Realizando las operaciones en el lado derecho para poder hacer la inducción

Su resolución es la siguiente

…(1)

Verificamos que (1) se cumple para n=1

(1− 1n+1 )= 1

n+1

(1− 11+1 )= 1

1+1

(1−12 )=1212=12

Entonces se cumple para n=1

Suponemos que …(1) es valida para n=k

(1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1− 1k+1 )= 1

k+1… (2 )Hipotesis

Si esto es verdadero entonces la expresión …(1) debe cumplirse cuando n=k+1

(1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1− 1(k+1 )+1 )= 1

(k+1)+1

(1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1− 1k+2 )= 1

k+2… (3 )Tesis

Si sustituimos ..(2) en ..(3) tenemos

1k+1 (1− 1

k+2 )= 1k+2

1k+1 (1− 1

k+2 )= 1k+2

1k+1 ( k+2−1k+2 )= 1

k+2

1k+1 ( k+1k+2 )= 1

k+2

k+1k+1(k+3)

= 1k+2

1k+2

= 1k+2

Con lo cual se cumple la expresión..(1) para todo n en el natural

…(1)

Verificamos que (1) se cumple para n=1

xn−1= xn−1x−1

x1−1= x1−1x−1

x0= x1−1x−1

1= x−1x−1

1=1

Entonces se cumple para n=1

Suponemos que …(1) es valida para n=k

1+x+x2+…xk−1= xk−1x−1

… (2 )Hipotesis

Si esto es verdadero entonces la expresión …(1) debe cumplirse cuando n=k+1

1+x+x2+…x(k+1)−1= xk+1−1x−1

1+x+x2+…xk= xk +1−1x−1

… (3 )Tesis

Si sustituimos ..(2) en ..(3) tenemos

xk−1x−1

+xk= xk+1−1x−1

xk−1+xk (x−1)x−1

= xk+1−1x−1

xk−1+xk+1−xk

x−1= x

k+1−1x−1

−1+ xk+1

x−1= x

k +1−1x−1

xk+1−1x−1

= xk+1−1x−1

Con lo cual se cumple la expresión..(1) para todo n en el natural

Desarrollando la sumatoria del lado izquierdo para demostrar la inducción matemática

…(1)

Verificamos que (1) se cumple para n=1

1n(n+1)

= nn+1

11(1+1)

= 11+1

11(2)

=12

12=12

Entonces se cumple para n=1

Suponemos que …(1) es valida para n=k

11(2)

+ 12(3)

+ 13(4)

…+ 1k (k+1 )

= kk+1

… (2 )Hipotesis

Si esto es verdadero entonces la expresión …(1) debe cumplirse cuando n=k+1

11(2)

+ 12(3)

+ 13(4)

…+ 1k+1((k+1)+1)

= k+1(k+1)+1

11(2)

+ 12(3)

+ 13(4)

…+ 1k+1 (k+2 )

= k+1k+2

… (3 )Tesis

Si sustituimos ..(2) en ..(3) tenemos

kk+1

+ 1k+1 ( k+2 )

= k+1k+2

k (k+2 )+1(k+1)(k+2)

= k+1k+2

k2+2k+1(k+1)(k+2)

= k+1k+2

(k+1)2

(k+1 ) (k+2 )= k+1k+2

(k+1)(k+1)(k+1)(k+2)

= k+1k+2

k+1k+2

= k+1k+2

Con lo cual se cumple la expresión..(1) para todo n en el natural

Desarrollando la sumatoria del lado izquierdo para demostrar la inducción matemática

2+2 (32 )+2 (33 )+…+2 (3n−1 )=3n−1…(1 )

Verificamos que (1) se cumple para n=1

2 (3n−1 )=3n−1

2 (31−1 )=31−1

2 (30 )=3−1

2 (1 )=2

2=2

Entonces se cumple para n=1

Suponemos que …(1) es valida para n=k

2+2 (32 )+2 (33 )+…+2 (3k−1 )=3k−1… (2 )Hipotesis

Si esto es verdadero entonces la expresión …(1) debe cumplirse cuando n=k+1

2+2 (32 )+2 (33 )+…+2 (3(k +1)−1 )=3k+1−1

2+2 (32 )+2 (33 )+…+2 (3k )=3k+1−1… (3 )Tesis

Si sustituimos ..(2) en ..(3) tenemos

3k−1+2 (3k )=3k+1−1

3k−1+6k=3k+1−1

9k−1=3k+1−1

(3¿¿ k)3−1=3k +1−1¿

3k +1−1=3k+1−1

Con lo cual se cumple la expresión..(1) para todo n en el natural

Desarrollando la sumatoria del lado izquierdo para demostrar la inducción matemática

1+2+…+n=(n+12 )

2

2… (1 )

Verificamos que (1) se cumple para n=1

n=(n+ 12 )

2

2

1=(1+ 12 )

2

2

1=( 32 )

2

2

1=

942

1=98

No se cumple para n=1 porque son valores distintos entonces para generalizar que se cumpla en los naturales se realiza lo siguiente

Suponemos que …(1) es valida para n=k

1+2+…+k=(k+ 12 )

2

2… (2 )Hipotesis

Si esto es verdadero entonces la expresión …(1) debe cumplirse cuando n=k+1

1+2+…+(k+1)=((k+1)+ 12 )

2

2… (3 )Tesis

Si sustituimos ..(2) en ..(3) tenemos

(k+12 )2

2+(k+1)=

((k+1)+ 12 )2

2

(k+12)2

+2(k+1)

2=

((k+1)+ 12 )2

2

(k 2+k+14)+2k+2

2=

((k+1)+ 12 )2

2

(k 2+k+2k+2)+14

2=

((k+1)+ 12 )2

2

¿¿

((k+1)+12 )2

2=

((k+1)+ 12 )2

2

Con lo cual se cumple la expresión..(1) para todo n en el natural

Sea S(n) una proposición abierta con las condiciones

a) Si S(1) es verdaderob) Siempre que S(k) es verdadera para algún n∈Z positivos entonces

S(K+1) es verdadera

Entonces sea F=¿ queremos mostrar que F=∅ asi para que obtengamos una contradicción entonces supongamos que F≠∅

Entonces por el principio del buen orden F tiene un elemento mínimo

Como S(1) es verdadera s≠1 por lo que s>1 y en consecuencia s−1∈Z+¿¿

Como s−1∉F tenemos que S(s−1) es verdadera

Asi por contradicción si siempre que S(k) sea verdadera para algún k entero positivo implica entonces S(k+1) es verdadera

Se sigue que S ( ( s−1 )+1 )=S(s) es verdadera lo que contradice que s∈F.

La contradicción surge de la hipótesis F≠∅ que por lo tanto es F=∅