Patrick Deglon PhD Thesis - Bhabha Scattering at L3 experiment at CERN

UNIVERSITE DE GENEVEDépartement de PhysiqueNucléaire et Corpusculaire

FACULTE DES SCIENCES

Professeur Pierre Extermann

Etude de la diffusion Bhabhaavec le détecteur L3 au LEP

THESEprésentée à la Faculté des Sciences

de l’Université de Genèvepour obtenir le grade de Docteur ès Sciences, mention Physique

parPatrick Déglon

deCurtilles (Vaud)

GENÈVE

2002

3

Remarques pour les jurésLe présent document se trouve sur AFS à l’adresse :

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Table des matières

Chapitre I. La nature de l’univers 71. Histoire de la physique des particules 72. Théorie quantique des champs et le Modèle Standard 8

Chapitre II. La diffusion Bhabha 171. Section efficace de Born 182. Corrections radiatives virtuelles 223. Radiations dans l’état initial ou final 274. Monte Carlo BHWIDE 29

Chapitre III. Le détecteur 351. Le complexe d’accélérateurs du CERN 352. L’expérience L3 373. Calibration du BGO 48

Chapitre IV. La méthode d’analyse 571. Données et Simulations 572. Sélection 583. Échantillons de données 734. Ajustement de la simulation 735. Sections efficaces 746. Erreurs systématiques 81

Chapitre V. Les résultats et leurs interprétations 851. Section efficace dans le barrel 852. Asymétrie 863. Section efficace différentielle 874. Interprétation dans le cadre du Modèle Standard 895. Interprétation en terme de nouveaux modèles 93

Conclusion 103

Annexe A : Section efficace 105

Annexe B : Asymétrie 113

5

6 . TABLE DES MATIÈRES

Annexe C : Section efficace différentielle 127

Annexe D : Calculs Mathematica 1431. Initialisation du système 1432. Diagrammes de Feynman 1433. Amplitudes invariantes carrées 1444. Changement de variables et forme finale 145

Table des figures 149

Liste des tableaux 153

Bibliographie 155

CHAPITRE I

La nature de l’univers

La curiosité est sans nul doute le trait de caractère qui a le plus fait évoluerl’être humain. A la recherche de nourriture, l’homme a agrandi son territoire.A la recherche de nouvelles richesses, il a exploré la terre entière. De nosjours, l’humanité continue l’exploration de son environnement. Tourné d’uncoté vers l’infiniment grand où des télescopes scrutent les confins de l’universpour découvrir d’où nous venons, et de l’autre, vers l’infiniment petit, nous,les physiciens des particules, “cassons” la matière pour découvrir les briquesfondamentales de l’univers.

1. Histoire de la physique des particules

Les origines de la physique des particules sont assez anciennes. Les phi-losophes grecs ont inventé au Ve siècle avant J.C. le concept d’a-tomos (enfrançais atome), qui signifie insécable. Ce concept stipule que le monde quinous entoure est constitué de briques fondamentales insécables, que l’on nepeut casser en deux. Si on brise un caillou en morceaux de plus en plus petits,on arrive à des grains de sable. La question est de savoir si l’on peut continuerindéfiniment à briser des morceaux de caillou de plus en plus petits, ou si l’onva tomber sur l’une des briques fondamentales et insécables de l’univers.

Comme il était impossible de vérifier ce concept de manière expérimentale,il est tombé dans l’oubli pour faire place à la théorie des quatre élémentsd’Empédocle : l’air, l’eau, la terre et le feu. La nature était basée uniquementsur 4 éléments.

Au cours des siècles, l’alchimie, puis la chimie, ont remplacé cette théo-rie pour tenir compte de la découverte de nouveaux alliages et éléments chi-miques.

En 1869, le chimiste russe Dimitri Mendeleïev a inventé un tableau qui apermis de classer tous les éléments chimiques en les regroupant par propriétéchimique et en les ordonnant par masse atomique.

En 1897 Thompson découvre l’électron et en 1912 Rutherford découvre lenoyau. Rutherford conçoit un modèle de l’atome qui ressemble au systèmeplanétaire : des électrons chargés négativement tournent autour d’un noyau

7

8 I. LA NATURE DE L’UNIVERS

central dont on découvrira par la suite qu’il est composé de nucléons chargéspositivement (les protons) et sans charge (les neutrons).

L’apparition des premiers détecteurs dans le milieu du XXe siècle a permisd’accélérer la course à l’infiniment petit. Ces détecteurs qui sont capables dedétecter une particule ou même un quanta d’énergie vont permettre d’étudierles rayons cosmiques qui viennent de la stratosphère. Les rayons cosmiquessont des jets de particules provenant de l’impact d’une particule très énergé-tique sur l’atmosphère.

Avec l’apparition des accélérateurs l’homme a été capable de créer ces par-ticules en laboratoire. La technologie avançant, des particules de plus en plusmassives ont pu être créées.

En 1967, Gell-Mann se rend compte que l’on peut classer ces particules pargroupes de caractéristiques. Ce classement semble venir d’une théorie plusprofonde. Il invente la notion de quark, générateur d’un groupe bien particu-lier. Chaque élément de ce groupe est composé de deux ou trois quarks. Étantdonné des caractéristiques bien définies pour les quarks, chaque élément dece groupe a pu être identifié à une des particules hadroniques observées.

A la même époque, les expériences de diffusions profondes sur des protonsont mis en évidence la présence de sous-particules que l’on a appelé partons.Il a suffit de peu de temps pour associer à ces “partons” expérimentaux les“quarks” théoriques.

Pour décrire cette physique, où la mécanique quantique rejoint la rela-tivité restreinte, il a été nécessaire de développer la théorie quantique deschamps. Dans le cadre de cette théorie, un modèle que nous appelons le Mo-dèle Standard permet une relative bonne description de cette physique. Mal-heureusement, ce modèle ne nous donne pas la liste des particules existantes,ni leur masse. Il faut encore une part de phénoménologie pour pouvoir décrirela nature.

Nous allons maintenant nous attarder sur ce modèle pour décrire ses dif-férentes morceaux.

2. Théorie quantique des champs et le Modèle Standard

Lorsqu’un système physique évolue, le passage d’un état à l’autre se faiten suivant le principe de moindre action. C’est-à-dire que de tous les moyenspour passer d’un état à l’autre, la nature semble choisir le moyen qui minimisel’action du transfert. L’action peut s’écrire de la forme suivante :

S=∫

dt L(x(t), x(t), t

)(1.1)

2. THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET LE MODÈLE STANDARD 9

avec L le Lagrangien qui dépend des variables du système (pour un cas clas-sique : les positions x et les vitesses x au temps t).

La minimisation de l’action implique l’équation d’Euler-Lagrange :

∂L∂x− d

dt∂L∂x

= 0 (1.2)

La résolution de cette équation pour toutes les variables du système per-met d’obtenir les équations différentielles du mouvement et ainsi de connaîtreson évolution dans le temps.

Dans un monde quantique, une particule n’est plus un point x, mais unchamp φ(x) (dans l’espace-temps x) que l’on peut identifier à l’amplitude deprobabilité de la trouver en ce point. Le Lagrangien devient donc local et onpeut identifier le Lagrangien classique à :

L =∫

d3xL(φ(x),∂µφ(x)

)(1.3)

Le Lagrangien L ne dépend plus des positions et des vitesses dans l’espace-temps, mais de la valeur du champ et de ses dérivées en tout point de l’espace-temps.

Ainsi, l’action devient symétrique dans toutes les dimensions de l’espace-temps :

S=∫

d4xL(φ,∂µφ

)(1.4)

A ce jour, la meilleur description de la physique des particules est le Mo-dèle Standard (MS). Il s’agit essentiellement du Lagrangien qui, dans le cadrede la théorique quantique des champs, permet toutes nos prédictions. Ce La-grangien étant complexe, nous allons le construire étape par étape.

2.1. Les fermions. Dans la nature, la matière semble être composée uni-quement de fermions. Les fermions les plus élémentaires (les briques de lamatière) sont des particules de spin 1/2 qui sont décrites par le Lagrangien :

L =12

ψ(iγµ∂µ−m

)ψ (1.5)

avec ψ le champ du fermion, ψ le champ de l’anti-fermion, γµ les matrices 4x4de Dirac et m la masse du fermion.

La liste (phénoménologique) des fermions est donnée dans le tableau 1.On constate de belles symétries : matière et anti-matière, trois générationsde particules, 2 leptons et 2 quarks par génération, une différence de chargede±1 entre les leptons et les quarks d’une même génération, etc. La seule asy-métrie semble concerner la masse des particules, bien que la masse augmenteavec les générations. La question de la masse est encore l’une des dernièresgrandes énigmes du MS. Pourquoi les particules ont de la masse ? Comment


Charge électrique −1 +1 0 0 +2/3 −2/3 −1/3 +1/3

1re génération e− e+ νe νe u u d d

511 keV < 15 eV 1.5−5 MeV 3−9 MeV

2e génération µ− µ+ νµ νµ c c s s

105.7 MeV < 170 keV 1.1−1.4 GeV 60−170 MeV

3e génération τ− τ+ ντ ντ t t b b

1.77 GeV < 18 MeV 169−179 GeV 4.1−4.4 GeV

TAB. 1 – Liste et caractéristiques des fermions

Dans ce tableau, sont présents tous les fermions élémentaires connus. Les symétries sont frap-pantes : trois générations identiques, si ce n’est une augmentation de la masse avec les généra-tions, chaque particule a son antiparticule, 2 leptons et 2 quarks dans chaque générations, unedifférence de 1 dans la charge entre les 2 leptons ou les 2 quarks dans la même génération.

est régie la hiérarchie des masses des différentes générations ? La questionest ouverte.

Nous obtenons comme premier morceau pour notre Lagrangien du MS :

L f ermions= ∑f

12

ψ f

(iγµ∂µ−m

)ψ f (1.6)

avec la somme sur tous les fermions f .

2.2. Invariance de jauge locale et les bosons. Supposons que l’on veuilleautoriser une invariance de jauge locale à notre système, c’est-à-dire que leLagrangien soit invariant sous le changement :

ψ→ eigA αA(x)TAψ, (1.7)

avec TA les matrices génératrices du groupe d’invariance, αA(x) des para-mètres locaux du groupe et gA d’autres paramètres, qui eux sont constants,que l’on appellera charges par la suite. L’indice A permet d’avoir plusieursgénérateurs TA.

Pour permettre ces invariances, il convient de modifier le Lagrangien dela manière suivante :

L =12

ψ(

iγµ∂µ−m− igAAAµ TA

)ψ (1.8)

avec AAµ un champ qui satisfait lors de sa transformation de jauge locale :

AAµ(x)→ AA

µ(x)+ ∂µαA(x) (1.9)

Ainsi on peut changer la phase d’un fermion dans différents points del’espace-temps par l’adjonction dans le système de nouveaux champs AA

µ dontleur transformation provient d’un potentiel αA qui effectue ces changements.


Ce champ correspond à ce que l’on appelle un boson de jauge, dont le spin estentier et qui est régi par le Lagrangien :

Lbosons= FµνFµν (1.10)

avec Fµν = ∂µAν−∂νAµ.Cela revient à dire, que les changements d’état des fermions correspondent

à des interactions de ceux-ci avec des bosons. Ces interactions au niveauquantique correspondent aux forces dans notre monde macroscopique. Parexemple, les forces électriques et magnétiques que l’on rencontre dans la viede tous les jours ne sont rien d’autres que des échanges de bosons (des pho-tons) entre des fermions (les électrons et les protons des atomes).

Une manière élégante d’introduire ces nouveaux termes dans le Lagran-gien (1.6) est de les introduire dans la définition de la dérivée Dµ. On parlealors de dérivées covariantes :

Dµ = ∂µ− igAAµTA (1.11)

Notre Lagrangien fermionique du MS devient

L f ermions= ∑f

12

ψ f

(iγµDµ−m

)ψ f (1.12)

Chaque invariance de jauge locale donne lieu à une série de bosons quicorrespondent à une force dans la nature. La liste des invariances, de leursbosons et leur force est donnée dans le tableau 2.

Force Générateurs Symétrie Bosons

Électromagnétique TA = Y2 U(1) photon

Faible TA = 12σA A = 1,2,3 SU(2)L Z, W±

Forte TA = 12λA A = 1, ...,8 SU(3)C 8 gluons

TAB. 2 – Invariances du MS

Ce tableau résume les symétries de jauge donnant lieu aux 3 forces du MS. Dans le cas del’électromagnétisme, la symétrie du Lagrangien dans le changement de phase donne lieu augroupe U(1) dont le générateur est associé au photon. La force faible provient de la symétrieSU(2)L, dont les trois générateurs σA (matrices 2×2 de Pauli) donnent lieu aux trois bosonsfaibles Z,W+ et W−. La force forte provient de la symétrie SU(3)C, dont les 8 générateurs λA

(matrices 3×3 de Gell-Mann) vont donner lieu aux 8 gluons.


2.3. Le modèle de Glashow-Weinberg-Salam - GWS. La force électro-magnétique (U(1)) et la force faible (SU(2)L) sont les descendants d’une mêmeforce : la force électrofaible (U(1)Y⊗SU(2)L). Il en reste des traces sous la formed’un mélange des particules. En effet, les médiateurs de la force électrofaiblesont :

U(1)Y Bµ

SU(2)L W1µ , W2

µ et W3µ

L’univers, en refroidissant, a séparé en deux la force électrofaible, laissantla composition suivante au moment du gèle :

Aµ = cosθW Bµ +sinθWW3µ

Zµ = sinθW Bµ−cosθWW3µ

W±µ =1√2

(W1

µ ∓ iW2µ

) (1.13)

Il reste malgré tout un petit détails gênant. En effet, le Lagrangien (1.10)ne peut pas contenir de terme de masse 1

2m2AµAµ. En effet, ce terme briseraitl’invariance de jauge locale ! Cela ne nous gêne pas dans le cas de la forceélectromagnétique car le photon est (jusqu’à preuve du contraire) sans masse.Malheureusement, les masses des bosons de la force faible sont loin d’êtrenulles. En effet, la mesure de leur masse est actuellement1 :

mZ = 91.1876±0.0021 GeV

mW = 80.422±0.047 GeV

Il faut donc trouver un moyen d’introduire les termes de masse des bosonsde jauge dans le Lagrangien sans briser l’invariance de jauge :

Lmasse=12

m2ZZµZµ +

12

m2WW±µ W±µ (1.14)

Ce problème peut être résolu grâce au mécanisme de Higgs.

2.4. Le mécanisme de Higgs. Le mécanisme de Higgs permet de garderl’invariance de jauge locale tout en autorisant les bosons à avoir une masse.Pour ce faire, il est nécessaire d’introduire deux nouveaux champs complexes(qu’on appelle champs de Higgs) sous la forme d’un doublet :

Φ =

(φ1

φ2

). (1.15)

Ces champs étant des scalaires sont décrits par le Lagrangien :

LHiggs = (DµΦ)†(DµΦ)−V

(Φ†Φ

)(1.16)

1The Review of Particle Physics, D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15,12000.


avec :

Dµ = ∂µ− igTaWaµ − ig′

Y2

Bµ la dérivée covariante, et

V(

Φ†Φ)

=−µ2Φ†Φ +λ2

(Φ†Φ

)2le potentiel de Higgs.

(1.17)

Dans ces équations, µ2 et λ sont deux paramètres libres (avec la contrainteque λ > 0), et a est l’indice des 3 bosons de l’interaction faible. Pour la partieU(1)Y, nous avons la constante de couplage g′, le générateur de l’invariance dejauge Y

2 et Bµ le champ de jauge. Pour la partie SU(2)L, nous avons la constantede couplage g, le générateur de l’invariance de jauge Ta et Wa

µ les champs dejauge.

Le potentiel de Higgs V(Φ†Φ

)est symétrique au point correspondant à des

bosons de masse nulle. En choisissant les paramètres µ> 0 et λ > 0 (tous lesdeux réels) (voir figure 1), ce potentiel a un minimum à :

|Φ0|2 =µ2

λ≡ v2

2. (1.18)

Φ2 Φ1

V(

ΦΦ+)

FIG. 1 – Potentiel de Higgs

Ce graphique représente la forme du potentiel de Higgs Φ. Il est symétrique autour du point(0,0), mais les points d’équilibre se trouvent dans le creux de la fonction. Le point de chute dela nature semble avoir été Φ = ( v√

2,0). Ce point permet de donner une masse aux bosons Z et

W±, tout en laissant le photon sans masse.

Dès lors, un état stable, qui est un état où le potentiel est minimum, brisespontanément la symétrie. Toute la question maintenant est de savoir quelleposition du minimum a choisi la nature. En admettant que la nature ait choisi


le point Φ0 = 1√2

(v

0

)(figure 1), l’interaction des champs de Higgs avec les

bosons de jauge deviennent :∣∣∣∣−igTaWaµ Φ0− ig′

Y2

BµΦ0

∣∣∣∣2 =

18

v2g2((

W1µ

)2+(W2

µ

)2)+

18

v2(W3

µ Bµ

)( g2 −gg′

−gg′ g′2

)(W3

µ

Bµ

)(1.19)

En identifiant l’équation (1.19) avec les termes de masse de l’équation(1.14), on trouve :

W±µ =1√2

(W1

µ ∓ iW2µ

)Zµ =

gW3µ −g′Bµ√g′2 +g2

Aµ =g′W3

µ −gBµ√g′2 +g2

(1.20)

avec les masses :mA = 0

mW =gv2

mZ =v2

√g′2 +g2

(1.21)

En identifiant les équations (1.13) aux équations (1.20), il vient la relationsuivante :

cosθW =mW

mZ(1.22)

Cette construction permet une masse nulle pour le photon, mais s’il s’avé-rait que le photon ait une masse non nulle, un autre choix de paramètres pourle doublet de Higgs Φ0 permettrait de donner une masse au photon.

On notera que le boson de Higgs n’a pas encore été découvert, même sides indications laissent à penser qu’il est possible que quelques Higgs aillentété produits au LEP, mais pas en nombre suffisant pour une découverte. Lesrecherches au LEP donnent comme limite pour sa masse2 à 95% de niveau deconfiance (N.C.) :

114.1 GeV<mH < 214 GeV (1.23)

Ainsi, si le mécanisme de Higgs représente bien la façon dont la naturea doté les bosons W et Z d’une masse, la découverte (attendue) du boson deHiggs devrait se faire au Tevatron ou au LHC.

2La limite inférieure est le résultat de la combinaison des recherches directes des 4 expé-riences LEP. La limite supérieure provient du fit électrofaible LEPEWW Note 2001-01


Le Lagrangien final contient encore quelques termes, mais ces termes neconcernant pas le sujet de cette thèse, la discutions sur le Lagrangien s’arrê-tera là.

Au final, nous obtenons pour notre Lagrangien :

LMS = ∑f

12

ψ f

(iγµDµ−m

)ψ f

− 14

FAµνFµνA− 1

4Wa

µνWµνa− 1

4BµνBµν

+(DµΦ)†(DµΦ)−V

(Φ†Φ

) (1.24)

CHAPITRE II

La diffusion Bhabha

La diffusion élastique e+e−→ e+e−(γ)est appelée diffusion Bhabha, d’aprèsle physicien Indien Homi Bhabha qui fut le premier théoricien à se penchersur la question.

FIG. 2 – Photo de Homi J. Bhabha

Homi J. Bhabha (1909-1966) a développé les premiers programmes de recherche nucléaire enInde et a participé à des expériences sur les rayons cosmiques. Il a été le premier à effectuer lescalculs théoriques sur la diffusion électron-positron.

Cette diffusion peut paraître extrêmement simple, et ceci pour deux rai-sons. La première est qu’à très faible énergie, cette diffusion ne fait appelqu’à un électron, un anti-électron et un photon. L’électrodynamique quan-tique (QED) suffit à elle seule pour décrire cette diffusion. Les équations sontsans complexité majeure, et les prédictions peuvent être calculées avec unetrès grande précision. La deuxième raison est que les particules sortant de

17

18 II. LA DIFFUSION BHABHA

cette diffusion sont très facilement identifiables. Les électrons déposent touteleur énergie dans les calorimètres électromagnétiques et, étant chargés, ilslaissent une trace dans les trajectographes internes. Ainsi, une très bonnemesure de leur énergie, de leur quantité de mouvement et de leurs angles dediffusion est possible. Ainsi, ces signaux étant très distincts, il est difficile deconfondre les électrons avec d’autres particules. Nous verrons ainsi que l’ef-ficacité de la sélection à grand angle est de ∼ 98% pour un bruit de fond de∼ 4%.

Néanmoins, les choses se compliquent dès que l’on rentre dans les détails.Tout d’abord, à plus haute énergie, l’échange d’un boson Z devient un canalde plus en plus important. Ceci rend les équations tout de suite plus com-plexes. Ensuite, certaines constantes de la théorie évoluent avec l’énergie, cequi rend les prédictions plus difficiles. De plus, le nombre élevé d’événementsque nous observons au LEP nous permet une analyse fine (1% d’erreur sta-tistique), ce qui contraste avec l’estimation de la précision de notre meilleurMonte Carlo BHWIDE qui est de 2%. Et enfin, comme cette réaction est d’unetrès petite multiplicité (il n’y guère que deux électrons et éventuellement unpetit nombre de photons sortant de la diffusion), nous sommes très sensiblesaux éventuelles problèmes du détecteur. En effet, il suffit qu’un des électronsait été émis dans une région morte du détecteur, et c’est tout l’événement quiest perdu.

Ce dernier effet rend l’analyse un peu plus compliquée, mais le revers de lamédaille est que cela nous permet de tester une grande partie du détecteur :c’est un outil de recherche de calibration fantastique.

Cette diffusion de la théorie électrofaible permet aussi de rechercher desindices sur la présence d’effets physiques non décrits par le Modèle Standard.On peut chercher par exemple la présence de dimensions supérieures ou unetaille de l’électron.

Dans les paragraphes qui suivent, nous allons nous attacher à décrire ladiffusion Bhabha d’un point de vue théorique en calculant sa section efficacedifférentielle.

1. Section efficace de Born

Au niveau d’arbre, quatre processus sont possibles : l’échange d’un photondans la voie s (γs) et dans la voie t (γt), l’échange d’un boson Z dans la voie s

(Zs) et la voie t (Zt). La figure 3 montre ces quatre diagrammes.

1. SECTION EFFICACE DE BORN 19

e+

e−

e+

e−

γs

e+

e−

e+

e−

γt

e+

e−

e+

e−

Zs

e+

e−

e+

e−

Zt

FIG. 3 – Diagramme de Feynman au niveau d’arbre pour la diffusion Bhabha

Ces diagrammes de Feynman représentent les quatre processus au niveau d’arbre possiblepour la diffusion e+e−→ e+e−. Il peut y avoir un échange de photon dans la voie s (γs) ou dansla voie t (γt ). De même un boson Z peut être échangé dans ces deux voies (Zs, Zt ).

Chaque objet dans ces diagrammes correspond à un terme mathématique.La notation variant d’un auteur à l’autre, je préfère donner la liste des termesque j’ai utilisé pour les calculs :

électron entrant

pu(p)

électron sortant

pu(p)

positron entrant

pv(p)

positron sortant

pv(p)

γp

µ ν −igµ,νp2

Z

p

µ µ −ip2−m2

Z+i ΓZ mZ

(gµ,ν−

pµ pνm2

Z

)

γµi√

4παγµZµ

−i√

4παZ γµ(rV − γ5

)u, u, v et v sont des spineurs de Dirac. p est un quadri-vecteur d’énergie-impulsion. gµ,ν est le tenseur de la métrique. mZ est la masse du boson Z, etΓZ sa largeur. Les γµ sont les matrices de Dirac. α est la constante de couplageélectrofaible.


Pour alléger les notations, j’ai utilisé la définition du vertex Ze+e− avec laconstante rV . Les deux manières classiques de définir ce vertex sont :

Vertex(Ze+e−

)= i√

4παγµ(

gV −gAγ5)

= i

√4πα

2 sinθW cosθWγµ(

cV −cAγ5) (2.1)

avec cV = −12 + 2sin2θW et cA = −1

2, gA,V = cA,V/2 sinθW cosθW, les constantesdu courant vectoriel (V) et axial (A) du boson Z. θW est l’angle de mélangeélectrofaible.

La notation utilisée est obtenue en posant :

rV =cV

cA=

gV

gA= 1−4sin2θW

αZ =α

16 sin2θW cos2θW

(2.2)

Grâce à ces règles, les amplitudes M de ces quatre diagrammes de Feyn-man se traduisent sous forme d’équations :

M∣∣γs

= i4πα

s

[v(p2)γµu(p1)

][u(p3)γµv(p4)

]M∣∣γt

=−i4πα

t

[v(p2)γµv(p4)

][u(p3)γµu(p1)

]M∣∣Zs

= i4παZ

s−m2Z + i ΓZ mZ

[v(p2)γµ

(rV − γ5

)u(p1)

](

gµ,ν−(p1

µ + p2µ

)(p1

ν + p2ν)

m2Z

)[u(p3)γν

(rV − γ5

)v(p4)

]M∣∣Zt

=−i4παZ

t−m2Z + i ΓZ mZ

[v(p2)γµ

(rV − γ5

)v(p4)

](

gµ,ν−(p2

µ− p4µ

)(p2

ν− p4ν)

m2Z

)[u(p3)γν

(rV − γ5

)u(p1)

]

(2.3)

où p1 est le quadri-vecteur d’énergie-impulsion de l’électron entrant, p2 ce-lui du positron entrant, p3 celui de l’électron sortant et p4 celui du positronsortant. Les variables de Mandelstam correspondantes sont :

s=(p1 + p2)2

t =(p1− p3)2

u =(p1− p4)2 (2.4)

√s se trouve ainsi être l’énergie dans le centre de masse. Au LEP, où l’élec-

tron et le positron ont la même énergie, le centre de masse de la collision se

1. SECTION EFFICACE DE BORN 21

trouve au repos par rapport au détecteur, et ainsi, en négligeant la masse del’électron, nous avons :

s= (2Ebeam)2 (2.5)

En posant l’axe Z du système de coordonnée selon l’axe du faisceau (lecoté positif coïncidant avec la direction de l’électron entrant), et en prenant θcomme l’angle polaire de diffusion de l’électron sortant, nous avons :

t =−s1−cosθ

2

u =−s1+cosθ

2

(2.6)

Pour simplifier les équations, nous allons garder les variables t et u, maisnous devons garder en tête qu’à chaque instant nous pouvons revenir à deséquations en s et cosθ uniquement.

L’amplitude invariante totale est :

M = M∣∣γs

+ M∣∣γt

+ M∣∣Zs

+ M∣∣Zt

(2.7)

La section efficace différentielle en dΩ = dcosθdφ est

dσdΩ

=

∣∣M ∣∣264π2s

=1

64π2s

(14

M M ∗)

(2.8)

où∣∣M ∣∣2 est l’amplitude invariante carrée moyennée sur les spins des parti-

cules entrantes.Ainsi, la section efficace différentielle est composée de dix termes, corres-

pondant à toutes les paires possibles des quatre canaux de diffusion (γs, γt , Zs

et Zt). Par exemple :

dσdΩ

∣∣∣∣γsγt

=1

256π2s

(M∣∣γs

M∣∣∗γt

+ M∣∣γt

M∣∣∗γs

)(2.9)

J’ai effectué les calculs pour obtenir les carrés des amplitudes invarianteset les termes de la section efficace différentielle avec le programme Mathematica[1]et le paquet HIP[2]. Un exemple de ces calculs se trouvent dans l’annexe à lapage 143.

Les termes où seul le photon intervient donnent :

dσdΩ

∣∣∣∣γsγs

=α2

2st2 +u2

s2 (2.10)

dσdΩ

∣∣∣∣γtγt

=α2

2ss2 +u2

t2 (2.11)

dσdΩ

∣∣∣∣γsγt

=α2

su2

st(2.12)


Les termes où seul le boson Z intervient donnent :

dσdΩ

∣∣∣∣ZsZs

=α2

2s

(1− r2

V

)2t2 +

(1+6r2

V + r4V

)u2

Γ2Z m2

Z +(s−m2

Z

)2 (2.13)

dσdΩ

∣∣∣∣ZtZt

=α2

2s

(1− r2

V

)2s2 +

(1+6r2

V + r4V

)u2

Γ2Z m2

Z +(t−m2

Z

)2 (2.14)

dσdΩ

∣∣∣∣ZsZt

=α2

s

[Γ2

Z m2Z +(s−m2

Z

) (t−m2

Z

)] (1+6r2

V + r4V

)u2[

Γ2Z m2

Z +(s−m2

Z

)2] [Γ2Z m2

Z +(t−m2

Z

)2] (2.15)

Les termes d’interférences entre le photon et le boson Z donnent :

dσdΩ

∣∣∣∣γsZs

=α2

ss−m2

Z

s

(1+ r2

V

)u2 +

(1− r2

V

)t2

Γ2Z m2

Z +(s−m2

Z

)2 (2.16)

dσdΩ

∣∣∣∣γsZt

=α2

st−m2

Z

s

(1+ r2

V

)u2

Γ2Z m2

Z +(t−m2

Z

)2 (2.17)

dσdΩ

∣∣∣∣γtZs

=α2

ss−m2

Z

t

(1+ r2

V

)u2

Γ2Z m2

Z +(s−m2

Z

)2 (2.18)

dσdΩ

∣∣∣∣γtZt

=α2

st−m2

Z

t

(1+ r2

V

)u2−

(1− r2

V

)s2

Γ2Z m2

Z +(t−m2

Z

)2 (2.19)

Pour obtenir la section efficace complète, nous devons encore tenir comptedes corrections radiatives.

2. Corrections radiatives virtuelles

La section efficace de Born est une première approximation. Néanmoins,des corrections virtuelles (figure 4) importantes peuvent encore être traitéesde façon simple en étant englobées dans les constantes contenues dans lasection efficace de Born. Après la redéfinition de ces constantes, on obtient lasection efficace de Born améliorée.

e+

e−

e+

e−

f+

f−

a)

e+

e−

e+

e−

γ,Z

b)

e+

e−

e+

e−

Z,W

Z,Wc)

FIG. 4 – Corrections du propagateur et du vertex

Ces diagrammes de Feynman représentent trois types de corrections radiatives virtuelles : lescorrections du propagateur (a), les corrections du vertex (b), et les corrections de boîte (c).

2. CORRECTIONS RADIATIVES VIRTUELLES 23

2.1. Correction du propagateur photonique. A transfert d’impulsionnulle, la constante de structure fine α(0) est l’une des mesures les plus pré-cises en physique :

α−1(0) = 137.03599976(50) (2.20)

Lorsque le transfert d’impulsion q augmente, le photon peut fluctuer enune paire virtuelle de particules chargées, comme le montre la figure 4a. Apetit transfert d’impulsion, seule une fluctuation en une paire d’électrons estpossible, mais lorsque q augmente, des fluctuations en de nouvelles particulessont possibles. Les corrections de la section efficace peuvent être absorbéesdans la constante α qui devient une fonction de q2 :

α(q2) =α(0)

1−∆α(q2)(2.21)

On parle alors de “running constant”, que nous nommerons constante àévolution. L’effet de ces fluctuations donne lieu à ce que l’on appelle la pola-risation du vide. En effet, de manière classique, α peut être relié à la chargede l’électron (ge =

√4πα). C’est ainsi qu’une variation de α correspond à une

variation de la charge effective de l’électron. Un peu comme si le vide se pola-risait pour modifier le champ électromagnétique produit par cette charge.

La correction ∆α peut être séparée en un terme leptonique et un termehadronique :

∆α(q2) = ∆αl (q2)+ ∆αh(q2) (2.22)

La partie leptonique peut être calculée de manière perturbative[3] :

∆αl (q2) =α3π ∑

l=e,µ,τ

[ln

∣∣q2∣∣

m2l

−5/3

]∆αl (q2 = m2

Z)∼= 0.03142

(2.23)

La partie hadronique est plus difficile à obtenir à cause de la présenced’effets non-perturbatifs de la force forte. Néanmoins, elle peut être obtenuepar une relation de dispersion en utilisant la réaction e+e−→ hadrons(γ). Dansla région où

∣∣q2∣∣> 9 GeV2, on peut approximer la correction par[4] :

∆αh(q2) = A+B ln(1+C

∣∣q2∣∣) (2.24)

avec A = 0.00165, B = 0.003et C = 1.0 GeV−1.On remarque que dans les deux cas, la correction dépend de

∣∣q2∣∣. Ainsi, que

se soit dans le canal s, où q2 = s> 0, ou le canal t, où q2 = t < 0, la correction dene dépendra que d’une variable positive (s ou |t|).

La table 3 donne des valeurs de α−1(s) et ∆α(s) pour des énergies dans lecentre de masse significatives.

La figure 5 montre la valeur de α−1 en fonction de√|q2|.


s= q2 (91.187 GeV)2 (189 GeV)2 (198 GeV)2 (210 GeV)2

∆α(s) (%) 6.00 6.77 6.82 6.88

α−1(s) 128.81 127.75 127.69 127.60

TAB. 3 – Variation de la constante de structure fine α(q2).

Ce tableau donne les valeurs de la variation ∆α ainsi que les valeurs de α−1 pour quelques√

s

significatives. On peut observer un effet de l’ordre de 6% pour les énergies du LEP. Néanmoins,la variation ∆α sur la gamme d’énergie sur laquelle se base cette thèse n’est pas très grande. Onpasse de ∆α = 6.77%à ∆α = 6.88%. C’est pour cela que nous allons utiliser une autre approchequi consiste à utiliser aussi la voie t. En effet, comme t =− s

2 (1−cosθ), en prenant q2 = t nouspouvons accéder à une plus grande gamme de transfert d’impulsion q.

2.2. Correction du propagateur du boson Z. Le même effet peut seproduire sur le boson Z. Néanmoins, il est important de noter que l’échelled’énergie du processus dans le cas du photon est la masse de l’électron. Lesénergies de collision au LEP étant beaucoup plus grandes que la masse del’électron nous pouvons nous attendre à un effet significatif. Dans le cas duboson Z, l’échelle est sa propre masse. Or, comme l’énergie de collision est dumême ordre de grandeur que la masse du boson Z, l’effet devient négligeable.Les calculs de renormalisation donnent[3, 5] :

αZ =GF m2

Z

8√

2πρ(q)∼=

ρ(q)366.47

(2.25)

avec GF la constante de Fermi, et ρ(q) un paramètre provenant de la renor-malisation où[5] :

ρ(q) = 1+ ∆ρ(q)

∆ρ(q)∼=3GF

8π2√

2m2

t∼= 0.0100

(2.26)

Ainsi, comme pour les transferts d’impulsion typique au LEP, ρ est uneconstante, il s’en suit que αZ est aussi une constante. Et donc, nous admet-trons qu’au LEP :

αZ(q)≡ αZ (2.27)

2.3. Correction du vertex. Une autre correction virtuelle provient ducas où un photon virtuel est échangé entre l’électron et le positron (figure 4b).

Toutes ces corrections sont prises en compte lors des calculs de renorma-lisation. Elles donnent lieu à de nouvelles définitions de certaines constantes

2. CORRECTIONS RADIATIVES VIRTUELLES 25

électrofaibles[5] :

ΓZ→ ΓZ(s) =s

m2Z

ΓZ

rV → rV = 1−4 sin2θW

sin2θW→ sin2θW = sin2θW +cos2θW ∆ρ

(2.28)

Ces calculs montrent que seule la largeur de la résonance du boson Z estfonction de

√s.

En tenant compte de ces changements, nous obtenons l’approximation dela section efficace de Born améliorée (IB pour Improve Born approximation).Notons que dans cette approximation, la largeur du boson Z dans son propa-gateur de la voie t a été mise à zéro. L’effet de cette largeur est négligeabledans ce canal, et cela simplifie sensiblement les équations. La forme de lasection efficace que nous utiliserons pour l’analyse est :

dσIB

dΩ

∣∣∣∣γsγs

=14s

α(s)2 (1+cos2θ)

dσIB

dΩ

∣∣∣∣γtγt

=12s

α(t)2 (1+cosθ)2 +4

(1−cosθ)2

dσIB

dΩ

∣∣∣∣γsγt

=−12s

α(s)α(t)(1+cosθ)2

1−cosθ

dσIB

dΩ

∣∣∣∣ZsZs

=14

sα2Z(

s−m2Z

)2 + s2

m2ZΓ2

Z

(1+ rV

2)2(1+cos2θ)

+8rV2cosθ

dσIB

dΩ

∣∣∣∣ZtZt

=18

sα2Z(

t−m2Z

)2[(1+ rV2)2 +4rV

2]

(1+cosθ)2 +4(1− rV

2)2dσIB

dΩ

∣∣∣∣ZsZt

=14

s(s−m2

Z

)α2

Z[(s−m2

Z

)2 + s2

m2ZΓ2

Z

](t−m2

Z

) [(1+ rV2)2 +4rV

2]

(1+cosθ)2

dσIB

dΩ

∣∣∣∣γsZs

=12

(s−m2

Z

)α(s)αZ(

s−m2Z

)2 + s2

m2ZΓ2

Z

rV

2(1+cos2θ)

+2cosθ

dσIB

dΩ

∣∣∣∣γsZt

=14

α(s)αZ

t−m2Z

(1+ rV

2)(1+cosθ)2

dσIB

dΩ

∣∣∣∣γtZs

=−12

(s−m2

Z

)α(t)αZ(

s−m2Z

)2 + s2

m2ZΓ2

Z

(1+ rV

2) (1+cosθ)2

1−cosθ

dσIB

dΩ

∣∣∣∣γtZt

=−12

α(t)αZ

t−m2Z

11−cosθ

(1+ rV

2) (1+cosθ)2−4(1− rV

2)

(2.29)


Cette forme est compatible avec l’article[3], mise à part un carré man-quant dans l’expression de dσIB

dΩ

∣∣∣ZsZs

qui provient apparemment d’une coquille

dans l’article. Il est important de noter qu’à part quelques modifications esthé-tiques, tous les calculs ont été effectués automatiquement par Mathematica.

124

126

128

130

132

134

136

138

1 10 102

103

q

1/α(

q)

GeV

α-1(q=0) = 137.0

α-1(q=mZ) = 128.8

FIG. 5 – Le variation de la constante de couplage électrofaible

Sur ce graphique, nous pouvons voir l’évolution de la constante de couplage électromagnétiqueα−1.

La figure 6 nous montre la section efficace de Born améliorée intégréeentre 44< θ< 136 en fonction de

√s. La ligne pointillée représente les termes

où seul intervient l’échange d’un photon. Elle correspond à une décroissanceen 1

s. Lorsque l’on y ajoute les termes dû à l’échange d’un boson Z seul, onobtient la ligne traitillée. On observe clairement le pôle du boson Z à

√s= mZ.

Finalement lorsque l’on rajoute les termes d’interférence entre le photon etle Z, on obtient la ligne continue. L’interférence destructive réduit sensible-ment la section efficace à

√s> mZ. La zone ombrée correspond aux énergies

sur lesquelles se base ce travail.La figure 7 donne le rapport entre la section efficace provenant de l’in-

terférence γ/Z et la section efficace de Born. Sa forme à√

s= mZ provoque ledéplacement du pôle. Cet effet est uniquement important pour les analyses à√

s∼mZ. Néanmoins, nous observons que l’effet de l’interférence se poursuitpour

√s>mZ.

2.4. Correction faible. Les diagrammes de boîtes électrofaibles tels quecelui de la figure 4c peuvent donner lieu à des corrections importantes. Né-anmoins, dans le cas de la diffusion Bhabha, leur comportement n’étant pas

3. RADIATIONS DANS L’ÉTAT INITIAL OU FINAL 27

10 2

10 3

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220√

s

σ(p

b)

γ

γ +Zγ +Z+γ /Z

FIG. 6 – Section Efficace de Born en fonction de√

s

Ce graphique illustre les sections efficaces au niveau d’arbre en fonction de√

s pour la régionangulaire 44 ≤ θ ≤ 136. La ligne pointillée correspond à la somme des termes de la sectionefficace où le photon est échangé. On observe une décroissance en 1/s. La ligne traitillée cor-respond à l’addition des termes dûs à l’échange d’un boson Z. La résonance due au boson Zapparaît à

√s = mZ. La ligne continue correspond à la somme de tous les termes. La région

ombrée représente le domaine d’énergies qui a été analysé dans cette thèse.

résonant, ces corrections contribuent pour moins de 0.2% à la section efficace.Ces corrections sont prises en compte dans les Monte Carlo.

3. Radiations dans l’état initial ou final

Les diagrammes de Feynman de la figure 8 représentent les corrections ra-diatives à l’ordre le plus bas : les radiations dans l’état initial et les radiationsdans l’état final.

L’émission de photons par une particule chargée est inversement propor-tionnelle à sa masse au carré. C’est pourquoi l’électron est particulièrementconcerné par cet effet. Les photons rayonnés sont essentiellement émis le longde la trajectoire de l’électron.

Dans le cas de la radiation dans l’état final, le seul changement concernel’énergie et l’angle des électrons sortants. On ne s’attend pas à de grands chan-gements, car les électrons et les photons rayonnés sont émis à grand angle etpeuvent être détectés facilement.

Dans le cas de radiation dans l’état initial, cela pose plus de problèmes.En effet, le photon étant essentiellement émis le long de l’axe du faisceau,il ne peut pas être observé. Il sera donc perdu pour l’analyse. De plus, la


-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

60 80 100 120 140 160 180 200 220√

s

σγ/Z / σtot

FIG. 7 – Interférence entre l’échange d’un photon et d’un boson Z.

Ce graphique montre le rapport entre la somme des termes venant de l’interférence γ/Z etla somme de tous les termes en fonction de

√s. Sa forme à la masse du Z donne lieu à un

déplacement du pic de la résonance. Au-delà de mZ, on observe une diminution de l’ordre de40%. qui se poursuit pour de grandes valeurs de

√s.

e+

e−

e+

e−

γ

q2=s,

a)

e+

e−

e+

e−

γq2=s

b)

FIG. 8 – Corrections radiatives dans l’état initial ou final

Ces diagrammes de Feynman représentent la radiation dans l’état initial (a) et dans l’étatfinal (b).

collision effective a lieu à une énergie√

s′ ≤√

s. La section efficace finale estdonc une convolution de la fonction de radiation avec la section efficace sansrayonnement initial à toutes les énergies inférieures[6] :

σ(s) = σ0(s) (1−zmax)βe (1+ δe)+

∫ zmax

zmin

σ0(zs)G(z)dz (2.30)

avec G(z) le radiateur provenant du rayonnement, les variables z= s′s , zmin et

zmax les limites cinématiques pour une radiation de photon, et les fonctions βe

4. MONTE CARLO BHWIDE 29

et δe :

βe =2απ

[ln

(s

me

)−1

]δe =

3βe

4+

2απ

(π2

6− 1

4

) (2.31)

Une approximation du radiateur G(z) donne[6] :

G(z) = βe

1

1−z

[1+ βe ln(1−z)

][1+ δe

]− 1+z

2

(2.32)

10-1

1

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1z

G(z

)

FIG. 9 – Radiateur G(z) à√

s= 198 GeV

On observe que cette distribution est piquée à z→ 1. Comme z= s′/s, z∼ 1 correspond aux casoù peu d’énergie a été rayonnée, laissant le système quasiment dans l’état où il était avant laradiation.

Pour des énergies√

s>mZ cela donne un effet intéressant que l’on appelle“retour au Z”. La section efficace σ0(s′) ayant un pôle à mZ, ce pôle contribuede manière relativement importante à la section efficace totale.

La figure 10 montre l’effet du retour au Z tel qu’il est estimé par le MonteCarlo Bhabha BHWIDE. On observe clairement un gibbosité à une acolinéa-rité1 ξ∼ 70 et une énergie

√s′ = mZ.

4. Monte Carlo BHWIDE

Pour l’analyse, nous avons besoin d’estimer la distribution angulaire desévénements Bhabha diffusés. Pour cela, nous utilisons un Monte Carlo quigénère des événements et calcule la section efficace correspondant à tous cesévénements. Le Monte Carlo utilisé est BHWIDE 1.03[7].

Voici ses caractéristiques données par l’un de ses auteurs[8] :

1L’acolinéarité est l’angle entre l’électron et le positron sortants.


1

10

10 2

10 3

10 4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180ξ

Nom

bre

d’év

énem

ents

(o)

1

10

10 2

10 3

10 4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180√s’

Nom

bre

d’év

énem

ents

(GeV)

FIG. 10 – Retour au Z

Ces histogrammes remplis par une simulation Monte Carlo BHWIDE à√

s = 189 GeVmontrent la distribution de l’acolinéarité ξ et de l’énergie effective

√s′. On observe clairement

une augmentation du signal à√

s′ = mZ et à ξ∼ 75 due à l’effet du “retour au Z”.

BHWIDE is based on the YFS exclusive exponentiation proce-dure2, where all the IR singularities are summed-up to infiniteorder and cancelled out properly in the so-called YFS form factor.The remaining non-IR residuals, β(l)

n , corresponding to the emis-sion of n-real photons, are calculated perturbatively up to a givenorder l , where l ≥ n, and (l − n) is a number of loops in the β(l)

n

calculation. In BHWIDE an arbitrary number n of real photonswith non-zero pT are generated according to the YFS MC methodof Ref3. The non-IR residuals β(l)

n are calculated up to O(α), i.e.β(1)

0 and β(1)1 corresponding to zero-real (one-loop) and one-real

(zero-loop) photons, respectively, are included. In β(1)0 we imple-

mented two libraries of the O(α) virtual EW corrections : (1) the2D.R.Yennie, S.Frautschi and H.Suura, Ann. Phys. (NY) 13 (1961) 379.3S.Jadach, E.Richter-Was, B.F.L. Ward and Z.Was, Comput. Phys. Commun. 70 (1992)

305.


older one of Ref4, which is not up to date but can be useful forsome tests, and (2) the more recent one of Ref5. When the genuineweak corrections are switched off (or numerically negligible) theyare equivalent. In β(1)

0 we implemented two independent matrixelements for single-hard-photon radiation : (1) our calculation6

in terms of helicity amplitudes, and (2) the formula of CALKUL7

for the squared matrix element. We have checked that the abovetwo representations agree numerically up to at least 6 digits onanevent-by-event basis. This constitutes a very important techni-cal cross-check of the implementation of the hard-photon matrixelement in BHWIDE.

The MC algorithm of BHWIDE is based on the algorithm ofthe program BHLUMI for SABH8 with a few important modifi-cations : (1) QED interferences between the electron and positronlines ("up-down" interferences) had to be reintroduced as they areimportant in LABH9 ; (2) the full YFS form factor for the 2 → 2process, including all s−, t− and u−channels, was implemented ;(3) the exact O(α) matrix element for the full BHABHA processwas included. The multiphoton radiation is generated at the low-level MC stage as for the t−channel process, while the s−channelas well as all interferences are reintroduced through appropriateMC weights. This means that the program is more efficient whenthe t−channel contribution is dominant, as e.g. at LEP2 ener-gies ;however, it proved to work well also at the Z peak.

On notera que BHWIDE est capable de simuler un nombre arbitraire dephotons radiatifs, que la renormalisation du processus est effectuée par uneprocédure d’exponentiation YFS exclusive, que les termes β(l)

n responsablesde la radiation de n photons sont calculés à l’ordre O(α), et que le terme β(1)

0

contient aussi des corrections virtuelles électrofaibles à l’ordre O(α).

4.1. Fonction de radiation. Pour finir ce chapitre, nous allons comparerla prédiction de BHWIDE à la formule analytique de la section efficace deBorn améliorée. La différence provient de la radiation dans l’état initial et

4M.Böhm, A.Denner and W.Hollik, Nucl. Phys. B304 (1988) 6875W.Beenakker et al., Nucl. Phys. B349 (1991) 323.6S.Jadach, W.Placzek and B.F.L. Ward, Phys. Lett. B390 (1997) 298.7F.A.Berends et al., Nucl. Phys. B206 (1982) 61.8Small Angle BHabha scattering9Large Angle BHabha scattering


final. En effet, nous avons :dσ

dcosθ(e+e−→ e+e−(γ)

)= Frad ·

dσdcosθ

(e+e−→ e+e−

)(2.33)

Dans le Monte Carlo BHWIDE, les événements sont générés avec radia-tion, et donc les deux électrons ne se trouvent plus (ou presque plus) dos-à-dos. Pour extraire la fonction de radiation, il convient alors de considérerun échantillon d’événements sélectionnés au moyen de l’acolinéarité ξ entrel’électron et le positron.

1

10

10 2

10 3

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8cosθ

dσ/d

cos

θ(p

b)

ξ < 10oξ < 25oξ < 120o

IB

√

s = 189 GeV10o < θ < 170o

a)

0.60.8

11.21.41.61.8

2

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8cosθ

dσ(B

HW

IDE

) / d

σ(IB

)

ξ < 10oξ < 25oξ < 120ob)

FIG. 11 – Comparaison BHWIDE et Born améliorée

La prédiction de la section efficace différentielle de Born améliorée à√

s= 189 GeVest comparéeà la prédiction du Monte Carlo BHWIDE pour trois coupures en acolinéarité : 120 (triangle),25 (carré) et 10 (point). On passe clairement d’un rapport > 1 pour ξ< 120 à un rapport < 1

pour ξ< 10.

Sur la figure 11a) se trouve la section efficace différentielle pour troiséchantillons (ξ< 120, ξ< 25et ξ< 10), ainsi que pour la section efficace deBorn améliorée. Sur la figure 11b) se trouve le rapport des sections efficacesdes trois échantillons et la section efficace de Born améliorée. On observe clai-rement que pour obtenir la section efficace avec radiation où ξ < 120, il fautaugmenter la section efficace de Born améliorée de l’ordre de +40%. Pour une


section efficace où ξ< 120, cette correction est de l’ordre de −10%. Dans le casde l’échantillon où ξ< 25, la correction est légèrement négative, sauf pour lesgrandes valeurs de cosθ.

Pour l’interprétation des résultats au chapitre VI, nous aurons besoin dela fonction de radiation à ξ < 25. Pour l’extraire, nous allons utiliser les pré-dictions BHWIDE et la section efficace de Born améliorée :

Frad (cosθ) =dσBHWIDE

dcosθ(cosθ)

/dσIB

dcosθ(cosθ) (2.34)

Pour estimer cette fonction, des Monte Carlo simulés à 14 énergies√

s

allant de 186.6 GeV à 208.6 GeV ont été utilisés. La figure 12 donne pourchaque bin en cosθ la moyenne et son erreur standard des 14 rapports desections efficaces.

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8cos θ

dσ[

e+ e- → e

+ e- (γ)]

/ d

σ[e+ e- →

e+ e- ]

σBHWIDE / σIBFonction de rayonement

FIG. 12 – Fonction de radiation à ξ< 25.

Rapport de la section efficace différentielle prédite par le Monte Carlo BHWIDE et la sectionefficace différentielle de Born améliorée. Ce rapport mesure ce que nous allons appeler la fonc-tion de radiation.

En ajustant un polynôme du 3e ordre à ces mesures, nous pouvons estimerla fonction de radiation :

Frad (cosθ) = a1 +a2 cosθ +a3 cos2θ +a4 cos3θ (2.35)

avec a1=0.933, a2=0.040, a3=0.094 et a4= -0.030. On remarque que nous n’avonspas retenu une dépendance en

√s. Nous verrons par la suite que cette dépen-

dance semble être négligeable par rapport aux erreurs statistiques des MonteCarlo. En effet, sur la figure 13, même sans cette dépendance, nous obtenons


une compatibilité statistique. Ceci peut être expliqué par le fait que nous al-lons travailler sur des énergies

√s relativement proches.

L’erreur systématique attribuée à cette fonction est l’erreur statistique desMonte Carlo utilisés pour extraire cette fonction. Cette erreur peut elle aussiêtre ajustée par un polynôme de 3e ordre avec les constantes b1=0.034, b2=-0.041, b3=-0.0042 et b4=0.011.

Finalement, nous obtenons la prédiction analytique IB− rad que nous uti-liserons pour l’interprétation des résultats :

dσIB−rad

dcosθ(s,cosθ) = Frad(cosθ) · dσIB

dcosθ(s,cosθ) (2.36)

Nous pouvons tester la validité de cette prédiction en la comparant à desMonte Carlo BHWIDE qui n’ont pas servi à extraire la fonction de radiation.La figure 13 donne la distribution des pulls :

pull =dσIB−raddcosθ −

dσBHWIDEdcosθ√

δ2BHWIDE+ δ2

IB−rad

(2.37)

On observe que la prédiction est compatible dans les marges d’erreur statis-tiques des Monte Carlo. Le χ2 vaut 503 pour 450 degré de liberté en prenantl’erreur statistique des Monte Carlo seulement et 470 en prenant l’erreur to-tale (statistique des Monte Carlo et erreur systématique de la fonction deradiation).

0

5

10

15

20

25

30

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

53.14 / 51

Constant 16.63 1.106

Mean -0.6979E-02 0.5077E-01

Sigma 0.9652 0.4601E-01

pull

FIG. 13 – Test de compatibilité entre BHWIDE et IB-rad

Distribution des pulls entre la prédiction BHWIDE et la fonction IB-rad qui est le produit dela section efficace différentielle de Born améliorée et la fonction de radiation. On observe unebonne compatibilité statistique.

CHAPITRE III

Le détecteur

L’expérience L3 se trouve sur le collisioneur LEP au CERN près de Ge-nève. Le LEP est un accélérateur circulaire de 26.7 km de circonférence. Leprogramme de physique du LEP a été divisé en deux phases : LEP I (1989-1995) et LEP II (1996-2000).

Durant LEP I, des balayages en énergie de collision autour de la masse duboson Z ont permis d’étudier de façon très approfondie cette particule.

Dès 1995, les améliorations du LEP ont permis d’obtenir chaque année desénergies de collision de plus en plus énergétiques allant jusqu’à 210 GeV. Cerecord a été enregistré dans les dernières secondes du LEP à 8h00 le jeudi 2novembre 2000. Les priorités du programme LEP II ont été l’étude du bosonW et la chasse au boson de Higgs.

La première section de ce chapitre décrit le complexe d’accélérateurs duCERN ainsi que le collisioneur LEP.

Dans la deuxième section, tous les détecteurs de l’expérience L3 sont dé-crits.

1. Le complexe d’accélérateurs du CERN

Un avantage du CERN par rapport à d’éventuels nouveaux sites d’expé-riences a toujours été la possibilité d’utiliser ses anciens accélérateurs au pro-fit des nouveaux. En effet, l’accélération des particules peut être comparée àcelle d’une voiture. De même qu’il est impossible de démarrer une voiture encinquième vitesse, il est impossible l’accélérer des particules au repos avecle LEP. C’est pourquoi il est nécessaire d’avoir un complexe d’accélérateursimbriqués les uns dans les autres. Les électrons du LEP ont passé parmi denombreux accélérateurs.

Tout d’abord un canon éjecte des électrons d’un filament chauffé. Ceux-cisont alors accélérés linéairement par le LIL (Linear Injector for LEP) jusqu’àune énergie de 200 MeV. Les électrons peuvent soit être accélérés jusqu’à 600MeV, puis envoyés dans l’EPA (Electron-Positron Accumulator), soit sur unecible de tungstène. Cette collision va produire des paires e+e−. Les e+ sont ac-célérés jusqu’à 600 MeV, puis envoyés dans l’EPA. Lorsqu’il y a suffisamment

35

36 III. LE DÉTECTEUR

FIG. 14 – Complexe d’accélérateurs au CERN

Ce schéma représente une partie du complexe d’accélérateurs du CERN. On peut y voir leLIL qui produit des électrons et des positrons de 600 MeV, l’accumulateur EPA qui sert de"salle d’attente" aux électrons avant leur grand voyage. Lorsque le LEP est vide, on accélère lesfaisceaux d’abords jusqu’à 3.5 GeV dans le PS, puis jusqu’à 20 GeV dans le SPS et enfin dansle LEP jusqu’à leur énergie voulue.

d’électrons et de positrons dans l’accumulateur, les paquets sont envoyés àl’accélérateur suivant, le PS.

Le PS (Proton Synchrotron) est de loin le plus vieil accélérateur toujoursen service du CERN, bien qu’il ne doit plus rester beaucoup de pièces d’origine.Il a été construit en 1959 et sa circonférence est de 630 m. Cette accélérateurpolyvalent permet d’accélérer non seulement des électrons, mais aussi desprotons et des ions.

Le PS accélère les électrons et les positrons à une énergie de 3.5 GeV.Cette énergie correspond à peu près à la limite où toute la puissance des cavi-tés accélératrices RF (Radio Frequence1) sert à compenser le bremsstrahlung(radiation de freinage) qui apparaît dès que l’on modifie la trajectoire d’une

1Le terme Radio Frequence vient du faite que pour accélérer des particules en utilisantdes plaques espacées de quelques centimètres, il faut utiliser une onde électromagnétiquedont la fréquence sur trouve dans la bande des fréquences radio.

2. L’EXPÉRIENCE L3 37

particule chargée. L’énergie perdue par un électron est :

W = 8.85×10−5 E4

ρMeV par tour (3.1)

où E est l’énergie de l’électron en GeV et ρ le rayon de courbure de l’accéléra-teur en kilomètre. Ainsi, à 3.5 GeV, les électrons perdent 132 keV par tour, ettoute (ou presque) la puissance RF utile du PS sert à compenser cette perted’énergie.

Pour doubler l’énergie des électrons, il faut soit utiliser 8 fois plus de puis-sance électrique, soit, en gardant la même puissance, doubler le rayon de l’ac-célérateur. Ainsi, lorsque l’on s’approche de cette limite technique au PS, lesfaisceaux sont envoyés dans le SPS.

Le SPS (Super Proton Synchrotron) a été construit en 1976. Il a une cir-conférence de 6.9 km. Cet accélérateur a permis la découverte des bosons degauge Z et W en 1983. Le SPS peut accélérer les électrons jusqu’à une énergiede 22 GeV. A cette énergie là, les électrons peuvent enfin entrer dans le LEP.

Le LEP est a été construit dans le but spécifique d’accélérer des électronset des positrons. Il mesure 26 659 m. Les faisceaux doivent voyager dans untube à vide, car tout gaz diminuerait leur intensité. L’utilisation de pompes àsublimation de titane et de 20 km de ruban de getter permettent de pousser levide jusqu’à 10−12 Torr, soit près de 10 fois meilleur que le vide qu’il y a entrela Terre et la Lune (10−11 Torr).

Les opérations du LEP ont commencé en 1989. Des cavités accélératricessupracondutrices installées à partir de 1996 ont permis de fournir 3 500 MVde tension accélératrice par tour et d’atteindre une énergie de faisceau de105 GeV à la fin du programme. Chaque faisceau est composé de quatre pa-quets et correspond à un courant d’environ 6.5 mA. La luminosité instantanéemaximale a été de l’ordre de 100×1030 cm−2s−1.

Quatre expériences se trouvent sur le LEP : ALEPH, DELPHI, OPAL etL3. Nous allons maintenant décrire l’expérience L3, sur laquelle se base cettethèse.

2. L’expérience L3

2.1. L’aimant. Une des particularités de l’expérience L3 est d’avoir un ai-mant externe qui plonge tous ses sous-détecteurs dans un champ magnétiquerelativement uniforme, parallèle aux faisceaux, de 0.5 T, soit près de 2’000fois le champ magnétique terrestre moyen. L’aimant a la forme d’un cylindreoctogonale couché et mesure 11.9 m de long pour un diamètre de 13.6 m. Son


diamètre interne est de 5.9 m. L’aimant est composé de 168 spires d’alumi-nium pesant 1’120 tonnes. Le retour du flux magnétique est assuré grâce à5’600 tonnes de fer. Le tout est soutenu par une structure en acier de 1’100tonnes. Chaque extrémité de l’aimant est fermée par 2 portes de 340 tonnes.La figure 15 nous montre une coupe de l’aimant à l’intérieur de la caverne. Lapuissance électrique dissipée dans l’aimant est de 4 MW.

FIG. 15 – Coupe de l’expérience dans sa caverne

A cette échelle, on observe essentiellement l’aimant et les chambres à fils du détecteur de muons.

2.2. Les calorimètres. On mesure l’énergie des particules provenant dela collision e+e− en les arrêtant complètement dans des calorimètres. Unepartie de l’énergie perdue par ces particules donne lieu à des effets physiquesdirectement observables, ce qui permet une mesure de leur énergie. Un calori-mètre électromagnétique (le BGO) permet de mesure l’énergie des particulesélectromagnétiques, alors qu’un calorimètre hadronique (le HCAL) mesurel’énergie des hadrons. La granulation de la mesure de l’énergie permet aussiune mesure de la position du dépôt d’énergie et ainsi la mesure de la directionde la particule en supposant que celle-ci vienne du point d’interaction e+e−.

2.2.1. Le calorimètre électromagnétique - BGO. Ce détecteur est constituéd’un barrel (tonneau) et de deux endcaps (bouchons). Il est composé de 10’734


Dét

ecte

urC

ouve

rtur

ePo

lair

eR

ésol

utio

nÉ

nerg

ie/I

mpu

lsio

nA

ngle

Azi

mut

alA

ngle

Pola

ire

SMD

+TE

C25−

155

(90.

6%)

δpT

p T=

1.5%

0.6

mra

d3.

4m

rad

10.5−

36.7

(9.1

%),

BG

O42.3−

137.

7(7

4.0%

),δE E

=10

%√

E3.

6m

rad

3.8

mra

d

143.

3−

169.

5(9.1

%)

HC

AL

5.5−

174.

5(9

9.5%

)δE E

=55

%√

E+

5%44

mra

d

MU

CH

36−

144

(80.

9%)

δpT

p T=

2%-

TA

B.4

–Pa

ram

ètre

sde

sdé

tect

eurs

deL

3

Ce

tabl

eau

résu

me

les

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mèt

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ls’

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luti

onde

sm

esur

esde

l’éne

rgie

oude

laqu

anti

téde

mou

vem

ente

tdes

angl

es.


Hadron Calorimeter Barrel

Hadron Calorimeter Endcaps

Luminosity Monitor

FTC

BGO

BGO

SMD

HC1

HC3 HC2 Z chamber

TEC

Active lead rings

SLUM

RB24

FIG. 16 – Détecteur internes de L3

Ce deuxième schéma du détecteur montre mieux les détecteurs internes. On y trouve le calori-mètre hadronique (HCAL) et électromagnétique (BGO), les composantes du traceur (le SMD,la TEC et les chambres Z de la TEC) et les détecteurs de mesure de la luminosité (SLUM etLUMI)

Photodiode

To ADC

Xenon lamp fibersBGO crystal

Carbon fiber wall (0.2 mm)

2 cm

3 cm

24 cm

FIG. 17 – Un cristal du BGO

On observe les deux photodiodes qui collectent la lumière émise dans le cristal, ainsi que lesfibres optiques qui amènent la lumière de calibration du système Xénon.

cristaux de germanate de bismuth (Bi4Ge3O12, d’où son nom de BGO). Le bar-rel compte à lui seul 7’680 cristaux. L’avantage de ce matériau est qu’il consti-tue à la fois un milieu dense pour la formation de la gerbe électromagnétique(une avalanche d’électrons et de photons) et un scintillateur qui transformeune partie de l’énergie de cette gerbe en lumière qui peut être observée.


D’une densité élevée (7.13 g/cm3), il possède une courte longueur de radia-tion (1.12 cm) par rapport à la longueur des cristaux (24 cm). La longueur d’in-teraction nucléaire étant de 22 cm, les hadrons le traversent sans peine. Il estdonc nécessaire de prévoir un deuxième calorimètre pour mesurer leur éner-gie. Le BGO a un temps de réponse court (300 ns), mais malheureusement ilsupporte mal les variations de température (1.55% de lumière en moins parC en plus). Afin de minimiser les corrections à appliquer aux données pourcompenser cet effet, le BGO a été doté d’un système de refroidissement qui lestabilise à ± 0.2C.

Au vu de l’espace réduit disponible et du champ magnétique ambiant de0.5 T, l’utilisation de photodiodes a été choisie pour collecter la lumière pro-venant des cristaux de BGO comme le montre la figure 17. Chaque cristal estéquipé de 2 photodiodes qui ont une efficacité quantique de 70%. Les photonspeuvent être détectés lorsqu’ils produisent une paire électron-trou. 1 MeV dé-posé dans le BGO correspond à un signal électrique d’environ 0.2 fC (environ1200 électron). Ce signal est immédiatement amplifié à la sortie des photo-diodes par un préamplificateur. Le signal est ensuite sorti du détecteur pourêtre à nouveau amplifié et converti en valeurs numériques par des ADC (Ana-log to Digital Convertisor). Ceux-ci ont été conçus pour pouvoir convertir dessignaux sur une grande gamme dynamique (de 1 MeV à plus de 100 GeV).Ceci est rendu possible grâce à 6 comparateurs prenant chacun en charge unegamme d’énergie.

Nominalement, le calorimètre devait couvrir la plage angulaire 12< θ <168. La chambre centrale étant plus longue qu’initialement prévu lorsqueles endcaps ont été construits, ceux-ci ont dû être installés en retrait par rap-port au barrel. Il en résulte un espace de 5 entre le barrel et chaque endcapcomme le montre la figure 18. En définitive, le barrel couvre la région angu-laire 42.3< θ< 137.7, et les endcaps les régions angulaires 10.5< θ< 36.7

et 143.3< θ< 169.5. Ainsi, 92.1% de l’angle solide est couvert par le BGO.La résolution en énergie du BGO est de

δEE

=10%√

E(3.2)

La résolution angulaire est de 3.8 mrad pour la mesure de l’angle polaireet 3.6 mrad pour la mesure azimutale.

Les méthodes de calibration en énergie des cristaux est décrite dans lasection 3 de ce chapitre.

2.2.2. Le calorimètre hadronique - HCAL. Le calorimètre hadronique estlui aussi constitué d’un barrel et des deux endcaps. Le HCAL couvre la région


FIG. 18 – Espacement entre le barrel et les endcaps du BGO

Sur schéma se trouvent le barrel du BGO et un de ses bouchons (endcap). Des contraintes tech-niques ont rendu nécessaire le déplacement des bouchons de quelques centimètres. Il en résulteun trou de 5 et un déplacement du point de focalisation des axes directeurs des cristaux.

angulaire 5.5< θ < 174.5, soit 99.5% de l’angle solide. Un échantillonnagetrès fin de plaques d’absorbeur en uranium appauvri intercalées entre deschambres à fils proportionnelles permet la création de gerbes hadroniques etla mesure de leur énergie. La résolution en énergie pour des hadrons isolésest de :

δEE

=55%√

E⊕5% (3.3)

La segmentation du calorimètre permet une mesure de l’axe des jets avecune résolution angulaire d’environ 2.5.

Grâce aux 6 longueurs d’absorption nucléaire de tous les détecteurs in-ternes, seuls les neutrinos et les muons peuvent sortir du calorimètre hadro-nique. Les muons n’auront perdu qu’au maximum 2.5 GeV en passant lesdétecteurs internes.

2.3. Les détecteurs à traces. Les détecteurs à traces permettent de me-surer les points de passage des particules chargées. En reliant ces points depassage, on obtient la trajectoire des particules. Cette trajectoire nous per-met de calculer les angles d’émission des particules. Dans un champ magné-tique, les particules chargées ont une trajectoire incurvée. Ainsi, en mesurantla courbure de cette trajectoire, nous obtenons une mesure du produit de lacharge et de la quantité de mouvement. Comme nous n’allons considérer quedes charges ± 1, le signe de la courbure, c’est-à-dire son orientation, nous


8235

5425

4010

2530

BGOTEC

ø 35RFQ

Coil

Magnet Yoke

Muon Chambers

Muon Filter

Hadron Calorimeter

14 180 mm

Luminosity Monitore - e +

TEC

IP

45°

29°

L3 Inner Tracking System

FTC

Z Chamber

SMD SupportSMD Active Region

Proposed SMD

View of the SMD location in the L3 Experiment now with 5 cm beam pipe

FIG. 19 – Coupes des détecteurs à traces de L3

Ces deux schémas représentent le système de traceurs : les chambres à muon et le traceurinterne qui est composé du SMD et de la TEC. Le détecteur perpendiculaire FTC n’a servi quepour le système de triggers.

donne directement le signe de la charge. On peut obtenir la quantité de mou-vement transverse pT en connaissant le champ magnétique B du détecteur etla courbure ρ de la trajectoire :

pT [GeV/c] = 0.3B|ρ| [Tm] (3.4)

Les particules de charge nulle n’ionisant pas les gaz, elles donnent aucunsignal dans les détecteurs à trace.


Un détecteur au silicium et une chambre à gaz à expansion temporelle aucentre du détecteur permettent ces mesures pour toutes les particules char-gées. Des chambres à muons externes permettent aussi ces mesures pour lesmuons.

2.3.1. Le détecteur de vertex au silicium - SMD. Ce détecteur n’a été opé-rationnel qu’à partir de 1994. Ce type de détecteur a révolutionné la physiquedes particules en permettant de mesurer des positions avec une résolutiond’une dizaine de microns.

Le SMD est constitué de deux couches de douze échelles à microstrip. Lasurface total de ce détecteur est d’environ 0.2 m2. La couche interne à doublefaces donne une mesure dans le plan perpendiculaire au faisceau. La coucheexterne est tourné de 2 par rapport à l’axe du faisceau pour permettre unemesure stéréoscopique de la coordonnée Z.

La résolution sur la mesure d’un point de passage est de 7 µm en R-φ et15 µm en Z. En extrapolant ces points de passage, on peut obtenir la distanced’approche la plus courte (DCA), c’est-à-dire le point le plus proche du pointd’interaction. La résolution sur le DCA varie de 25 à 40 µm.

Le SMD n’est jamais utilisé seul pour mesurer la trajectoire d’une trace,mais toujours en conjonction avec une trace TEC.

FIG. 20 – Coupe représentant la TEC les chambres Z

Ce schéma représente la TEC sur le plan transverse au faisceaux d’électrons. La croix + repré-sente le point d’interaction. Le trait partant de ce point représente le passage d’une particulechargée. Son passage va ioniser le gaz de la TEC, et ces charges vont dériver vers les anodes.On peut voir que les modules intérieurs sont légèrement décalés par rapport aux modules ex-térieurs. Ceci permet de lever l’ambiguïté droite-gauche lors de la reconstruction.


2.3.2. La chambre à expansion temporelle - TEC. La chambre centrale estune chambre à dérive basée sur le principe de l’expansion temporelle de l’io-nisation induite dans le gaz par les particules chargées qui la traverse. Le gazest un mélange à 80% de gaz carbonique (CO2) et à 20% d’isobuthane (C4H10).Le gaz est maintenu à une pression de 2 atm, ce qui empêche les moléculesd’oxygène de l’air d’entrer dans la TEC. En effet, les molécules d’oxygène em-pêchent une bonne dérivée des charges en les absorbant. Après la décharge,d’isobuthane permet une bonne dissipation de l’énergie restante grâce à sesnombreux axes de rotation.

La TEC est constitué d’une partie interne et d’une partie externe, voir fi-gure 20. La partie interne est composé de 12 secteurs. Chaque secteur contient8 fils d’anodes pour ces mesures. La partie externe est composée de 24 sec-teurs à 54 fils d’anodes chacun. Les fils sont tendus parallèlement à l’axe dufaisceau. La longueur sensible de ce détecteur est de 982 mm.

Le temps de dérive des charges jusqu’à aux fils d’anode (6 µm/ns) permetl’extrapolation de la position médiane (appelé hit) de l’ionisation du gaz à la“hauteur” de chaque fil, conséquence du passage d’une particule. Vu la géomé-trie du détecteur, pour chaque hit, une ambiguïté gauche/droite est présente.Pour lever cette ambiguïté, l’information d’un autre détecteur est nécessaire(essentiellement le SMD et la partie interne de la TEC comme le montre lafigure 20).

Certains fils, dits de division de charges (2 fils dans chaque secteur interneet 9 dans chaque secteur externe), sont lus de chaque côté du détecteur. Ainsi,la comparaison des deux signaux permet la mesure de la coordonnée Z. Enoutre, 2 chambres proportionnelles cylindriques entourent la TEC. Ces cham-bres, dites Z, permettent de mesurer la coordonnée Z avec une résolution de320 µm.

La résolution en r−φ est de 58 µm pour la partie intérieur et de 49 µm pourla partie extérieur. La plage angulaire de la TEC s’étend de 25 à 155, soit90.6% de l’angle solide.

La résolution en quantité de mouvement des traces reconstruites par leSMD et la TEC est de :

δpp

= 1.5% (3.5)

A grand angle, la résolution de la mesure des angles est :

Angle polaire (θ) 3.4 mradAngle azimutal (φ) 0.6 mrad


2.3.3. Les chambres à muons - MUCH. La quantité de mouvement, lesangles de production, et la charge des muons sont mesurés grâce aux cham-bres à muons. Ce détecteur est formé de deux grandes roues octogonales de 86tonnes et de deux endcaps encastrés dans les portes de l’aimant. Trois plansde chambres à dérive permettent de mesurer la courbure des trajectoires dansle plan r−φ normal à l’axe des faisceaux avec une résolution de :

δpp

= 2% (3.6)

Des chambres supplémentaires permettent de mesurer la troisième coor-donnée z avec une résolution de 500 µm.

Les chambres à muons couvre la région angulaire 36< θ< 144, soit 80.9%

de l’angle solide.

2.4. Les scintillateurs. 30 scintillateurs plastiques sont placés entre leHCAL et le BGO. Leur couverture en angle polaire est de 34< θ < 146, soit82.9% de l’angle solide. Ce système permet la mesure du temps de vol desparticules avec une résolution temporelle de :

δt = 460 ps (3.7)

Ce détecteur sert essentiellement à rejeter les muons cosmiques. En effet,la différence de temps entre deux scintillateurs pour un muon cosmique quipasse près du point d’interaction est de 5.8 ns, alors que pour une paire demuons provenant de l’annihilation e+e− la différence est nulle.

2.5. La mesure de la luminosité - LUMI. Pour la mesure d’une sectionefficace, il est très important de connaître la luminosité des faisceaux. Pourestimer cette luminosité, il faut considérer un canal physique bien comprisd’un point de vue théorique et qui donne un nombre important d’événements.Le canal Bhabha qui correspond à ces deux critères a été choisi. En effet,à bas angle polaire, la section efficace est largement dominée par l’échanged’un photon dans la voie t dont le terme au premier ordre est proportionnelà (1−cosθ)−2. Pour estimer l’efficacité du système, deux chaînes de mesuresséparées sont utilisées : un calorimètre électromagnétique et un détecteur ausilicium.

Chaque calorimètre électromagnétique est finement segmenté en 304 cris-taux de BGO sur 8 anneaux. Il couvre la région polaire 24.9 mrad < θ <69.9 mrad ainsi que la région polaire symétrique opposée à la normale dufaisceau, soit 0.2% de l’angle solide.


2.6. Système de déclenchement. Le système de déclenchement (trig-ger) est le système qui décide s’il faut ou non enregistrer un événement.Comme il y a plus de 44’000 croisements de faisceaux par seconde au centredu détecteur L3, non seulement il était impossible à l’époque de la construc-tion d’enregistrer l’état du détecteur après chaque croisement, mais encore,dans la quasi totalité des croisements, aucune collision n’a eu lieu. C’est pour-quoi un ensemble de triggers décide à partir de règles simples si le croisementqui vient d’avoir lieu est un événement physique qui mérite d’être enregistréou un bruit de fond qu’il faut rejeter. Pour éliminer de la meilleur façon lesdivers bruits de fond et minimiser le temps mort du détecteur, trois niveauxde triggers de complexités croissantes sont utilisés.

2.6.1. Niveau 1. Le niveau 1 est le niveau le plus bas. Il doit fournir uneréponse en moins de 22 ns, temps après lequel deux nouveaux paquets secroisent dans le détecteur. Des règles simples, faisant appel à des informa-tions élémentaires qui peuvent être rapidement extraits du détecteur, sontutilisées pour tester si un événement intéressant vient d’avoir lieu ou non.

Le niveau 1 sert essentiellement à détecter un signal énergétique dans ledétecteur. Ce sera le travail des niveaux supérieurs de voir s’il s’agit d’un bruitde fond. Si la réponse du niveau 1 est négative, toutes les lectures du détecteursont stoppées et un reset global est effectué, ce qui permet à l’électroniqued’être prêt pour le prochain croisement.

Le taux de déclenchement du niveau 1 est de l’ordre de 15 à 20 Hz, soitune réduction de près d’un facteur 3000 de la fréquence de croisements defaisceau (44 kHz).

La combinaison des réponses de chaque trigger est effectué par un OUlogique. Ainsi, l’estimation des efficacités des triggers peut être obtenue enprenant le rapport entre le nombre d’événements sélectionnés par le trigger àtester et un trigger témoin par rapport au nombre d’événements sélectionnéspar le trigger témoin :

εA =N(A⊗B)

N(B)(3.8)

avec A le trigger à tester, B un trigger témoin, N le nombre d’événements et εA

l’efficacité du trigger A.2.6.2. Niveau 2. Le niveau 1 a permis essentiellement d’éliminer les évé-

nements vides, c’est-à-dire les croisements où aucune particule n’a été diffuséeou produite à grand angle, dans le détecteur. Le niveau 1 a donc flashé chaquefois que quelque chose c’est produit dans le détecteur. Malheureusement, il nes’agit pas toujours d’un événement physique intéressant, il s’agit parfois deprocessus physiques non voulus : fission d’un noyau d’uranium dans le HCAL,


muon cosmique, Natel ou tube néon non éteint à proximité du détecteur, ra-diation de freinage du faisceau, etc.

Le niveau 2 va donc permettre de vérifier si l’événement provient biend’une collision e+e−. Comme le détecteur a eu le temps de la prise de décisiondu niveau 1 pour lire plus d’information, le niveau 2 peut se baser sur desobjets plus élaborés. Le temps de décision est d’environ 500 µs.

Un cas spécial apparaît lorsque plus d’un trigger du niveau 1 a été déclen-ché. On admet que la probabilité qu’un bruit de fond déclenche deux triggersdu niveau 1 simultanément est suffisamment faible pour être négligée. C’estainsi, que si un événement a été déclenché par plus d’un trigger du niveau 1,on court-circuite le niveau 2 et on gagne ainsi un précieux temps de calcul.

Pour permettre l’estimation de l’efficacité du déclenchement du niveau 2,1 événement rejeté sur 20 est conservé (pre-scaling).

Le taux de déclenchement du niveau 2 est de l’ordre de 10 à 15 Hz, soitune réduction de 70% à 80% par rapport au niveau 1.

2.6.3. Niveau 3. Malheureusement, 10 Hz est encore trop élevé, et desévénements de bruit de fonds sont encore présents. Le niveau 3 ayant eu letemps qu’ont pris les décision des niveaux 1 et 2, il peut se baser sur les don-nées digitales complètes du détecteur. Il fait appel à plusieurs algorithmesd’analyse. Comme pour le niveau 2, les événements avec plus d’un déclenche-ment au niveau 1 sont acceptés automatiquement. La combinaison de tous lesalgorithmes résulte à un taux de déclenchement de 3 à 6 Hz, soit une réduc-tion de 40% à 60% par rapport au niveau 2.

Comme pour le niveau 2, un pre-scaling de 1/20 est appliqué.Si la décision du niveau 3 est positive, l’événement est transféré vers la

ferme d’analyse qui enregistre l’information sur disque dur pour être analyséet sur bandes magnétiques pour être sauvegardé. La taille moyenne d’un évé-nements est de 50 kb.

3. Calibration du BGO

Une partie de mon travail a consisté à utiliser le système Xénon pour ca-librer les cristaux du BGO et monitorer chaque cristal, jour par jour, pourétablir une liste des cristaux morts, et dans le cas d’un accident grave où lefaisceau abîmerait une partie du BGO, de pouvoir fournir des constantes decorrections.

3.1. Le système Xénon. Un système de lampes au Xénon et de fibres op-tiques permet d’envoyer dans les cristaux de BGO de la lumière comparableà celle produite par un électron de 1.5 GeV à 35 GeV. Nous pouvons simuler

3. CALIBRATION DU BGO 49

ce domaine d’énergie, c’est-à-dire ce domaine d’intensités lumineuses, grâce àun système de filtre. Nous pouvons ainsi monitorer l’efficacité de collection delumière produite dans le cristal et le gain de la chaîne électronique d’acquisi-tion. La figure 21 montre le schéma du système.

FIG. 21 – Schéma du système Xénon

Une lampe au Xénon produit un flash de lumière qui est conduit par des fibres optiques versles cristaux de BGO, des photomultiplicateurs (PM) de référence et vers des photodiodes (PD)de référence.

Les impulsions lumineuses sont produites par un ensemble de 16 lampespour le barrel et de 16 lampes pour les endcaps. De chaque lampe part un en-semble de fibres optiques primaires, qui est subdivisé au niveau du détecteuren fibres secondaires qui illuminent tous les cristaux. Des fibres supplémen-taires remontent au système d’acquisition pour servir de références. En effet,la lumière Xénon permet de monitorer la stabilité des cristaux, mais pour celail faut être sûr de la stabilité des lampes. C’est pourquoi cette production delumière est testée à son tour par un ensemble de photomultiplicateurs (PM)2 La stabilité des PM est à son tour monitorée par des sources radioactivesd’américium (241Am). Heureusement, la physique de cette désintégration estd’une parfaite stabilité en énergie (4.43 MeV) et nous n’avons donc nul besoinde monitorer la stabilité de l’énergie des photons émis par l’américium.

2J’entends par PM, l’ensemble du système PM et le cristal scintillant qui est monté surle PM.


Tout le système d’acquisition est contrôlé par un PC Amiga 2000 qui,notons-le, aura tenu jusqu’à la fin de l’expérience. Cet Amiga est probable-ment le seul à voir été en fonction jusqu’en l’an 2000.

Tous les jours, entre deux prises de données, un run Xénon a été effectuépar le shifter BGO. Ce run consiste à flasher 10 fois chaque lampe et ainsinous avons 10 mesures quotidiennes pour chaque cristal.

Dead Crystals Evolution

40

50

60

70

80

90

20 40 60 80 100 120 140 160Xenon Run Number

Nu

mb

er o

f D

ead

Cry

stal

s

All BGO

Barrel Only

FIG. 22 – Nombre de cristaux défini comme morts par le système Xénon

Nombre de cristaux mort dans le barrel seulement et dans tout le BGO en fonction du numérodu run Xénon. Les prises de données étant quotidiennes, ce graphique représente l’évolutiondu nombre de cristaux morts durant l’année 2000. Le taux de cristaux mort que ce soit dans lebarrel ou les endcaps est d’environ 0.7%.

3.2. Cristaux morts. Ces mesures permettent d’établir une première listede cristaux morts. La figure 22 montre le nombre de cristaux morts pour lebarrel et pour le BGO entier pour chaque run. On observe que dans le BGO 80cristaux sont morts en moyenne. La liste des cristaux morts est complétée parune analyse off-line de l’occupation de chaque cristal par des jets hadroniques.En effet, cette physique nous donne une irradiation azimutale uniforme et in-tense, ce qui permet en observant le nombre d’événements par cristal de voirceux qui réagissent mal.


3.3. Calibration. La calibration des cristaux se fait en joignant le moni-toring on-line du Xénon avec l’analyse off-line des Bhabha colinéaires, c’est-à-dire sans importante radiation initial ou final. Ainsi, l’énergie des électronsest, par conservation, celle du faisceau, et en observant la réponse du détec-teur, ceci permet la calibration des cristaux.

La face avant des cristaux mesure environ 2 cm sur 2 cm, alors que seule-ment 90% de la gerbe électromagnétique produite par un électron est contenudans un cercle de rayon RM = 2.4 cm.

Pour estimer l’énergie réel déposée dans le BGO, nous allons considérerles mesures de l’énergie déposée dans le cristal central3 (S1), et dans un carréde 3x3 cristaux (S9).

Des pertes d’énergie peuvent apparaître : le support du BGO en carboneabsorbe une partie de la gerbe et si l’énergie est importante la gerbe peutmême se propager au-delà des 24 cm du BGO. Ainsi, les variables brutes S1

et S9 sous-estiment l’énergie déposée. Cette perte dépend du point d’impactde la particule dans le cristal central. En effet, on peut s’attendre à ce qu’uneparticule qui touche un cristal en plein centre dépose plus d’énergie dans leBGO qu’une particule qui le touche entre deux cristaux.

Pour mesurer ce point d’impact, nous allons nous placer dans un systèmede référence angulaire se rapportant au cristal central :

x = (φ−φ0) r0 sinθ0

y = (θ−θ0) r0

(3.9)

avec (r0, θ0,φ0) la position central de la face avant du cristal, et (θ,φ) la positionangulaire du centre de masse de la gerbe électromagnétique.

La correction n’a pas besoin d’être bi-dimentionnelle. En effet, ce qui comptedans la perte d’énergie est la “proximité d’un bord”. Nous pourrions considérerla distance d :

d =(

xk +yk) 1

k (3.10)

avec k> 0. Mais il est intéressant de noter qu’une variable plus facile à ex-traire des données permet aussi de déterminer la proximité d’un bord : S1/S9.Cette variable a aussi l’avantage de ne pas nécessiter une base de données dela position de chaque cristal. La figure 23 montre la distribution de cette va-riable en fonction de x pour les cas où |y|< 3 mm. Vu la simplicité d’extractionde cette variable et sa très bonne bijection avec le point d’impact, nous allons

3Le cristal central est le cristal qui a été touché de plein fouet par la particule. C’est dansce cristal que la déposition d’énergie est la plus importante.


l’utiliser pour la correction de la perte d’énergie. Il est vrai que l’on introduitune ambiguïté “gauche/droite”, mais la symétrie du BGO nous le permet.

FIG. 23 – S1S9

en fonction du point d’impact x.

Corrélation entre le point d’entrée dans le cristal et la variable S1/S9. Ces événements ont unecoordonnée |y|< 3 mm. Cette variable décrit "la proximité d’un bord."

Tout comme pour la calibration, cette correction est obtenue grâce à desévénements Bhabha colinéaires. Une acolinéarité provient nécessairement dela radiation d’un ou plusieurs photons durs, d’où une perte d’énergie pour lesélectrons. Malheureusement, le fait que les deux électrons soient colinéairen’est pas une preuve de l’absence de radiation. En effet, il existe des cas raresde configurations cinématiques où les quantités de mouvement de deux pho-tons ou plus s’annulent et laissent les électrons colinéaires. La figure 24 mon-tre l’acolinéarité en fonction l’énergie brute moyenne des deux électrons nor-malisée par l’énergie du faisceau. On observe clairement une perte d’énergieen fonction de l’acolinéarité pour certains événements. Pour mesurer la cor-rection, nous n’allons utiliser que les événements dont l’acolinéarité est pluspetite que 1.

La mesure de S9Ebeam

en fonction de S1S9

nous permet d’extraire la correctionvoulue. La figure 25 nous montre que nous pouvons approximer cette dépen-dance de façon linéaire :

S9

Ebeam= β + α · S1

S9(3.11)


FIG. 24 – Acolinéarité entre les électrons.

Relation entre l’acolinéarité des deux électrons et la somme de leur énergie brute. A cause desradiations initiales ou finales, une partie de l’énergie peut être prise par les photons. Commenous voulons comprendre la perte d’énergie dans le BGO, il faut tenir compte de cette effet. Onobserve que cette effet peut être réduit en imposant une acolinéarité inférieure à 1.

L’énergie corrigée Scor9 est donc

Scor9 =

S9

β + α · S1S9

(3.12)

avec à priori un jeu d’α et et β pour chaque cristal.Nous ne pouvons pas directement utiliser la fonction (3.11) sur les distri-

butions pour extraire ces paramètres, car il faut tenir compte de la fonction derésolution du détecteur et de la fonction de la radiation restante des photons.Ces deux fonctions peuvent être approximées par la fonction Crystal Ball lineshape4 :

f (Em) =

H ·exp

(−(Et−Em)2

2σ2

)si Em> Et−aσ

H ·(

na

)n · exp−a22

(Et−Emσ + n

a−a)n si Em< Et−aσ(3.13)

avec

Et = β + α · S1

S9(3.14)

4Cette fonction a été développée par l’expérience Crystal Ball pour correspondre à laréponde de cristaux de NaI.


FIG. 25 – Fonction de correction

Corrélation entre l’énergie normalisée mesurée dans le BGO (S9/Ebeam) et la “mesure de proxi-mité d’un bord” S1/S9. On observe une dépendance linéaire convoluée par la fonction de réso-lution et la fonction de radiation.

Et est l’espérance de l’énergie normalisée (par l’énergie du faisceau) de la par-ticule, Em est la mesure de l’énergie normalisée et a est le nombre de σ endessous de Et où nous passons d’un mode Gaussien avec la résolution du dé-tecteur σ à un mode radiatif décrit par la variable n. Cette fonction décrit ad-mirablement bien la réponse en énergie du BGO, comme le montre la figure26.

Il est important de noter que bien que nous soyons en unité d’énergie nor-malisée, Et ne vaut pas 1, à cause de pertes d’énergie dans le détecteur. Ainsi,cette analyse permet non seulement d’obtenir la perte relative d’énergie enfonction du point d’impact, mais aussi la perte absolue du détecteur.


EBGO/E

beam - Données

1

10

10 2

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1

47.44 / 77H 479.5 12.61Et

0.9977 0.3408E-03σ 0.1021E-01 0.4219E-03n 1.949 0.1088a 0.9101 0.6372E-01

EBGO/E

beam - Monte Carlo

1

10

10 2

10 3

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1

81.51 / 82H 1187. 21.53Et

0.9995 0.2788E-03σ 0.1097E-01 0.9032E-03n 2.886 0.2227a 0.7936 0.1092

FIG. 26 – Énergie déposée dans le BGO et la fonction Crystal Ball line shape

L’énergie déposée dans le BGO normalisée par l’énergie du faisceau est comparée pour lesdonnées et le Monte Carlo à

√s = 196 GeV dans le barrel. Un fit de la fonction Crystal Ball

line shape montre que la résolution dans les deux cas est compatible et vaut environ 1%. L’offsetde 2o/oo est comparable à l’erreur sur l’énergie du faisceau qui est de 3o/oo.

CHAPITRE IV

La méthode d’analyse

1. Données et Simulations

Le travail de cette thèse porte sur les données accumulées par l’expérienceL3 de 1998 à 2000, ce qui correspond à des énergies dans le centre de masseallant de 189 GeV à 210 GeV. Les plages d’énergie considérées et leur lumino-sité sont données dans le tableau 5.

A chaque plage d’énergie, un ensemble complet de simulations du signalet du bruit de fond a été nécessaires. Ainsi, pas moins de 13 simulations decanaux de physiques différents pour 8 points d’énergie ont été nécessaire. Cecia demandé une grande rigueur de “book keeping”. Heureusement, un systèmede scripts semi-automatiques a grandement simplifié le travail, ce qui peutêtre apprécié en regardant la complexité de certains tableaux donnés dansl’annexe.

Énergie Inférieure Supérieure L

(GeV) (GeV) (GeV) (pb−1)

188.6 188.0 189.5 156.40191.6 190.0 192.5 29.7195.6 195.0 196.5 83.7199.5 198.5 200.5 83.5201.8 201.0 203.5 39.1205.2 203.5 205.8 75.9206.7 205.8 207.4 130.4208.2 207.4 210.0 8.7

TAB. 5 – Plages d’énergie et luminosité correspondante

57

58 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE

2. Sélection

Comparé à d’autres canaux, la diffusion Bhabha est aisée à sélectionner.En effet, un nombre réduit de coupures permet de sélectionner la quasi to-talité des événements Bhabha (environ 98% à grand angle1), en ne laissantpasser que peu de bruit de fond (environ 4% à grand angle).

Dans la description de cette analyse, un électron (en italique) désigneraune particule chargée donnant un signal électromagnétique dans le BGO. Ilpourra désigner soit un électron, soit un positron. Ainsi, par exemple, la dif-fusion Bhabha produit deux électrons, bien qu’il s’agisse en fait d’une paireélectron-positron.

Pour optimiser cette sélection, il faut tenir compte de son efficacité, dubruit de fond et des erreurs systématiques. Ces trois grandeurs sont dépen-dantes du jeu de coupures, ainsi que de la région angulaire considérée.

L’efficacité est la fraction d’événements sélectionnés par rapport au nombretotal d’événements :

ε =N(Bhabha|Bhabha)

N(−|Bhabha)(4.1)

avec N(X|Y), le nombre d’événements générés du type ’Y’ et sélectionnés commeétant du type ’X’. Le ’−’ indique “tous les canaux”, c’est-à-dire signal et bruitde fond.

Le bruit de fond est la fraction d’événements provenant du bruit de fondsélectionnés comme des Bhabha par rapport au nombre total d’événementssélectionnés :

b f =N(Bhabha|Bruit de f ond)

N(Bhabha|−)(4.2)

A la place du bruit de fond, nous pourrions considérer la pureté du signal,π, qui se trouve être 1−b f . En effet, il s’agit de la fraction d’événements sé-lectionnés comme des Bhabha et étant réellement des Bhabha par rapport aunombre total d’événements sélectionnés comme des Bhabha.

Pour optimiser la sélection sur deux critères (une grande efficacité et unpetit bruit de fond), il faut définir la fonction à optimiser. Nous allons maxi-miser la qualité Q, le produit géométrique de l’efficacité et de la pureté :

Q =√

επ =√

ε(1−b f) (4.3)

On voit en effet qu’en maximisant Q l’efficacité est maximisée et que lebruit de fond est minimisé.

1c’est-à-dire où l’électron et le position ont été produit entre 44et 136

2. SÉLECTION 59

Il est important de noter que le jeu de coupures ne doit pas seulementmaximiser la qualité Q, mais il doit aussi minimiser l’erreur totale qui com-prend l’erreur statistique et les erreurs systématiques. Certaines erreurs sys-tématiques dépendent de la sélection. Pour estimer ces erreurs, nous allonsles estimer grâce à la méthode de la variation des coupures de sélection.

2.1. Variation des coupures de sélection. Lors d’une sélection, les cou-pures sont très arbitraires. Rien n’empêche d’appliquer une coupure un peuplus ou un peu moins sévèrement. C’est pourquoi il faut s’assurer qu’une va-riation du jeu de coupure ne modifie pas la mesure finale plus que ne le per-mettent les fluctuations statistiques provenant du changement de sélection.

Pour mieux comprendre ce principe, nous allons considérer des mesuresm, obtenues par des coupures c sur la variable x. La coupure choisie c0 donneN0 événements dont la mesure est m0. Une autre coupure, disons plus lâche,ci donne Ni événements et une nouvelle mesure mi . m0 et mi sont deux esti-mateurs de la même observable. Ils sont corrélés, car l’échantillon donnantlieu à la mesure mi est composé de l’échantillon de m0 et de Ni −N0 événe-ments supplémentaires. Si la coupure ci avait été plus sévère que la coupurec0, nous aurions eu N0−Ni événement supplémentaire pour la mesure m0. Ladémonstration étant la même, nous allons rester dans le cas où Ni >N0. Ainsi,le passage de la coupure c0 à ci a induit Ni−N0 événements supplémentaires.L’erreur statistique du passage de m0 à mi n’est pas triviale. En effet, nous nesommes intéressés que par l’erreur venant de la variation statistique de lamesure m et pas de son erreur statistique totale.

Considérons le cas où Ni = N0 + A. C’est-à-dire, après avoir fait la mesurem0, nous ajoutons A événements. Quels sont les écarts statistiques maximauxpermis pour rester à une variation d’un écart type (1σ) ? En pondérant, lesdeux mesures extrêmes permises valent :

mi =N0

N0 +Am0 +

AN0 +A

(m0±

m0√A

)= m0

(N0 +A±

√A

N0 +A

)

= m0

(1±

√A

N0 +A

) (4.4)

Ainsi, toute mesure mi comprise dans l’intervalle[m0

(1−

√A

N0+A

);m0

(1+

√A

N0+A

)]peut être expliquée par une fluctuation statistique à moins d’un écart type.


La fluctuation statistique permise à 1σ est donc :

δ(mi)m0

=√

AN0 +A

(4.5)

En particulier, nous obtenons :

δ(mi)m0

= 0 si A = 0

δ(mi)m0

=1√A

si A>> 0(4.6)

Ce qui correspond à ce que l’on pouvait s’attendre dans les limites sansévénements additionnels et d’un nombre infini d’événements additionnels.

La procédure pour estimer l’erreur systématique due à une variation decoupures est :

(1) Définir le domaine sur lequel nous faisons varier la coupure c (ce quirestera toujours assez arbitraire).

(2) Calculer tous les mim0

et δ(mi)

(3) Trouver la coupure c j qui maximise :

mjm0−1

δ(mj)

(4) Calculer l’équilibre à 1σ pour la valeur de l’erreur systématique s :mjm0−1√

δ2(mj)+s2= 1 (4.7)

L’erreur systématique s augmente l’erreur statistique due aux fluctua-tions de telle sorte que la variation des mesures m reste compatible à 1σ.Ainsi, lorsque les erreurs statistiques sont grandes et que la variation simu-lation/donnée est petite, l’erreur systématique est négligeable.

Comme la probabilité d’une fluctuation statistique au delà de 1σ est de 13,

nous pouvons augmenter le 1 de la partie droite de l’équation (4.7) à 2, ou plus.Ceci aura pour effet de diminuer l’erreur systématique et aussi de réduire lerisque d’attribuer une erreur systématique à une fluctuation statistique.

L’avantage d’une telle méthode est la relative objectivité de l’estimationde l’erreur systématique pour toutes les coupures. En effet, l’usage veut queles erreurs systématiques soient établies en jugeant au nez la variation desmim0

avec les erreurs δ(mi). Ainsi, une coupure peut souffrir d’une plus forteestimation qu’une autre coupure. La méthode décrite ci-dessus, bien qu’encoreimparfaite, permet à chaque coupure d’être traité de façon égale.

2. SÉLECTION 61

2.2. Cinématique. Dans les processus e+e−→ X, le système le plus sim-ple que l’on peut avoir pour X est un système à 2 corps. En effet, il n’existepas de particule stable qui puisse être crée au repos par deux électrons. Ainsi,pour tous les canaux au LEP, aucune particule ne peut avoir une énergie su-périeure à Ebeam, l’énergie du faisceau. On s’attend ainsi, pour les événementsBhabha, à voir deux électrons très énergétiques.

A cause des radiations, les électrons peuvent perdre une partie de leurénergie en émettant des photons. De plus, des imperfections au niveau du dé-tecteur (essentiellement au bord des cristaux de BGO) peuvent entraîner unedétérioration importante du signal. Pour diminuer l’impact de ces problèmes,nous allons introduire une coupure asymétrique sur les énergies des deuxélectrons. Nous allons considérer l’énergie de l’électron le plus énergétique,E1, ainsi que l’énergie de l’autre électron, E2. Ainsi, nous pouvons conserverdes événements où l’un des deux électrons a perdu une grande partie de sonénergie, par exemple dans le support du BGO.

Comme il s’agit d’électron, la quasi totalité de leur énergie sera dépo-sée dans le calorimètre électromagnétique. Malheureusement, la productionde deux photons (e+e− → γγ), ainsi que la diffusion Compton (eγ(e)→ eγ(e))peuvent elles aussi laisser une énergie Ebeamdans le BGO. Il convient alors devérifier que nous avons bien deux particules chargées ayant laissé une tracedans la TEC.

En résumé, la sélection Bhabha revient à :– trouver au moins 2 signaux électromagnétique dans le BGO,– que le plus énergétique (E1) soit “assez” énergétique,– que le 2e plus énergétique (E2) soit “raisonnablement” énergétique,– et que la TEC ait enregistré un signal au passage des deux électrons.

La quantification du “assez” et “raisonnable” est décrit dans les paragraphessuivants.

Lorsque l’on regarde des électrons dans différentes régions angulaires, lerapport du signal par rapport au bruit de fond et la géométrie du détecteurfont que la sélection optimal Bhabha doit être différente. En effet, le canal t

de la diffusion Bhabha fait qu’à bas angle, il ne reste presque plus de bruitde fond. Heureusement, car à bas angle, la TEC n’a plus suffisamment de filspour différencier un électron d’un photon.

2.3. Bruit de fond. Il existe quelques canaux physiques qui peuvent en-core détériorer la pureté de la sélection. Le tableau 6 donne les nombres d’évé-nements attendus pour 3 énergies représentatives.


Ebeam 189 GeV 196 GeV 206 GeVGénérateur Monte-CarloL(pb−1) 156.4 83.7 130.4

e+e−→ τ+τ−(γ) 126.0 60.0 86.2 KORALZ 4.04e+e−→W+W− 17.5 9.7 14.7 KORALW 1.513e+e−→ hadrons(γ) 8.2 4.8 4.7 PYTHIA 5.722e+e−→ Ze+e− 5.8 3.3 4.7 PYTHIA 5.722e+e−→ (e+e−)e+e− 8.0 2.6 2.8 DIAG36 2.06/01e+e−→ eγ(e) 3.3 1.1 2.1 TEEGG 7.1/00e+e−→ ZZ 1.6 1.0 1.6 PYTHIA 5.722e+e−→ (e+e−)τ+τ− 1.4 0.5 0.7 DIAG36 2.06/01e+e−→ γγ(γ) 0.5 0.2 0.4 GGG 2.03/01e+e−→ µ+µ−(γ) 0.1 - 0.3 KORALZ 4.04e+e−→ (e+e−)µ+µ− 1.8 0.1 - DIAG36 2.06/01e+e−→ (e+e−)qq - - - DIAG36 2.06/01e+e−→ e+e−(γ) 3795.6 1856.9 2470.4 BHWIDE 1.03/01

TAB. 6 – Nombre attendu d’événements pour quelques énergies

Nombre attendu d’événements de tous les canaux de physiques considérés. Sont aussi présentésles différents générateurs de physique ainsi que leur version utilisée en 2001.

Le bruit de fond le plus important est la production d’une paire de τ (e+e−→τ+τ−(γ)). En effet, dans le cas où les τ se désintègrent en électrons, il estpresque impossible de différencier l’événement d’une vraie diffusion Bhabha.Comme ces événements τ sont obligatoirement accompagnés de neutrino quiemportent une partie de l’énergie et de la quantité de mouvement, ces événe-ments sont acoplanaires et de plus faible énergie que les Bhabha.

Le deuxième canal le plus important est la production d’une paire de bosonW. Lorsque un W se désintègre en électron, W→ eν, ils peuvent ressembler àdes Bhabha radiatifs.

Le reste des canaux est donné à titre indicatif. On en tient compte dans lesmesures, mais ils n’ont pas l’importance des deux premiers canaux.

2.4. Sélection dans le barrel. A grand angle (θ> 44), dans le barrel, lasélection des événements se fait en demandant que l’électron le plus énergé-tique ait au moins 50%de l’énergie du faisceau, que le 2e électron ait au moins20 GeV, que les deux électrons aient touché au moins 20%des fils possibles dela TEC. Le tableau 7 reprend toutes ces coupures.

Les figures 27 et 28 montrent l’effet des coupures. Les graphiques étant lo-garithmiques, on remarque qu’il ne reste presque plus de bruit de fond. Il est

2. SÉLECTION 63

“Barrel” “Endcap”

θ ∈ [44;136] ∈ [12;44[∪ ]136;168]E1/Ebeam ≥ 50 % ≥ 40 %

E2 ≥ 20 GeV ≥ 10 GeVRhits ≥ 20 % ≥ 20 %∗

TAB. 7 – Coupures pour l’analyse

Coupures pour l’analyse dans le Barrel et dans le Barrel et Endcaps. ∗La coupure sur le rapportRhits n’est effectuée que lorsque l’angle polaire se situe entre 20 et 160.

intéressant de noter que sont cumulées sur ces graphiques toutes les donnéesà partir de

√s> 189 GeV, ainsi que leurs simulations. Le fait que les simula-

tions représentent bien les données sur toutes ces énergies est remarquable.

2.5. Sélection dans les Endcaps. Penchons nous maintenant sur l’ana-lyse des Bhabha en dessous de 44. La contribution du canal t de la diffusionfait en sorte que la pureté du signal augmente à plus bas angle. En effet, le si-gnal augmente en (1−cosθ)−2 pour θ→ 0, alors que le bruit de fond reste plusou moins constant. Ainsi, le rapport signal sur bruit de fonds étant changé,on peut s’attendre à ce que le jeu de coupures optimales soit différent à celuiutilisé dans le Barrel.

Ainsi, si l’on veut optimiser la sélection, il convient de modifier les cou-pures.

La sélection des événements se fait en demandant que l’électron le plusénergétique ait au moins 40% de l’énergie du faisceau, que le 2e électron aitau moins 10 GeV, que les deux électrons aillent touché au moins 20% des filspossible de la TEC s’ils ont été produits au-dessus de 20. Le tableau 7 reprendtoutes ces coupures.

Les figures 29 et 30 montrent pour chaque variable l’effet des coupures. Ils’agit de graphiques en N−1, c’est la distribution des événements où toutesles coupures ont été effectuées, sauf celle que l’on utilise dans la distribution.Les graphiques étant logarithmique, on remarque qu’il ne reste presque plusde bruit de fond.

Lorsque l’on travaille avec les endcaps, un soin tout particulier doit êtreapporté au traitement du trou entre le barrel et chaque endcap. Bien qu’undétecteur ait été ajouter, le spacal, son utilisation n’a pas été envisagée. Eneffet, l’utilisation oblige de définir 5 zones d’analyse : barrel, espace entrele barrel et le spacal, spacal, espace entre le spacal et le endcap et enfin leendcap. En n’utilisant pas le spacal, on tombe sur 3 zones seulement.


189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV

E1/E

beam ≥ 0.5

1

10

10 2

10 3

10 4N

ombr

e d’

évén

emen

ts

44o < θ1,2 < 136o

ξ < 120o

a)

E1/E

beam ≥ 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Qua

lité

E1/E

beam ≥ 0.5

0.96

0.98

1

1.02

1.04

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

E1/E

beam

X/X

0

Systématique = 8.4 ‰

189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV

E2 ≥ 20 GeV

1

10

10 2

10 3

Nom

bre

d’év

énem

ents

44o < θ1,2 < 136o

ξ < 120o

b)

E2 ≥ 20 GeV

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Qua

lité

E2 ≥ 20 GeV

0.96

0.98

1

1.02

1.04

0 20 40 60 80 100

E2

X/X

0

(GeV)


FIG. 27 – Coupure de sélection sur E1/Ebeamet sur E2

Ces graphiques sont composés de tous les événements qui ont déjà passé toutes les autres cou-pures (graphique en N− 1). Il est important de noter que ces graphiques sont sous formeslogarithmiques et qu’il ne reste presque plus de bruit de fond. Toutes les données, ainsi que lesMonte-Carlo s’y rattachant, à partir de

√s≥ 189 GeV sont représentés. Tous ces graphiques

sont en fonction de la variable de coupure considérée. La distribution des événements sontdonnés dans les deux graphiques du haut. Les points représentent les données, l’histogrammeombré tous les bruits de fond, et l’histogramme vide le signal. Les deux graphiques du milieureprésentent la qualité Q =

√επ de la sélection. Et enfin les deux graphiques du bas repré-

sentent la dépendance de la section efficace. La zone ombrée représente l’erreur systématiqueassociée telle qu’expliqué dans le texte.a) L’énergie E1, doit être déjà supérieure à 20 GeV, car la coupure E2 a déjà été appliquée. Onvoit qu’une coupure E1/Ebeam> 0.5 rejette encore presque la moitié du bruit de fond restant,sans trop toucher au signal.b) Une coupure à E2 > 20 GeV, permet de garder un maximum d’événements Bhabha, tout enrejetant un maximum de bruit de fond. Cette coupure permet de rejeter surtout des canaux phy-siques où une particule peut, presque par accident, avoir plus de 50% de l’énergie du faisceau(et donc passer la coupure sur E1/Ebeam), mais où le reste des particules ont une énergie faiblepar rapport à l’énergie du faisceau. C’est le cas par exemple de la physique à deux photons.

2. SÉLECTION 65

189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV

R ≥ 0.2

1

10

10 2

10 3

10 4

Nom

bre

d’év

énem

ents

44o < θ1,2 < 136o

ξ < 120o

a)

R ≥ 0.2

0.6

0.7

0.8

0.9

1Q

ualit

é

R ≥ 0.2

0.96

0.98

1

1.02

1.04

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Rhits

X/X

0


FIG. 28 – Coupure de sélection sur le nombre de hits

Cette figure contient les même informations que la figure 27.a) Comme nous recherchons des électrons, il est bon qu’ils laissent une trace dans la TEC.Toute coupure entre 0.05 et 0.6 donne la même qualité Q de sélection, mais pour des raisonsd’erreur systématique, une coupure à 0.2 est suffisamment loin de la bosse à 0. et du débutdu signal à 0.6. Ainsi, en plaçant la coupure à 0.2, nous nous plaçons dans une région stableet sans dépendance à quelques variations de la TEC (fils morts ou malades, haute tensionabsente pendant une période de temps, etc.).


Le traitement de cette espace est simple : on rejette tout événement oùl’un des deux électrons est diffusé dans les régions polaires 35.6-44et 136-144.4.

Deux autres trous apparaissent dans les endcaps. Ils permettent d’insérerle canon RFQ qui permet de calibrer le BGO. Leur traitement est identique,et on rejette tout événement où l’un des deux électrons a été émis dans lesrégions : sinθ< 0.6 ET |cosφ|< 0.25881952.

Bien que cette méthode peut paraître brutale, elle a le grand avantage defacilité l’estimation de la perte d’efficacité, car elle est basée uniquement surdes considérations géométriques.

2Arccos 0.2588195 = 75

2. SÉLECTION 67

189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV

E1/E

beam ≥ 0.4

1

10

10 2

10 3

10 4

10 5

Nom

bre

d’év

énem

ents

12o < θ1,2 < 168o

ξ < 120o

a)

E1/E

beam ≥ 0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Qua

lité

E1/E

beam ≥ 0.4

0.96

0.98

1

1.02

1.04

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

E1/E

beam

X/X

0


189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV

E2 ≥ 10 GeV

1

10

10 2

10 3

10 4

10 5

Nom

bre

d’év

énem

ents

12o < θ1,2 < 168o

ξ < 120o

b)

E2 ≥ 10 GeV

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Qua

lité

E2 ≥ 10 GeV

0.96

0.98

1

1.02

1.04

0 20 40 60 80 100

E2

X/X

0

(GeV)


FIG. 29 – Coupure de sélection sur E1/Ebeamet sur E2

Ces graphiques représentent la même information que ceux sur la figure 27, si ce n’est qu’ilsconcernent tous les événements produits entre 12 et 168. On observe que le jeu de coupurechoisi optimise bien la sélection, en laissant un minimum d’erreur systématique. Il est à no-ter que la mauvaise simulation des radiations initiales de BHWIDE donne une importantedépendance aux variations des coupures.


189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV

R ≥ 0.2

1

10

10 2

10 3

10 4

10 5

10 6

Nom

bre

d’év

énem

ents

12o < θ1,2 < 168o

ξ < 120o

a)

R ≥ 0.2

0.6

0.7

0.8

0.9

1Q

ualit

é

R ≥ 0.2

0.96

0.98

1

1.02

1.04

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Rhits

X/X

0


FIG. 30 – Coupure de sélection sur le nombre de hits

Ces graphiques représentent la même information que ceux sur la figure 27, si ce n’est qu’ilsconcernent tous les événements produits entre 12 et 168. On observe que le jeu de coupurechoisi optimise bien la sélection, en laissant un minimum d’erreurs systématiques.

2. SÉLECTION 69

2.6. Efficacité des triggers. Comme nous l’avons déjà vu, l’acquisitionde données passe par trois niveau de triggers. Essentiellement, pour les Bha-bha, nous avons besoin des triggers suivants :

– Trigger TEC (Niveau 1)– Trigger Énergie (Niveau 1)– Trigger Niveau 2– Trigger Niveau 3Il est évident que l’angle de production des Bhabha introduit une variation

dans l’efficacité des triggers. En particularité, à bas angle, le trigger TEC nepeut plus marcher, car il n’y a plus suffisamment de fils touchés.

L’efficacité des triggers du niveau 1 est obtenue en prenant l’équation (3.8).Ceux du niveau 2 et 3 sont obtenus par un calcul statistique en considérant lepre-scaling 1/20. Le tableau A11 donne les efficacités des triggers et l’efficacitéglobale obtenues en sélectionnant des événements Bhabha détectés entre 12

et 168. Le tableau A12 donne ces efficacités pour des Bhabha détectés entre20 et 160. Et finalement, nous avons le tableau A13 pour le barrel entre44et 136.

Globalement, bien que le trigger TEC fasse défaut en dessous d’environ30 voir figure 31, le trigger en énergie fonctionnant très bien, nous obtenonsune inefficacité de trigger globale, pour toutes les années, de 1.0% à partir de12, de 0.4% à partir de 20 et négligeable (moins d’un pour mille) à partir de44.

Les inefficacités du trigger étant dépendantes des périodes de prise de don-nées, l’efficacité correspondant à chaque énergie sera prise en compte lors ducalcul des sections efficaces.

2.7. Inefficacité du détecteur. L’utilisation d’un Monte-Carlo pour si-muler le signal permet d’estimer l’efficacité de la sélection, mais aussi celledu détecteur (acceptance et problèmes au cours de la prise de données3).

Un souci constant dans la prise de données est de connaître à chaque ins-tant l’état de fonctionnement de chaque système. En particulier, pour les Bha-bha, si les 24 secteurs de la TEC et les 10’734 cristaux de BGO fonctionnentcorrectement. On entend par secteur et cristal toute la chaîne de prise de don-nées, mais en particulier les tensions électriques des instruments de mesures,qui sont responsables de la majorité des problèmes lors de la prise de données.

Pour la TEC, une base de données contient pour chaque run l’état dechaque secteur. Ainsi, lors de la simulation réaliste du détecteur, le fonction-nement de chaque fils peut être simulé.

3partie du détecteur morte, condition des triggers, etc.


Efficacité du TEC trigger

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40θmin

ε TE

C

(o)

√

s = 192 GeV

FIG. 31 – Efficacité du trigger TEC en fonction de l’angle θmin

Ce graphique montre la chute de l’efficacité du trigger TEC. En effet, le trigger requière uncertain nombre de hits pour affirmer la présence d’une particule, et ce nombre de fils correspondà environ 27. Le fait que l’efficacité soit non nulle en dessous de 27est dû au trigger TECinterne.

Pour le BGO, un monitoring on-line de chaque cristal par des impulsionsde lumière Xénon et une analyse off-line de l’occupation de chaque cristal pardes jets hadroniques permettent de trouver les cristaux morts. La simulationdoit donc tenir compte de l’état de chaque cristal au cours du temps.

Ces deux méthodes ne permet de trouver que les cristaux morts qui nedonnent pas une réponse en énergie suffisante que se soit à un stimulus delumière Xénon (∼35 GeV) ou le stimulus de la radiation hadronique (∼12GeV). Sachant qu’il existe 6 comparateurs de gamme d’énergies différentes,il se peut que ces deux méthodes ne détectent pas la mauvaise réponse de“cristaux malades” sous le stimulus d’électrons de plus de 100 GeV. Il se peutaussi qu’ils donnent une réponse qui satisfait la sélection hadronique, maisqui fluctue dans le temps ce qui a pour effet de ne pas toujours passer lasélection Bhabha. Dès lors, comme ce phénomène n’est pas pris en comptelors de la simulation, une inefficacité supplémentaire apparaît dans les don-nées. Or, comme pour la voir il faut beaucoup d’événements Bhabha, on nepeut l’étudier que dans les endcaps. La figure 32 montre la distribution azi-mutal (φ) pour des événements sélectionnés entre θ > 12 et θ <15. Chaquebin correspond à un cristal. Cette distribution devrait être uniforme. Les bins

2. SÉLECTION 71

0

50

100

150

200

250

300

0 1 2 3 4 5 6φ

Nom

bre

d’év

énem

ents

(rad)

√

s = 189 GeV14.8o < θ < 16.3o

DonnéeSimulation

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 1 2 3 4 5 6φ

Nom

bre

d’év

énem

ents

(rad)

11.8o < θ < 13.3o

0

500

1000

1500

2000

2500

0 1 2 3 4 5 6φ

Nom

bre

d’év

énem

ents

(rad)

14.8o < θ < 16.3o

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 1 2 3 4 5 6φ

Nom

bre

d’év

énem

ents

(rad)

13.3o < θ < 14.8o

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

2250

0 1 2 3 4 5 6φ

Nom

bre

d’év

énem

ents

(rad)

16.3o < θ < 17.8o

FIG. 32 – Distribution azimutal d’événements et cristaux malades

Ce graphique est très important pour une mesure de la section efficace dans les endcaps. Eneffet, il montre une mauvaise simulation de certains cristaux du BGO. On le voit à φ ∼ 2.8rad où il n’y presque plus de donnés alors que la simulation est constante. Certains cristauxmalades ou morts, comme ceux à φ∼ π

2 sont simulés avec plus ou moins de réussite. Le problèmevient du fait que l’état des cristaux est testé par le système Xénon (qui simule un électron à35 GeV, et une analyse de l’occupation des cristaux par des événements hadroniques (dontl’énergie moyenne est de 12 GeV). Il est ainsi possible que certains cristaux réagissent bien àces énergies moyennes, mais qu’ils réagissent mal à des électrons très énergétiques. La solutiona été de détecter ces régions malades par des méthodes de compatibilité statistique (zone foncéeet lignes).


X

Y

RB 24

X

RB 26

FIG. 33 – Cristaux tués dans l’analyse

Ces deux graphiques montrent les deux endcaps RB24 et RB26. Les cristaux ombrés sont tuésdans l’analyse pour toutes les années.

à zéro sont les cristaux morts (ou le trou RFQ dans le BGO), mais les fluc-tuations statistiques de certains cristaux ne suffisent pas à expliquer la dif-férence entre les données et la simulation. C’est pourquoi, une recherche deces régions malades a été faite en considérant toutes les années (mises en-semble pour augmenter la statistique). Si un cristal a un dysfonctionnementune année, il est vraisemblable de supposer qu’il puisse avoir à nouveau unfonctionnement étrange l’année suivante. La figure 33 montre les cristaux quiont été tués.

De plus, les cristaux se trouvant au bord du BGO sont difficiles à simuler.En effet, la mesure de l’énergie qui est la somme des 9 cristaux est difficile àestimer, car il manque des cristaux. C’est pourquoi ces cristaux n’ont jamaisété calibrés. Ainsi donc, leur simulation est impossible.

4. AJUSTEMENT DE LA SIMULATION 73

3. Échantillons de données

Comme nous l’avons déjà vu, la radiation initiale de photons réduit l’éner-gie de collision des deux électrons. C’est pourquoi, si un nouveau phénomènede physique devait apparaître, il apparaîtra à une haute énergie de collision,et pas par exemple dans des événements radiatifs, voir “retour au Z”, où nousavons déjà pris beaucoup de données sans trouver la trace de nouvelles phy-siques. Pour définir si un événement est radiatif ou non, nous allons regarderson acolinéarité.

L’avantage d’utiliser l’acolinéarité au lieu de l’énergie effective de la col-lision

√s′ est que pour l’acolinéarité il suffit de mesurer 4 angles, alors que

pour√

s′ il faut mesurer au minimum 4 angles et 2 énergies. C’est pourquoi,la mesure de l’acolinéarité ξ est plus précise.

Si l’acolinéarité est petite (ξ < 25), la collision a eu lieu à haute énergie,et il appartiendra à l’échantillon dit de “haute énergie”.

L’échantillon “inclusif”, qui contient l’échantillon de haute énergie, corres-pond au cas où ξ<120, ce qui est vrai dans la quasi totalité des cas.

4. Ajustement de la simulation

Un grand soin doit être apporté à la simulation des différentes résolu-tions du détecteur. D’autant plus que la simulation d’une résolution est àsens unique : il est toujours possible a posteriori de l’augmenter en ajouterun bruit, mais il est très difficile et dangereux de diminuer une résolutionsurestimée. C’est pourquoi les simulations de la collaborations sous-estimenttoujours légèrement la réalité. Pour chaque analyse, il est nécessaire de me-surer la résolution et d’appliquer un smearing (fonction d’étalement), c’est-à-dire d’ajouter une variable aléatoire gaussienne de tel sorte que la résolutionfinale simulée corresponde à celle du détecteur.

En particulier, si pour une variable on mesure une résolution σD pourles données et une résolution inférieur σMC pour les Monte-Carlo, il convientd’ajouter dans la simulation une variable aléatoire :

M→M +X ·√

σ2D−σ2

MC (4.8)

avec X une variable aléatoire gaussienne normale (µ = 0 et σ = 1).Il arrive parfois qu’un système ne soit pas gaussien et que la résolution

à ajouter√

σ2D−σ2

MC est surestimée ou sous-estimée. Il suffit alors d’itérer la


procédure en multipliant par un facteur η< 1 :

M1 = M0 +X ·η√

σ2D−σ2

M0

M2 = M0 +X ·η√

σ2D−σ2

M1

...

(4.9)

Il arrive aussi parfois que la valeur moyenne d’une mesure n’est pas lamême dans les données que dans les Monte-Carlo. Il est alors nécessaired’appliquer aux événements simulés un scaling (facteur de d’échelle) différentpour les données et les Monte-Carlo. Cela revient à appliquer une calibrationfinale au détecteur.

Il est intéressant de noter que ces méthodes souffrent d’une approche biai-sée. En effet, l’échantillon sur lequel on applique le smearing ou le scaling estle même que celui à partir duquel nous obtenons la valeur du smearing ou duscaling. Ceci est vrai, et il convient de voir si ces ajustements de la simulationchangent les mesures finales de sections efficaces. Or il se trouve que ces ajus-tements sont d’ordres purement esthétique. En effet, ils ne changent en rienl’efficacité et le bruit de fond. La seul variable de sélection sensible aux effetsde smearing et scaling est la détermination de la charge que nous verronsdans quelques paragraphes. C’est pourquoi la simulation de cette variable nesera utilisée dans l’analyse qu’à titre esthétique.

La figure 34 montre des exemples de smearing pour les simulations cor-respondant aux données prises à

√s=196 GeV.

5. Sections efficaces

Dans un processus de collision, pour un canal i donné, le nombre d’événe-ments produit est :

Ni = σi L (4.10)

avec L la luminosité (“caractéristique du faisceau”) et σi la section efficace(“caractéristique du processus”).

Il convient de différentier la luminosité instantanée et intégrée. Dans lepremier cas, Ni est le taux d’événements produit par unité de temps. Le deu-xième cas est obtenu en intégrant l’équation sur une durée de temps donnée,en générale la durée de la prise de données à une énergie donnée. La lumi-nosité intégrée est mesurée en picobarn inverse ( pb−1) ou nanobarn inverse(1000 nb−1 = 1 pb−1).

Le nombre d’événements Ni est le nombre total d’événements qui ont étéproduits dans le détecteur. A cause des temps morts, des inefficacité du dé-tecteur et de l’inefficacité de la sélection, un nombre plus petit d’événements

5. SECTIONS EFFICACES 75

Barrel

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05EBGO/E

beam

DataRaw RDVNSmeared RDVN

σ = 4.0 ‰

Endcap

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05EBGO/E

beam


σ = 4.2 ‰

Barrel

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-4 -2 0 2 4Ebeam

/qp


σ = 30 %scaling = 1.08

Barrel

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

-4 -2 0 2 4∆φ (mrad)


σ = 24 %scaling = 1.09

FIG. 34 – Principaux smearing

Sur ces graphiques on peut voir l’effet du smearing et du scaling sur les principales quantitésmesurées : énergie dans le BGO, courbure dans la TEC et mesure de la différence azimutal. Lespoints représentent les données, les histogrammes vides la meilleur simulation (format RDVNde L3) et les histogrammes ombrés ce que l’on obtient avec un smearing obtenu par un étudeprécise de la réponse du détecteur aux événements Bhabha.

est observé et sélectionné. Ce nombre est légèrement rehaussé à cause de laprésence de bruit de fond.

Ainsi, pour obtenir la section efficace σ, il faut corriger le nombre d’événe-ments sélectionnés Ndata de la manière suivante :

σ =Ndata (1−b f)

εtrig εL(4.11)

avec b f la quantité de bruit de fond, εtrig l’efficacité du trigger, ε l’efficacité dela sélection, L la luminosité intégrée.

Plusieurs mesures peuvent être faites à partir de la section efficace : lasection efficace totale, la section efficace différentielle et l’asymétrie avant-arrière.

5.1. Section efficace. La section efficace est le résultat simple de la for-mule (4.11) en considérant une région angulaire donnée. On aura par exemplela section efficace entre 44 et 136. Ndata est obtenu en comptant simplement


tous les événements dans cette région. b f , ε etεtrig sont estimés globalementpour la région considérée.

5.2. Section efficace différentielle. Une autre mesure est la sectionefficace différentielle. Il s’agit de la variation de la section efficace en fonc-tion d’un ou plusieurs paramètres physiques du processus. Nous allons nousconcentré sur la variation sur le cosinus de l’angle de l’électron, du positronou d’une “moyenne” des deux :

cosθ≡sin(θp−θe)sinθe+sinθp

=cos

θe+(π−θp)2

cosθe−(π−θp)

2

∼= cosθe+(π−θp)

2(4.12)

Pour faire cette mesure il faut déterminer lequel des deux électrons détec-tés est l’électron et lequel est le positron. Ceci demande une détermination dela charge, sujet qui sera traité dans le paragraphe suivant. Mais avant, nouspouvons voir que sans la détermination de la charge, nous pouvons quandmême avoir une mesure de la section efficace différentielle en considérant∣∣cosθ

∣∣. En effet, cette mesure ne dépend pas de la détermination de la charge.On obtient la section efficace différentielle en divisant le nombre d’événe-

ments contenu dans des intervalles en∣∣cosθ

∣∣ par la luminosité et une estima-tion de l’efficacité et du bruit de fond pour chaque bin.

5.3. Détermination de la charge. La détermination de la charge desélectrons dans l’événement nous permet d’obtenir la section efficace différen-tielle en fonction de cosθ et non plus de sa valeur absolue.

Pour déterminer la charge, il faut mesure la courbure des trajectoires dansla TEC. En effet, une particule chargée a une trajectoire hélicoïdale dans unchamp magnétique. Le sens de l’hélice donne la charge. Nous allons désormaisconsidérer la projection de la trajectoire sur le plan perpendiculaire au champmagnétique (plan X-Y ou R-φ). L’hélice se projette donc en un cercle, dont lerayon est l’inverse de sa courbure ρ. Le signe attribué au sens de l’hélice etainsi à la courbure est choisi pour correspondre au signe de la charge de laparticule : l’espérance de la courbure des électrons est négative, alors quecelle des positrons est positive.

La méthode traditionnelle est de mesurer la différence de la courbure dechaque trace. Comme l’espérance du signe de la courbure est opposé pourles deux électrons, la différence des deux courbure, ∆ρ, est une variable dontle poids statistique est plus fort. La figure 35 montre la distribution de lavariable ∆ρ pour des Bhabha dans le barrel.


Ainsi, un événement peut être soit du type (+−), c’est-à-dire que la par-ticule la plus énergétique est un positron (+) et la 2e plus énergétique unélectron (−), soit du type (−+), l’électron est plus énergétique que le positron.

Une méthode supplémentaire a été utilisée qui ajuste une ligne droite surle premier et dernier tiers des hits dans la TEC. L’angle azimutal obtenu estappelé φlin. En prenant la différence ∆φ des φlin des deux électrons, on obtientune autre mesure de la charge de l’événement. La figure 35 montre la distri-bution de cette variable. On remarque que cette méthode donne une meilleurerésolution que la méthode traditionnelle ∆ρ.

Il est important de remarquer que la variable ∆φ et l’acoplanarité ζ mesureà peu près la même grandeur. La seule différence est un petit offset due à lacourbure des électrons. Ainsi, à grande acoplanarité, la variable ∆φ ne dis-crimine plus la charge, car sa valeur est déplacée de ±ζ. Il faut donc, pourrétablir la détermination de la charge, soustraire l’acoplanarité, mais celaimplique deux fois plus d’angles à mesurer et ainsi une détérioration de larésolution de ∆φ qui implique une augmentation de la confusion de charge.

La figure 37 montre la variable ∆φ en fonction de ζ. Nous allons déterminerune confusion de charge uniquement pour les événements à petite acoplana-rité (ζ< 0.4). Cette coupure supplémentaire introduira une baisse d’efficacitéde l’ordre de 10% qui sera estimée par les Monte Carlo.

Une efficacité différente sera estimée pour les deux échantillons. En effet,il est vraisemblable de penser que l’efficacité d’événements dos-à-dos peut êtredifférente de celle d’événements radiatifs à forte acoplanarité.

La figure 36 montre que bien que ∆ρ et ∆φ mesurent la même observable,ils ne sont pas totalement corrélés. C’est pourquoi il est intéressant de combi-ner ces deux variables. Pour le faire correctement, il faut d’abord les norma-liser par leur résolution. On obtient alors les variables normalisées ∆ρ et ∆φ :

∆ρ =∆ρ

σ(∆ρ)

∆φ =∆φ

σ(∆φ)

(4.13)

Considérons ensuite, pour un événement donné, la distance d1, en deuxdimensions, qui le sépare de la moyenne des événements (+−) et la distanced2 qui le sépare de la moyenne des événements (−+).

Nous définissons P :

P =d1

d1 +d2(4.14)

P prend une valeur entre 0 et 1. Ainsi, si d1 est plus petit que d2 (et doncP< 1

2), l’événement est attribué au type (+−), sinon il est attribué au type


(−+). La figure 38 donne la distribution de cette variable P pour des Bhabhadans le barrel.

Il s’agit maintenant de déterminer la confusion de charge, c’est-à-dire laprobabilité d’attribuer le mauvais signe à l’électron. La méthode retenue pourestimer cette confusion de charge consiste à étudier la forme de la queue dela distribution P39. La fonction phénoménologique utilisée pour ajuster lesdistributions est :

f (+−)(P) =Pc1 (1−P)c2 +c3

(1−P)c4 +c5

f (−+)(P) =(1−P)c1 Pc2 +c3

Pc4 +c5

f (P) = c6 f (+−)(P)+(1−c6) f (−+)(P)

(4.15)

avec ci les 6 paramètres à ajuster. Le paramètre c6 permet de décrire descas asymétriques. Ceci peut arriver lorsque l’énergie mesurée d’un côté dudétecteur est sensiblement supérieure à celle mesurée de l’autre côté. En effet,comme le canal t est dominant dans la diffusion Bhabha, l’électron à une plusgrande probabilité d’être diffusé du coté θ< π

2. Ainsi, si la calibration d’un desdeux demi-barrels est légèrement surestimée, il peut arriver par exemple quel’électron aille une probabilité légèrement plus grande d’être la particule laplus énergétique. A priori cet effet peut paraître négligeable, mais il a pu êtreobservé au long de l’analyse.

Néanmoins, les cas asymétriques sont intéressants, car ils font mieux ap-paraître la queue de la distribution. C’est pourquoi nous allons forcer cetteasymétrie en prenant en compte la variable P :

P =

P si θ1≤ π2,

1−P si θ1 >π2,

(4.16)

avec θ1 l’angle de production de l’électron le plus énergétique, permet de facili-ter l’ajustement de la queue de la distribution. En effet, comme la distributionP est aussi fortement asymétrique, la queue de la distribution devient plus fa-cile à extraire, car elle est plus visible. La figure 39 montre la distribution desvariables P et P pour une simulation Bhabha à 196 GeV. On voit que l’ajuste-ment sur la variable P sous-estime légèrement la confusion de charge4, alorsde l’ajustement sur P donne une confusion de charge plus proche de la vraieconfusion de charge, telle que nous pouvons l’estimer par d’autres méthodesplus précises : confusion de charge de muons au pic du Z ou par Monte-Carlo.

4L’intégrale sur P de 0 à 0.5


Ces méthodes ne peuvent servir qu’à valider la méthode, et non à détermi-ner la confusion de charge. En effet, dans le cas des muons, nous obtenons laconfusion de charge à 45 GeV, et dans le cas des Monte-Carlo la confusion decharge simulée. Or, la vraie confusion de charge du détecteur à près de 100GeV peut être différente. La méthode décrite ne sert qu’à estimer cette vraieconfusion de charge.

Lorsque que pour un événement, le signe de la charge a été mal déter-miner, cela signifie que le signe de cosθ est faux. Ainsi, chaque bin i de ladistribution en cosθ contient la composition suivante :

ni = (1−cc) n0i +ccn0

−i

n−i = ccn0i +(1−cc) n0

−i

(4.17)

avec −i le bin de −cosθ, n j le nombre d’événements dans le bin j, n0j le nombre

d’événements réels qui auraient dus être dans le bin j sans confusion decharge, et cc la confusion de charge. Notons que n0 ne représente pas le nombred’événements générés, car il faut encore tenir compte de l’efficacité dans chaquebin. Le bruit de fond a déjà été soustrait.

Une inversion de l’équation (4.17) donne :

n0i =

1−cc1−2cc

ni−cc

1−2ccn−i

n0−i =

cc1−2cc

ni−1−cc1−2cc

n−i

(4.18)

C’est de cette manière que nous allons corriger la distribution d’événe-ments en fonction de cosθ. La méthode pour obtenir la confusion de chargepeut être soit appliquée à tous les événements (confusion de charge globalecc), soit appliquée bin par bin (confusion de charge locale cci).

5.4. Asymétrie. Grâce à la mesure de la section efficace différentielle,nous pouvons déterminer l’asymétrie avant-arrière de la section efficace :

AFB =∫ c

0dσ

dcosθdcosθ−∫ 0−c

dσdcosθdcosθ∫ c

−cdσ

dcosθdcosθ

=NF −NB

NF +NB

(4.19)

avec NF le nombre d’événements où l’électron émis vers l’avant (θ0 < θe<π2)

et NB le nombre d’événements où l’électron est émis vers l’arrière (π2 < θe <

π− θ0). Cette asymétrie est mesurée dans la région angulaire −c≤ cosθ ≤ c,avec c = cosθ0.

Il est important de noter que la détermination de charge dépend beaucoupde la qualité de la mesure des traces dans la TEC. C’est pourquoi, il est né-cessaire de durcir la sélection.


Rhits≥ 70%

0.5< φloc < 7

|θ− π2|> 1 mrad

pour√

s= 196 GeV et 200 GeV : φ /∈ [37.5;52.5]|ζ| ≤ 0.4

TAB. 8 – Sélection additionnelle pour la détermination de la charge

Il faut que chaque électron ait laissé un signal dans au moins 70% des filsgéométriquement possibles. Ceci assure que le nombre de mesures spatialessoit suffisant pour une bonne estimation de la courbure. Ensuite, nous reje-tons les événements où un électron a trop approché une des anodes ou descathodes de la TEC. Chaque module de la TEC couvre 15. Ainsi, tous les7.5 nous avons soit une anode, soit une cathode. Nous utilisons la variableφloc = mod(φ,7.5). Ainsi, un événement qui possède un φloc inférieur à 0.5 ousupérieur 7 est éliminé. Lorsque le code L3 n’arrive pas à déterminer l’anglepolaire d’une trace, il le met artificiellement à 90. Ainsi lorsqu’un angle de laTEC est numériquement à 90, nous ne pouvons pas savoir si c’est vrai. C’estpourquoi nous rejetons un tel événement. Lors de la prise de données en 1999,des fils de quelques secteurs de la TEC ont été abîmés par des accidents defaisceau. Nous avons dû réduire la haute tension de ces fils. Ce changementde condition a rendu l’utilisation de ces secteurs très périlleuse. C’est pour-quoi, nous ne considérerons pas les événements pris à ces énergies lorsqu’unélectron a été émis dans ces régions azimutales. Et enfin, nous ne considére-rons pas les événements où la somme ou la différence des distances d1 et d2

est trop grande. Le tableau 8 résume toutes ces coupures.Étant donné que la sélection pour déterminer la charge est plus stricte

que pour la section efficace, il est possible d’estimer une partie de l’efficacitéavec les données elles-mêmes. En effet, l’efficacité du passage de l’échantillonservant à la section efficace à celui de l’asymétrie peut être mesuré par lesdonnées :

εsel I =NMC

sel I

NMCgen

εsel II =Ndata

sel II

Ndatasel I

ε = εsel I · εsel II

(4.20)

6. ERREURS SYSTÉMATIQUES 81

6. Erreurs systématiques

Les erreurs systématiques ne sont jamais faciles à estimer. Nous allonstout d’abord nous pencher sur l’erreur systématique due à la luminosité avantde finir ce chapitre par une liste d’autres erreurs systématiques dont allonstenir compte.

6.1. Luminosité. Nous avons vu que pour calculer une section efficace,nous avons besoin de la luminosité des faisceaux. Pour l’estimer, nous utili-sons la diffusion Bhabha à petit angle[9]. Une coupure sévère sur le volumefiduciel, θ ∈ [34 mrad ;54 mrad] et |90−φ|> 11.25, |270−φ|>11.25, est im-posée sur les coordonnées du cluster le plus énergétique d’un côté. Le clusterle plus énergétique du côté opposé doit être contenu dans un volume fiducielmoins strict, θ ∈ [32 mrad ;65 mrad] et |90−φ|> 3.75, |270−φ|>3.75. Cetteméthode a l’avantage de réduire l’effet des incertitudes théoriques.

Les erreurs systématiques expérimentales proviennent de la sélection (0.10%)et de la géométrie du détecteur (0.05%). La statistique des Monte-Carlo pro-cure une erreur systématique de 0.07%. De plus, une erreur systématiquede 0.12%[10] est attribuée au générateur BHLUMI. Ainsi, au final, l’erreursystématique sur la luminosité vaut 0.18%.

6.2. Autres sources d’erreurs systématiques. En plus de l’erreur sys-tématique sur la variation des coupures de sélection et de l’erreur systéma-tique sur la luminosité, nous devons aussi tenir compte de l’erreur provenantde l’estimation des autres paramètres.

D’une part, l’efficacité et le taux de bruit de fonds ont été estimés avecun nombre fini d’événements Monte Carlo. Ainsi, une fluctuation statistiquepossible sur le nombre d’événements sélectionnés provoque une incertitudesur ces valeurs. Nous allons donc utiliser l’erreur statistique des Monte Carlocomme erreur systématique sur ces mesures.

D’autre part, dans la détermination de la charge, nous obtenons aussi laconfusion de charge à partir d’un nombre fini d’événements. L’erreur sta-tistique sur le nombre d’événements induit une erreur systématique sur laconfusion de charge, ce qui se répercutera sur l’asymétrie.


0

5

10

15

20

25

30

35

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10∆ρ

Nom

bre

d’év

énem

ents

0

10

20

30

40

50

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5∆φ

Nom

bre

d’év

énem

ents

(mrad)

FIG. 35 – Différence ∆φ des angles azimutaux des deux électrons

Sur ce graphique nous pouvons voir une séparation des événements +− par rapport aux événe-ments −+ dans les variables ∆ρ (graphique du haut) et ∆φ (graphique du bas). Nous pouvonsobserver un meilleur pouvoir de séparation de la variable ∆φ.

6. ERREURS SYSTÉMATIQUES 83

d2

d1− +

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5∆φ (mrad)

∆ρ+ −

FIG. 36 – Corrélation des variables ∆φ et ∆ρ

Ce graphique nous montre la corrélation des variable ∆ρ et ∆φ. Une bonne séparation semblepossible.

FIG. 37 – ∆φ en fonction de l’acoplanarité

Cette figure nous montre la dépendance de la mesure ∆φ par rapport à l’acoplanarité. Eneffet, lorsque l’acoplanarité devient importante, la valeur de ∆φ devient importante aussi. Ilconviendrait de corriger cette dépendance, mais comme ceci détériore la résolution de ∆φ, il estpréférable de ne pas tenir compte des quelques événements à acoplanarité ζ> 0.4.


0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Détermination de la charge (P)

Nom

bre

d’év

énem

ents

FIG. 38 – Détermination de la charge (P)

Ce graphique représente la distribution de la variable P qui optimise la détermination de lacharge.

0

20

40

60

80

100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1P

Nom

bre

d’év

énem

ents

0255075

100125150175200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1P

Nom

bre

d’év

énem

ents

1

10

10 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1P

Nom

bre

d’év

énem

ents Cas symmétrique

Cas asymmétrique

FIG. 39 – Ajustement de la fonction f (x)

Ces graphiques montrent les différentes étapes du fit qui permet la détermination de la confu-sion de la charge.

CHAPITRE V

Les résultats et leurs interprétations

1. Section efficace dans le barrel

La section efficace dans le barrel 44 ≤ θ1,2≤ 136 a été mesurée aux éner-gies 189 GeV ≥

√s≥ 210 GeV. Les mesures correspondent à l’espace de confi-

guration :44 ≥ θ1,2≥ 136

ξ< 120 pour l’échantillon inclusif

ξ< 25 pour l’échantillon haute énergie

(5.1)

10

15

20

25

30

190 195 200 205 210√

s

σ

(GeV)

(pb)

ξ < 120o (χ 2/d.o.f = 8.6 / 8)

ξ < 25o (χ 2/d.o.f = 8.6 / 8)

44o < θ < 136o

FIG. 40 – Section efficace 44 ≤ θ1,2≤ 136.

Mesures et prédictions de la section efficace pour l’échantillon inclusif (points et ligne conti-nue), et l’échantillon haute énergie (triangles et ligne traitillée) en fonction de l’énergie

√s.

La figure 40 montre la dépendance en√

sdes mesures de la section efficacepour les deux échantillons. Les tableaux A9 et A10 (pp. 106-107) dans l’annexedonnent les détails numériques de l’analyse.

Les mesures sont compatibles avec les prédictions, et pour les deux échan-tillons le χ2 vaut 8.6 pour 8 degrés de liberté.

85

86 V. LES RÉSULTATS ET LEURS INTERPRÉTATIONS

Ces mesures terminent l’analyse de la section efficace Bhabha dans le bar-rel entreprise par l’expérience L3 depuis 1989[11, 12].

2. Asymétrie

Dans le même espace de configuration, nous pouvons mesurer l’asymétrieavant-arrière en mesurant cosθ. Ceci requiert une bonne détermination de lacharge et donc une sélection plus stricte sur la qualité des traces dans la TEC.Heureusement, comme nous l’avons vu, la mesure de cette baisse d’efficacitépeut être obtenue par les données elles-mêmes.

Les figures B54 à B54 aux pages 122-122 montrent les sections efficacesdifférentielles à partir desquelles nous pouvons mesurer l’asymétrie. Les ta-bleaux B14 à B21 aux pages 114-121 donnent tous les détails numériques deces mesures.

La figure 41 montre la mesure de l’asymétrie pour les deux échantillonsen fonction de

√s. Les mesures sont compatibles avec les prédictions, car le

χ2 vaut, pour 8 degrés de liberté, 6.9 pour l’échantillon inclusif et 5.3 pourl’échantillon haute énergie.

Tout comme pour la section efficace, ces mesures terminent l’analyse del’asymétrie avant-arrière des Bhabha dans le barrel entreprise par l’expé-rience L3 depuis 1989[11, 12].

0.7

0.8

0.9

190 195 200 205 210√

s

AFB

(GeV)

ξ < 120o (χ 2/d.of. = 6.9 / 8)

ξ < 25o (χ 2/d.of. = 5.3 / 8)

44o < θ < 136o

FIG. 41 – Asymétrie avant-arrière 44 ≤ θ1,2≤ 136.

Ce graphique montre les mesures de l’asymétrie AFB pour l’échantillon haute énergie (lignetraitillée et triangles) et inclusif (ligne continue et points).

3. SECTION EFFICACE DIFFÉRENTIELLE 87

3. Section efficace différentielle

L’analyse de la section efficace différentielle correspond à l’espace de confi-guration :

12 ≥θ1,2≥ 168∣∣cosθ∣∣≤ 0.9

ξ< 25

(5.2)

Les tableaux C22 à C29 (pp. 128-135) de l’annexe donnent les détails nu-mériques de l’analyse. Les figures C58 et C59 (pp. 139-140) donnent les 8distributions angulaires correspondant à chaque bin d’énergie analysé.

Les distributions semblent être en accord avec leur prédiction, mais nouspouvons vérifier cette compatibilité en mesurant les pulls de ces 801 mesures :

pull =σ−σ0

δ(σ)(5.3)

avec σ la mesure de la section efficace différentielle, σ0 la prédiction pourcette mesure et δ(σ) l’erreur sur cette mesure. Nous considérerons le cas oùδ(σ) est l’erreur statistique et le cas où δ(σ) est la somme quadratique del’erreur statistique et de l’erreur systématique. Les erreurs systématiques setrouvent dans les tableaux C30 à C32 (pp. 136-138). Le tableau C33 (p. 141)donne les erreurs systématiques totales pour chaque bin. Nous admettonsque les erreurs systématiques sont les mêmes pour toutes les énergies

√s.

Les erreurs systématiques à√

s = 192 GeV et 208 GeV sont supérieures à lamoyenne en raison de la petite statistique accumulée à ces deux énergies.

L’utilisation de la notation abrégée de l’équation (5.3) permet de simplifierles équations, mais il est important de noter qu’il s’agit de sections efficacesdifférentielles dσ

d|cosθ| .La figure 42 donne l’histogramme de tous les pulls en considérant l’erreur

statistique seulement et l’erreur totale (statistique et systématique). On ob-serve que la moyenne mesurée est compatible dans les marges d’erreur avec0 et l’écart standard avec 1. On remarque que l’erreur systématique rend lacompatibilité meilleure, ce qui est un indice que nous la maîtrisons bien.

Bien que nous utilisions chaque mesure pour toutes les interprétationsphysiques à la fin de ce chapitre, il est intéressant de combiner toutes lesénergies pour visualiser de façon simple la dépendance angulaire de la sectionefficace différentielle.

110 bins en∣∣cosθ

∣∣ pour 8 énergies√

s


Pour combiner ces mesures, qui ont une dépendance en√

s, nous allonsutiliser une formule modifiée de la moyenne pondérée :

〈σ〉=∑i wi σi K(

√si)

∑i wi(5.4)

avec

wi =1

δ2(σi) K2(√

si), K(

√si) =

σ0(〈√

s〉)σ0(√

si), 〈√

s〉= ∑i Li√

s

∑i Li(5.5)

où σi est la valeur mesurée de la section efficace à√

si , δ(σi) l’erreur statistiquede cette mesure, σ0(X) la prédiction théorique à X =

√s, wi le poids statistique

de la mesure à√

si et Li la luminosité accumulée à√

si . L’énergie moyennedans le centre de masse 〈

√s〉 est 198.01 GeV.

L’erreur standard de la moyenne 〈σ〉 est :

δ(〈σ〉) =

√1

∑i wi(5.6)

K permet de compenser la dépendance en√

s de la section efficace. Cefacteur est obtenu en prenant la section efficace de Born améliorée multipliéepar la fonction de radiation (2.34).

La figure 43 montre toutes les mesures en fonction de√

s regroupées partranche de

∣∣cosθ∣∣. Les cercles ouverts sont toutes nos mesures et les points

noirs sont les moyennes pondérées. La ligne continue correspond à la fonctiondσIB−radd|cosθ| (2.36), et la ligne traitillée à la fonction dσIB

d|cosθ|(2.29). Dans le dernier binen∣∣cosθ

∣∣, on observe que la prédiction semble surestimer les mesures. Ceci

0

2

4

6

8

10

12

-4 -2 0 2 4

UDFLW

OVFLW

0.000

0.000

17.07 / 20

Constant 5.891 0.8092

Mean -0.2760E-01 0.1219

Sigma 1.085 0.8727E-01

(σ -σ 0

)/

δσ

Statistique

0

2

4

6

8

10

12

-4 -2 0 2 4

UDFLW

OVFLW

0.000

0.000

23.20 / 21

Constant 6.174 0.8472

Mean -0.2754E-01 0.1162

Sigma 1.035 0.8279E-01

(σ -σ 0

)/(

δσ⊕s σ )

Statistique ⊕ Systématique

FIG. 42 – Test statistique de cohérence des mesures

La distribution des pulls en considérant uniquement l’erreur statistique (histogramme degauche) et l’erreur totale (histogramme de droite) montre que la moyenne est compatible avec0 et que l’écart-type est compatible avec 1. Ceci nous autorise à penser que les erreurs systéma-tiques semblent bien maîtrisées.

4. INTERPRÉTATION DANS LE CADRE DU MODÈLE STANDARD 89

peut provenir de plusieurs causes : fluctuation statistique, mauvaise simula-tion de la radiation à bas angle de BHWIDE, nouveau processus de physiquecommençant à se faire sentir, problème dans l’estimation de l’efficacité ou dubruit de fond, etc. Notons que pour BHWIDE, l’erreur statistique de la simu-lation a déjà été prise en compte comme erreur systématique de la fonctionde radiation. Étant dans l’impossibilité de “corriger” ce problème, nous allonsgarder les mesures et les prédictions telles quelles.

La combinaison obtenue est donnée sur la figure 44. Le graphique duhaut montre les sections efficaces différentielles mesurées et leur prédictiondσIB−raddcosθ (

√s= 198 GeV), alors que le graphique du bas montre le rapport Rentre

celles-ci :R(|cosθ|) =

dσd|cosθ|

/(dσ

d|cosθ|

)IB−rad

(5.7)

On observe que l’accord est très bon, comme nous pouvions déjà le voir surl’histogramme des pulls figure 42.

4. Interprétation dans le cadre du Modèle Standard

4.1. Running α. Nous allons maintenant tester l’évolution de la constantede couplage électrofaible α en extrayant un paramètre théorique de nos me-sures de la section efficace différentielle. Il est important de bien définir lecadre théorique, car l’extraction dépend fortement de celui-ci. Nous utilise-rons la prédiction dσIB−rad

d|cosθ| (2.36). Nous avons vu que cette approximation estcompatible à la prédiction BHWIDE dans les marges d’erreur statistique denos simulations Monte-Carlo.

Nous allons modifier l’évolution de la constante de couplage α :

α(q2) =α(0)

1−∆α(q2)(2.21)

de la manière suivante :

αC(q2,C) =α(0)

1−C ·∆α(q2)(5.8)

avec C le paramètre libre à extraire des données. α(0) et ∆α(q2) gardent leurdéfinition originale. On remarque que C = 1 correspond au MS et C = 0 au cassans évolution.

Ainsi, à chaque mesure à une énergie√

set une tranche de cosθ correspondune prédiction théorique :

dσC(√

s,cosθ,C)dcosθ

= Frad(cosθ) · dσIB(√

s,cosθ,C)dcosθ

(5.9)

avec Frad(cosθ) la fonction de radiation et dσIB(√

s,cosθ,C)dcosθ la section efficace diffé-

rentielle modifiée pour tenir en compte la nouvelle évolution de αC.


0

10

dσ/

dc

osθ

(p

b)

⟨cosθ⟩ = 0.052

0

10

dσ/

d

co

sθ

(pb

)

⟨cosθ⟩ = 0.138

0

10

dσ/

d

co

sθ

(pb

)

⟨cosθ⟩ = 0.227

0

10

20

dσ/

d

co

sθ

(pb

)

⟨cosθ⟩ = 0.317

20

30

dσ/

d

co

sθ

(pb

)

⟨cosθ⟩ = 0.407

20

40

dσ/

d

co

sθ

(pb

)

⟨cosθ⟩ = 0.497

25

50

75

dσ/

dc

osθ

(p

b)

⟨cosθ⟩ = 0.588

50

100

dσ/

dc

osθ

(p

b)

⟨cosθ⟩ = 0.678

190 195 200 205 210√

s (GeV)

200

400

dσ/

dc

osθ

(p

b)

⟨cosθ⟩ = 0.77

190 195 200 205 210√

s (GeV)

400

600

800

dσ/

dc

osθ

(p

b)

⟨cosθ⟩ = 0.862

FIG. 43 – Section efficace différentielle en fonction de√

s pour chaque tranchede∣∣cosθ

∣∣.Sur ce graphique, nous pouvons voir les mesures des sections efficaces différentielles en fonc-tion de l’énergie

√s pour chaque tranche de

∣∣cosθ∣∣ (cercle ouvert). Les moyennes pondérées de

ces mesures sont montrées par des points. La ligne traitillée correspond à la section efficacede Born améliorée dσIB

dcosθ . La ligne continue correspond à cette section efficace corrigée par lafonction de radiation.

4. INTERPRÉTATION DANS LE CADRE DU MODÈLE STANDARD 91

1

10

10 2

10 3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

⟨dσ/

dc

osθ

⟩(p

b)

⟨√

s⟩ = 198 GeV

0.9

0.925

0.95

0.975

1

1.025

1.05

1.075

1.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

cos θ

Dat

a/M

C

FIG. 44 – Section efficace différentielle combinée à√〈s〉.

Le graphique du haut donne la combinaison des sections efficaces différentielles pour les don-nées (points) et dσIB−rad

d|cosθ| (ligne). Le graphique du bas correspond au rapport R(|cosθ|) de cesdeux section efficaces.

On remarquera que la fonction de radiation n’est pas redéfinie en termede C, car la virtualité des photons est nulle. En effet, comme le rayonnementde photons réels se passe à q2 = 0 GeV, ce processus n’est pas un processussensible à l’évolution de α.

Pour extraire le paramètre C à partir de nos 80 mesures σ en |cosθ| :

σ≡ dσ(√

s,cosθ)d|cosθ|

=dσ(√

s,cosθ)dcosθ

+dσ(√

s,−cosθ)dcosθ

(5.10)

et de nos prédictions :

σIB−rad(C)≡ dσ(√

s,cosθ,C)d|cosθ|

= Frad(cosθ) · dσIB(√

s,cosθ,C)dcosθ

+

Frad(−cosθ) · dσIB(√

s,−cosθ,C)dcosθ

(5.11)

nous allons considérer la vraisemblance normalisée L :

L(C) =L(C)∫L(C)dC

(5.12)


0.85

0.9

0.95

1

1.051.1

1.15

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

cos θ

Don

nées

/ M

S

DonnéesC=1 (MS)C=0.7

a)

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1 1.05 1.1C

L

C = 0.94 ± 0.041 ± 0.023 (68% N.C.) b)

FIG. 45 – Extraction du paramètre C

La figure a), qui est donnée à titre indicatif, montre le rapport R (point) entre les moyennes dessections efficaces différentielles et leur prédiction. La ligne continue correspond au cas C = 1,c’est-à-dire l’évolution du MS. Le cas C = 0.7 (ligne traitillée) est aussi donné. L’extraction duparamètre C est effectuée sur les 80 mesures par l’étude de la vraisemblance L sur le graphiqueb). La zone ombrée correspond à un écart-type.

avec la vraisemblance :

L(C) = ∏i

1√2πδ2(σ)

exp

(−(σ−σ0(C))2

2δ2(σ)

)(5.13)

où δ(σ) est l’erreur totale sur la mesure σ.A titre indicatif, nous allons étudier l’effet du paramètre C sur le rapport

R (5.7). Prenons le cas où la nature aurait choisit une valeur différente de 1,par exemple C = C. L’espérance de R sera alors :

〈R〉=⟨

σσ0(C = 1)

⟩=

〈σ〉σ0(C = 1)

=σ0(C = C)σ0(C = 1)

(5.14)

Le graphique 45a) montre les mesures R, ainsi que la fonction σ0(C)σ0(C=1) pour

C = 1 (MS) et C = 0.7.Le graphique 45b) qui donne la vraisemblance L en fonction de C permet

d’extraire le paramètre C :

C = 0.940±0.041±0.023 (5.15)

Cette mesure est compatible à 1.3σ avec le MS (C = 1). L’hypothèse d’aucunrunning (C = 0) peut être exclu à 20σ.

5. INTERPRÉTATION EN TERME DE NOUVEAUX MODÈLES 93

A titre de comparaison, la dernière mesure de L3 se basant sur la sectionefficace à

√s= 189 GeV est[13] :

C = 0.97±0.12(stat.)±0.10(sys.)±0.29(theo.) (5.16)

En prenant notre mesure du paramètre C, l’équation (5.8) et la valeur α(2.20) nous obtenons l’estimation :

α−1(m2Z) = 129.31±0.34±0.20 (5.17)

qui est compatible avec la prédiction [14] :

α−1th (m2

Z) = 128.978±0.027 (5.18)

Nous pouvons aussi extraire ∆αh(m2Z) à partir de notre mesure C ·∆α(m2

Z)et de ∆αl (m2

Z) (2.23) :

∆αh(m2Z) = 0.0249±0.0023±0.0011 (5.19)

Ce qui est compatible avec la prédiction[14] :

∆α(5)h (m2

Z) = 0.02738±0.00020 (5.20)

5. Interprétation en terme de nouveaux modèles

Nous allons maintenant tester certains modèles de nouvelles physiques.Ces modèles donnent des prédictions P modifiant la section efficace différen-tielle soit par un facteur R, soit par un terme additionnel D :

P(X)≡ dσdcosθ

=(

dσdcosθ

)MS·R(cosθ,X)

P(X)≡ dσdcosθ

=(

dσdcosθ

)MS

+D(cosθ,X)(5.21)

avec X un paramètre du modèle.Nous allons donc utiliser la mesure R(|cosθ|) (5.7) et la mesure D(|cosθ|) :

D(|cosθ|) =dσ

d|cosθ|−(

dσd|cosθ|

)IB−rad

(5.22)

Ces modèles vont les modifier de la façon suivante :⟨R(|cosθ|

)⟩= κR

(|cosθ|

)+(1−κ) R

(−|cosθ|

)⟨D(|cosθ|

)⟩= D

(|cosθ|

)+D

(−|cosθ|

) (5.23)

avec

κ =

(dσ(cosθ)

dcosθ

)IB−rad(

dσ(cosθ)dcosθ

)IB−rad

+(

dσ(−cosθ)dcosθ

)IB−rad

Si aucun effet significatif ne peut être observé, nous pouvons poser unelimite sur les paramètres des modèles. La méthode consiste à affirmer que la


vraisemblance est proportionnelle à la fonction de distribution de la variableX.

Ainsi, par exemple pour X > 0, nous pouvons poser la limite à 95% deconfiance X95 : ∫ X95

0L(X)dX = 0.95

∫ ∞

0L(X)dX (5.24)

avec la vraisemblance :

L(X) = ∏i

1√2πδx2

i

exp

(−(xi−Pi(X))2

2δx2i

)(5.25)

où xi sont les points mesurés, δxi leur erreur (supposée Gaussienne) et Pi(X)leur prédiction pour le paramètre X.

Dans les différents modèles, la forme du paramètre X est assez arbitraire.Par exemple, dans le cas d’une théorie où apparaît une échelle de masse MS,nous pouvons prendre comme paramètre X : MS, 1/MS, 1/M2

S, etc. En prenantMS, la fonction L(X) n’est pas normalisable. C’est pourquoi, on préférera uneforme inverse. Bien que les limites calculées avec les différentes formes de X

soient numériques différentes, l’ordre de grandeur est toujours le même. Laforme choisie est celle qui apparaît dans la théorie.

5.1. Taille de l’électron. En supposant que l’électron ait une structure,les vertex de l’interaction d’un électron avec un photon ou un Z sont modifiésde la façon suivante[15] :

Vertex(γe+e−

)= i√

4πα[F(q)γµ + i

κ2me

σµρqρ

]Vertex

(Ze+e−

)=−i

√4παZ

[rV F(q)γµ + i

κ2me

rV σµρqρ−F(q)γµγ5] (5.26)

avec κ le moment magnétique anormal de l’électron en unité du magnéton deBohr, σµρ = i

2 (γµγρ− γργµ) et F(q2) le facteur de forme de cette structure où q

est le quadri-vecteur énergie-impulsion du boson.Lorsque la structure de l’électron ρ(r) a une symétrie sphérique, le facteur

de forme correspondant vaut2[16] :

F(q) =∫

ρ(x)eiq·xd3x

= 1+16

q2〈r2〉+ ...

(5.27)

avec R2 = 〈r2〉 le rayon électromagnétique carré moyen de l’électron. Par abusde langage, on nomme R le rayon de l’électron, même si on obtient en prenant

2dans la limite où la longueur d’onde correspondant à q est “grande” par rapport à lastructure


le cas où ρ(r) est constant jusqu’à un rayon classique R0 (une boule de rayonR0) :

R=R0√

2(5.28)

Selon Brodsky et Drell[17], dans des systèmes complexes, l’amplitude ducouplage du dipôle magnétique anormal devrait être de l’ordre de la taille dusystème, de sorte que κ devrait être proportionnel à me. Dans des théoriesde symétrie chirale, étant donné que l’interaction avec un dipôle change lachiralité, κ devrait être proportionnel à m2

e.Ainsi, deux cas de figure s’offrent à nous : une dépendance linéaire à la

masse ou une dépendance quadratique à la masse. On peut définir κ en fonc-tion R de telle sorte que[15] :

κ2me

=12

η1R pour une dépendance linéaire

κ2me

=12

me (η2R)2 pour une dépendance quadratique(5.29)

En posant K = κ2me

, nous pouvons calculer les nouveaux termes de la sectionefficace en tenant compte des nouveaux vertex(5.26) :

dσdΩ

∣∣∣∣i j

=dσdΩ

∣∣∣∣0i j·Ti j (5.30)

avec Ti j les facteurs de corrections et i, j = γs, γt , Zs et Zt . Les facteurs de correc-tions ont été calculés avec Mathematica et sont donnés dans la figure 46. Unexemple de calculs est donné dans l’annexe à la page 143. On observe, pourK = 0 (qui est une bonne approximation pour le cas quadratique), une dépen-dance uniquement en terme du facteur de forme F(q2), avec q2=s ou t suivantles canaux. Par exemple :

limK→0

Tγsγt = F(s)2F(t)2 (5.31)

Sur la figure 47, on voit l’effet sur la section efficace différentielle d’unrayon R= 5×10−19 m. Pour mesurer des limites, nous allons poser η1 = 1 = η2.Ainsi, on trouve les limites à 95%de niveau de confiance :

R< 6.23×10−19 m pour une dépendance linéaire

R< 2.30×10−19 m pour une dépendance quadratique(5.33)

La bosse sur la figure 47 indique que les données ont une préférence pourun jeu de paramètre R,K non nul. Il est alors intéressant de découpler ces

96 V. LES RÉSULTATS ET LEURS INTERPRÉTATIONST

γs γs =c

2K4s 2+

2 (1−c

2 )K

2sF(s) 2+ (1

+c

2 )F

(s) 4

1+

c2

Tγt γt =

(1−c) 2(3

+c) 2K

4s 2+32 (1−

c2 )

K2s

F(t) 2+8

(5+

c(2

+c))

F(t) 4

8(5

+c

(2+

c))

TZ

s Zs =

rV4c

2K4s 2+

2rV

2 (1+

rV2 )(1−

c2 )

K2s

F(s) 2+ (8

rV2c+ (1

+rV

2 )2 (1

+c

2 ) )F

(s) 4

8rV

2c+ (1+

rV2 )

2(1

+c

2)

TZ

t Zt =

rV4(1−

c) 2(3+

c) 2K4s 2+

32rV

2 (1+

rV2 )(1−

c2 )

K2s

F(t) 2+8 (5

+2

c+c

2+rV

4(5

+c

(2+

c))+2

rV2

(−1

+3

c(2

+c)) )

F(t) 4

8 (5+

2c+

c2+

rV4

(5+

c(2

+c))+

2rV

2(−

1+

3c

(2+

c)) )T

γs γt =(−

1+

c)(3

+c)

K2s (

cK

2s−(−

1+

c)F

(s) 2 )+

4 (−2

cK

2s+(1

+c) 2F

(s) 2 )F

(t) 2

4(1

+c) 2

Tγs Z

s =rV

2c2K

4s 2+2

rV2 (1−

c2 )

K2s

F(s) 2+ (2c+

rV2 (1

+c

2 ))F

(s) 4

2c+

rV2

(1+

c2)

Tγs Z

t =c

K2s (

rV2

(−1

+c)

(3+

c)K

2s−8 (−

1+

rV2 )

F(t) 2 )

+F

(s) 2 (− (rV

2(1−c) 2

(3+

c)K

2s )+

4 (1+

rV2 )

(1+

c) 2F(t) 2 )

4 (1+

rV2 )

(1+

c) 2

Tγt Z

s =rV

2cK

2s ((−1

+c)

(3+

c)K

2s−8

F(t) 2 )

+F

(s) 2 ((1−rV

2 )(1−

c) 2(3

+c)

K2s+

4 (1+

rV2 )

(1+

c) 2F(t) 2 )

4 (1+

rV2 )

(1+

c) 2

Tγt Z

t =rV

2(1−c) 2(3

+c) 2K

4s 2+32

rV2 (1−

c2 )

K2s

F(t) 2+8 (−

3+

5rV

2+ (1+

rV2 )

c(2

+c) )

F(t) 4

8 (−3

+5

rV2+ (1

+rV

2 )c

(2+

c) )T

Zs Z

t =rV

2cK

2s (rV

2(−

1+

c)(3

+c)

K2s+

8 (1−rV

2 )F

(t) 2 )+

F(s) 2 (

rV2 (1−

rV2 )

(1−c) 2

(3+

c)K

2s+4 (1

+6

rV2+

rV4 )

(1+

c) 2F(t) 2 )

4 (1+

6rV

2+rV

4 )(1

+c) 2

(5.32)

FIG.46

–Facteurs

Tij

Facteursde

correctionaux

termes

dela

sectionefficace

pourtenir

compte

dela

structuredes

électrons


0.85

0.9

0.95

1

1.051.1

1.15

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

|cos θ|

Don

nées

/ M

SDonnéesMSR = 5 × 10-19 m

a)

0

1 2 3

4 5

6 7 8

9

10R

L

(× 10-19 m)

R < 6.23 × 10-19 m (95% N.C.) b)

Dépendance linéaire

0.85

0.9

0.95

1

1.051.1

1.15

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

|cos θ|

Don

nées

/ M

S

DonnéesMSR = 5 × 10-19 m

c)

0

0.5

1 1.5 2 2.5 3

3.5

4 4.5 5

R

L

(× 10-19 m)

R < 2.3 × 10-19 m (95% N.C.) d)

Dépendance quadratique

FIG. 47 – Limite sur le rayon de l’électron

Les graphiques a) et c) montrent la mesure R(|cosθ|), la prédiction du MS et la prédiction pourun rayon de l’électron R = 5× 10−19 m. Les graphiques b) et d) montrent la vraisemblance L

pour différentes valeurs de R. Les graphiques a) et b) traitent le scénario d’une dépendancelinéaire, les graphiques c) et d) d’une dépendance quadratique. La zone ombrée correspond àla limite à 95% de niveau de confiance.

variables et de trouver le jeu qui correspond le mieux aux données. En utili-sant les routines MINUIT[18], on trouve :

R= [4.80±1.21±0.52]×10−19 m = [2.43±0.61±0.27] TeV−1

K = [1.27±0.32±0.12] TeV−1(5.34)

La figure 48 montre ce que donne la prédiction théorique pour ce jeu deparamètres.

Ainsi, l’hypothèse d’une dépendance linéaire avec η1 = 1 semble être pré-férée. Mais, il est important d’interpréter ces nombres de façon correcte. Eneffet, le χ2 pour le MS vaut 84.7 pour 80 degrés de liberté. La probabilité asso-ciée à ce χ2, qui est la probabilité d’obtenir un χ2 plus mauvais en faisant unenouvelle expérience, est de 33.8%. Le χ2 de l’ajustement vaut 83.5 pour 78 de-grés de liberté, car deux degrés de liberté ont été perdus par l’utilisation desdeux paramètres de l’ajustement. La probabilité associée à ce χ2 vaut 31.4%.La différence de probabilité n’est pas suffisante pour clamer qu’un scénarioest meilleur que l’autre, et ainsi le MS avec un électron ponctuel semble toutaussi probable que cette théorie avec les paramètres ajustés.

La dernière mesure publiée par L3, qui se base uniquement sur les don-nées prises à

√s=183 et 189 GeV et dans laquelle seul le scénario d’une dé-

pendance quadratique a été considéré, vaut[19] :

R< 3.1×10−19 m (95%N.C.) (5.35)


0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

|cos θ|

Don

nées

/ M

S

Données

MS

R = 4.8 × 10-19 m et K = 1.27 TeV-1

(χ 2/ndl = 83.5 / 78)

FIG. 48 – Ajustement de la structure de l’électron aux données

Ce graphique montre la mesure R(|cosθ|) (points) et la prédiction du MS (ligne). Un ajustementdes variables R et K permet d’obtenir la prédiction représentée par la ligne traitillée.

Si les contributions non-standard du moment magnétique ge−2 sont pro-portionnelles à la masse[17] :∣∣∣g(e)exp−g(e)th

∣∣∣∼meR, (5.36)

la limite sur le rayon de l’électron peut être descendue à 2×10−22 m avec lesmesures actuelles[20] :

12

g(e−)

exp= 1.001159652200(40)

12

g(e−)

th = 1.001159652459(135)(5.37)

Dans le cas quadratique, une limite moins stricte est posée à 9×10−18 m.Ainsi, comme cette limite pour le cas linéaire est en parfait désaccord avec

le jeu de paramètre (5.34), nous sommes tenter de préférer, a posteriori, lescénario d’un électron ponctuel.

5.2. Corde dans la gravitation quantique. Dans les deux derniers pa-ragraphes de ce chapitre, nous allons interpréter nos mesures dans le cadrede deux théories qui englobent la physique quantique et la relativité générale.En effet, la théorie quantique des champs permet de décrire les processus phy-siques qui donnent lieu à la force électromagnétique, à la force faible et à laforce forte, mais elle ne permet pas de décrire la gravité. La théorie des cordesgravitationnelles ou une théorie de Low Scale Gravity permettent de décrireces quatre forces dans un même cadre.


La théorique quantique des cordes gravitationnelles prévoit une modifica-tion de la section efficace différentielle[21, 22] :

dσdcosθ

=(

dσdcosθ

)MS

∣∣∣∣∣Γ(1− sM2

S)Γ(1− t

M2S)

Γ(1− sM2

S− t

M2S)

∣∣∣∣∣2

(5.38)

avec MS l’échelle d’énergie de ce modèle et Γ la fonction Gamma.

0.85

0.9

0.95

1

1.051.1

1.15

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

|cos θ|

Don

nées

/ M

S

DonnéesMSMS

= 500 GeV

a)

0

1 2 3

4 5

6MS

-2

L

(TeV -2)

MS > 595 GeV (95% N.C.) b)

FIG. 49 – Limite sur l’échelle de masse de la théorie quantique des cordesgravitationnelles

Le graphique du haute montre la mesure R(|cosθ|) et la prédiction pour une échelle MS =

500 GeV. Le graphique du bas montre la vraisemblance L pour différentes valeurs de MS. Lazone ombrée correspond à la limite à 95% de niveau de confiance.

La figure 49 montre la prédiction pour une échelle MS = 500 GeV. La limiteà 95%de confiance vaut :

MS> 595 GeV (5.39)

La dernière limite publiée par L3 est[19] :

MS> 490 GeV (5.40)

Comme attendu, l’augmentation de la statistique permet de poser une li-mite plus forte.

5.3. Low Scale Gravity. Des théories récentes de LSG prédisent le cou-plage d’un hypothétique graviton aux fermions du MS. Ainsi, il serait possiblede créer un graviton par l’annihilation e+e−. Ce graviton se propagerait dans


Notre monde en 4 dimensions

dimension supérieure

graviton

−

e+

e+−

e

e

FIG. 50 – Diagramme du couplage d’un graviton aux particules du MS.

une dimension supérieure pour revenir dans notre monde à quatre dimen-sions et y produire une paire de fermions. La figure 50 schématise ce proces-sus.

La modification de la section efficace des événements Bhabha est[23, 24] :dσ

d|cosθ|=(

dσd|cosθ|

)MS− αλ

2sM4S

·

F1(s, t)+v2

eF2(s, t)+a2eF3(s, t)

s−m2Z

+v2

eF2(t,s)+a2eF3(t,s)

t−m2Z

+

λ2

16πsM8S

F4(s, t)

(5.41)

où les fonctions Fi de s et t sont :

F1(s, t) = 9(s3/t + t3/s

)+23(s2 + t2)+30st

F2(s, t) = 5s3 +10s2t +18st2 +9t3

F3(s, t) = 5s3 +15s2t +12st2 + t3

F4(s, t) = 41(s4 + t4)+124st(s2 + t2)+148s2t2

(5.42)

avec MS l’échelle du processus et λ posé arbitrairement à ±1.La figure 51 montre les prédictions et les données. Les limites à 95% N.C.

valent :MS> 1.20 TeV λ = +1

MS> 1.01 TeV λ =−1(5.43)

Les dernières limites publiées par L3 valent[25] :

MS> 0.98 TeV λ = +1

MS> 0.84 TeV λ =−1(5.44)


La figure 51 semble indiquer que les données ont une préférence pourλ =−1 et MS = 1296+290

−216 GeV. Ceci est loin d’être suffisant pour clamer une dé-couverte à 5σ, car cela ne représente qu’une mesure à 68% de confiance (1σ).Tout comme pour le cas de la taille de l’électron, les données ne permettentpas de donner une préférence à cette théorie plutôt qu’au MS.

-15

-10

-5

05

10

15

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

|cosθ|

D -

MS

(pb

) DonnéesMSMS

= 1.2 TeV (λ=+1)MS

= 1.2 TeV (λ=-1)

a)

0

0.5

1 1.5 2MS

-2

L

(TeV -2)

MS > 1.2 TeV (95% N.C.)

λ=+1b)

0

0.5

1 1.5 2MS

-4

L

(TeV -4)

MS > 1.01 TeV (95% N.C.)

λ=-1c)

FIG. 51 – Limite sur l’échelle de masse de la théorie LSG.

Le graphique du haut montre la mesure D(|cosθ|) et la prédiction pour une échelle MS= 1.2 TeV

pour λ = ±1. Les graphiques du bas montrent la vraisemblance L en fonction de MS. La zoneombrée correspond à la limite à 95% de niveau de confiance.

Conclusion

Ce travail de thèse a permis d’étudier de façon détaillée la diffusion Bha-bha e+e−→e+e−(γ) à des énergies dans le centre de masse

√sallant de 189 GeV

à 210 GeV. Les résultats de cette thèse sont des mesures précises qui per-mettent de vérifier les prédictions du Modèle Standard, mais aussi de testerde nouveaux modèles.

La section efficace et l’asymétrie avant-arrière ont été mesurées dans lebarrel (44 ≤ θ≤ 136) pour deux échantillons : ξ<25 et ξ<120. Les mesuressont compatibles avec les prédictions du Modèle Standard.

Pour la première fois dans la collaboration L3, une section efficace diffé-rentielle a été mesurée dans la plage

∣∣cosθ∣∣ < 0.9. Les mesures sont statisti-

quement compatibles avec les prédictions du Modèle Standard.Cette mesure de la section efficace différentielle permet d’extraire le pa-

ramètre C décrivant une variation de l’évolution de la constante de couplageélectrofaible α. La mesure de C vaut :

C = 0.927±0.041±0.029

Cette mesure est compatible à 1.3σ avec le MS (C = 1). L’hypothèse d’aucunrunning (C = 0) peut être exclu à 20σ.

La mesure de la section efficace différentielle permet aussi de tester cer-tains modèles au-delà du MS. L’étude des prédictions de ces nouveaux modèlespermet de fixer des limites à 95% de niveau de confiance.

Dans le cadre de la gravitation quantique, la théorie des cordes modifiela section efficace différentielle. Aucun effet ne peut être mis en évidence. Lalimite sur l’échelle MS de cette théorie est fixée à :

MS> 595 GeV

Certains modèles prédisent l’existence de gravitons, particules responsablesde la force gravitationnelle. Ces gravitons pourraient se coupler aux fermions.Dans le cadre d’un modèle de Low Scale Gravity, aucun effet significatif n’aété observé. Les limites sur l’échelle de cette théorie valent :

MS> 1.20 TeV λ = +1

MS> 1.01 TeV λ =−1

103

104 V. CONCLUSION

L’électron est considéré comme ponctuel dans le Modèle Standard. Dansl’hypothèse d’une structure, une mesure de son rayon peut être effectuée. Leslimite sur son rayon pour deux hypothèses de structure valent :

R< 6.23×10−19 m pour une dépendance linéaire

R< 2.30×10−19 m pour une dépendance quadratique

Le LEP ayant achevé son programme, la diffusion Bhabha à de plus hautesénergies ne pourra se faire que dans les futurs collisionneurs e+e−. L’aug-mentation de l’énergie de collision permettra-t-elle d’observer la structure desélectrons, et d’ouvrir ainsi une porte sur une nouvelle physique sub-quantique ?

Annexe A : Section efficace

– Détails numériques A9-A10 (pp.106-A10)– Systématiques A52-A53 (pp.108-A53)– Efficacité des triggers A11-A13 (pp.110-A13)

105

106 V. ANNEXE A : SECTION EFFICACE

√s

Nd

ataN

atten

du

bf

(%)

ε(%

)ε

trig(%

)L

(pb −1)

σ(pb)

σ0

(pb)P

ull

188.654028

39413.96

98.0100.0

156.4025.23±

0.40±

0.40

24.680.98

191.60659

6604.38

96.7100.0

27.4623.73±

0.92±

0.37

23.78−

0.06

195.541898

19244.02

97.3100.0

82.7222.64±

0.52±

0.36

22.96−

0.49

199.541774

18154.37

95.799.9

82.6421.47±

0.51±

0.34

21.96−

0.81

201.75857

7954.43

97.0100.0

36.9722.83±

0.78±

0.36

21.211.90

204.911482

14144.16

96.8100.0

66.9121.94±

0.57±

0.35

20.931.51

206.472571

25694.25

97.599.9

122.6920.59±

0.41±

0.32

20.570.05

208.01144

1554.34

96.999.9

7.9018.01±

1.50±

0.28

19.45−

0.95

TA

B.A9

–Section

efficace189

GeV≤

√s≤

210G

eVà

ξ<

120 .

107

√s

Nd

ata

Nat

ten

du

bf

(%)

ε(%

)ε t

rig

(%)

L(p

b−1 )

σ(p

b)σ 0

(pb)

Pul

l

188.

6537

5337

043.

3498.6

100.

015

6.40

23.5

3±

0.38±

0.17

23.2

20.

74

191.

6062

462

23.

997.3

−27.4

622.4

6±

0.90±

0.16

22.4

10.

05

195.

5417

8118

093.

4397.7

100.

082.7

221.2

7±

0.50±

0.15

21.6

1−

0.65

199.

5416

6717

243.

8196.4

100.

082.6

420.1

3±

0.49±

0.14

20.8

2−

1.34

201.

7581

175

53.

897.6

−36.9

721.6

3±

0.76±

0.15

20.1

51.

90

204.

9113

7913

353.

5997.5

100.

066.9

120.3

7±

0.55±

0.14

19.7

41.

12

206.

4724

1824

253.

7498.0

100.

012

2.69

19.3

6±

0.39±

0.14

19.4

1−

0.13

208.

0113

714

83.

6897.7

100.

07.

9017.1

0±

1.46±

0.12

18.4

8−

0.94

TA

B.A

10–

Sect

ion

effic

ace

189

GeV≤√

s≤

210

GeV

àξ<

25 .

Le−

dans

laco

lonn

eε t

rig

sign

ifie

qu’il

n’y

apa

seu

td’é

véne

men

tqui

puis

sepe

rmet

tre

d’es

tim

erla

prés

ence

d’un

ein

effic

acit

é.L

e10

0.0

sign

ifie

qu’il

ya

euau

moi

nsun

évén

emen

tpr

oven

ant

d’un

ein

effic

acit

é,m

ais

l’arr

ondi

donn

e10

0.0.


189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV

E1/E

beam ≥ 0.5

1

10

10 2

10 3

10 4N

ombr

e d’

évén

emen

ts

44o < θ1,2 < 136o

ξ < 25o

a)

E1/E

beam ≥ 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Qua

lité

E1/E

beam ≥ 0.5

0.96

0.98

1

1.02

1.04

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

E1/E

beam

X/X

0


189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV

E2 ≥ 20 GeV

1

10

10 2

10 3

Nom

bre

d’év

énem

ents

44o < θ1,2 < 136o

ξ < 25o

b)

E2 ≥ 20 GeV

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Qua

lité

E2 ≥ 20 GeV

0.96

0.98

1

1.02

1.04

0 20 40 60 80 100

E2

X/X

0

(GeV)


189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV

R ≥ 0.2

1

10

10 2

10 3

10 4

Nom

bre

d’év

énem

ents

44o < θ1,2 < 136o

ξ < 25o

a)

R ≥ 0.2

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Qua

lité

R ≥ 0.2

0.96

0.98

1

1.02

1.04

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Rhits

X/X

0


FIG. A52 – Graphique N−1 pour la section efficace 44 < θ< 136 à ξ< 25.

109

189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV

E1/E

beam ≥ 0.4

1

10

10 2

10 3

10 4

10 5

Nom

bre

d’év

énem

ents

12o < θ1,2 < 168o

ξ < 25o

a)

E1/E

beam ≥ 0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Qua

lité

E1/E

beam ≥ 0.4

0.96

0.98

1

1.02

1.04

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

E1/E

beam

X/X

0


189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV

E2 ≥ 10 GeV

1

10

10 2

10 3

10 4

10 5

Nom

bre

d’év

énem

ents

12o < θ1,2 < 168o

ξ < 25o

b)

E2 ≥ 10 GeV

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Qua

lité

E2 ≥ 10 GeV

0.96

0.98

1

1.02

1.04

0 20 40 60 80 100

E2

X/X

0

(GeV)


189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV

R ≥ 0.2

1

10

10 2

10 3

10 4

10 5

10 6

Nom

bre

d’év

énem

ents

12o < θ1,2 < 168o

ξ < 25o

a)

R ≥ 0.2

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Qua

lité

R ≥ 0.2

0.96

0.98

1

1.02

1.04

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Rhits

X/X

0

Systématique = 7 ‰

FIG. A53 – Graphique N−1 pour la section efficace 12 < θ< 168 à ξ< 25.


Trigger TEC Trigger Énergie Niveau 2 Niveau 3 Efficacité Globale

189 GeV 12.9±0.1 99.9±0.0 99.5±0.0 100±0.0 99.4±0.1

192 GeV 11.7±0.3 100±0.0 98.0±0.1 100±0.0 98.0±0.3

196 GeV 12.0±0.2 99.8±0.1 99.4±0.0 100±0.0 99.3±0.1

200 GeV 11.8±0.2 99.9±0.0 99.5±0.0 100±0.0 99.5±0.1

202 GeV 11.6±0.3 99.8±0.1 99.5±0.1 100±0.0 99.3±0.2

205 GeV 13.0±0.2 99.7±0.1 99.5±0.0 100±0.0 99.3±0.1

206 GeV 12.8±0.1 98.0±0.2 99.6±0.0 100±0.0 97.9±0.2

208 GeV 12.3±0.6 99.3±0.4 98.8±0.2 100±0.0 98.2±0.7

Tous 12.4±0.1 99.5±0 99.4±0.0 100±0.0 99.0±0.1

TAB. A11 – Efficacité des triggers pour tous les Bhabha à partir de 12.

Trigger TEC Trigger Énergie Niveau 2 Niveau 3 Efficacité Global

189 GeV 48.5±0.3 99.8±0.0 99.9±0.0 100±0.0 99.8±0.0

192 GeV 46.9±0.7 100±0.0 97.9±0.2 100±0.0 97.9±0.3

196 GeV 46.0±0.4 99.9±0.0 99.9±0.0 100±0.0 99.8±0.1

200 GeV 43.8±0.4 99.9±0.0 100±0.0 100±0.0 100±0.0

202 GeV 46.2±0.7 99.9±0.1 100±0.0 100±0.0 99.9±0.1

205 GeV 48.9±0.5 99.8±0.1 100±0.0 100±0.0 99.9±0.0

206 GeV 48.3±0.4 97.9±0.2 100±0.0 100±0.0 98.9±0.1

208 GeV 44.5±1.5 99.2±0.4 100±0.0 100±0.0 99.6±0.3

Tous 47.2±0.2 99.5±0.0 99.9±0.0 100±0.0 99.6±0.0


111

Trigger TEC Trigger Énergie Niveau 2 Niveau 3 Efficacité Global

189 GeV 98.0±0.2 99.7±0.1 100±0.0 100±0.0 100±0.0

192 GeV 98.8±0.4 100±0.0 100±0.0 100±0.0 100±0.0

196 GeV 98.4±0.3 100±0.0 100±0.0 100±0.0 100±0.0

200 GeV 89.7±0.7 99.9±0.1 100±0.0 100±0.0 100±0.0

202 GeV 98.1±0.5 100±0.0 100±0.0 100±0.0 100±0.0

205 GeV 97.3±0.4 99.8±0.1 100±0.0 100±0.0 100±0.0

206 GeV 98.0±0.3 98±0.3 100±0.0 100±0.0 100±0.0

208 GeV 97.9±1.2 99.3±0.7 100±0.0 100±0.0 100±0.0

Tous 96.9±0.1 99.5±0.1 100±0.0 100±0.0 100±0.0


Annexe B : Asymétrie

– Détails numériques B14-B21 (pp.114-B21)– Graphiques B54-B57 (pp.122-B57)

113

114 V. ANNEXE B : ASYMÉTRIE

Bin Ndata Nattendu b f (%) ε (%) c.c. (%) dσdcosθ ( pb)

(−0.72;−0.63) 55 53 3.1 77.9±1.8 4.5±0.9 0.884±0.702±0.821

(−0.63;−0.54) 54 66 1.1 75.2±2.3 5.2±0.9 2.398±0.738±0.508

(−0.54;−0.45) 41 19 4.5 73.4±3.0 5.2±0.9 2.147±0.635±0.315

(−0.45;−0.36) 47 46 1.8 75.8±3.4 8.4±2.0 2.680±0.709±0.461

(−0.36;−0.27) 41 43 2.9 72.1±4.1 8.4±2.0 2.919±0.685±0.280

(−0.27;−0.18) 57 52 4.3 67.1±4.5 8.9±2.6 5.151±0.855±0.223

(−0.18;−0.09) 56 51 3.6 64.3±4.9 8.9±2.6 5.657±0.888±0.108

(−0.09;0.00) 67 55 3.6 61.2±5.0 8.9±2.6 7.333±1.020±0.059

(0.00;0.09) 80 59 3.0 61.2±5.0 8.9±2.6 9.171±1.120±0.059

(0.09;0.18) 81 88 2.1 64.3±4.9 8.9±2.6 9.055±1.081±0.108

(0.18;0.27) 111 120 1.8 67.1±4.5 8.9±2.6 12.161±1.216±0.223

(0.27;0.36) 142 156 1.4 72.1±4.1 8.4±2.0 14.799±1.277±0.280

(0.36;0.45) 223 218 1.6 75.8±3.4 8.4±2.0 22.216±1.518±0.461

(0.45;0.54) 331 310 0.7 73.4±3.0 5.2±0.9 33.466±1.852±0.315

(0.54;0.63) 534 510 0.4 75.2±2.3 5.2±0.9 52.882±2.302±0.508

(0.63;0.72) 932 841 0.4 77.9±1.8 4.5±0.9 88.689±2.913±0.821

L = 156.40 pb−1 √s= 188.65 GeV AFB = 0.785±0.012±0.016


(−0.72;−0.63) 55 53 3.1 78.0±1.8 4.5±0.9 0.883±0.701±0.820

(−0.63;−0.54) 53 64 1.1 75.9±2.3 5.2±0.9 2.277±0.725±0.504

(−0.54;−0.45) 40 18 4.2 74.7±3.0 5.2±0.9 2.057±0.618±0.304

(−0.45;−0.36) 46 46 1.7 77.1±3.4 8.4±2.0 2.663±0.690±0.420

(−0.36;−0.27) 38 42 3.0 76.8±4.1 8.4±2.0 2.508±0.619±0.253

(−0.27;−0.18) 49 45 4.7 73.3±4.6 8.9±2.6 3.956±0.724±0.204

(−0.18;−0.09) 43 43 3.5 67.2±5.4 8.9±2.6 4.170±0.747±0.079

(−0.09;0.00) 53 48 3.3 72.4±5.4 8.9±2.6 4.869±0.770±0.057

(0.00;0.09) 68 54 2.4 72.4±5.4 8.9±2.6 6.674±0.878±0.057

(0.09;0.18) 62 78 2.1 67.2±5.4 8.9±2.6 6.635±0.906±0.079

(0.18;0.27) 103 109 1.8 73.3±4.6 8.9±2.6 10.375±1.073±0.204

(0.27;0.36) 135 152 1.3 76.8±4.1 8.4±2.0 13.235±1.170±0.253

(0.36;0.45) 208 207 1.1 77.1±3.4 8.4±2.0 20.462±1.449±0.420

(0.45;0.54) 325 305 0.7 74.7±3.0 5.2±0.9 32.274±1.802±0.304

(0.54;0.63) 534 510 0.4 75.9±2.3 5.2±0.9 52.409±2.281±0.504

(0.63;0.72) 932 841 0.4 78.0±1.8 4.5±0.9 88.595±2.910±0.820

L = 156.40 pb−1 √s= 188.65 GeV AFB = 0.816±0.012±0.015

TAB. B14 – Asymétrie√

s= 189 GeV.

ξ< 120 : tableau du haut, ξ< 25 : tableau du bas

115


(−0.72;−0.63) 8 10 3.6 70.5±3.1 4.5±0.9 0.398±1.679±0.831

(−0.63;−0.54) 9 10 0.7 75.2±3.8 5.2±0.9 2.102±1.726±0.519

(−0.54;−0.45) 6 7 4.0 71.4±4.9 5.2±0.9 1.731±1.431±0.294

(−0.45;−0.36) 8 7 4.1 74.1±5.1 8.4±2.0 2.533±1.667±0.463

(−0.36;−0.27) 9 6 1.7 72.5±5.4 8.4±2.0 3.809±1.838±0.315

(−0.27;−0.18) 5 7 1.7 65.9±8.2 8.9±2.6 2.318±1.517±0.251

(−0.18;−0.09) 4 11 2.4 54.9±9.9 8.9±2.6 2.414±1.613±0.167

(−0.09;0.00) 9 9 4.5 65.7±6.2 8.9±2.6 4.948±1.969±0.123

(0.00;0.09) 14 10 1.8 65.7±6.2 8.9±2.6 8.801±2.512±0.123

(0.09;0.18) 10 13 2.5 54.9±9.9 8.9±2.6 7.655±2.524±0.167

(0.18;0.27) 16 20 3.3 65.9±8.2 8.9±2.6 10.198±2.635±0.251

(0.27;0.36) 29 21 0.9 72.5±5.4 8.4±2.0 17.178±3.287±0.315

(0.36;0.45) 38 40 1.2 74.1±5.1 8.4±2.0 22.165±3.668±0.463

(0.45;0.54) 52 56 0.2 71.4±4.9 5.2±0.9 30.933±4.317±0.294

(0.54;0.63) 95 85 0.2 75.2±3.8 5.2±0.9 53.744±5.544±0.519

(0.63;0.72) 151 144 1.6 70.5±3.1 4.5±0.9 89.348±7.289±0.831

L = 27.46 pb−1 √s= 191.60 GeV AFB = 0.844±0.026±0.008


(−0.72;−0.63) 8 10 3.6 70.7±3.2 4.5±0.9 0.397±1.673±0.828

(−0.63;−0.54) 9 10 0.7 76.0±3.8 5.2±0.9 2.079±1.708±0.514

(−0.54;−0.45) 6 6 4.4 73.7±5.0 5.2±0.9 1.728±1.380±0.272

(−0.45;−0.36) 8 6 4.2 77.5±5.2 8.4±2.0 2.489±1.590±0.423

(−0.36;−0.27) 7 5 1.9 76.2±5.9 8.4±2.0 2.623±1.541±0.285

(−0.27;−0.18) 5 7 1.6 73.2±8.3 8.9±2.6 2.138±1.366±0.209

(−0.18;−0.09) 3 8 2.3 56.0±12.3 8.9±2.6 1.814±1.371±0.110

(−0.09;0.00) 6 8 3.6 73.1±7.2 8.9±2.6 2.721±1.464±0.172

(0.00;0.09) 14 8 1.4 73.1±7.2 8.9±2.6 8.113±2.265±0.172

(0.09;0.18) 7 11 2.0 56.0±12.3 8.9±2.6 5.265±2.081±0.110

(0.18;0.27) 15 18 2.1 73.2±8.3 8.9±2.6 8.694±2.324±0.209

(0.27;0.36) 26 20 0.8 76.2±5.9 8.4±2.0 14.707±2.960±0.285

(0.36;0.45) 37 40 2.1 77.5±5.2 8.4±2.0 20.424±3.427±0.423

(0.45;0.54) 50 55 0.2 73.7±5.0 5.2±0.9 28.822±4.103±0.272

(0.54;0.63) 95 85 0.2 76.0±3.8 5.2±0.9 53.172±5.485±0.514

(0.63;0.72) 151 144 1.6 70.7±3.2 4.5±0.9 89.010±7.262±0.828

L = 27.46 pb−1 √s= 191.60 GeV AFB = 0.869±0.025±0.025


s= 192 GeV.




(−0.72;−0.63) 36 28 2.5 75.2±1.9 4.5±0.9 2.815±1.111±0.711

(−0.63;−0.54) 23 29 3.9 72.3±2.6 5.2±0.9 1.717±0.922±0.457

(−0.54;−0.45) 26 19 0.9 68.7±3.2 5.2±0.9 3.525±1.055±0.289

(−0.45;−0.36) 23 20 4.3 68.2±4.0 8.4±2.0 2.909±1.014±0.398

(−0.36;−0.27) 26 24 2.1 66.0±4.4 8.4±2.0 4.289±1.131±0.248

(−0.27;−0.18) 25 16 7.5 67.5±4.9 8.9±2.6 4.032±1.031±0.205

(−0.18;−0.09) 19 27 2.1 67.5±4.9 8.9±2.6 3.066±0.952±0.228

(−0.09;0.00) 26 31 2.3 65.2±5.4 8.9±2.6 5.200±1.143±0.012

(0.00;0.09) 28 34 3.8 65.2±5.4 8.9±2.6 5.586±1.168±0.012

(0.09;0.18) 50 45 3.5 67.5±4.9 8.9±2.6 10.234±1.507±0.228

(0.18;0.27) 50 51 0.4 67.5±4.9 8.9±2.6 10.481±1.556±0.205

(0.27;0.36) 69 63 0.7 66.0±4.4 8.4±2.0 14.825±1.851±0.248

(0.36;0.45) 94 107 0.8 68.2±4.0 8.4±2.0 19.804±2.090±0.398

(0.45;0.54) 159 158 1.0 68.7±3.2 5.2±0.9 32.259±2.582±0.289

(0.54;0.63) 242 266 0.3 72.3±2.6 5.2±0.9 47.205±3.050±0.457

(0.63;0.72) 428 447 1.2 75.2±1.9 4.5±0.9 78.932±3.831±0.711

L = 82.72 pb−1 √s= 195.54 GeV AFB = 0.777±0.018±0.030


(−0.72;−0.63) 36 28 2.5 75.4±1.9 4.5±0.9 2.809±1.108±0.710

(−0.63;−0.54) 23 29 3.9 72.8±2.6 5.2±0.9 1.717±0.916±0.452

(−0.54;−0.45) 26 19 1.0 70.0±3.2 5.2±0.9 3.512±1.035±0.274

(−0.45;−0.36) 23 19 2.7 70.6±4.1 8.4±2.0 2.972±0.995±0.360

(−0.36;−0.27) 26 23 2.2 72.2±4.5 8.4±2.0 3.976±1.033±0.210

(−0.27;−0.18) 23 14 8.0 71.9±5.0 8.9±2.6 3.442±0.923±0.183

(−0.18;−0.09) 13 24 3.3 73.0±5.5 8.9±2.6 1.706±0.722±0.218

(−0.09;0.00) 22 28 1.3 74.7±5.9 8.9±2.6 3.839±0.927±0.023

(0.00;0.09) 26 29 4.0 74.7±5.9 8.9±2.6 4.549±0.979±0.023

(0.09;0.18) 44 39 2.0 73.0±5.5 8.9±2.6 8.539±1.327±0.218

(0.18;0.27) 47 49 1.0 71.9±5.0 8.9±2.6 9.202±1.407±0.183

(0.27;0.36) 66 59 1.1 72.2±4.5 8.4±2.0 12.882±1.647±0.210

(0.36;0.45) 90 101 1.0 70.6±4.1 8.4±2.0 18.243±1.971±0.360

(0.45;0.54) 154 154 0.8 70.0±3.2 5.2±0.9 30.753±2.502±0.274

(0.54;0.63) 241 266 0.3 72.8±2.6 5.2±0.9 46.704±3.024±0.452

(0.63;0.72) 428 447 1.2 75.4±1.9 4.5±0.9 78.756±3.822±0.710

L = 82.72 pb−1 √s= 195.54 GeV AFB = 0.795±0.018±0.011


s= 196 GeV.


117


(−0.72;−0.63) 30 35 2.8 73.8±1.9 4.5±0.9 1.873±1.034±0.710

(−0.63;−0.54) 24 21 7.4 70.1±2.6 5.2±0.9 1.916±0.937±0.449

(−0.54;−0.45) 22 22 3.5 75.8±3.1 5.2±0.9 2.595±0.859±0.225

(−0.45;−0.36) 16 21 6.3 66.7±4.1 8.4±2.0 1.539±0.853±0.414

(−0.36;−0.27) 20 19 2.5 71.1±4.3 8.4±2.0 2.864±0.920±0.229

(−0.27;−0.18) 17 20 3.5 64.7±4.9 8.9±2.6 2.653±0.929±0.271

(−0.18;−0.09) 20 19 4.2 63.1±5.3 8.9±2.6 3.781±1.019±0.108

(−0.09;0.00) 26 28 6.7 56.8±5.6 8.9±2.6 5.631±1.255±0.040

(0.00;0.09) 30 29 4.6 56.8±5.6 8.9±2.6 6.886±1.376±0.040

(0.09;0.18) 33 38 2.2 63.1±5.3 8.9±2.6 7.173±1.329±0.108

(0.18;0.27) 51 51 1.8 64.7±4.9 8.9±2.6 11.160±1.617±0.271

(0.27;0.36) 63 67 1.2 71.1±4.3 8.4±2.0 12.582±1.634±0.229

(0.36;0.45) 88 99 0.7 66.7±4.1 8.4±2.0 19.080±2.068±0.414

(0.45;0.54) 135 163 0.9 75.8±3.1 5.2±0.9 24.921±2.164±0.225

(0.54;0.63) 233 256 1.0 70.1±2.6 5.2±0.9 46.607±3.070±0.449

(0.63;0.72) 414 402 1.4 73.8±1.9 4.5±0.9 77.795±3.837±0.710

L = 82.64 pb−1 √s= 199.54 GeV AFB = 0.800±0.018±0.069


(−0.72;−0.63) 30 35 2.8 74.0±1.9 4.5±0.9 1.869±1.032±0.708

(−0.63;−0.54) 24 21 7.4 70.8±2.6 5.2±0.9 1.897±0.928±0.445

(−0.54;−0.45) 22 21 3.6 78.8±3.1 5.2±0.9 2.512±0.825±0.212

(−0.45;−0.36) 16 20 6.6 71.0±4.2 8.4±2.0 1.498±0.799±0.372

(−0.36;−0.27) 20 18 4.2 75.4±4.5 8.4±2.0 2.743±0.852±0.188

(−0.27;−0.18) 17 19 3.2 69.5±5.1 8.9±2.6 2.542±0.867±0.230

(−0.18;−0.09) 19 16 4.0 74.9±5.7 8.9±2.6 3.094±0.838±0.064

(−0.09;0.00) 21 23 5.8 65.8±6.4 8.9±2.6 3.908±0.983±0.047

(0.00;0.09) 27 24 4.6 65.8±6.4 8.9±2.6 5.394±1.126±0.047

(0.09;0.18) 28 34 1.9 74.9±5.7 8.9±2.6 5.109±1.035±0.064

(0.18;0.27) 48 48 1.8 69.5±5.1 8.9±2.6 9.761±1.461±0.230

(0.27;0.36) 57 64 1.1 75.4±4.5 8.4±2.0 10.726±1.469±0.188

(0.36;0.45) 85 96 1.0 71.0±4.2 8.4±2.0 17.270±1.906±0.372

(0.45;0.54) 133 159 0.9 78.8±3.1 5.2±0.9 23.600±2.065±0.212

(0.54;0.63) 233 256 1.0 70.8±2.6 5.2±0.9 46.153±3.040±0.445

(0.63;0.72) 414 402 1.4 74.0±1.9 4.5±0.9 77.593±3.827±0.708

L = 82.64 pb−1 √s= 199.54 GeV AFB = 0.814±0.018±0.066


s= 200 GeV.




(−0.72;−0.63) 19 12 2.4 69.7±3.0 4.5±0.9 4.992±1.944±0.619

(−0.63;−0.54) 13 11 3.3 65.2±3.8 5.2±0.9 3.359±1.723±0.466

(−0.54;−0.45) 10 10 3.4 70.5±4.1 5.2±0.9 2.297±1.397±0.349

(−0.45;−0.36) 4 7 3.6 68.6±5.2 8.4±2.0 −0.382±0.982±0.579

(−0.36;−0.27) 12 8 2.8 58.9±6.6 8.4±2.0 5.299±1.910±0.183

(−0.27;−0.18) 11 8 0.6 63.7±7.5 8.9±2.6 4.809±1.734±0.123

(−0.18;−0.09) 11 9 4.6 64.1±7.1 8.9±2.6 4.459±1.658±0.165

(−0.09;0.00) 13 10 4.8 68.4±6.3 8.9±2.6 5.060±1.686±0.138

(0.00;0.09) 21 16 2.5 68.4±6.3 8.9±2.6 9.384±2.182±0.138

(0.09;0.18) 20 15 2.1 64.1±7.1 8.9±2.6 9.640±2.280±0.165

(0.18;0.27) 18 21 1.8 63.7±7.5 8.9±2.6 8.679±2.183±0.123

(0.27;0.36) 25 27 2.8 58.9±6.6 8.4±2.0 13.053±2.737±0.183

(0.36;0.45) 51 38 1.1 68.6±5.2 8.4±2.0 24.163±3.409±0.579

(0.45;0.54) 83 60 0.7 70.5±4.1 5.2±0.9 36.990±4.087±0.349

(0.54;0.63) 103 101 0.4 65.2±3.8 5.2±0.9 49.733±4.935±0.466

(0.63;0.72) 160 171 1.0 69.7±3.0 4.5±0.9 71.251±5.665±0.619

L = 36.97 pb−1 √s= 201.75 GeV AFB = 0.763±0.029±0.028


(−0.72;−0.63) 19 12 2.4 69.9±3.0 4.5±0.9 4.981±1.940±0.618

(−0.63;−0.54) 13 11 3.3 66.1±3.8 5.2±0.9 3.313±1.699±0.460

(−0.54;−0.45) 10 10 3.5 71.6±4.2 5.2±0.9 2.306±1.373±0.334

(−0.45;−0.36) 4 6 3.8 70.5±5.5 8.4±2.0 −0.246±0.951±0.527

(−0.36;−0.27) 10 7 3.0 63.7±7.2 8.4±2.0 4.007±1.608±0.158

(−0.27;−0.18) 9 6 0.8 67.8±8.0 8.9±2.6 3.537±1.475±0.151

(−0.18;−0.09) 8 8 3.1 70.0±8.2 8.9±2.6 2.873±1.318±0.163

(−0.09;0.00) 10 8 5.0 74.7±7.2 8.9±2.6 3.425±1.351±0.142

(0.00;0.09) 19 13 2.1 74.7±7.2 8.9±2.6 7.876±1.906±0.142

(0.09;0.18) 18 13 2.3 70.0±8.2 8.9±2.6 8.005±1.975±0.163

(0.18;0.27) 18 20 1.6 67.8±8.0 8.9±2.6 8.269±2.054±0.151

(0.27;0.36) 22 26 2.2 63.7±7.2 8.4±2.0 10.715±2.388±0.158

(0.36;0.45) 48 36 1.1 70.5±5.5 8.4±2.0 22.123±3.218±0.527

(0.45;0.54) 81 59 0.7 71.6±4.2 5.2±0.9 35.500±3.972±0.334

(0.54;0.63) 103 101 0.4 66.1±3.8 5.2±0.9 49.042±4.866±0.460

(0.63;0.72) 160 171 1.0 69.9±3.0 4.5±0.9 71.097±5.653±0.618

L = 36.97 pb−1 √s= 201.75 GeV AFB = 0.796±0.027±0.037


s= 202 GeV.


119


(−0.72;−0.63) 31 24 3.2 71.9±2.2 4.5±0.9 3.732±1.322±0.660

(−0.63;−0.54) 18 20 1.8 67.3±3.0 5.2±0.9 2.111±1.104±0.430

(−0.54;−0.45) 11 14 1.7 64.3±3.7 5.2±0.9 1.201±0.906±0.305

(−0.45;−0.36) 15 14 0.5 67.1±4.3 8.4±2.0 2.310±1.070±0.386

(−0.36;−0.27) 12 12 6.6 64.1±5.0 8.4±2.0 1.691±0.943±0.338

(−0.27;−0.18) 19 16 2.3 60.9±5.6 8.9±2.6 4.695±1.296±0.131

(−0.18;−0.09) 19 17 6.8 53.2±5.9 8.9±2.6 5.166±1.416±0.130

(−0.09;0.00) 20 21 1.5 59.6±5.8 8.9±2.6 5.338±1.366±0.052

(0.00;0.09) 25 24 1.9 59.6±5.8 8.9±2.6 6.973±1.519±0.052

(0.09;0.18) 29 24 1.9 53.2±5.9 8.9±2.6 9.236±1.831±0.130

(0.18;0.27) 32 36 3.1 60.9±5.6 8.9±2.6 8.818±1.660±0.131

(0.27;0.36) 58 51 1.4 64.1±5.0 8.4±2.0 16.013±2.143±0.338

(0.36;0.45) 71 71 1.5 67.1±4.3 8.4±2.0 18.678±2.263±0.386

(0.45;0.54) 117 105 1.0 64.3±3.7 5.2±0.9 31.505±2.928±0.305

(0.54;0.63) 174 174 0.6 67.3±3.0 5.2±0.9 44.902±3.424±0.430

(0.63;0.72) 313 280 1.6 71.9±2.2 4.5±0.9 74.393±4.225±0.660

L = 66.91 pb−1 √s= 204.91 GeV AFB = 0.778±0.022±0.025


(−0.72;−0.63) 31 24 3.2 72.2±2.2 4.5±0.9 3.714±1.316±0.657

(−0.63;−0.54) 18 20 1.8 68.0±3.0 5.2±0.9 2.090±1.093±0.426

(−0.54;−0.45) 11 13 1.8 65.2±3.7 5.2±0.9 1.228±0.892±0.292

(−0.45;−0.36) 13 14 0.5 71.4±4.4 8.4±2.0 1.709±0.939±0.363

(−0.36;−0.27) 10 11 6.8 65.8±5.3 8.4±2.0 1.230±0.841±0.314

(−0.27;−0.18) 18 15 1.9 65.3±6.2 8.9±2.6 4.283±1.180±0.074

(−0.18;−0.09) 19 15 5.1 59.8±6.4 8.9±2.6 4.784±1.281±0.080

(−0.09;0.00) 12 18 1.5 67.5±6.9 8.9±2.6 2.652±0.939±0.093

(0.00;0.09) 22 20 2.0 67.5±6.9 8.9±2.6 5.568±1.257±0.093

(0.09;0.18) 26 22 2.1 59.8±6.4 8.9±2.6 7.283±1.539±0.080

(0.18;0.27) 26 35 3.2 65.3±6.2 8.9±2.6 6.606±1.395±0.074

(0.27;0.36) 54 47 1.5 65.8±5.3 8.4±2.0 14.554±2.015±0.314

(0.36;0.45) 69 69 1.5 71.4±4.4 8.4±2.0 17.099±2.097±0.363

(0.45;0.54) 114 104 1.1 65.2±3.7 5.2±0.9 30.247±2.848±0.292

(0.54;0.63) 174 174 0.6 68.0±3.0 5.2±0.9 44.457±3.390±0.426

(0.63;0.72) 313 280 1.6 72.2±2.2 4.5±0.9 74.033±4.204±0.657

L = 66.91 pb−1 √s= 204.91 GeV AFB = 0.804±0.021±0.032


s= 205 GeV.




(−0.72;−0.63) 31 43 1.5 68.8±2.2 4.5±0.9 0.784±0.772±0.667

(−0.63;−0.54) 32 36 1.9 70.2±2.7 5.2±0.9 1.976±0.769±0.397

(−0.54;−0.45) 26 27 1.7 66.2±3.4 5.2±0.9 2.081±0.735±0.271

(−0.45;−0.36) 33 30 0.4 66.3±4.0 8.4±2.0 2.881±0.876±0.448

(−0.36;−0.27) 36 26 5.5 63.7±4.6 8.4±2.0 4.031±0.899±0.225

(−0.27;−0.18) 24 22 3.1 63.2±5.4 8.9±2.6 2.744±0.762±0.210

(−0.18;−0.09) 27 26 6.8 63.6±6.0 8.9±2.6 3.307±0.770±0.099

(−0.09;0.00) 33 26 2.3 53.4±6.1 8.9±2.6 5.400±1.061±0.025

(0.00;0.09) 37 34 2.5 53.4±6.1 8.9±2.6 6.191±1.120±0.025

(0.09;0.18) 44 43 2.0 63.6±6.0 8.9±2.6 6.420±1.029±0.099

(0.18;0.27) 63 73 2.9 63.2±5.4 8.9±2.6 9.347±1.225±0.210

(0.27;0.36) 91 108 1.2 63.7±4.6 8.4±2.0 13.591±1.479±0.225

(0.36;0.45) 151 123 1.6 66.3±4.0 8.4±2.0 21.887±1.820±0.448

(0.45;0.54) 205 194 1.4 66.2±3.4 5.2±0.9 29.046±2.043±0.271

(0.54;0.63) 308 323 0.8 70.2±2.7 5.2±0.9 41.467±2.377±0.397

(0.63;0.72) 531 509 1.4 68.8±2.2 4.5±0.9 72.145±3.140±0.667

L = 122.69 pb−1 √s= 206.47 GeV AFB = 0.792±0.016±0.020


(−0.72;−0.63) 31 43 1.5 69.1±2.2 4.5±0.9 0.782±0.770±0.665

(−0.63;−0.54) 32 36 1.9 70.8±2.7 5.2±0.9 1.956±0.764±0.395

(−0.54;−0.45) 25 27 1.7 67.5±3.5 5.2±0.9 1.928±0.707±0.263

(−0.45;−0.36) 31 28 0.5 70.4±4.0 8.4±2.0 2.521±0.800±0.404

(−0.36;−0.27) 34 25 5.9 66.4±4.7 8.4±2.0 3.648±0.835±0.201

(−0.27;−0.18) 22 21 2.5 68.8±5.7 8.9±2.6 2.384±0.675±0.158

(−0.18;−0.09) 24 23 4.6 69.7±6.4 8.9±2.6 2.747±0.678±0.082

(−0.09;0.00) 29 23 2.1 57.0±6.7 8.9±2.6 4.496±0.933±0.006

(0.00;0.09) 30 32 2.3 57.0±6.7 8.9±2.6 4.673±0.946±0.006

(0.09;0.18) 40 38 2.2 69.7±6.4 8.9±2.6 5.309±0.893±0.082

(0.18;0.27) 54 70 2.9 68.8±5.7 8.9±2.6 7.346±1.043±0.158

(0.27;0.36) 85 101 1.3 66.4±4.7 8.4±2.0 12.166±1.370±0.201

(0.36;0.45) 144 119 1.6 70.4±4.0 8.4±2.0 19.654±1.673±0.404

(0.45;0.54) 201 189 1.1 67.5±3.5 5.2±0.9 28.064±1.994±0.263

(0.54;0.63) 308 321 0.6 70.8±2.7 5.2±0.9 41.260±2.365±0.395

(0.63;0.72) 531 509 1.4 69.1±2.2 4.5±0.9 71.928±3.130±0.665

L = 122.69 pb−1 √s= 206.47 GeV AFB = 0.806±0.016±0.006


s= 206 GeV.


121


(−0.72;−0.63) 2 2 1.5 78.2±4.6 4.5±0.9 0.272±2.686±0.674

(−0.63;−0.54) 4 2 1.9 60.2±9.2 5.2±0.9 8.076±4.876±0.209

(−0.54;−0.45) 1 1 1.7 59.0±10.0 5.2±0.9 0.828±2.527±0.290

(−0.45;−0.36) 1 1 0.4 57.8±10.6 8.4±2.0 −0.006±2.789±0.679

(−0.36;−0.27) 3 1 5.5 47.3±16.8 8.4±2.0 8.991±5.372±0.156

(−0.27;−0.18) 1 1 3.1 59.4±19.4 8.9±2.6 2.044±2.564±0.089

(−0.18;−0.09) 2 1 6.8 53.1±15.3 8.9±2.6 4.629±3.898±0.111

(−0.09;0.00) 2 1 2.3 74.8±3.8 8.9±2.6 3.874±2.886±0.071

(0.00;0.09) 1 2 2.5 74.8±3.8 8.9±2.6 1.635±2.051±0.071

(0.09;0.18) 3 2 2.0 53.1±15.3 8.9±2.6 8.099±4.998±0.111

(0.18;0.27) 2 4 2.9 59.4±19.4 8.9±2.6 4.844±3.609±0.089

(0.27;0.36) 1 6 1.2 47.3±16.8 8.4±2.0 2.381±3.275±0.156

(0.36;0.45) 11 7 1.6 57.8±10.6 8.4±2.0 28.781±8.755±0.679

(0.45;0.54) 12 12 1.4 59.0±10.0 5.2±0.9 29.704±8.616±0.290

(0.54;0.63) 12 20 0.8 60.2±9.2 5.2±0.9 28.898±8.502±0.209

(0.63;0.72) 39 32 1.4 78.2±4.6 4.5±0.9 72.427±11.626±0.674

L = 7.90 pb−1 √s= 208.01 GeV AFB = 0.721±0.076±0.023


(−0.72;−0.63) 2 2 1.5 78.5±4.7 4.5±0.9 0.271±2.678±0.672

(−0.63;−0.54) 4 2 1.9 60.7±9.3 5.2±0.9 8.013±4.840±0.209

(−0.54;−0.45) 1 1 1.7 63.5±10.0 5.2±0.9 0.764±2.350±0.271

(−0.45;−0.36) 1 1 0.5 59.2±11.4 8.4±2.0 0.232±2.710±0.596

(−0.36;−0.27) 3 1 5.9 48.4±17.2 8.4±2.0 8.741±5.223±0.151

(−0.27;−0.18) 1 1 2.5 57.9±25.4 8.9±2.6 2.368±2.634±0.000

(−0.18;−0.09) 1 1 4.6 55.2±18.3 8.9±2.6 1.887±2.733±0.195

(−0.09;0.00) 1 1 2.1 81.1±3.8 8.9±2.6 1.697±1.889±0.000

(0.00;0.09) 1 2 2.3 81.1±3.8 8.9±2.6 1.693±1.885±0.000

(0.09;0.18) 3 2 2.2 55.2±18.3 8.9±2.6 8.021±4.789±0.195

(0.18;0.27) 1 4 2.9 57.9±25.4 8.9±2.6 2.357±2.624±0.000

(0.27;0.36) 1 6 1.3 48.4±17.2 8.4±2.0 2.324±3.193±0.151

(0.36;0.45) 10 7 1.6 59.2±11.4 8.4±2.0 25.490±8.140±0.596

(0.45;0.54) 12 12 1.1 63.5±10.0 5.2±0.9 27.725±8.041±0.271

(0.54;0.63) 12 20 0.6 60.7±9.3 5.2±0.9 28.755±8.459±0.209

(0.63;0.72) 39 32 1.4 78.5±4.7 4.5±0.9 72.209±11.591±0.672

L = 7.90 pb−1 √s= 208.01 GeV AFB = 0.751±0.073±0.022


s= 208 GeV.



189 GeV

0

20

40

60

80

100

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.785 ± 0.012 ± 0.016

0

2

4

6

8

10

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 14.5 / 12

192 GeV

0

20

40

60

80

100

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.844 ± 0.026 ± 0.008

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 8.7 / 12

196 GeV

0

20

40

60

80

100

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.777 ± 0.018 ± 0.03

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 12.3 / 12

200 GeV

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.8 ± 0.018 ± 0.069

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 12.4 / 12

FIG. B54 – Section efficace en fonction de cosθ pour√

s= 189 GeVà 200 GeVàξ< 120

123

202 GeV

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.763 ± 0.029 ± 0.028

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

10

12.5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 16.6 / 12

204 GeV

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.778 ± 0.022 ± 0.025

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 7 / 12

206 GeV

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.792 ± 0.016 ± 0.02

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data


208 GeV

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.721 ± 0.076 ± 0.023

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 26.7 / 12


s= 202 GeVà 208 GeVàξ< 120


189 GeV

0

20

40

60

80

100

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.816 ± 0.012 ± 0.015

-2

0

2

4

6

8

10

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 18 / 12

192 GeV

0

20

40

60

80

100

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.869 ± 0.025 ± 0.025

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 10.6 / 12

196 GeV

0

20

40

60

80

100

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.795 ± 0.018 ± 0.011

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 15.5 / 12

200 GeV

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.814 ± 0.018 ± 0.066

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 15.6 / 12


s= 189 GeVà 200 GeVàξ< 120

125

202 GeV

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.796 ± 0.027 ± 0.037

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 14.6 / 12

204 GeV

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.804 ± 0.021 ± 0.032

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data


206 GeV

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.806 ± 0.016 ± 0.006

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 10.2 / 12

208 GeV

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

dσ/

dco

sθ⋅

(pb

)

Data

Theorie

Asymetrie = 0.751 ± 0.073 ± 0.022

-15

-10

-5

0

5

10

15

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6cos θ

⋅

Do

nn

ee -

Th

eori

e(p

b)

Data

Theorie χ 2/d.o.f. = 28.4 / 12


s= 202 GeVà 208 GeVàξ< 120

Annexe C : Section efficace différentielle

– Détails numériques C22-C29 (pp.128-C29)– Systématiques C30-C33 (pp.136-C33)– Graphiques C58-C59 (pp.139-C59)

127

128 V. ANNEXE C : SECTION EFFICACE DIFFÉRENTIELLE

Bin

cosθN

data

Natte

nd

ub

f(%

)ε

(%)

εtrig

(%)

dσd

cosθ(pb)

BH

WID

EP

ull

0.00−0.09

0.052

194152.9

8.6

98.2−

12.8±0.9±

0.310.4

2.6

0.09−0.18

0.138

163185.8

6.898.6

−10.9±

0.9±

0.211.3

−0.5

0.18−0.27

0.227

209220.5

6.3100.0

−13.9±

1.0±

0.113.4

0.5

0.27−0.36

0.317

241264.1

5.499.5

−16.3±

1.0±

0.117.1

−0.8

0.36−0.45

0.407

364334.6

4.399.6

−24.8±

1.3±

0.223.7

0.9

0.45−0.54

0.497

503467.2

3.499.5

−34.7±

1.5±

0.535.3

−0.4

0.54−0.63

0.588

810792.4

2.296.9

−58.1±

2.0±

1.457.7

0.2

0.63−0.72

0.678

12761157.0

1.280.4

100.0111.5±

3.1±

3.0105.8

1.8

0.72−0.81

0.770

157160.7

2.34.8

−226.2±

18.1±20.1

232.2−

0.3

0.81−0.90

0.862

76527800.3

1.972.7

−732.9±

8.4±

7.2735.9

−0.4

L=

156.396pb −

1∫

dσ=

111.8±1.8±

1.9111.9

0.0

TA

B.C22

–A

nalyseà√

s=

189G

eV

Le−

dansla

colonneε

trigsignifie

qu’iln’ya

paseutd’événem

entquipuisseperm

ettred’estim

erla

présenced’une

inefficacité.Le

100.0signifie

qu’ilya

euau

moins

unévénem

entprovenant

d’uneinefficacité,m

aisl’arrondidonne

100.0.

129

Bin

cosθ

Nd

ata

Nat

ten

du

bf

(%)

ε(%

)ε t

rig

(%)

dσ

dco

sθ(p

b)B

HW

IDE

Pul

l

0.00−

0.09

0.05

224

26.0

6.7

97.6

−9.

3±

1.9±

0.2

10.1

−0.

4

0.09−

0.18

0.13

826

27.8

6.7

96.4

−10.2±

2.0±

0.2

11.0

−0.

4

0.18−

0.27

0.22

730

36.0

5.8

99.4

−11.5±

2.1±

0.1

13.0

−0.

7

0.27−

0.36

0.31

737

39.1

6.4

97.9

−14.3±

2.4±

0.2

16.6

−1.

0

0.36−

0.45

0.40

760

62.3

4.7

98.0

−23.6±

3.0±

0.3

22.9

0.2

0.45−

0.54

0.49

778

86.7

3.6

98.4

−30.9±

3.5±

0.4

34.2

−0.

9

0.54−

0.63

0.58

815

113

2.5

2.5

97.4

−61.2±

5.0±

1.4

55.9

1.1

0.63−

0.72

0.67

822

020

3.4

1.3

80.3

−10

9.4±

7.4±

2.9

102.

60.

9

0.72−

0.81

0.77

024

27.9

3.0

5.0

−18

8.8±

38.5±

16.0

225.

1−

0.9

0.81−

0.90

0.86

213

0613

09.9

1.9

73.0

100.

071

0.4±

19.7±

6.9

713.

5−

0.2

L=

27.4

59pb−

1∫ d

σ=

105.

3±

4.0±

1.6

108.

4−

0.7

TA

B.C

23–

Ana

lyse

à√

s=

192

GeV


Bin

cosθN

data

Natte

nd

ub

f(%

)ε

(%)

εtrig

(%)

dσd

cosθ(pb)

BH

WID

EP

ull

0.00−

0.09

0.052

6981.8

8.0

99.1−

8.6±

1.0±0.2

9.6

−1.0

0.09−

0.18

0.138

8293.3

7.3

97.1−

10.5±1.2±

0.2

10.50.0

0.18−

0.27

0.227

9494.8

6.2

98.9−

12.0±1.2±

0.1

12.4−

0.3

0.27−

0.36

0.317

138113.6

4.9

97.7−

18.0±1.5±

0.2

15.91.4

0.36−

0.45

0.407

159166.6

4.6

98.7−

20.6±1.6±

0.2

21.9−

0.8

0.45−

0.54

0.497

247249.3

3.4

99.0−

32.4±2.1±

0.4

32.8−

0.2

0.54−

0.63

0.588

379391.4

2.3

97.4−

51.1±2.6±

1.253.6

−1.0

0.63−

0.72

0.678

617612.0

1.0

82.5−

99.5±4.0±

2.598.5

0.3

0.72−

0.81

0.770

7777.4

2.7

4.9−

203.8±23.2±

14.0216.2

−0.5

0.81−

0.90

0.862

37593790.7

1.9

72.7−

681.1±11.1±

6.0

685.1−

0.4

L=

82.715pb −

1∫

dσ=

102.4±2.4±

1.4104.1

−0.6

TA

B.C24

–A

nalyseà√

s=

196G

eV

131

Bin

cosθ

Nd

ata

Nat

ten

du

bf

(%)

ε(%

)ε t

rig

(%)

dσ

dco

sθ(p

b)B

HW

IDE

Pul

l

0.00−

0.09

0.05

283

72.3

10.9

96.3

−10.3±

1.1±

0.2

9.2

1.0

0.09−

0.18

0.13

878

75.8

9.7

96.8

−9.

8±

1.1±

0.2

10.0

−0.

2

0.18−

0.27

0.22

793

97.0

5.3

97.0

−12.2±

1.3±

0.2

11.9

0.3

0.27−

0.36

0.31

711

111

5.4

5.7

95.7

−14.7±

1.4±

0.2

15.2

−0.

4

0.36−

0.45

0.40

715

416

6.4

5.0

98.2

−20.0±

1.6±

0.2

21.0

−0.

6

0.45−

0.54

0.49

721

123

8.1

3.8

97.3

−28.0±

1.9±

0.4

31.5

−1.

8

0.54−

0.63

0.58

835

537

6.8

2.1

94.6

−49.4±

2.6±

1.1

51.5

−0.

8

0.63−

0.72

0.67

858

857

5.3

0.9

79.2

100.

098.9±

4.1±

2.5

94.6

1.1

0.72−

0.81

0.77

074

64.3

5.2

4.1

−23

2.7±

27.1±

16.9

207.

70.

9

0.81−

0.90

0.86

235

7435

54.6

2.1

71.4

−65

9.2±

11.0±

5.8

658.

40.

1

L=

82.6

40pb−

1∫ d

σ=

102.

2±

2.7±

1.6

100.

00.

7

TA

B.C

25–

Ana

lyse

à√

s=

200

GeV


Bin

cosθN

data

Natte

nd

ub

f(%

)ε

(%)

εtrig

(%)

dσd

cosθ(pb)

BH

WID

EP

ull

0.00−0.09

0.052

4036.3

8.6

100.0−

11.0±1.7±

0.29.0

1.1

0.09−0.18

0.138

4033.8

8.699.4

−11.1±

1.7±

0.29.8

0.7

0.18−0.27

0.227

4241.4

6.399.0

−11.9±

1.8±

0.111.6

0.2

0.27−0.36

0.317

5153.5

5.997.1

−14.8±

2.1±

0.214.9

0.0

0.36−0.45

0.407

7370.0

4.698.6

−21.2±

2.5±

0.220.6

0.2

0.45−0.54

0.497

126104.8

3.798.0

−37.2±

3.3±

0.530.9

1.9

0.54−0.63

0.588

185168.0

2.297.9

−55.5±

4.1±

1.350.5

1.2

0.63−0.72

0.678

255260.0

1.182.9

−91.4±

5.7±

2.392.7

−0.2

0.72−0.81

0.770

4031.9

3.34.6

−250.3±

39.6±19.7

203.71.2

0.81−0.90

0.862

15001616.0

2.172.7

−607.2±

15.7±5.6

645.7−

2.5

L=

36.971pb −

1∫

dσ=

100.1±3.9±

1.998.0

0.5

TA

B.C26

–A

nalyseà√

s=

202G

eV

133

Bin

cosθ

Nd

ata

Nat

ten

du

bf

(%)

ε(%

)ε t

rig

(%)

dσ

dco

sθ(p

b)B

HW

IDE

Pul

l

0.00−

0.09

0.05

254

60.3

6.5

96.3

−8.

7±

1.2±

0.2

8.8

−0.

1

0.09−

0.18

0.13

884

59.0

9.3

98.0

−12.9±

1.4±

0.2

9.6

2.3

0.18−

0.27

0.22

778

77.0

5.9

99.1

100.

012.3±

1.4±

0.1

11.4

0.7

0.27−

0.36

0.31

710

391.5

6.8

98.7

−16.2±

1.6±

0.2

14.6

1.0

0.36−

0.45

0.40

712

412

6.1

4.1

99.0

−20.0±

1.8±

0.2

20.2

−0.

1

0.45−

0.54

0.49

719

317

5.3

3.4

97.5

−31.8±

2.3±

0.5

30.2

0.7

0.54−

0.63

0.58

828

628

2.9

2.5

96.6

−47.9±

2.8±

1.1

49.5

−0.

5

0.63−

0.72

0.67

846

144

1.8

1.3

81.2

100.

093.1±

4.3±

2.3

90.9

0.5

0.72−

0.81

0.77

073

56.8

2.7

4.7

−24

8.7±

29.1±

15.9

199.

71.

7

0.81−

0.90

0.86

227

8127

93.7

2.0

72.5

100.

062

4.4±

11.8±

5.4

633.

3−

0.7

L=

66.9

08pb−

1∫ d

σ=

100.

4±

2.9±

1.5

96.1

1.3

TA

B.C

27–

Ana

lyse

à√

s=

205

GeV


Bin

cosθN

data

Natte

nd

ub

f(%

)ε

(%)

εtrig

(%)

dσd

cosθ(pb)

BH

WID

EP

ull

0.00−

0.09

0.052

10789.3

8.0

99.1100.0

9.0±

0.9±0.2

8.6

0.4

0.09−

0.18

0.138

10599.8

9.7

98.3−

8.7±

0.9±0.2

9.4

−0.8

0.18−

0.27

0.227

119131.6

6.3

97.599.9

10.4±0.9±

0.2

11.2−

0.8

0.27−

0.36

0.317

194187.6

6.1

98.399.9

16.8±1.2±

0.2

14.32.1

0.36−0.45

0.407

261217.2

4.3

97.8100.0

23.1±1.4±

0.3

19.82.3

0.45−0.54

0.497

330319.6

3.6

98.0100.0

29.4±1.6±

0.4

29.7−

0.1

0.54−0.63

0.588

495518.9

2.5

98.3100.0

44.5±2.0±

1.0

48.5−

2.0

0.63−0.72

0.678

813782.9

1.2

80.8100.0

90.1±3.2±

2.4

89.20.3

0.72−0.81

0.770

93105.5

1.9

4.999.9

168.1±17.4±

14.7195.9

−1.6

0.81−0.90

0.862

48425057.3

1.8

72.199.3

600.9±8.6±

5.9

621.2−

2.4

L=

122.691pb −

1∫

dσ=

90.1±1.8±

1.4

94.3−

1.8

TA

B.C28

–A

nalyseà√

s=

206G

eV

135

Bin

cosθ

Nd

ata

Nat

ten

du

bf

(%)

ε(%

)ε t

rig

(%)

dσ

dco

sθ(p

b)B

HW

IDE

Pul

l

0.00−

0.09

0.05

23

5.8

8.0

99.1

−3.

9±

2.3±

0.1

8.5

−2.

0

0.09−

0.18

0.13

88

6.4

9.7

98.3

−10.3±

3.7±

0.2

9.2

0.3

0.18−

0.27

0.22

74

8.5

6.3

97.5

−5.

4±

2.7±

0.1

10.9

−2.

0

0.27−

0.36

0.31

710

12.1

6.1

98.3

−13.4±

4.3±

0.2

14.0

−0.

1

0.36−

0.45

0.40

717

14.0

4.3

97.8

−23.4±

5.7±

0.3

19.4

0.7

0.45−

0.54

0.49

719

20.6

3.6

98.0

−26.3±

6.0±

0.4

29.1

−0.

5

0.54−

0.63

0.58

827

33.4

2.5

98.3

−37.6±

7.2±

0.9

47.6

−1.

4

0.63−

0.72

0.67

849

50.4

1.2

80.8

−84.3±

12.0±

2.3

87.5

−0.

3

0.72−

0.81

0.77

010

6.8

1.9

4.9

−28

0.4±

88.7±

24.5

192.

21.

0

0.81−

0.90

0.86

229

032

5.6

1.8

72.1

99.6

557.

6±

32.7±

5.5

609.

5−

1.6

L=

7.90

0pb−

1∫ d

σ=

93.8±

8.7±

2.3

92.5

0.1

TA

B.C

29–

Ana

lyse

à√

s=

208

GeV


Colonne

189G

eV192

GeV

196G

eV200

GeV

202G

eV204

GeV

206G

eV208

GeV

Tous

11.9

37.411.0

19.318.0

26.41.8

69.910.2

27.1

17.616.7

4.8

37.734.1

20.960.7

11.7

317.6

7.8

11.310.4

53.025.2

18.513.0

4.1

41.4

37.610.8

9.224.4

9.85.1

36.84.2

51.4

6.78.0

8.11.7

2.14.2

12.44.2

63.3

26.20.2

8.9

8.8

0.6

8.1

7.5

1.3

73.2

2.4

0.5

4.5

5.1

1.9

2.4

21.81.3

83.3

6.7

2.0

0.0

6.1

2.1

1.0

10.30.5

90.8

8.0

56.55.3

39.617.3

19.62.5

21.6

100.0

1.4

0.4

0.7

1.8

0.2

0.1

3.1

0.2

TA

B.C30

–E

rreurssystém

atiquessur

lacoupure

E1 /E

be

am .

137

Col

onne

189

GeV

192

GeV

196

GeV

200

GeV

202

GeV

204

GeV

206

GeV

208

GeV

Tous

114.6

31.0

43.6

2.2

30.3

0.9

17.2

125.

213.5

29.

786.7

5.8

10.8

39.3

24.7

11.3

137.

77.

5

377.1

0.1

3.8

16.2

50.1

21.1

7.2

15.8

5.8

454.3

19.8

1.6

5.2

21.8

7.1

3.5

28.5

6.6

582.9

15.9

1.2

3.9

19.0

5.8

3.8

85.2

2.7

62.

48.

311.9

5.3

4.6

3.0

13.4

13.4

11.0

721.5

8.5

8.0

5.2

15.9

1.5

1.5

18.8

21.3

852.8

1.6

0.3

6.7

1.1

1.0

4.5

7.6

23.0

90.

44.

29.

714.5

20.9

10.8

2.5

33.8

1.8

1050.4

0.4

3.7

2.6

0.8

0.2

3.1

2.5

6.6

TA

B.C

31–

Err

eurs

syst

émat

ique

ssu

rla

coup

ure

E2.


Colonne

189G

eV192

GeV

196G

eV200

GeV

202G

eV204

GeV

206G

eV208

GeV

Tous

16.3

0.0

2.9

4.2

0.0

38.710.0

10.08.3

20.2

0.2

0.0

0.4

1.5

1.4

1.5

3.1

0.6

30.5

1.5

0.0

0.0

1.4

2.6

2.7

2.7

0.2

40.3

0.0

0.0

0.2

1.9

2.3

0.0

4.1

0.4

50.6

0.0

0.5

7.6

0.1

18.80.0

0.0

6.9

60.8

1.3

1.4

0.6

0.5

11.94.2

0.0

3.7

71.9

0.5

0.5

0.0

7.4

14.40.5

0.8

5.0

83.2

0.0

1.1

2.4

0.2

0.5

1.2

1.4

0.2

90.6

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

5.7

101.8

14.20.6

11.10.2

1.5

0.8

1.2

3.9

TA

B.C32

–E

rreurssystém

atiquessur

lacoupure

Rh

its .

139

189 GeV

10

10 2

10 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

dσ/

dc

osθ⋅

(pb)

σ = 111.8 ± 1.84 pb-1

σBHWIDE = 112.37 pb-1

Pull = -0.3

cosθ⋅ < 0.9

12° < θ1,2 < 168°

ξ < 25°

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

Don

nées

/ T

héor

ie(p

b)

BHWIDE

192 GeV

10

10 2

10 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

dσ/

dc

osθ⋅

(pb)

σ = 105.27 ± 4.01 pb-1


Pull = -0.71

cosθ⋅ < 0.9

12° < θ1,2 < 168°

ξ < 25°

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

Don

nées

/ T

héor

ie(p

b)

BHWIDE

196 GeV

10

10 2

10 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

dσ/

dc

osθ⋅

(pb)

σ = 102.38 ± 2.38 pb-1


Pull = -0.5

cosθ⋅ < 0.9

12° < θ1,2 < 168°

ξ < 25°

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

Don

nées

/ T

héor

ie(p

b)

BHWIDE

200 GeV

10

10 2

10 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

dσ/

dc

osθ⋅

(pb)

σ = 102.18 ± 2.68 pb-1


Pull = 0.82

cosθ⋅ < 0.9

12° < θ1,2 < 168°

ξ < 25°

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

Don

nées

/ T

héor

ie(p

b)

BHWIDE

FIG. C58 – Section efficace en fonction de |cosθ| pour√

s= 189 GeVà 200 GeV


202 GeV

10

10 2

10 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

dσ/

dc

osθ⋅

(pb)

σ = 100.06 ± 3.92 pb-1


Pull = 0.26

cosθ⋅ < 0.9

12° < θ1,2 < 168°

ξ < 25°

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

Don

nées

/ T

héor

ie(p

b)

BHWIDE

204 GeV

10

10 2

10 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

dσ/

dc

osθ⋅

(pb)

σ = 100.43 ± 2.89 pb-1


Pull = 1.89

cosθ⋅ < 0.9

12° < θ1,2 < 168°

ξ < 25°

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

Don

nées

/ T

héor

ie(p

b)

BHWIDE

206 GeV

10

10 2

10 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

dσ/

dc

osθ⋅

(pb)

σ = 90.1 ± 1.8 pb-1


Pull = -1.93

cosθ⋅ < 0.9

12° < θ1,2 < 168°

ξ < 25°

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

Don

nées

/ T

héor

ie(p

b)

BHWIDE

208 GeV

10

10 2

10 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

dσ/

dc

osθ⋅

(pb)

σ = 93.85 ± 8.65 pb-1


Pull = 0.03

cosθ⋅ < 0.9

12° < θ1,2 < 168°

ξ < 25°

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1cos θ

⋅

Don

nées

/ T

héor

ie(p

b)

BHWIDE

FIG. C59 – Section efficace en fonction de |cosθ| pour√

s= 202 GeVà 208 GeV

141

Col

onne

189

GeV

192

GeV

196

GeV

200

GeV

202

GeV

204

GeV

206

GeV

208

GeV

Tous

116.1

48.6

45.1

19.9

35.2

46.8

20.0

143.

818.8

212.0

88.5

17.7

11.9

54.5

42.1

23.8

150.

514.0

379.1

7.9

12.0

19.3

72.9

32.9

20.0

20.6

7.2

454.3

42.5

10.9

10.6

32.7

12.4

6.2

46.8

7.8

582.9

17.3

8.1

11.8

19.1

19.8

5.6

86.1

8.5

64.

227.5

12.0

10.3

9.9

12.3

16.2

15.4

11.7

721.8

8.9

8.1

6.9

18.3

14.6

2.9

28.8

21.9

853.0

6.9

2.3

7.1

6.2

2.4

4.7

12.9

23.0

91.

19.

057.3

15.4

44.8

20.4

19.8

33.9

22.4

1050.5

14.3

3.7

11.5

2.0

1.5

3.2

4.2

7.7

TA

B.C

33–

Err

eurs

syst

émat

ique

sto

tale

s.

Annexe D : Calculs Mathematica

Voici une explication des calculs Mathematica qui permettent d’obtenir lessections efficaces de la diffusion Bhabha, ainsi que les facteurs de correctionsTi j .

1. Initialisation du système

On commence par charger les routines HIP et on prépare les quadri-vecteurs,ainsi que les indices.

<</afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/Mathematica/HIP/work.m

SetMandelstam[p1,p2,p3,p4,0,0,0,0,s,t,u]

PrepareIndex[mu,nu,rho]

2. Diagrammes de Feynman

On définit les vertex et le propagateur dans leur forme souhaitée.

Sigma[mu_,nu_]:=

I/2 (DiracGamma[mu]**DiracGamma[nu]-DiracGamma[nu]**DiracGamma[mu])

VertexG[q_,mu_]:=

2I Sqrt[Alpha Pi](DiracGamma[mu]F[DotProduct[q,q]]+

I K Contract[Sigma[mu,rho] q[rho],rho])

VertexZ[q_,

mu_]:= -I 2 Sqrt[

AlphaZ Pi] (F[DotProduct[q,q]]rV DiracGamma[mu]+

I K rV Contract[Sigma[mu,rho] q[rho],rho] -

F[DotProduct[q,q]]DiracGamma[mu]**DiracGamma5)

PropagatorZ[q_,mu_,

nu_]:=(-I(G[mu,nu]-(q[mu]q[nu])/M^2)) /(DotProduct[q,q]-M^2+I L M)

On prépare aussi quelques variables et fonctions réelles.

F/:Conjugate[F[x_]]=F[x];

rV/:Conjugate[rV]=rV;

AlphaZ/:Conjugate[AlphaZ]=AlphaZ;

M/:Conjugate[M]=M;

143

144 V. ANNEXE D : CALCULS MATHEMATICA

L/:Conjugate[L]=L;

K/:Conjugate[K]=K;

Enfin, on définit les quatre amplitudes, puis on contracte quelques indicespour simplifier les notations.

Ma0=SpinorVbar[p2]**VertexG[p1+p2,mu]**SpinorU[p1]*

Propagator[Photon,p1+p2,mu,nu]*

SpinorUbar[p3]**VertexG[p1+p2,nu]**SpinorV[p4];

Mb0=-SpinorUbar[p3]**VertexG[p1-p3,mu]**SpinorU[p1]*

Propagator[Photon,p1-p3,mu,nu]*

SpinorVbar[p2]**VertexG[p1-p3,nu]**SpinorV[p4];

Mc0=SpinorVbar[p2]**VertexZ[p1+p2,mu]**SpinorU[p1]*PropagatorZ[p1+p2,mu,nu]*

SpinorUbar[p3]**VertexZ[p1+p2,nu]**SpinorV[p4];

Md0=-SpinorUbar[p3]**VertexZ[p1-p3,mu]**SpinorU[p1]*PropagatorZ[p1-p3,mu,nu]*

SpinorVbar[p2]**VertexZ[p1-p3,nu]**SpinorV[p4];

mySimplify0[v_]:=

FullSimplify[Contract[ExpandAll[NonCommutativeExpand[v]],nu,mu]];

Ma=mySimplify0[Ma0];

Mb=mySimplify0[Mb0];

Mc=mySimplify0[Mc0];

Md=mySimplify0[Md0];

3. Amplitudes invariantes carrées

On multiplie toutes les paires d’amplitudes, puis on effectue quelques sim-plifications.

mySimplify1[v_]:=Contract[AbsSquared[v],

mu,nu,Conjugate[mu],Conjugate[nu]]/4

Masq=mySimplify1[Ma];

Mbsq=mySimplify1[Mb];

Mcsq=mySimplify1[Mc];

Mdsq=mySimplify1[Md];

Mabsq=mySimplify1[Ma+Mb];

Macsq=mySimplify1[Ma+Mc];

Madsq=mySimplify1[Ma+Md];

Mbcsq=mySimplify1[Mb+Mc];

Mbdsq=mySimplify1[Mb+Md];

Mcdsq=mySimplify1[Mc+Md];

4. CHANGEMENT DE VARIABLES ET FORME FINALE 145

MatAA=FullSimplify[Masq]

MatAB=FullSimplify[Mabsq-Masq-Mbsq]

MatAC=FullSimplify[Macsq-Masq-Mcsq]

MatAD=FullSimplify[Madsq-Masq-Mdsq]

MatBB=FullSimplify[Mbsq]

MatBC=FullSimplify[Mbcsq-Mbsq-Mcsq]

MatBD=FullSimplify[Mbdsq-Mbsq-Mdsq]

MatCC=FullSimplify[Mcsq]

MatCD=FullSimplify[Mcdsq-Mcsq-Mdsq]

MatDD=FullSimplify[Mdsq]

Enfin, on définit les amplitudes invariantes carrées dans le cadre du MS(K = 0) et (F = 1).

Rule3=K->0,F[t]->1,F[s]->1;

MatAA0=MatAA/.Rule3;

MatBB0=MatBB/.Rule3;

MatCC0=MatCC/.Rule3;

MatDD0=MatDD/.Rule3;

MatAB0=MatAB/.Rule3;

MatAC0=MatAC/.Rule3;

MatAD0=MatAD/.Rule3;

MatBC0=MatBC/.Rule3;

MatBD0=MatBD/.Rule3;

MatCD0=MatCD/.Rule3;

4. Changement de variables et forme finale

On passe des variables de Mandelstam aux variables s et cosθ. Quelquessimplifications sont effectuées pour obtenir une forme finale traditionnelle en(1−cosθ)2, (1+cosθ)2, etc.

Rule2=t-> -s(1-c)/2 ,u-> -s(1+c)/2,Eps[p1,p2,p3,p4]->0;

simplify2[v_]:=Module[var,list,depth,list2,imin,poly,

var=

(1-c)^2,(1+c)^2,(1-c^2),(1+c^2),

(1+c)^2,(1-c)^2,(1+c^2),(1-c^2),

(1-c^2),(1+c^2),(1-c)^2,(1+c)^2,

(1+c^2),(1-c^2),(1+c)^2,(1-c)^2

;

146 V. ANNEXE D : CALCULS MATHEMATICA

f[l_]:=PolynomialReduce[v,l];

g[l_]:=Position[l,c];

list=Map[f,var];

depth=Last/@Dimensions/@g/@Last/@list;

min=Min[depth];

poly=0;

Do[

If[min\[Equal]Last[Dimensions[g[Last[list[[i]]]]]],

imin=i,

]

,i,Dimensions[depth][[1]]];

list2=var[[imin]] list[[imin]][[1]];

poly=list2[[1]]+list2[[2]]+list2[[3]]+list2[[4]]+list[[imin]][[2]];

FullSimplify[poly,ExcludedForms->var[[1]]]

];

mySimplify2[v_]:=Module[t1,t2,

t1=simplify2[Numerator[v]];

t2=simplify2[Denominator[v]];

t1/t2

];

simplex2[v_]:=mySimplify2[

FullSimplify[

v/.(M^2-t)-> ZZZ/.F[t]->YYY/.Rule2

]]/.ZZZ-> (M^2-t)/.YYY->F[t];

txtA="g(s)";txtB="g(t)"; txtC="Z(s)";txtD="Z(t)";

fAA=FullSimplify[simplex2[MatAA/MatAA0]]; Print[txtA,txtA,"=",fAA]

fBB=FullSimplify[simplex2[MatBB/MatBB0]]; Print[txtB,txtB,"=",fBB]

fCC=FullSimplify[simplex2[MatCC/MatCC0]]; Print[txtC,txtC,"=",fCC]

fDD=FullSimplify[simplex2[MatDD/MatDD0]]; Print[txtD,txtD,"=",fDD]

fAB=FullSimplify[simplex2[MatAB/MatAB0]]; Print[txtA,txtB,"=",fAB]

fAC=FullSimplify[simplex2[MatAC/MatAC0]]; Print[txtA,txtC,"=",fAC]

fAD=FullSimplify[simplex2[MatAD/MatAD0]]; Print[txtA,txtD,"=",fAD]

fBC=FullSimplify[simplex2[MatBC/MatBC0]]; Print[txtB,txtC,"=",fBC]

fBD=FullSimplify[simplex2[MatBD/MatBD0]]; Print[txtB,txtD,"=",fBD]

fCD=FullSimplify[simplex2[MatCD/MatCD0]]; Print[txtC,txtD,"=",fCD]

On exporte les résultats dans un fichier LaTeX et dans un fichier Fortran.

Rule3:=M->"\mZ",L-> "\lZ", Alpha-> "\alpha",

4. CHANGEMENT DE VARIABLES ET FORME FINALE 147

AlphaZ-> "\alphaZ",rV->"rV"

txt:="\\EuScriptT_"

stm=OpenWrite["math_sizcor.tex",FormatType->TeXForm]

Write[stm,txt,txtA ,txtA, "&=",fAA/.Rule3,"\\\\"]

Write[stm,txt,txtB ,txtB, "&=",fBB/.Rule3,"\\\\"]

Write[stm,txt,txtC ,txtC, "&=",fCC/.Rule3,"\\\\"]

Write[stm,txt,txtD ,txtD, "&=",fDD/.Rule3,"\\\\"]

Write[stm,txt,txtA ,txtB, "&=",fAB/.Rule3,"\\\\"]

Write[stm,txt,txtA ,txtC, "&=",fAC/.Rule3,"\\\\"]

Write[stm,txt,txtA ,txtD, "&=",fAD/.Rule3,"\\\\"]

Write[stm,txt,txtB ,txtC, "&=",fBC/.Rule3,"\\\\"]

Write[stm,txt,txtB ,txtD, "&=",fBD/.Rule3,"\\\\"]

Write[stm,txt,txtC ,txtD, "&=",fCD/.Rule3]

Close[stm]

stm=OpenWrite["math_sizcor.f",FormatType->FortranForm,

PageWidth -> 60]

Write[stm,txtA ,txtA, "=",fAA]

Write[stm,txtB ,txtB, "=",fBB]

Write[stm,txtC ,txtC, "=",fCC]

Write[stm,txtD ,txtD, "=",fDD]

Write[stm,txtA ,txtB, "=",fAB]

Write[stm,txtA ,txtC, "=",fAC]

Write[stm,txtA ,txtD, "=",fAD]

Write[stm,txtB ,txtC, "=",fBC]

Write[stm,txtB ,txtD, "=",fBD]

Write[stm,txtC ,txtD, "=",fCD]

Close[stm]

Table des figures

1 Potentiel de Higgs 13

2 Photo de Homi J. Bhabha 17

3 Diagramme de Feynman au niveau d’arbre pour ladiffusion Bhabha 19

4 Corrections du propagateur et du vertex 22

5 Le variation de la constante de couplage électrofaible 26

6 Section Efficace de Born en fonction de√

s 27

7 Interférence entre l’échange d’un photon et d’un boson Z. 28

8 Corrections radiatives dans l’état initial ou final 28

9 Radiateur G(z) à√

s= 198 GeV 29

10 Retour au Z 30

11 Comparaison BHWIDE et Born améliorée 32

12 Fonction de radiation à ξ< 25. 33

13 Test de compatibilité entre BHWIDE et IB-rad 34

14 Complexe d’accélérateurs au CERN 36

15 Coupe de l’expérience dans sa caverne 38

16 Détecteur internes de L3 40

17 Un cristal du BGO 40

18 Espacement entre le barrel et les endcaps du BGO 42

19 Coupes des détecteurs à traces de L3 43

20 Coupe représentant la TEC les chambres Z 44

21 Schéma du système Xénon 49

22 Nombre de cristaux défini comme morts par le systèmeXénon 50

23 S1S9

en fonction du point d’impact x. 52

24 Acolinéarité entre les électrons. 53

25 Fonction de correction 54

149

150 V. TABLE DES FIGURES

26 Énergie déposée dans le BGO et la fonction Crystal Ballline shape 55

27 Coupure de sélection sur E1/Ebeamet sur E2 64

28 Coupure de sélection sur le nombre de hits 65

29 Coupure de sélection sur E1/Ebeamet sur E2 67

30 Coupure de sélection sur le nombre de hits 68

31 Efficacité du trigger TEC en fonction de l’angle θmin 70

32 Distribution azimutal d’événements et cristaux malades 71

33 Cristaux tués dans l’analyse 72

34 Principaux smearing 75

35 Différence ∆φ des angles azimutaux des deux électrons 82

36 Corrélation des variables ∆φ et ∆ρ 83

37 ∆φ en fonction de l’acoplanarité 83

38 Détermination de la charge (P) 84

39 Ajustement de la fonction f (x) 84

40 Section efficace 44 ≤ θ1,2≤ 136. 85

41 Asymétrie avant-arrière 44 ≤ θ1,2≤ 136. 86

42 Test statistique de cohérence des mesures 88

43 Section efficace différentielle en fonction de√

s pourchaque tranche de

∣∣cosθ∣∣. 90

44 Section efficace différentielle combinée à√〈s〉. 91

45 Extraction du paramètre C 92

46 Facteurs Ti j 96

47 Limite sur le rayon de l’électron 97

48 Ajustement de la structure de l’électron aux données 98

49 Limite sur l’échelle de masse de la théorie quantique descordes gravitationnelles 99

50 Diagramme du couplage d’un graviton aux particules duMS. 100

51 Limite sur l’échelle de masse de la théorie LSG. 101

A52 Graphique N−1 pour la section efficace 44 < θ < 136 àξ< 25. 108

151

A53 Graphique N−1 pour la section efficace 12 < θ < 168 àξ< 25. 109

B54 Section efficace en fonction de cosθ pour√

s= 189 GeVà200 GeVà ξ< 120 122


s= 202 GeVà208 GeVà ξ< 120 123


s= 189 GeVà200 GeVà ξ< 120 124


s= 202 GeVà208 GeVà ξ< 120 125

C58 Section efficace en fonction de |cosθ| pour√

s= 189 GeVà200 GeV 139

C59 Section efficace en fonction de |cosθ| pour√

s= 202 GeVà208 GeV 140

Liste des tableaux

1 Liste et caractéristiques des fermions 10

2 Invariances du MS 11

3 Variation de la constante de structure fine α(q2). 24

4 Paramètres des détecteurs de L3 39

5 Plages d’énergie et luminosité correspondante 57

6 Nombre attendu d’événements pour quelques énergies 62

7 Coupures pour l’analyse 63

8 Sélection additionnelle pour la détermination de la charge 80

A9 Section efficace 189 GeV≤√

s≤ 210 GeVà ξ< 120. 106

A10 Section efficace 189 GeV≤√

s≤ 210 GeVà ξ< 25. 107

A11 Efficacité des triggers pour tous les Bhabha à partir de 12.110



B14 Asymétrie√

s= 189 GeV. 114

B15 Asymétrie√

s= 192 GeV. 115

B16 Asymétrie√

s= 196 GeV. 116

B17 Asymétrie√

s= 200 GeV. 117

B18 Asymétrie√

s= 202 GeV. 118

B19 Asymétrie√

s= 205 GeV. 119

B20 Asymétrie√

s= 206 GeV. 120

B21 Asymétrie√

s= 208 GeV. 121

C22 Analyse à√

s= 189 GeV 128

C23 Analyse à√

s= 192 GeV 129

C24 Analyse à√

s= 196 GeV 130

C25 Analyse à√

s= 200 GeV 131

C26 Analyse à√

s= 202 GeV 132

153

154 V. LISTE DES TABLEAUX

C27 Analyse à√

s= 205 GeV 133

C28 Analyse à√

s= 206 GeV 134

C29 Analyse à√

s= 208 GeV 135

C30 Erreurs systématiques sur la coupure E1/Ebeam. 136

C31 Erreurs systématiques sur la coupure E2. 137

C32 Erreurs systématiques sur la coupure Rhits. 138

C33 Erreurs systématiques totales. 141

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Education

Patrick Deglon PhD Thesis - Bhabha Scattering at L3 experiment at CERN