Upload
qdanimar
View
3.606
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
9Proporcionalidad geométrica
INTERNET
LECTURA INICIAL
ESQUEMA
ACTIVIDAD
Una de las aplicaciones más frecuentes de la semejanza es la elaboración de planos, mapas, maquetas…
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Tales de Mileto
Busca en la web
Enlace al teorema de Tales
Enlace a la historia de Tales de Mileto
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Esquema de contenidos
Proporcionalidad geométrica
Segmentos en el plano
Recta, semirrecta y segmento
Segmentos proporcionales
Criterios de semejanza
Teorema de Tales
Definición
Aplicaciones
Polígonos semejantes
Escalas
Semejanza de triángulos
Triángulos semejantes
Triángulos en posición de Tales
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Recta, semirrecta y segmento
Una recta es una línea continua formada por infinitos puntos que no tiene principio ni final.
Una semirrecta es una recta que tiene principio pero no tiene final.
Un segmento es la porción o parte de una recta delimitada por dos puntos (extremos).
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Los segmentos AB y CD son proporcionales a EF y GH, si la razón de AB y CD es igual a la razón de EF y GH.
Segmentos proporcionales
Razón de 2 segmentos:
razónrCD
AB
rGH
EF
CD
AB
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Teorema de Tales
Comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Tales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como teorema de Tales.
Teorema de Tales
Si tres o más rectas paralelas a, b y c son intersecadas por dos transversales r y s, los segmentos de las transversales, determinados por las paralelas, son proporcionales.
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Pirámide
Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.
Teorema de TalesTeorema de Tales
Bastón
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Rayos del sol
Pirámide
Teorema de TalesTeorema de Tales
SIGUIENTELos rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Rayos del sol
Pirámide
Teorema de TalesTeorema de Tales
S (sombra pirámide)s (sombra bastón)
SIGUIENTELos rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Rayos del sol
Pirámide
Teorema de TalesTeorema de Tales
H
S (sombra pirámide)s (sombra bastón)
h
SIGUIENTELos rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Rayos del sol
Pirámide
Podemos establecer la proporción
Teorema de TalesTeorema de Tales
s
ShH
s
h
S
H
H
S (sombra pirámide)s (sombra bastón)
h
SIGUIENTELos rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Ejemplo:
Calcular la medida del segmento x
Teorema de Tales
Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Tales
Es decir:
1524
8 x
524
12024x x120 24158 x
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Dividiendo un segmento AB en tres partes iguales
Aplicaciones del teorema de Tales
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Aplicaciones del teorema de Tales
1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación.
SIGUIENTE
Dividiendo un segmento AB en tres partes iguales
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Aplicaciones del teorema de Tales
2. Dibujamos sobre ella, a partir de A, 3 segmentos iguales.
SIGUIENTE
Dividiendo un segmento AB en tres partes iguales
1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Aplicaciones del teorema de Tales
3. Unimos el extremo del último segmento con el punto B, y trazamos paralelas a esa recta desde las demás divisiones.
SIGUIENTE
Dividiendo un segmento AB en tres partes iguales
1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación.
2. Dibujamos sobre ella, a partir de A, 3 segmentos iguales.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Aplicaciones del teorema de Tales
3. Unimos el extremo del último segmento con el punto B, y trazamos paralelas a esa recta desde las demás divisiones.
Por el teorema de Tales, los segmentos en los que queda dividido el segmento AB son proporcionales a los dibujados sobre la recta, y por lo tanto, son iguales entre sí.
Dividiendo un segmento AB en tres partes iguales
1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación.
2. Dibujamos sobre ella, a partir de A, 3 segmentos iguales.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si:
-Tienen sus ángulos iguales:
-Tienen sus lados proporcionales:
Semejanza de triángulos
'CC 'BB 'ˆˆ AA
'''''' CA
AC
CB
BC
BA
AB
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Decimos que dos triángulos ABC y A’B’C’ están en posición de Tales cuando:
- Tienen un ángulo en común,
- Los lados opuestos a este ángulo, FD y BC, son paralelos.
Semejanza de triángulos. Triángulos en posición de Tales
A
Dos triángulos en posición de Tales son siempre semejantes.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.
Criterios de semejanza de triángulos
PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.
SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.
TERCER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.
'''''' CA
AC
CB
BC
BA
AB
'ˆˆ
'ˆˆ
BB
AA
''''
'ˆˆ
BA
AB
CA
AC
AA
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
¿Cuál es la altura de la torre?
Aplicaciones de la semejanza de triángulos
Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes por ser triángulos rectángulos y tener un ángulo agudo en común.
Así, aplicando la proporcionalidad entre sus ángulos:
La altura de la torre es 25 m.
mAC
BA
AB
CA
AC 25
12
1003AC
12
100
3
''''
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.
Se llama razón de semejanza al cociente de la longitud de un lado de un polígono entre la longitud correspondiente del otro polígono.
Polígonos semejantes
5,03
5,1
7
3,5
3
5,1
7
3,5
''''''''
AD
DA
DC
CD
CB
BC
BA
AB
Los dos rectángulos son semejantes, con razón de semejanza 0,5.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Se llama escala a la razón de semejanza entre la figura representada y la figura original.
Escalas
realidad laen distancia
ciónrepresenta laen distanciaescala
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Enlaces de interés
El pantógrafo
IR A ESTA WEB
Curso de geometría
IR A ESTA WEB
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica
ANTERIOR SALIR
Actividad: Proporcionalidad geométrica
Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad4b.htm
En la sección chilena de la Editorial Santillana, en esta actividad aplicamos una propiedad interesante para cualquier triángulo rectángulo que Euclides descubrió hace muchos siglos.
Para desarrollarla, sigue este enlace.