“MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN”

Autor:Reynaldo Gil

V.- 17.417.8469º Semestre Ing. de SistemasProf. Ing. Diógenes Rodríguez

Porlamar, 04 de Junio de 2014

Extremos no Restrictos con dos Variables Se dice que una función z=f(x,y) tiene un máximo relativo en x=a y y=b, si para todos los puntos (x,y) “suficientemente cercanos” a (a,b):

f(a,b) >= f(x,y)

Un máximo relativo suele aparecer en la parte superior de un montículo de la superficie que representa a f(x,y). Se dice que una función z=f(x,y) tiene un mínimo relativo cuando x=a y y=b, si para todos los puntos (x,y) “suficientemente cercanos” a (a,b):

F(a,b) <= f(x,y)

Un mínimo relativo suele aparecer en la parte inferior de un montículo de la superficie que representa a f(x,y). Los criterios para determinar si se trata de un máximo, un mínimo o un punto de silla son los siguientes:

1-. Se tiene un máximo o un mínimo relativo si: D(x*,y*)>0.a) El punto crítico es un máximo relativo si tanto fxx(x*,y*) como fyy(x*,y*) son negativas.b) El punto crítico es un mínimo relativo si tanto fxx(x*,y*) como fyy(x*,y*) son positivas.

2-. Si D(x*,y*)<0, el punto crítico es un punto de silla.3-. Si D(x*,y*)=0, se necesitan otras técnicas para determinar la naturaleza del punto crítico.

Ejercicios de Extremos no Restrictos con dos VariablesEjercicio 1:1) f (x , y) = x² + y² - 2x

1. Obtenemos las derivadas parciales de primer orden, las igualamos a cero, y resolvemos el sistema:

La única solución de este sistema es x = 1, y = 0.

2. Obtenemos las derivadas parciales de segundo orden:

y calculamos:

3. Tenemos, . Por tanto, en el punto (1, 0) tenemos un mínimo local.

Ejercicio 2: 2) f (x , y) = x² + y²

1. Obtenemos las derivadas parciales de primer orden, las igualamos a cero, y resolvemos el sistema:

La única solución de este sistema es x = 0, y = 0.

Ejercicios de Extremos no Restrictos con dos Variables

2. Obtenemos las derivadas parciales de segundo orden:

y calculamos:

3. Tenemos, . Por tanto, en el punto (0,0) tenemos un mínimo local.

Ejercicios de Extremos no Restrictos con dos Variables

Método de Lagrange Este es un método que permite encontrar valores extremos, máximos o mínimos (maximizar o minimizar) de una función general f(x.y.z) sometida o sujeta a alguna condición o restricción de la forma g(x.y.z) = k.

Ejercicio del Método de Lagrange

1) Se desea fabricar una caja de cartón donde el material de los lados y la tapa es de Bs 1/metro cuadrado y el costo del material del fondo es de Bs 3/ metro cuadrado. Determine las dimensiones que debe tener la caja para que su volumen sea de 2 metros cúbicos y su costo sea mínimo. Solución: Primero denemos dibujar la caja donde sus lados sean paralelos al sistema de referencia xyz. Del enunciado se saca que la función que se quiere minimizar, en este caso, es la función costo. Entonces debemos escribir la llamada función costo, veamos, hay dos precios diferentes involucrados en la fabricación de la caja: el fondo por un lado y las paredes o lados laterales y la tapa.

Entonces: Costo total = costo total fondo caja + costo total lados-tapa,

Además: Costo total fondo caja= costo unitario fondo*área de fondoCosto total lados-tapa = costo unitario lados-tapa*área lados- tapa. Así que se puede escribir el costo total de la siguiente manera: Se identifica: Costo total: CT. Costo unitario  fondo: Cf. Donde Cf = 3 Bs/m²Área de fondo: Af. Donde Af  =  x*yCosto  unitario  lados-tapa: Cl-t . Donde Cl-t =1 Bs/m²Área lados-tapa: A l-t. Donde Al-t = x*y + 2x*z + 2y*z

Entonces: CT = Cf*Af + Cl-t*Al-t

Escribiéndolo en formulas se tiene:CT = 3 Bs/m²* x*y + 1 Bs/m² (x*y + 2x*z + 2y*z) Asumiendo que las unidades son correspondientes: CT = 3 x*y +  (x*y + 2x*z + 2y*z) CT = 4 x*y + 2x*z + 2y*z Finalmente esa es la formula a optimizar, de aquí se va a hallar el costo mínimo de la caja con esas condiciones.La restricción o la condición que debe cumplir la caja es que el volumen de la caja será:

V= xyz = 2 Se determina los gradientes.CTx = 4 y + 2z CTy = 4x + 2zCTz = 2x + 2y 

Vx= yzVy= xzVz= xy 

La ecuación de Lagrange se escribe: Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente: 4 y + 2z =λyz …ec nº 1 4x + 2z = λxz …ec nº 2 2x + 2y= λxy …ec nº 3, y además xyz = 2 …ec nº4 Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos para estos casos.En particular, en este caso se multiplicara la ec nº 1 por x, la ec nº 2 por y, la ec nº 3 por z. quedan así las ecuaciones: 4 xy + 2xz =λxyz …ec nº 54xy + 2yz = λxyz …ec nº 62xz + 2yz= λxyz …ec nº 7, y aun se tiene la ec nº 4.

Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los segundos términos (λxyz), así que los igualaremos a través de ellos.

yxzxzy 22,24,24 = xyxzyz ,,

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6:4 xy  +  2xz = 4xy  + 2yz,  luego2xz = 2yz,  entoncesx = y, ….ec nº8 Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7:4 xy  +  2xz = 2xz + 2yz , luego   4 xy  =  2yz , entonces 2x =z, …ec nº9 Luego se sustituyen las expresiones encontradas en las ecuaciones nº8 y nº9 en la ecuación nº4, de esa manera queda una sola ecuación con una sola incógnita que es la x. xx2x = 2, entonces quedax³=1 y finalmente se obtienex= 1 Ahora por las ecuaciones nº 8 y nº 9 se obtiene que las dimensiones de la caja son:x = 1, y = 1, z = 2. Note que efectivamente el volumen de la caja es de 2 m³.

El costo mínimo de la caja a construir  será:CT = 4(1)(1) + 2(1)(2) + 2(1)(2) = 4+4+4=12 bolívares

Condiciones de Kuhn-Tucker

Son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática séa óptima. Es una generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange

Consideremos el siguiente problema general:Min f(x) Sujeto a:

gi(x) ≤ 0, i = 1, . . . . , mhj(x) ≤ 0, j = 1, . . . . , l

donde f(x) es la función objetivo a minimizar, gi(x) son las restricciones de desigualdad y hj(x) son las restricciones de igualdad, con m y l el número de restricciones de desigualdad e igualdad, respectivamente.

Las condiciones necesarias para problemas con restricciones de desigualdad fueron publicadas por primera vez en la tesis de máster de W. Karush, aunque fueron renombradas tras un artículo en una conferencia de Harold W. Kuhn y Albert W. Tucker.

Ejercicio de optimización con restricciones de desigualdad: Condiciones de Kuhn-Tucker

1) Considere el siguiente problema:

min f(x) = x1

sujeto a :

La función de costo aumentada será:

Se verifica si los puntos (0,0) y ( 3 + √ 13, 2) satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker

1) Punto ( 0,0), la restricción g1(x) esta activa en ese punto, entonces

la solución es λ*=1/8 (estamos en el extremo, g1=0) μ*=0; por tanto el punto (0,0) satisface la condición necesaria de mínimo.

2) Punto (3+√13 , 2) la restricción g1(x) no esta activaen ese punto entonces λ* = 0

La solución es λ*= 0 μ * = √13/26

Ejercicio de optimización con restricciones de desigualdad: Condiciones de Kuhn-Tucker

Matriz Jacobiana Es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable. La matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera continua, es decir se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal tal que:

Ejercicio de la Matriz Jacobiana1) Dadas las funciones:

de ser posible, determinar la matriz jacobiana en el punto (1,1) de la función resultante de la composición de éstas dos funciones.

Ejercicio de la Matriz JacobianaSOLUCIÓN:

Como F : 2 → 2 y G: 2 → 3, note que sólo existe la posibilidad de hallar G ○ F , ya que la dimensión del rango de F es coincidente con la dimensión del dominio de G; mientras que no es posible hallar F ○ G, dado que la dimensión del rango de G no es coincidente con la dimensión del dominio de F. Por otro lado:

;

como F(1,1) está en el dominio de G, es posible formar la función G ○ F, donde G ○ F : 2 → 3. Además:

;

matrices formadas por funciones derivadas parciales continuas para cualquier (u,v) y (x,y) respectivamente. Luego F es diferenciable en (1,1) y G es diferenciable en F(1,1) = (3,3). Entonces:

;

Ejercicio de la Matriz Jacobianay en consecuencia:

matriz de 3 filas y 2 columnas, ya que G ○ F : 2 → 3 ■

Muchas Gracias…