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MatemáticaMatemáticaProfª Beth BlancoProfª Beth Blanco

Números RacionaisNúmeros Racionais

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O Conjunto dos Números RacionaisO Conjunto dos Números Racionais

Os números racionais Os números racionais são todos aqueles que são todos aqueles que podem ser colocados em podem ser colocados em forma de fração, observe forma de fração, observe que 1/1 , 2/1 , 3/1 que 1/1 , 2/1 , 3/1 também são frações, ou também são frações, ou seja, o conjunto dos seja, o conjunto dos números racionais números racionais “abraça” também os “abraça” também os naturais e os inteiros que naturais e os inteiros que são seus subconjuntos.são seus subconjuntos.

Conjunto dos Números RacionaisConjunto dos Números Racionais O conjunto dos números racionais é representado pela

letra Q e também é infinito. Fazem parte do Conjunto dos Números Racionais, os

naturais, os inteiros, a frações (razões entre dois inteiros) e as dízimas periódicas(que podem ser transformadas entre razões de dois inteiros).

Observe uma representação dos números racionais:

Q = {..., -1, -1/2, 0 , 1/2, 1,...}

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Conhecendo melhor os números Conhecendo melhor os números racionais.racionais. Você conhece as dízimas Você conhece as dízimas

periódicas? Como periódicas? Como dissemos anteriormente, dissemos anteriormente, elas também pertencem elas também pertencem aos números racionais,se aos números racionais,se conhece vamos conhece vamos relembrar, se não, vamos relembrar, se não, vamos conhecê-las?conhecê-las?

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Dízimas periódicas, o que são?Dízimas periódicas, o que são?

Toda fração é uma divisão de dois números Toda fração é uma divisão de dois números inteiros, por exemplo ½ é igual a 1 dividido por inteiros, por exemplo ½ é igual a 1 dividido por 2 o que resulta em 0,5. (dá uma conferidinha aí 2 o que resulta em 0,5. (dá uma conferidinha aí na sua calculadora).na sua calculadora).

Já as dízimas periódicas são divisões que Já as dízimas periódicas são divisões que resultam infinitas e repetitivas, por exemplo 1/3 resultam infinitas e repetitivas, por exemplo 1/3 é um exemplo pois ao executar essa divisão é um exemplo pois ao executar essa divisão obtemos 0,3333333333333.... Infinitamente. obtemos 0,3333333333333.... Infinitamente. Pode conferir aí na sua calculadora!Pode conferir aí na sua calculadora!

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Dizimas periódicas, o que são?Dizimas periódicas, o que são?(cont)(cont) Mas se tivermos 1/3 já vamos dizer facilmente que Mas se tivermos 1/3 já vamos dizer facilmente que

pertence aos racionais não é? Porém o que acontece é pertence aos racionais não é? Porém o que acontece é que geralmente temos 0,333333....., mas nesse caso o que geralmente temos 0,333333....., mas nesse caso o que fazer?que fazer?

O primeiro passo é identificar o período, número que se O primeiro passo é identificar o período, número que se repete após a vírgula no caso acima é o 3.repete após a vírgula no caso acima é o 3.

O segundo passo é dividir o número que se repete, no O segundo passo é dividir o número que se repete, no caso o 3, por tantos 9 quanto seja o número de termos caso o 3, por tantos 9 quanto seja o número de termos do período no caso temos apenas um número se do período no caso temos apenas um número se repetindo, então fica assim: 3/9 simplificando a repetindo, então fica assim: 3/9 simplificando a fração(dividindo por 3 o numerador e o denominador) fração(dividindo por 3 o numerador e o denominador) ficamos com 1/3.ficamos com 1/3.

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Exemplo práticoExemplo prático Transforme 0,32323232... Em uma razão de dois inteiros. Transforme 0,32323232... Em uma razão de dois inteiros.

(tradução: transforme em uma fração)(tradução: transforme em uma fração)Primeira pergunta: qual é o período? O que se repete infinitamente? Primeira pergunta: qual é o período? O que se repete infinitamente?

Resposta: 32Resposta: 32Segunda pergunta: quantos números tem esse período? Resposta: 2 Segunda pergunta: quantos números tem esse período? Resposta: 2

números (3 e 2)números (3 e 2)Agora estamos em condições de transformar 0,323232 em uma Agora estamos em condições de transformar 0,323232 em uma

fração basta colocar o período(número que se repete) no fração basta colocar o período(número que se repete) no numerador numerador (parte de cima da fração) , (parte de cima da fração) , no caso é 32 e no no caso é 32 e no denominador denominador (parte de baixo da fração)(parte de baixo da fração) colocamos tantos 9 colocamos tantos 9 quantos são os números do numeradorquantos são os números do numerador( parte de cima da fração). ( parte de cima da fração). Assim, temos a resposta que é 32/99, pode conferir na sua Assim, temos a resposta que é 32/99, pode conferir na sua calculadora, sempre dá certo!calculadora, sempre dá certo!

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Conjunto dos números Racionais Conjunto dos números Racionais (cont).(cont). O conjuntos dos números racionais tem seus O conjuntos dos números racionais tem seus

subconjuntos, vejamos:subconjuntos, vejamos: Q* (racionais, excluído o zero)Q* (racionais, excluído o zero) QQ++ (racionais positivos) (racionais positivos)

QQ- - (racionais negativos) (racionais negativos)

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Pausa para reflexãoPausa para reflexão

A partir deste momento A partir deste momento conseguimos compreender, conseguimos compreender, relacionar e representar os relacionar e representar os números naturais, inteiros e números naturais, inteiros e racionais, já sabemos que os racionais, já sabemos que os naturais pertencem aos naturais pertencem aos inteiros que por sua vez inteiros que por sua vez pertencem aos racionais.e pertencem aos racionais.e portanto estamos prontos portanto estamos prontos para compreeender esta idéia para compreeender esta idéia em diagrama.em diagrama.

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O conjunto dos Números RacionaisO conjunto dos Números Racionais(cont.)(cont.)

Podemos observar no Podemos observar no diagrama ao lado que os diagrama ao lado que os naturais pertencem aos naturais pertencem aos inteiros e que os inteiros inteiros e que os inteiros por sua vez pertencem por sua vez pertencem aos racionais, o que na aos racionais, o que na verdade é uma verdade é uma constatação visual do que constatação visual do que já aprendemos já aprendemos anteriormente.anteriormente.