Nota ulangkaji mte3114 topik 5

Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)

Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 28

TOPIK 5: IDEA UTAMA MATEMATIK BERKAITAN KALKULUS Penghampiran π oleh Archimedes Siapa Archimedes Archimedes adalah seorang ahli matematik, ahli

fizik, jurutera, ahli astronomi, dan ahli falsafah Yunani yang dilahirkan di bandar pelabuhan tanah jajahan Syracuse, Sicily, Itali.

Carl Friedrich Gauss yang sering dipanggil sebagai ahli matematik yang paling terpengaruh, mendakwa bahawa Archimedes adalah salah satu daripada tiga ahli matematik yang paling penting selain ialah Isaac Newton dan Ferdinand Eisenstein.

Sumbangan-sumbangan teori asasnya kepada matematik, Archimedes juga membentuk bidang-bidang fizik dan kejuruteraan amali, dan telah dirujuk sebagai "ahli sains yang teragung“

Mencipta skru Archimedes. Apa itu 휋? 휋, disebut pi adalah satu pemalar matematik. 휋 ≈ 3.14159... ialah nisbah ukur lilit sebuah

bulatan kepada diameternya dalam ruang Euclid, dan sering digunakan dalam matematik, fizik dan kejuruteraan.

Ia juga dikenali sebagai pemalar Archimedes dan nombor Ludolph

Kegunaan 휋 휋 digunakan untuk mengira beberapa rumus

matematik seperti : o Lilitan suatu bulatan berjejari 푟 = 2휋푟 o Luas suatu bulatan berjejari 푟 = 휋푟 o Luas permukaan suatu sfera berjejari 푟 = 4휋푟 o Isipadu suatu sfera berjejari 푟 = 휋푟

Memdapatkan Nilai Penghampiran 휋 oleh Archimedes

Arcimedes membuat penisbahan dengan

menggunakan poligon yang dilukis di dalam dan di luar bulatan: o Pertama, dia menyatakan bahawa kawasan

bulatan adalah lebih besar daripada kawasan poligon yang dilakarkan di dalamnya. Dalam rajah di bawah, heksagon sekata telah dilakarkan dalam bulatan.

Heksagon sekata terdiri daripada enam buah segitiga sama sisi.

Luas heksagon = 6 kali luas segitiga

Luas segitiga

=12 × 푡푎푝푎푘 × 푡푖푛푔푔푖

=12 × 1 ×

√32

=√34

Luas heksagon (dalam)

= 6 ×√34

=3√3

2 = 2.598076

o Seterusnya, Archimedes turut melakar

heksagon di luar bulatan (menyentuh lilitan) dan membuat pengiraan luas heksagon tersebut.

Luas segitiga

=12 × 푡푎푝푎푘 × 푡푖푛푔푔푖

=12 × 2√3 × 1

= √3 Luas heksagon (dalam) = 6 × √3 = 3.464102

o Archimedes membuat andaian nilai 휋 melalui julat antara luas hekson dalam dengan luas heksagon luar iaitu 푙푢푎푠ℎ푒푘푠푎푔표푛푑푎푙푎푚 < 휋 < 푙푢푎푠ℎ푒푘푠푎푔표푛푙푢푎푟

2.598076 < 휋 < 3.464102



o Archimedes mengulangi kajian untuk dodekagon (poligon dengan sisi-12) dan mendapati

3.000000 < 휋 < 3.215390

o Archimedes meneruskan kajian sehingga poligon dengan sisi-96 dan mendapati bahawa

3.139350 < 휋 < 3.142715

Penentuan Luas Bulatan oleh Archimedes Luas bulatan dapat dikira dengan menggunakan

formula: 퐴 = 휋푟

Keseluruhan proses yang dilakukan oleh Archimedes dipanggil "exhaustion", di mana beliau menyimpulkan bahawa luas bulatan merupakan had kepada luas poligon di dalam bulatan dengan bilangan sisi kepada ketidakterhinggaan (infinity).

Prinsip Asas

Penentuan Luas Bulatan “squaring the circle”- iaitu kaedah mengenalpasti

poligon yang menyamai luas bulatan dengan jejari (r) tertentu

Percubaan pertama

Luas poligon dengan sisi 푛 (푛-gon) yang dilukis di dalam unit bulatan menghampiri suatu nilai iaitu pi (휋 ) apabila nilai 푛 meningkat. Luas poligon yang dilukis di dalam bulatan menghampiri luas bulatan apabila bilangan sisi poligon meningkat.

Perimeter poligon semakin menghampiri lilitan bulatan apabila bilangan sisi poligon meningkat.

푎² + 푎² = (2푟)² 2푎² = 4푟² 푎² = 2푟² 푎 = √2푟

= 푝푎푛푗푎푛푔 × 푙푒푏푎푟 = √2푟 × √2푟 = 2푟

Segiempat sama dilukis di dalam (“inscribed”) bulatan. Ini bermakna segi empat tersebut adalah sepadan dan bucu menyentuh bulatan.

Berdasarkan gambarajah di atas, 퐴퐶 = diameter kepada bulatan Dan panjang 퐴퐶 ialah 2푟. Oleh kerana 퐴퐵퐶 merupakan segi tiga sama kaki, maka panjang 퐴퐵 adalah sama dengan 퐵퐶. Dengan menggunakan 퐴퐶 sebagai hipotenus (2푟), panjang 퐴퐵 dan 퐵퐶 dapat ditentukan seperti berikut: Jadikan 퐴퐵 = 퐵퐶 = 푎, maka nilai 푎 dicari menggunakan teorem Phytagoras:

Didapati panjang AB dan BC ialah √2푟. Luas segiempat, 퐴 :

Luas segiempat, 푨풔풆품풊풆풎풑풂풕 = ퟐ풓 Walaubagaimanapun, ianya masih belum menghampiri luas bulatan yang sebenar.



Percubaan kedua

Percubaan ketiga

= 6× 푙푢푎푠푠푒푔푖푡푖푔푎

= 6×12 × 푡푎푝푎푘 × 푡푖푛푔푔푖

= 6×12 × 푟 × ℎ

3푟

Archimedes telah menggantikan segi empat sama dengan poligon sisi enam iaitu heksagon. Archimedes percaya bahawa percubaan ini akan mendapat keputusan yang lebih baik berbanding sebelumnya. Untuk menentukan penghampiran luas bulatan dengan heksagon, Archimedes telah membahagikan heksagon kepada enam bahagian segi tiga. Luas heksagon hanya boleh didapati setelah luas satu segi tiga berjaya diperolehi.

Panjang 퐴퐵 = 푟. Pengiraan bagi menentukan tinggi satu segi tiga: Jadikan tinggi sebagai h

ℎ +푟2 = 푟

ℎ +푟4 = 푟

ℎ = 4푟 − 푟4

ℎ = 3푟4

ℎ = 3푟4

ℎ = √3푟2

Setelah mendapat nilai tinggi segi tiga iaitu

ℎ = √ , maka luas heksagon di dalam bulatan dapat ditentukan: Luas heksagon,퐴

ℎ = √

= 612 × 푟 ×

√3푟2

= 3 3푟2

2

= 2.59푟2

Gantikan ℎ = √ ke dalam persamaan

Luas heksagon, 푨풉풆풌풔풂품풐풏 = ퟐ.ퟓퟗ풓ퟐ Nilai yang diperolehi dengan menggunakan luas heksagon adalah lebih baik berbanding luas segi empat sama, ia sebenarnya masih belum menghampiri luas sebenar bulatan.

퐴 = 푛(푙푢푎푠푠푒푔푖푡푖푔푎) = 푛12ℎ푏

퐴 = 푛12ℎ푏 =

12ℎ

(푛푏)

A=12 h(nb)≈

12 r(2πr)=πr2

Percubaan demi percubaan menambahkan sisi poligon, beliau cuba menentukan luas bulatan menggunakan poligon dengan di mana bilangan sisi poligon ditingkatkan sehingga menjadi sisi 푛.

Maka, luas bagi poligon sisi 푛 adalah 푛 kali luas satu segitiga seperti mana di bawah:

Apabila bilangan 푛-sisi bertambah,

(푛푏) adalah perimeter poligon, di mana apabila 푛 semakin meningkat, ia menghampiri lilitan bulatan (circumference of the circle) iaitu 2휋푟. Archimedes telah membuat pencerapan bahawa sekiranya poligon tersebut mempunyai sisi n, maka setiap segitiga dikira sebagai 1/n daripada lilitan bulatan. Selain itu, tinggi segi tiga, h, juga menghampiri jejari bulatan, r. Semakin bertambah bilangan segitiga, luas poligon akan menghampiri dan memenuhi luas bulatan. Sehubungan dengan itu, Archimedes telah dapat menentukan luas bulatan seperti berikut.

Dalam menentukan luas bulatan, ia melibatkan nilai tetap 휋, yang mana wujud sebagai nisbah lilitan bulatan kepada diameter bulatan.



Paradoks Zeno Paradoks – penyataan yang kelihatan benar / logik

tetapi sebenarnya bercanggah (tidak logik) Dipelopori of Zeno of Elea, seorang ahli falsafah

Greek.

Beliau percaya: o Sesuatu entiti boleh dibahagikan dan tidak

berubah dalam realiti Mencadangkan empat paradoks untuk mencabar

tanggapan yang berkaitan dengan ruang dan masa. Jenis-jenis paradoks:

Istilah-istilah paradoks:

Paradoks Dikotomi “Sebuah benda yang bergerak tidak akan pernah

mencapai tujuan. Pertamanya dia harus menempuh perjalanan setengah jarak. Lalu setelah itu dia mesti menempuh seperempat, seperdelapan, seperenambelas, sepertigapuluhdua … Sedemikian hingga jumlah perjalanannya menjadi tak-hingga.

Oleh karena mustahil melakukan perjalanan sebanyak tak-hingga, maka benda tidak akan dapat sampai tujuan.

Paradoks:

Sebelum sesuatu objek boleh bergerak dengan

jarak yang diberikan, ianya mesti melalui separuh daripada jarak tersebut.

Untuk bergerak separuh daripada jarak tersebut, ianya mesti bergerak suku daripada jarak tersebut dan seterusnya sehingga tak terhingga (ifiniti) iaitu proses pembahagian separuh tidak pernah sampai hingga ke penghujung (tidak terhad/infinite) kerana sentiasa ada jarak yang perlu dibahagikan separuh tidak kira berapa kecil jarak itu.

Dengan adanya pembahagian separuh

menyebabkan tiada jarak yang boleh digerakkan di dalam jumlah masa yang terhad (finite).

Oleh itu ianya kelihatan kita tidak boleh bergerak pada jarak yang sebenar dan pergerakan adalah mustahil.

Contoh:

o Ambil objek yang boleh dibahagikan kepada dua.

o Adakah ianya akan berterusan dibahagikan selama-lamanya.

o Dan jika ianya berterusan selamanya, objek tersebut mempunyai bahagian yang ifiniti.

Hujah:

Paradoks Archilles dan Kura-kura

Paradoks Zeno

ParadoksDikotomi

(Dichotomy Paradox)

ParadoksArchilles dan

Kura-kura (Achilles and

Tortoise Paradox)

ParadoksAnak Panah

(Arrow Paradox)

ParadoksStadium(Stadium Paradox)

Pernyataan apa yang dinyatakan oleh Zeno dalam paradoknya

Bukti apa yang menyokongpernyataan tersebut

Hujahbukti yang dikemukakan oleh

ahli falsafah moden bagimenyangkal paradoks

Pernyataan: Pergerakan adalah mustahil

Bukti: Jika objek boleh dibahagikan, maka iasebenarnya tidak wujud

oUrutan 1, ½, ¼, ⅛, etc, etc mempunyai had 0

oUrutan 0.9, 0.99, 0.999, etc mempunyai had 1.

oApabila kita menulis 0.9999…, ianya bermaksud “had nombor 9 adalah sehingga infiniti”, maka 0.9999… ≈1

oDalam erti kata lain urutan sebenarnya akan menghampiri had yang kita kehendaki.

Realitinya jarak yang terhad memerlukan jumlah masa yang terhad untuk bergerak (jarak boleh digerakkan pada masa yang terhad)



Paradoks:

Berdasarkan paradoks ini, Achilles tidak akan

dapat mengalahkan kura-kura yang bergerak terlebih dahulu.

Zeno ingin membuktikan bahawa, ruang dan waktu adalah berterusan. Jika ada pergerakan, pergerakan itu adalah seragam.

Di sini, Zeno membahagikan jarak Achilles kepada nombor yang infiniti.

Ini dibenarkan (logik) kerana jarak dalam satu segmen tertentu boleh dibahagikan kepada beberapa jarak sehingga ke infiniti.

Dengan itu, Zeno membahagikan jarak perlumbaan Achilles kepada bahagian-bahagian kecil sehingga infiniti tetapi dilaksanakan pada masa yang terhad.

Hujah 1:

Hujah 2:

Pernyataan: Ruang dan waktu adalah berterusan

Bukti: Archilles tidak akan dapat melintasi kura-kura

Untuk Achilles mengejar kura-kura, dia mesti melalui jarak yang tidak terhad: 100m + 50m + 25m + 12.5m + 6.25m + …. Walaubagaimana pun, jumlah jarak tidak terhad merupakan satu jumlah jarak yang terhad. Jadi, bagaimana Zeno mengatakan jarak yang dilalui Achilles tadi adalah tidak terhad. Bukti: 푎 = 100푚 푟 = 푛 = ∞ Menggunakan janjang geometri untuk mencari jarak yang tidak terhad:

푆 = 푎

1− 푟

= 100

1− 12

= ퟐퟎퟎ풎풆풕풆풓 Justeru, jumlah jarak tidak terhad (yang dikatakan oleh Zeno) sebenarnya adalah merupakan satu jumlah jarak yang terhad. *Paradoks ini dikeluarkan sebelum janjang geometri (geometric series) ditemukan. Jadi apabila adanya janjang, ia telah menyangkal paradoks Zeno ini.

Realitinya, ruang dan waktu tidak berubah-ubah



Paradoks Anak Panah Paradoks anak panah ini membantah idea

bahawa ruang atau masa itu berasingan (discrete)

Zeno berpendapat bahawa satu objek yang sedang terbang, selalu menepati ruang yang sama besarnya dengan objek tersebut.

Paradoks

Masa terdiri daripada ketika atau waktu sekarang

(moment of now) Satu anak panah sedang dalam penerbangan,

pada mana-mana suatu ketika, ia tidak dapat dibezakan dengan satu anak panah yang dalam keadaan rehat (pegun) pada kedudukan yang sama.

Persoalannya pada ketika tersebut, adakah anak panah tersebut bergerak atau dalam keadaan rehat (pegun)?

Dan jika anak panah itu tidak bergerak, ia mestilah dalam keadaan rehat (pegun) dan tidak dalam penerbangan. Jadi, bila anak panah itu bergerak.

Pada 1 saat ini, anak panah ini dalam keadaan pegun (tidak bergerak). Pada masa ini juga tiada jarak direkodkan kerana tiada pergerakan.

Kesimpulannya, jika tiada jarak pada setiap saat, bila anak panah itu bergerak (berada dalam penerbangan)

Contoh:

Hujah:

Paradoks Stadium / Stadion Paradoks ini dikenali juga sebagai paradoks

pergerakan barisan. Paradoks ini adalah pradoks yang paling mustahil

di antara semua Paradoks Zeno. Paradoks ini melibatkan kedudukan baris selari

(seperti di stadium). Boleh divisualisasikan sebagai pergerakan tiga

baris selari, A, B, dan C.

Paradoks

Boleh divisualisasikan sebagai pergerakan tiga baris selari, A, B, dan C.

Pernyataan: Pergerakan adalah mustahil

Bukti: Semua objek berada dalam keadaan pegun dan tidak bergerak

Pernyataan: Ruang dan masa boleh dibahagikan hanya dengan jumlah yang pasti

Bukti: Separuh daripada masa adalah sama dengan dua kali masa

o Apabila sebuah anak panah dilemparkan dari busurnya ianya sebenarnya tidak bergerak melainkan setiap saat berhenti.

o Disetiap tempat anak panah itu berada, sebenarnya anak panah itu sedang berhenti dan diam disitu.

o Jadi, panah yang sedang terbang itu sebenarnya tidak bergerak melainkan dalam keadaan diam. Ia hanya kelihatan sahaja bergerak.

Katakan anak panah yang berterbangan bergerak pada jarak, 푑 = 20푚푒푡푒푟 dalam masa, 푡 =4푠푎푎푡. Halaju anak panah:

푣 = 푑푡

= 20푚

4푠

= 5푚푠 Anak panah yang berterbangan pada ketika 1 saat sebenarnya mempunyai: Jarak, 푑 = 0푚푒푡푒푟 seperti yang dikatakan oleh Zeno sebenarnya mempunyai jarak, 푑 yang boleh dikira.

푑 = 푣푡 = (5푚푠 )(1푠) = 5푚

Ini membuktikan bahawa terdapat pergerakan pada sesuatu ketika (sekarang) di mana pada ketika tersebut sebenarnya anak panah sedang bergerak.

Realitinya, ruang dan masa adalah berasingan / deskrit (descrete).



Hujah:

Penyelesaian matematik untuk paradoks ini adalah:

Halaju B menuju A = 푆푚푠 Halaju C menuju A = S 푚푠 Halaju C menuju B = 2푆푚푠 Jarak untuk menghabiskan pergerakan = 2퐷푚 (2 kereta atau unit) Waktu yang diperlukan untuk

menghabiskanpergerakan =

=

= 1 unit waktu (푠) Realitinya ruang dan masa tidak boleh dibahagikan



Penyiasatan Lengkung Kubik oleh Newton Isaac Newton Dilahirkan pada tahun 1642.

Ibunya mengeluarkannya dari sekolah supaya dia

jadi jadi petani yang baik.

Pada umur 18 tahun telah mamsuki Universiti Cambridge.

Di sinilah Newton mula belajar pelbagai bidang ilmu termasuk Matematik

Suka melakukan penyelidikan sendiri dan akhirnya tercipta pelbagai teori yang kemudian mampu mengubah dunia

Antaranya menghasilkan 72 jenis lengkung kubik

Lengkung Kubik Isaac Newton merupakan orang pertama yang

mula-mula menjalankan penyiasatan yang sistematik tentang lengkung kubik (kuasa tiga).

Penyiasatan ini iaitu Enumeratio Linearii Tertii Ordinii, sebenarnya disiapkan pada 1676 (34 thn), tetapi tidak diterbitkan sehingga 1704.

Persamaan umum lengkung kubik adalah; 푎푥 + 푏푥 푦 + 푐푥 + 푑푦 + 푒푥 + fxy + g푦

+ ℎ푥 + 푗푦 + 푘 = 0

Daripada persamaan ini, Newton telah mencipta 72 jenis lengkung kubik.



Daripada persamaan umum tadi, dia telah memecahkannya kepada 4 jenis lengkung:

o Jenis I = Witch of Agnesi

o Jenis II = Newton’s Trident

o Jenis III = Newton Diverging Parabolas

o Jenis IV = Cubic Parabolas

Alexis Claude Clairaut telah menjalankan

penyiasatan terhadap Jenis III (Newton Diverging Parabolas) dengan memperkenalkan permukaan dalam ruang tiga dimensi.

o Lengkung kubik diaplikasikan dalam lukisan

yang dihasilkan oleh St. James sehinggakan lukisan tersebut kelihatan secara 3-dimensi.

푥푦 + 푒푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐푥 + 푑 Persamaan umum:

푥푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐푥 + 푑 Persamaan umum:

푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐푥 + 푑 Persamaan umum:

푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐푥 + 푑 Persamaan umum:

Education

Nota ulangkaji mte3114 topik 5