PHYSICS & MATHEMATICS www.krumun.com

1

เฉลยละเอียด ขอสอบ PAT 1

เรื่อง เซต

PAT 1 (มี.ค. 56)

2. ตอบ ขอ 1.

วิธีทํา

จากรูปจะไดวา

,A B a d (1.1)

,A B b e (1.2)

, , , , , ,A B C a b c d e f g (1.3)

จากสมการ (1.2) และ (1.3) จะไดวา

, , , , , , ,A B A B C b e a b c d e f g (1.4)

,A B A B C b e (1.5)

ดังน้ันจะได

, , , ,A A B A B C a b d e b e (1.6)

จะไดวา

,A A B A B C a d (1.7)

จะเห็นวาสมการ (1.1) เทากับสมการ (1.7) น่ันคือ ก. ถูก

พิจารณารูป จะเห็นวา A B C a (1.8)

A B C a (1.9)

ดังน้ันพาวเวอรเซต A B C a จึงเทากับเพาวเวอรเซต A B C a น่ันคือ ข. ถูก

PHYSICS & MATHEMATICS www.krumun.com

2

26. ตอบ 7

วิธีทํา จากโจทยเราสามารถวาดรูปคราวๆ ไดดังน้ี

เน่ืองจากโจทยกําหนดใหจําวนวนสมาชิกของ 416 2A BP P

หมายความวา 24 2Pn A B (1.10)

2n A B (1.11)

เน่ืองจากสับเซตของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว มีทั้งหมด 10 เซต

สมมติใหเซต A มีสมาชิกทั้งหมด X ตัว นําสมาชิกมาจัดกลุมๆ ละ 2 ตัว เขียนสมการไดเปน

102X

(1.12)

21

10 20 02!

X XX X

(1.13)

แกสมการที่ (1.13) จะได 5n A X

และในทํานองเดียวกัน สมมติใหเซต B มีสมาชิก Y ตัว ในทํานองเดียวกันจะได

62Y

(1.14)

แกสมการที่ (1.14) จะได 4n B Y

จาก n A B n A n B n A B (1.15)

แทนคาตางๆ ลงไปในสมการที่ (1.15) จะได

5 4 2 7n A B

PHYSICS & MATHEMATICS www.krumun.com

3

PAT 1 (ต.ค. 55)

1. ตอบ ขอ 3.

วิธีทํา

จากรูปจะไดวา A B C a (1.16)

และ , , , ,A B A C a d a b a b d (1.17)

จากสมการที่ (1.16) และสมการที่ (1.17) แสดงวา ขอ 1. ผิด

จากรูปจะไดวา A B C b (1.18)

และ A C B C b (1.19)

จากสมการที่ (1.18) และสมการที่ (1.19) แสดงวา ขอ 2. ถูก

จากรูปจะไดวา , ,A B C a d e (1.20)

และ A B C A B C a (1.21)

จากสมการที่ (1.20) และสมการที่ (1.21) แสดงวา ขอ 3. ผิด

จากรูปจะไดวา , ,A B C a b c (1.22)

และ , , , ,A B C a b c d e (1.23)

จากสมการที่ (1.22) และสมการที่ (1.23) แสดงวา ขอ 4. ผิด

PHYSICS & MATHEMATICS www.krumun.com

4

26. ตอบ 128

วิธีทํา

ในขอน้ีแนะนําใหสมมติสมาชิกของเซต A และ B ดวยดวยจํานวนงายๆ !

จากโจทยกําหนดใหสมาชิกจํานวน 20% ของเซต A เปนสมาชิกของเซต B

ดังน้ันถาเราสมมติใหเซต A มีสมาชิกเทากับ 5x ตัว

แสดงวาจะมีสมาชิกที่เปนสมาชิกของเซต B เทากับ x

จากโจทยกําหนดใหสมาชิกจํานวน 25% ของเซต B เปนสมาชิกของเซต A

และสมมติใหเซต B มีสมาชิกเทากับ 4x ตัว

แสดงวาจะมีสมาชิกที่เปนสมาชิกของเซต A เทากับ x

เน่ืองจากโจทยกําหนดให 112n A B B A

พิจารณารูปแลวจะไดวา 4 3 112x x (1.24)

เราจะได 16x

แตจาก n A B n A n B n A B (1.25)

จากรูปจะไดวา 5 4n A B x x x (1.26)

หรือ 8n A B x (1.27)

เมื่อแทนคา 16x ในสมการที่ (1.27) จะได

128n A B

x 4x 3x

PHYSICS & MATHEMATICS www.krumun.com

5

PAT 1 (มี.ค. 55)

1. ตอบ 48

วิธีทํา

พิจารณา 10n A B n B (1.28)

แสดงวา 2n B (1.29)

โจทยกําหนดให 4n A B (1.30)

เน่ืองจาก A B A B

ดังน้ันจะไดวา

4n A B (1.31)

จากสมการที่ (1.29) และสมการที่ (1.31) ทําใหไดวา 6n A

จากรูปจะเห็นไดวา b สามารถมีสมาชิกไดไมเกิน 2 ตัว ซึ่งสามารถจัดได 3 วิธี

สวนของ a และ d จะมีสามาชิกอยูทั้งหมด 4 ตัว ซึ่งสามารถจัดไดดังน้ีคือ

1. ไมมีสมาชิกเลยที่ a จัดได 1 วิธี

2. a มีสมาชิก 1 ตัว จัดได 4

41

วิธี

3. a มีสมาชิก 2 ตัว จัดได 4

62

วิธี

4. a มีสมาชิก 3 ตัว จัดได 4

43

วิธี

5. a มีสมาชิก 4 ตัว จัดได 4

14

วิธี

แสดงวาเราสามารถจัดสมาชิกที่ a ได 16 วิธี

น่ันคือเราสามารถสรางเซต C ไดทั้งหมด 3 x 16 = 48 เซต

PHYSICS & MATHEMATICS www.krumun.com

6

26. ตอบ 25

แนวคิด

ให A = เซตของคนที่ชอบอานนิยาย

B = เซตของคนที่ชอบอานหนังสือพิมพ

C = เซตของคนที่ชอบอานนวนิยาย

จากรูปจะไดวา 100a b c d e f g (1.32)

และจาก

n A B C n A n B n C

n A B n A C n B C

n A B C

(1.33)

100 75 70 85 b e d e f e e (1.34)

100 225 2b d f e (1.35)

2 125b d f e (1.36)

จากสมการที่ (1.32) และ (1.36) จะไดวา

25e a c g (1.37)

จากสมการที่ (1.37) จะเห็นวา e จะมีคาตํ่าสุดเมื่อ 0a c g

น่ันคือ min 25e