Penentuan Maksimum Fungsi Utility Cobb-Douglass dengan Penerapan Metode Lagrange

Annisa’a Fauzia Cindi Utami10060214020

Penentuan Maksisum Fungsi Utility Cobb-Douglass dengan

Penerapan Metode Lagrange

Annisa’a Fauzia Cindi Utami

Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Islam Bandung

Jalan Tamansari No. 1, Bandung

Email: [email protected]

Abstract

Sebuah perusahaan akan selalu meningkatkan produktifitasnya demi kemajuan dan perkembangan perusahaan tersebut. Kemampuan sektor industri untuk memberikan kontribusi secara langsung kepada pertumbuhan ekonomi dan kesejahteraan tenaga kerja yang bekerja didalamnya tergantung kepada tingkat pendapatan dan surplus yang dihasilkan oleh industri tersebut. Banyak metode yang dilakukan untuk mendongkrak produksi sehingga tingkat produksivitas meningkat sampai maksimum. Karena itu penentuan ongkos produksi minimum dan maksisum merupakan hal yang penting untuk diperhatikan. metode yang digunakan adalah metode Lagrange untuk menentukan maksimum utilitas.Analisa ini digunakan dengan pendekatan Cobb-dauglas. Model produksi Cobb-Dauglass untuk pembuatan barang bergantung pada tiga variabel. Model ini sangat sederhana dan mudah dipahami. Tujuan penulisan ini adalah menerapkan Metode Pengali Lagrange untuk memaksimumkan fungsi utilitas Cobb-Douglas dengan kendala persamaan harga. Hasilnya masalah penentuan maksimum utilitas seseorang terhadap suatu barang merupakan masalah optimasi suatu fungsi dengan kendala suatu persamaan. Juga Metode Pengali Lagrange dapat diterapkan dalam menentukan maksimum fungsi utilitas Cobb-Douglas dengan kendala harga.Kata kunci: Optimasi, Pengali Lagrange, Fungsi utilitas Cobb-Douglas


1. Pendahuluan

Matematika merupaka “Ibu dari Ilmu Pengetahuan”. Ilmu matematika

banyak diterapkan pada beberapa ilmu pengetahuan yang tidak bisa lepas dari

Matematika. Namun, sering kali beberapa kendala muncul dalam penerapan ilmu

matematika tersebut. Salah satu contoh kendala yang sering ditemui adalah

kendala maksimum dan minimum suatu fungsi. Dari setiap persamaan itu

memiliki banyak persamaan, yang sulit dalam hal tersebut adalah menyelesaikan

kendala dari suatu persamaan.

Salah satu contoh yang dapat disebutkan yaitu bagaimana cara

menentukan ongkos produksi yang minimum tetapi dapat menghasilkan laba yang

maksimum. Kendala hasil produksi yang maksimum namun dengan dana modal

yang minimum dapat diselesaikan dengan metode Lagrange. Metode Lagrange

adalah suatu metode untuk menentukan titik kritis dari masalah optimasi dengan

kendala suatu persamaan.

Dengan penggunaan metode Lagrange kendala tersebut dapat diselesaikan

dengan mudah, sehingga para pengusaha yang akan memulai usahanya namun

hanya memiliki modal yang kecil dan menginginkan laba yang besar dapat

terwujudkan. Banyak pilihan yang akan muncul dalam suatu masalah, dan

seseorang harus menentukkan pilihan yang paling tepat untuk menyeleasikannya.

Oleh karena itu, seseorang harus emenentukan pilihan yang dianggap paling

memenuhi nilai gunanya berdasarkan kendala yang ada.

Teori utilitas ordinal mengasumsikan bahwa setiap orang selalu dapat

mengurutkan prefensinya. Setiap orang memiliki keinginan yang tidak terbatas.

Terkadang banyak keinginan yang belum terpenuhi karena tersendak oleh kendala

biaya. Tetapi seseorang dapat menilai mana sesuatu yang lebih mereka inginkan.

Contohnya ketika seseorang menyukai beberapa barang seperti barang A B dan C,

mereka dapat mengurutkan barang mana yang lebih mereka sukai misalkan

barang B lebih disukai dari barang C dan barang A lebih disukai dari barang A.

Namun mereka tidak dapat mewujudukan semua keinginannya tersebut, maka dari

itu seseorang itu harus memilih dari beberapa jumlah pilihan dengan utilitas yang


tertinggi. Pokok permasalahan utamanya adalah bagaimanakah menentukkan

utilitas maksimum dengan kendala biaya?

Tujuan penulisan ini adalah menerapkan Metode Pengali Lagrange untuk

memaksimumkan fungsi utilitas Cobb-Douglas dengan kendala persamaan harga.

Suatu fungsi utilitas secara matematis dapat menggambarkan suatu utilitas.

Salah satu fungsi utilitas adalah fungsi utilitas Cobb-Douglass. Fungsi utilitas

Cobb-Douglas adalah fungsi utilitas yang merepresentasikan Cobb-Douglas

preferences. Fungsi utilitas Cobb-Douglas merupakan penerapan lain dari fungsi

produksi Cobb-Douglas. Dapat digambarkan permasalahan memaksimumkan

utilitas seseorang terhadap suatu barang dengan kendala harga adalah

memaksimumkan suatu fungsi utilitas dengan kendala persamaan harga.

2. Kajian Pustaka

Pengertian Produktivitas

Pengertian produktivitas dikemukakan dengan menunjukkan rasio output

terhadap input. Input dapat mencakup biaya produksi dan peralatan. Sedangkan

output bisa terdiri dari penjualan, pendapatan, market share, dan kerusakan.

Produktivitas tidak sama dengan produksi, tetapi produksi merupakan komponen

dari usaha produktivitas. Produktivitas adalah suatu konsep yang bersifat

universal yang bertujuan untuk menyediakan lebih banyak barang dan jasa unruk

lebih banyak barang dan jasa bagi manusia, dengan menggunakan sumber-sumber

rill yang semakin sedikit. Maka dapat dikatakan bahwa produktivitas berkaitan

dengan efisiensi penggunaan input dalam memproduksi output.

Pengertian Metode Lagrange

Metode ini adalah cara menentukan titik maksimum dan minimum suatu

fungsi yang diiringi dengan persyaratan atau kendala yang harus dipenuhi.

Metode ini banyak digunakan dalam berbagai masalah terapan di dunia nyata,

terutama di bidang ekonomi. Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin


memaksimumkan keuntungan, tapi dibatasi olehminimnya biaya yang tersedia ,

banyaknya tenaga kerja dan sebagainya.

Metode ini akan membantu kita untuk memperoleh nilai-nilai maksimum

relatif atau minimum relatif dari fungsi F(x,y,z) sedangkan fungsi kendala adalah:

Φ ( x , y , z )=0

Prosedur yang dilakukan adalah menyusun fungsi bantu yang dinyatakan

sebagai berikut:

G ( x , y , z )=F ( x , y , z )+λϕ (x , y , z)

dengan syarat perlu :

∂G∂ x = 0 ,

∂G∂ y = 0,

∂G∂ z = 0

yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relatif maupun minimum relatif.

Parameter yang tidak tergantung pada x, y dan z disebut Pengali Lagrange.

Metode Cobb-Dauglass

Model produksi Cobb-Douglass untuk proses pembuatan barang yang bergantung

pada tiga masukan x, y, dan z dengan biaya satuan masing-masing a, b dan c

diberikan oleh:

P=k xα yβ zγ , α>0 , β>0 , γ>0 , α+β+γ=1

Terhadap kendala biaya ax+by+cz=d

Beberapa alasan yang membuat produksi Cobb-Dougkass sering digunakan

adalah:

Bentuk fungsi produksi Cobb-douglass bersifat sederhana dan mudah

dalam penerapannya.

Fungsi produksi Cobb-Douglass mampu menggambarkan keadaan skala

hasil (return to scale) apakah meningkat atau menurun.

Koefesien-koefesien fungsi Cobb-Douglass secara langsung

menggambarkan elastisitas produksi dari setiap input yang dipergunakan


dan dipertimbangkan untuk dikaji dalam fungsi produksi Cobb-Douglass

itu.

Koefesien intersep dari fungsi produksi Cobb-Douglass merupakan indeks

efiseiensi produksi yang secara langsung menggambarkan efisiensi

penggunaan input dalam menghasilkan output dari sistem produksi yang

dikaji.

3. Hasil dan Pembahasan

Untuk mengerti fungsi utilitas, yang perlu dipahami pertama kali yaitu

perilaku rasional seseorang dalam menentukan pilihan-pilihan berdasarkan

Individual Preference. Misalkan terdapat dua situasi pilihan sembarang antara A,

B, dan C . maka akan muncul beberapa aksioma dari ketiga pilihan tersebut.

Berikut adalah aksioma yang berkaitan dengan kecenderungan seseorang dalam

menentukan pilihan-pilihan.

Aksioma Pilihan Rasional

a. Completeness. Jika A, B, dan C adalah tiga situasi sembarang, seorang

individu selalu dapat memilih salah satu dari beberapa kemungkinan

berikut :

A cenderung lebih dipilih daripada B.

B cenderung lebih dipilih daripada A.

A memiliki kecenderungan yang sama dipilih dengan B.

b. Transitivity. Jika A cenderung lebih dipilih daripada B, dan B

cenderung lebih diplih daripada C, maka A cenderung lebih dipilih

daripada C.

c. Continuity.

Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang merepresentasikan individual preference.

Fungsi utilitas dinotasikan dengan


u(x1 , x2 , .. . . , xn)

dimana x1 , x2 , . . .. , xn adalah jumlah dari masing-masing barang yang dikonsumsi

dalam suatu periode.

Kurva Indifference adalah kurva yang memperlihatkan suatu himpunan barang

yang memiliki utilitas tidak berbeda. Untuk fungsi utilitas Cobb-Douglas, kurva

Indifference dari dua jumlah barang berbeda x dan y dapat digambarkan sebagai

berikut :

Gambar tersebut menunjukkan apabila seseorang memilih sejumlah x1

maka barang akan ditambah sejumlah y1 barang, dan juga misalkan memilih

sejumlah x2 barang ditambah sejumlah y2 barang maka akan memiliki nilai

utilitas yang sama. Jadi, jika seseorang ingin meningkatkan jumlah suatu barang,

maka yang harus dilakukan adalah mengurangi jumlah barang lainnya.

Ditunjukkan kurva indiffference yang letaknya semakin jauh dari titik asal sumbu

menunjukkan tingkat utilitas yang semakin tinggi pula.

Kurva indifference bersifat convex, sempurna. Suatu fungsi dikatakan

convex sempurna apabila untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda

dalam domain f , dan untuk 0<θ<1 , θf (u )+(1−θ ) f ( v )>f [θu+ (1−θ ) v ].


Analisa Efisiensi Proses Produksi

Efisiensi merupakan penggunaan input yang sekecil-kecilnya untuk

mendapatkan jumlah produksi sebesar-besarnya tanpa melupakan kualitas dari

produk yang dihasilkan. Efisiensi proses produksi dapat dilihat dari koefisien

intersep fungsi produksi Cobb-Douglas, yaitu:

Indeks efisiensi = ea

Keterangan: e = 2,71828

a = koefesien intersep persamaan regresi

Indeks efisiensi akan didapat dari perhitungan, dengan semakin tinggi

indeks efisiensi produksi berarti proses transformasi input menjadioutput menjadi

semakin efisien. Selain indeks efisiensi, rasio efisiensi juga akan didapat dari

perhitungan. Rasio efisiensi menunjukkan perbandingan kemampuan

menghasilkan output dengan memakai input yang tersedia.

Metode Pengali Lagrange dapat menyelesaikan kendala suatu fungsi

dengan menentukan nilai ekstrim suatu fungsi. Untuk memulai menyelesaikan

kendala tersebut, yang pertama kali perlu dilakukan adalah membentuk suatu

fungsi baru yang disebut sebagai fungsi Lagrange, yang merupakan penjumlahan

fungsi yang nantinya akan dioptimumkan dengan perkalian antara pengali

Lagrange dan fungsi kendalanya.

Berikut ini adalah gambaran suatu kendala anggaran untuk dua barang.


Bentuk umum masalah optimasi fungsi utilitas Cobb-Douglas adalah :

Maksimumkan fungsi utilitas Cobb-Douglas

u(x ) = ∏1

L

xiαi , ∑

i=1

L

αi=1

Dengan kendala :

∑i=1

L

αi=1

Apabila masing-masing ruas dijadikan fungsi ln, maka

ln u ( x )=∑i=1

L

αi ln xi

Masalah memaksimumkan fungsi utilitas berubah menjadi

maxx

¿∑i=1

L

αi ln xi

Terhadap kendala

∑i=1

L

pi x i=w

Masalah ini bisa diselesaikan dengan Metode Pengali Lagrange. Langkah pertama

menentukan fungsi Lagrange yaitu :

L ( x , λ )=∑i=1

L

α i ln x i−λ (∑i=1

L

pi xi−w) Untuk menentukan titik stasioner, menggunakan kondisi turunan pertama yaitu :

∇ L ( x , λ )=0

sehingga


∂∂ x i

L ( x , λ )=αi

x i−λ pi=0

Dan menghasilkan

α i=λ pi xi , ∀ i

Bagi α i dengan α j sehingga menghasilkan

αi

α j=

λ pi x i

λ p j x j atau

αi

α j=

pi x i

p j x j , ∀ i∀ j,

kemudian

pi x i=p j x j

αi

α j , ∀ i∀ j,

Ambil sigma terhadap i menghasilkan

∑i=1

L

pi x i=p j x j

(∑i=1

L

α i)αi

, ∀ j

Oleh karena (∑i=1

L

αi)=1.

Maka

w=p j x j1α j∀ j ,

Sehingga diperoleh titik kritis

x j¿=

w α j

p j,∀ j

Nilai maksimum fungsi utilitas Cobb-Douglas diperoleh dengan menentukan nilai

fungsi tersebut di titik kritis x j¿.

4. Kesimpulan dan Saran


Metode Lagrange dapat digunakan untuk menentukkan maksimum fungsi

utility Cobb-Douglass. Kendala harga dapat diselesaikan dengan Metode Pengali

Lagrange. Jadi, jika ada seseorang yang memiliki keinginan namun terkendala

dengan biaya, maka dapat ini dapat digunakan untuk mencari pilihan yang paling

maksimum diantara beberapa pilihan lainnya.

5. Daftar Pustaka

1) https://www.math.ucdavis.edu/~thomases/W11_16C1_lec_2_4_11.pdf2) http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/LAGRANGE

%20MULTIPLIERS2.pdf3) Kalkulus. Jilid dua. Dale Varberg and Edwin J Purcell4) http://jalanbaru.blogspot.co.id/2011/01/metode-lagrange.html5) William R. Dillon & Matthew Goldstein. 1984. Multivariate Analysis .

JohnWiley & Sons.6) Louis Leithold.1981. Ed. 4th . The Calculus With Analytic Geometry.

Harper Row Publishers.7) Tom M. Apostol. 1969. Ed. 2 nd . Calculus. John Wiley & Sons.8) Steven J. Leon. 1998. Ed. 5 th . Linear Algebra With Application.

Prentice Hall9) Nicholson, Walter. 1995. 6th. Microeconomic Theory, Basic Principles

and Extensions. Dryden Press.

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/LAGRANGE%20MULTIPLIERS2.pdf

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/LAGRANGE%20MULTIPLIERS2.pdf

Education

Penentuan Maksimum Fungsi Utility Cobb-Douglass dengan Penerapan Metode Lagrange