0 -1.25 1.6 0
-0.5 -0.62 -0.55 -0.87 0.79 1
2.0 0 0 0 0 0 0 3.5 0 0 0 0 0 0 2.24 0 0 0 0 0 0 2.5 0 0 0 0 0 0 3.2 0 0 0 0 0 0 4.03
m AE
0 -0.5 0 -0.62 0 -0.55-1.25 -0.87 1.6 0.79 0 1
Q1
Q2
Realizando las multiplicaciones siguiendo las reglas matriciales, se tiene que:
DQF1 =
DQF2
1 m AE
12.1 6.76
6.76 10.44
Desplazamientos de los sistemas 2 y 3
Q1
Q2
Paso 6. Cálculo de las Redundantes Q:Ahora deben restarse los deszplazamientos de las redundantes al haberse “eliminado” del sistema 1 y con los sistemas 2 y 3 que se desplazarán en sentido contrario para evitar cualquier desplazamiento total. Esto es: DQL+DQF=0; o lo que es lo mismo: DQL+FQ=0
Despejando Q de la segunda ecuación: Q=F-1 (-DQL)
Q1
Q2
=12.1 6.76
6.76 10.44
-1-40972
-24422.1kg
Q1
Q2
=-3257.67
-229.91kg
Como seguimos con el ejercicio se recomienda terminarlo antes de corregir ni interpretar ningún signo.
Observe que se anularon los términos m y AE. Y se realizó la operación de matriz inversa
Paso 7. Cálculo de las Reacciones internas y de apoyos del sistema indeterminado:Para este caso vamos a regresar al paso 1 donde obtuvimos los 3 sistemas para el método de superposición:
AMH = AML+AQLQ
REACCIONES INTERNAS DE LOS MIEMBROS DEL SISTEMA HIPERESTÁTICO, AMH
01502 kg-3355-52504798 0
=+
0 -0.5 0 -0.62 0 -0.55-1.25 -0.87 1.6 0.79 0 1
-3257.67
-229.91
kg =
114.961644.54-3228.55-977.89-595.9-229.91
kg
Los signos positivos deben considerarse a tensión y los negativos a compresión
REACCIONES EN APOYOS DEL SISTEMA HIPERESTÁTICO, ARH
ARH = ARL+ARQQ =6000-5250 kg5250 +
1 0-1.25 0 1.25 0
-3257.67
-229.91kg =
2742.3-1177.91177.9
kg
REACCIONES INTERNAS EN MIEMBROS Y APOYOS DE ARMADURA HIPERESTÁTICA
3000 kg 3000 kg
A
B
C
D
1
2
3
4
5 6
R1= 2742.3 kg
R2= 1177.9 kg
R3= 1177.9 kg 114.
96 k
g (T
)
1644.54kg (T)
3228
.55
kg (C
)
977.89 kg (C)
595.9 kg (C) Q 2=229.9 kg (C)
Q1= 3257.7 kg
Referencias
Gere, J. & Weaver, W. (1980).Análisis de Estructuras Reticulares.México:Compañía Editorial Continental, S.A.
