1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

Nguyễn Thị Hồng Lanh

Đề tài:

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK TÌM NGHIỆM

SỐ CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN EXCITON 2D

TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU

Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ

MÃ SỐ: 102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

ThS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013

2

Lời cảm ơn

Trong quá trình thực hiện luận văn này, bên cạnh sự nỗ lực của bản thân,tôi

đã nhận được sự giúp đỡ và động viên nhiệt tình từ phía gia đình, thầy cô và bạn bè:

- Trước hết tôi xin chân thành cảm ơn các giảng viên Bộ môn Vật lý lý

thuyết trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ và truyền đạt

những kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong quá trình thực hiện luận văn.

- Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ThS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm – giáo

viên hướng dẫn luận văn này – người đã tận tình hướng dẫn, động viên và tạo mọi

điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn.

- Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ tôi trong suốt thời gian học

cũng như trong thời gian thực hiện luận văn.

- Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Hội đồng khoa học đã xét duyệt và

cho những nhận xét vô cùng quý báu để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế

và thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý, phê bình xây dựng từ phía thầy cô,

bạn bè.

Xin chân thành cảm ơn!

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2013.

1

MỤC LỤC

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ EXCITON ..................................................................... 10

1.1 Exciton ................................................................................................... 10

1.1.1 Lịch sử ....................................................................................... 10

1.1.2 Khái niệm ................................................................................... 11

1.1.3 Phân loại ..................................................................................... 13

1.1.4 Tính chất ..................................................................................... 15

1.2 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường ......... 16

1.2.1 Toán tử Hamilton của exciton trong từ trường ........................... 16

1.2.2 Toán tử Hamilton của bài toán đối với hệ quy chiếu khối tâm .. 18

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK ................................................................. 21

2.1 Giới thiệu về phương pháp toán tử và các bước giải............................. 21

2.2 Phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ nguyên tử, phân tử ............... 30

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK ................................................................. 35

GIẢI BÀI TOÁN EXCITON 2D .................................................................................. 35

TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU ........................................................................................ 35

3.1 Phương pháp toán tử FK giải bài toán exciton 2D trong từ trường ...... 35

3.2 Kết quả ................................................................................................... 41

3.2.1 Nghiệm chính xác bằng số ......................................................... 41

3.2.2 Ý nghĩa các số lượng tử k, m ...................................................... 45

Phụ lục 1: .......................................................................................................... 49

Đưa toán tử Hamilton của exciton về dạng không thứ nguyên ........................ 49

Phụ lục 2: Toán tử sinh-hủy một chiều .......................................................... 51

Phụ lục 3: Xây dựng sơ đồ vòng lặp tìm nghiệm bậc không ......................... 53

2

Phụ lục 4: Chứng minh các toán tử tạo thành đại số kín ............................... 55

Phụ lục 5: Dạng chuẩn của toán tử ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + + ........ 57

Phụ lục 6: Tìm bộ hàm sóng cơ sở cho bài toán exciton ............................... 59

Phụ lục 7: Các thành phần ma trận của toán tử Hamilton ............................. 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 65

3

DANH MỤC HÌNH ẢNH, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Quang phổ của exciton trong đồng (I) oxit ............................................ 11

Hình 1.2 Các mức năng lượng của exciton trong bán dẫn. .................................. 11

Hình 1.3 Có 3 dạng exciton: exciton trung hòa 0X , exciton âm X − và exciton

dương X + .............................................................................................. 12

Hình 1.4 Exciton Mott-Wannier và exciton Frenkel. ........................................... 14

Hình 1.5 Dạng thế của bán dẫn GaAs/GaAsAl. ................................................... 14

Hình 1.6 Thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của exciton. ....................................... 16

Hình 2.1 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động tử phi

điều hòa ứng với trạng thái cơ bản 0n = .............................................. 28

Hình 2.2 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động tử phi

điều hòa ứng với trạng thái kích thích 4n = .. ....................................... 29

Hình 3.1 Các mức năng lượng của exciton được vẽ ứng với các giá trị khác nhau

của từ trường .......................................................................................... 44

Hình 3.2 Các mức năng lượng của exciton được vẽ trong vùng từ trường có

1.γ ≤ ..................................................................................................... 45

4

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản 0n = của dao động tử phi

điều hòa .................................................................................................... 26

Bảng 2.2 Phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích 4n = của dao động tử

phi điều hòa ............................................................................................. 27

Bảng 3.1 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái cơ bản 1s ( 0, 0k m= = ) ứng với các giá trị khác nhau của từ

trường ....................................................................................................... 42

Bảng 3.2 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái kích thích 2 p− ( 0, 1k m= = − )................................................ 42

Bảng 3.3 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái kích thích 3 d − ( 0, 2k m= = − ) ............................................... 43

Bảng 3.4 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái kích thích 5 d − ( 2, 2k m= = − ). ............................................. 43

Bảng 3.5 Giá trị các số lượng tử ứng với các trạng thái khác nhau. ........................ 46

5

MỞ ĐẦU

1. Cùng với sự phát triển của khoa học, vật lý cũng có những bước phát triển mới.

Các thiết bị đo đạc được chế tạo ngày càng tinh vi và chính xác hơn, nhiều phương

pháp giải các bài toán lượng tử được tìm ra; kết quả lý thuyết ngày càng tiến gần

hơn đến kết quả thực nghiệm. Một trong những phương pháp cho phép tìm nghiệm

số chính xác đó là phương pháp toán tử. Phương pháp toán tử do nhóm nghiên cứu

của giáo sư Feranchuk và Komarov ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng (xem công

trình [2] và các tài liệu trích dẫn). Phương pháp này thường được gọi là phương

pháp toán tử FK (viết tắt tên hai giáo sư Feranchuk và Komarov). Phương pháp toán

tử FK được xây dựng trên cơ sở kế thừa những ưu điểm của phương pháp lý thuyết

nhiễu loạn và phương pháp biến phân, đồng thời tận dụng những ưu thế của biểu

diễn đại số trong cơ học lượng tử để tiện lợi trong quá trình tính toán. Phương pháp

này đã được áp dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau trong vật lý

nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường và được áp dụng

trong nhiều công trình như [2], [3], [5], [10].

Ý tưởng chính của phương pháp toán tử FK dựa trên tư tưởng của lý thuyết

nhiễu loạn là tách toán tử Hamilton thành hai phần: phần chính có nghiệm chính xác

và phần còn lại là nhiễu loạn, tuy nhiên khác với lý thuyết nhiễu loạn ở chỗ việc

phân chia toán tử Hamilton không dựa vào yếu tố vật lý mà đơn thuần dựa vào hình

thức của các toán tử trong toán tử Hamilton. Qua các công trình đã áp dụng, phương

pháp toán tử FK thể hiện ưu điểm nổi bật là đơn giản hóa quá trình tính toán. Việc

tính các tích phân phức tạp được thay thế bằng các phép tính đại số đơn giản thể

hiện qua bài toán dao động tử điều hòa, phi điều hòa, exciton trung hòa, exciton

trong từ trường…[1], [2], [7], [9].

Hiện nay khoa học kỹ thuật phát triển, các nhà vật lý ngày càng quan tâm

đến các hệ thấp chiều và các vật liệu kích cỡ nano bằng các phương pháp như kỹ

thuật nuôi cấy tinh thể (Molecular Beam Epitaxy, viết tắt là MBE), kết tủa hơi kim

loại hóa hữu cơ (Metal Organic Chemical Vapor Deposition, viết tắt là MOCVD)

[9], [12]. Trong các mô hình thấp chiều tạo ra từ thực nghiệm, loại tinh thể nhiều

6

lớp bán dẫn GaAs/AlxGs1-xAs được sử dụng nhiều nhất do nó thỏa mãn yêu cầu

nghiêm ngặt khi cấy ghép và dễ dàng thay đổi tính chất và nồng độ của từng loại hạt

tải điện khi thay đổi chỉ số x. Trong tinh thể này, vùng GaAs đóng vai trò như hố

thế và vùng AlxGs1-xAs đóng vai trò như bức tường thế. Chuyển động của điện tử bị

giới hạn và được xem như chuyển động trong không gian hai chiều.

Sự xuất hiện những mũi nhọn trong phổ hấp thụ của chất bán dẫn đã chứng

tỏ sự tồn tại của exciton, một trạng thái liên kết giữa electron và lỗ trống. Exciton

nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà vật lý vì nhiều lí do. Đầu tiên, exciton tồn

tại trong bán dẫn và chất cách điện mà không tồn tại trong kim loại, người ta đã tìm

thấy exciton trong các tinh thể halogen kiềm (vào những năm 30), tinh thể phân tử

(vào những năm 40), tinh thể bán dẫn (vào những năm 50) và cả trong các tinh thể

ion, tinh thể khí hiếm và một số liên kết đất hiếm. Thứ hai, quang phổ exciton

thường có cấu trúc rõ nét và cho phép nghiên cứu lý thuyết một cách chi tiết. Thứ

ba, lý thuyết exciton không đơn giản có thể hiểu được bằng cách áp dụng lý thuyết

nguyên tử hay sơ đồ vùng Block và exciton có sơ đồ năng lượng giả Hydro [5],

[15]. Nghiên cứu cho thấy nhiều hiệu ứng quang điện xảy ra đặc biệt khi có sự tồn

tại của exciton trong bán dẫn khi có từ trường ngoài như hiệu ứng Stark, sự thay đổi

tính dẫn điện, hiệu ứng tách vạch Zeeman trong từ trường [18], [12]. Phổ năng

lượng và hàm sóng của exciton trong từ trường chính vì vậy cần được tính toán với

độ chính xác ngày càng cao. Exciton hai chiều (2D) trong từ trường là một đối

tượng nghiên cứu quan trọng cả thực nghiệm lẫn lý thuyết [5], [15], [13], [16], [9].

Trong công trình [16], bài toán exciton trong từ trường được giải bằng

phương pháp biến phân kết hợp với phân tích theo chuỗi 1/N, còn trong công trình

[15] đã dùng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn có tính tới tiệm cận hàm sóng. Cả

hai công trình này đều cho các kết quả chính xác đến bảy chữ số thập phân với các

trạng thái cơ bản 1s cũng như các trạng thái kích thích 2p –, 3d –. Có thể thấy là việc

tăng độ chính xác bằng số và áp dụng cho các trạng thái kích thích cao hơn không

phải dễ dàng. Vì vậy việc giải tìm nghiệm số chính xác của bài toán với độ chính

xác cao hơn không những cho trạng thái cơ bản mà còn các trạng thái kích thích với

độ chính xác cao chính có ý nghĩa quan trọng. Ngoài ra, bài toán này còn được giải

bằng phương pháp toán tử FK trong công trình gần đây [10].

7

Trong phương pháp toán tử, khi biểu diễn toán tử Hamilton qua các toán tử

sinh hủy, đối với các bài toán mà thành phần tương tác có dạng đa thức của các biến

số động lực, ví dụ như bài toán dao động tử phi điều hòa, thì việc vận dụng tương

đối đơn giản. Đối với các bài toán hệ nguyên tử có tương tác Coulomb có chứa biểu

thức tọa độ ở mẫu, để có thể áp dụng phương pháp, cần phát triển thêm. Trong công

trình [10] sử dụng phép biến đổi Levi-Civita đã khắc phục được khó khăn trên và đã

tìm được nghiệm số chính xác đến 20 chữ số thập phân. Phép biến đổi Levi-Civita

cho phép đưa các bài toán đang xét về dạng bài toán dao động tử phi điều hòa. Bài

toán này đã được giải bằng phương pháp toán tử FK và có kết quả chính xác. Tuy

nhiên, khi áp dụng phép biến đổi này, năng lượng E không còn là trị riêng của toán

tử Hamilton nữa, mà nó trở thành một thành phần của toán tử này. Khi đó ta sử

dụng một trị riêng hình thức Z với giá trị không đổi, và năng lượng E được xác định

thông qua phương trình ( )Z E =hằng số.

Đối với các bài toán như exciton trung hòa, việc giải phương trình gián tiếp

như vậy có thể thực hiện được. Tuy nhiên, đối với các bài toán phức tạp hơn như

bài toán exciton âm, việc xác định năng lượng một cách gián tiếp như vậy không

thuận lợi bằng việc giải trực tiếp, đặc biệt là khi xây dựng giải thuật để tìm nghiệm

số. Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa phần tọa

độ ra khỏi mẫu số, phương pháp toán tử FK vẫn áp dụng được một cách hiệu quả

mà không cần phải thông qua một biến hình thức nào khác, mặc dù khối lượng tính

toán ban đầu sẽ tăng lên đáng kể so với việc sử dụng phép biến đổi Levi-Civita.

Phép biến đổi Laplace đã được áp dụng cho bài toán exciton âm [4] và bài toán

exciton trung hòa [7], nhưng chưa được áp dụng cho bài toán exciton trung hòa

trong từ trường. Bài toán này đã có kết quả chính xác bằng số khi sử dụng phép biến

đổi Levi-Civita. Để so sánh phép biến đổi Laplace với phép biến đổi Levi-Civita, tôi

sử dụng phép biến đổi Laplace cho bài toán exciton 2D trong từ trường và thực hiện

đề tài: “Phương pháp toán tử FK tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton

2D trong từ trường đều”.

2. Mục tiêu của luận văn là áp dụng phương pháp toán tử FK kết hợp với phép

biến đổi Laplace tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton hai chiều trong từ

8

trường đều. Căn cứ vào mục tiêu đã đề ra, luận văn gồm có những nội dung cơ bản

sau:

- Tìm hiểu tổng quan về exciton.

- Tìm hiểu phương pháp toán tử FK và các vấn đề khi áp dụng phương pháp

này cho các bài toán hệ nguyên tử, phân tử.

- Tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton trung hòa trong từ trường

cho trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích.

Phương pháp nghiên cứu:

- Tìm kiếm tài liệu, đọc, phân tích, tổng hợp.

- Tính toán để xây dựng phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ

trường.

- Sử dụng ngôn ngữ lập trình Fortran để tìm nghiệm số chính.

3. Cấu trúc luận văn gồm có ba chương

Chương 1: Tổng quan về exciton

Trong chương này, tôi giới thiệu sơ lược về quá trình phát hiện exciton, một

trạng thái liên kết giữa electron và lỗ trống; phân loại và tính chất của exciton. Sự

tồn tại của exciton đã làm xuất hiện các mũi nhọn trong phổ hấp thụ của chất bán

dẫn. Khi có mặt từ trường exciton thể hiện một số tính chất như: hiệu ứng Hall, sự

giao thoa của các mức lượng tử, sự tách vạch từ trường, hiện tượng ngưng tụ Bose.

Các thông tin về tính chất quang, điện, năng lượng liên kết của exciton dưới tác

động của trường ngoài góp phần làm rõ hơn các tính chất của các chất bán dẫn, có ý

nghĩa trong việc tạo ra các cấu trúc thấp chiều với tính chất định sẵn, đây chính là

mục tiêu hàng đầu của công nghệ vật liệu hiện nay. Do đó, việc giải phương trình

Schrödinger cho exciton trong từ trường để xác định phổ năng lượng của exciton

trong từ trường với độ chính xác cao là cần thiết. Để bắt đầu công việc nghiên cứu

thì tôi đã xây dựng lại phương trình Schrödinger cho exciton trung hòa 2D trong từ

trường đều.

Chương 2: Phương pháp toán tử FK

Trong chương này tôi giới thiệu lại phương pháp toán tử FK và các bước

giải cơ bản thể hiện thông qua bài toán dao động tử phi điều hòa. Phương pháp toán

tử có ưu điểm nổi bật là đơn giản quá trình tính toán nên được áp dụng trong nhiều

9

công trình. Tuy nhiên, phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử, phân tử cũng

gặp phải một số vấn đề khó khăn như: thế tương tác Coulomb chưa biến động lực ở

mẫu, dạng chuẩn của toán tử, xây dựng bộ hàm sóng cơ sở, cách chọn tham số ω .

Từ đó mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới về phương pháp toán tử.

Chương 3: Phương pháp toán tử FK giải bài toán exciton 2D trong từ trường

đều

Đây là phần trọng tâm của luận văn, tôi áp dụng phương pháp toán tử kết

hợp với phép biến đổi Laplace giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều. Kết quả

là nghiệm số chính xác cho bài toán, xác định được năng lượng của exciton ở trạng

thái cơ bản và một số trạng thái kích thích trong từ trường với cường độ bất kỳ. Các

kết quả tính toán được đưa ra với độ chính xác đến hai chữ số thập phân đối với

trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích đến năm hoặc bảy chữ số thập phân. Các

kết quả được so sánh với các công trình [10].

4. Phần kết luận sẽ trình bày các kết quả đạt được từ việc áp dụng phương pháp

toán tử cho bài toán exciton hai chiều trong từ trường đều và hướng phát triển tiếp

theo của đề tài.

5. Phần phụ lục là các tính toán chi tiết cho các công thức trong nội dung luận văn.

10

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ EXCITON

Trong chương này tôi giới thiệu sơ lược về quá trình phát hiện ra exciton,

khái niệm, phân loại và tính chất của exciton. Sau đó xây dựng lại phương trình

Schrödinger cho exciton trung hòa hai chiều trong từ trường.

1.1 Exciton

1.1.1 Lịch sử

Năm 1907, phổ hấp thụ đầu tiên của exciton đã được Becquerel tìm thấy

trong thực nghiệm ở tinh thể khí hiếm, và vào năm 1929 do Obreimov và De Haas

tìm ra trong tinh thể phân tử [13].

Năm 1931, khái niệm exciton được đề xuất lần đầu tiên bởi Yakov

Frenkel, khi ông mô tả sự kích thích của các nguyên tử trong một mạng tinh thể của

chất cách điện. Ông đề xuất rằng trạng thái kích thích này sẽ có thể di chuyển giống

như hạt trong mạng tinh thể mà không có sự dịch chuyển điện tích. Vào thời điểm

đó, việc mô tả các dải năng lượng trong tinh thể dựa trên sơ đồ Bloch, rút ra từ

phương pháp Hartree-Fock, chưa xét đến sự tương quan của các electron [17], [14].

Năm 1937, một mô hình exciton khác được đề xuất bởi hai nhà khoa học

Nevill Francis Mott và Gregory Wannier, được gọi là exciton Wannier-Mott.

Exciton này giống như nguyên tử Hydro và tồn tại trong chất bán dẫn.

Năm 1951, lần đầu tiên Gross đã phát hiện một quang phổ giống Hydro bao

gồm các vạch hấp thụ hẹp khi nghiên cứu tinh thể đồng (I) oxit (hình 1.1). Gross và

các đồng nghiệp đã phát hiện ra một số tính chất khác thường của exciton trong điện

trường và từ trường, vai trò của exciton trong việc hình thành khả năng phát quang

và quang dẫn [17], [14].

Năm 1958, Lampert dự đoán sự tồn tại của các cấu trúc exciton mang điện

[11]. Khái niệm exciton được sử dụng rộng rãi trong những quá trình vật lý (như

hiện tượng quang điện, sự hình thành các khuyết tật bức xạ, sự phát quang…) trong

tinh thể, polymer và cả vật liệu sinh học. Thực nghiệm đã xác nhận sự tồn tại của

exciton trong chất bán dẫn, tinh thể của phân tử, chất cách nhiệt và ion [17], [14].

11

Phổ năng lượng của exciton âm cũng được quan sát sau đó vào những năm

90 trong giếng lượng tử pha tạp khi sự chênh lệch mật độ giữa điện tử và lỗ trống

rất lớn.

Hình 1.1 Quang phổ của exciton trong đồng (I) oxit,

hiển thị các phần của quang phổ nhìn thấy được màu vàng cam [17].

1.1.2 Khái niệm

Trong bán dẫn thông thường, độ sai khác năng lượng Eg giữa dải dẫn và dải

hóa trị ở vào khoảng năng lượng kéo dài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh sáng khả

kiến. Một photon có năng lượng gEω > có thể kích thích một điện tử trong dải

hóa trị nhảy lên dải dẫn và để lại trong dải hóa trị một lỗ trống thể hiện như một

điện tích dương. Sau đó, electron trong vùng dẫn hút lỗ trống nó tạo ra bởi lực

Coulomb. Lực hút này tạo ra một sự cân bằng năng lượng ổn định. Khi đó, electron

và lỗ trống không biểu hiện như là những hạt mang điện tự do nữa mà “hành xử”

như chúng là một cặp hạt không thể tách rời. Người ta gọi trạng thái liên kết giữa

electron và lỗ trống trong trường hợp này được xem như là một giả hạt gọi là

exciton [2], [17].

Hình 1.2 Các mức năng lượng của exciton trong bán dẫn [2].

12

Các quan sát cho thấy có nhiều dạng exciton. Khi sự kết hợp xảy ra giữa

một điện tử và một lỗ trống ta có exciton trung hòa 0X . Khi hai điện tử kết hợp với

một lỗ trống thì exciton có điện tích âm gọi là exciton âm X − . Và cũng có trường

hợp khi hai lỗ trống kết hợp với một điện tích tạo ra một exciton dương X + . Trong

giới hạn luận văn này chỉ đề cập đến exciton trung hòa. Khi ta nói exciton thì được

hiểu là exciton trung hòa.

Hình 1.3 Có 3 dạng exciton: exciton trung hòa 0X , exciton âm X −

và exciton dương X + .

Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống nguyên tử Hydro, tuy nhiên nó có

bán kính lớn hơn và năng lượng liên kết nhỏ hơn. Tương tự như vậy các exciton

dương hay âm cho ta hình ảnh ion phân tử 2H + hay nguyên tử Heli.

Các exciton tương đối bền vững và có thời gian sống vào khoảng vài trăm

ps đến ns. Do hiệu ứng màn chắn của thế tương tác Coulomb trong chất bán dẫn và

khối lượng hiệu dụng nhỏ của điện tử và lỗ trống. Cho nên mỗi exciton có năng

lượng liên kết nhỏ hơn và kích thước của nó khác nhiều so với nguyên tử Hydro.

Trong một số trường hợp, kích thước của các exciton có thể từ vài angstrom đến vài

ngàn angstrom và thậm chí gấp hàng ngàn lần hằng số mạng (xem công trình [4] và

các tài liệu trích dẫn).

0X X − X +

+ + + +

- - - -

13

1.1.3 Phân loại

Exciton thể được chia làm hai loại, tùy thuộc vào các tính chất của vật liệu

đang xét.

∗ Trong chất cách điện

Hằng số điện môi của chất cách điện rất lớn nên điện tử và lỗ trống tương

tác với nhau ở khoảng cách phân tử. Các exciton tồn tại trong chất cách điện có bán

kính nhỏ, gần bằng kích thước ô sơ cấp. Loại exciton này được gọi là exciton

Frenkel, đặt theo tên của J. Frenkel (còn gọi là exciton phân tử hay exciton bán kính

nhỏ). Do kích cỡ nhỏ, tương tác Coulomb lớn và ít bị ảnh hưởng bởi truờng mạng

nên năng luợng liên kết của nó lớn (trung bình 1.5 eV). Exciton Frenkel thường

được tìm thấy trong các tinh thể halogenua kim loại kiềm và trong các tinh thể hữu

cơ phân tử bao gồm các phân tử thơm, chẳng hạn như polycyclic hydrocarbon

thơm và hydrocarbon thơm đa vòng.

∗ Trong chất bán dẫn

Trong chất bán dẫn, điện tử và lỗ trống vẫn tương tác với nhau nhưng các

điện tử có thể tương tác tự do khắp không gian mạng, còn các lỗ trống tương ứng

cũng có thể di chuyển giữa các nút mạng. Vì vậy, exciton có bán kính lớn rất nhiều

lần hằng số mạng tinh thể. Mô hình exciton này được đề xuất bởi hai nhà khoa học

Nevill Francis Mott và Gregory Wannier, được gọi là exciton Wannier-Mott (còn

gọi là exciton bán kính lớn hay exciton lớn). Năng luợng liên kết của exciton

thuờng nhỏ hơn nhiều so với năng lượng của Hydro (mức trung bình là 0.1 eV)

[17]. Exciton loại này thuờng được tìm thấy trong tinh thể đồng hóa trị. Exciton

Wannier-Mott thường được tìm thấy trong các tinh thể bán dẫn có khe năng lượng

nhỏ và hằng số điện môi cao, nhưng cũng đã được xác định trong chất lỏng, chẳng

hạn như chất lỏng xenon.

14

Hình 1.4 Exciton Mott-Wannier và exciton Frenkel.

Trong những năm gần đây có nhiều nghiên cứu về chất bán dẫn có cấu trúc

giới hạn vì tính ứng dụng của chúng trong các thiết bị điện tử và quang điện tử. Phát

triển gần đây trong công nghệ cấu trúc nano đã cho phép một để nghiên cứu “hành

vi” của điện tử và các tạp chất trong bán hai chiều (giếng lượng tử) [15], [16]. Bán

dẫn GaAs/GaAsAl được quan tâm nghiên cứu vì cấu trúc đặc biệt của nó. Đáy vùng

dẫn GaAsAl cao hơn so với đáy vùng dẫn của GaAs cho nên phần bù vùng dẫn tạo

thành một bức tường thế. Đối với điện tử, hệ bán dẫn này tạo thành một thế năng có

dạng các bức tường thế và hố thế nối tiếp nhau như trong hình sau:

Hình 1.5 Dạng thế của bán dẫn GaAs/GaAsAl [5].

Trong các thiết bị kích cỡ nano, các lớp bán dẫn đủ mỏng và bức tường thế

có thể xem là cao vô hạn. Lúc này ta có một hệ khí điện tử chuyển động tự do trong

không gian hai chiều trên bề mặt lớp bán dẫn GaAs. Thực nghiệm quan sát được

phổ năng lượng gián đoạn của khí điện tử. Điều này chỉ có thể giải thích bởi sự tồn

tại một cấu trúc có trạng thái liên kết là exciton, di chuyển tự do hai chiều trong bán

15

dẫn. Exciton đã được phát hiện rất lâu nhưng đến nay exciton vẫn được đặc biệt

quan tâm nghiên cứu. Vì việc nghiên cứu phổ năng lượng của exciton cho ta nhiều

thông tin về tính chất quang, tính chất điện của bán dẫn, đặc biệt là khi các chất này

được đặt trong từ trường. Các thông tin về tính chất quang, điện, năng lượng liên

kết của exciton dưới tác động của trường ngoài góp phần làm rõ hơn các tính chất

của các chất bán dẫn, có ý nghĩa trong việc tạo ra các cấu trúc thấp chiều với tính

chất định sẵn, đây chính là mục tiêu hàng đầu của công nghệ vật liệu hiện nay. Các

nghiên cứu này có những ứng dụng đặc biệt quan trọng trong việc thiết kế các hệ

thấp chiều kích cỡ nano. Ngoài GaAs, hiện nay nghiên cứu được mở rộng với các

chất liệu bán dẫn khác (InAs/GaSb, InGaAs/InP, GaN, SiO2…) [5].

1.1.4 Tính chất

- Chỉ có mặt trong bán dẫn hoặc điện môi. Exciton trung hòa tham gia vận

chuyển năng lượng nhưng không tạo ra dòng điện.

- Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống như nguyên tử Hydro, tuy nhiên nó

có bán kính lớn hơn và năng luợng liên kết nhỏ hơn.

- Việc tạo ra các mức exciton trong vùng cấm (exciton Mott-Wannier) rất

giống với việc tạo ra các mức tạp trong bán dẫn. Ở mức cơ bản năng lượng liên kết

exciton trùng với mức năng lượng tạp chất donor nhóm V hoặc các bán dẫn nguyên

tố nhóm IV như Si, Ge (cỡ 0.005eV).

- Không phải chỉ có một mức exciton mà có cả một dải các mức exciton gián

đoạn. Phổ hấp thụ exciton là phổ gián đoạn, gồm một dải các vạch như phổ hấp thụ

của Hydro.

- Sự tồn tại của exciton đuợc chứng tỏ trong thực nghiệm qua việc phát hiện

một vùng phổ hấp thụ gần bờ hấp thụ cơ bản về phía bước sóng dài với các mũi

nhọn (peak) hấp thụ (ở nhiệt độ thấp) mà không làm thay đổi nồng độ hạt dẫn. Phổ

vạch dạng giống như nguyên tử Hydro đã được phát hiện trong các bán dẫn có vùng

cấm rộng như CdS, HgI2, CdI2, CuO2,...[2].

16

Hình 1.6 Thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của exciton [2].

1.2 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường

1.2.1 Toán tử Hamilton của exciton trong từ trường

Toán tử Hamilton cho điện tử và lỗ trống trong từ trường:

2* 2 2

*

2 2* 2 2

*

1 1ˆˆ2 2

1 1ˆ ,2 2

e e e c ee

h h h c hh e h

eH p A m rm c

e ep A m r Zm c r r

ω

ωε

= − +

+ + + − −

(1.1)

trong đó: số hạng thứ nhất và ba là động năng của điện tử và lỗ trống,

số hạng thứ hai và bốn là động năng chuyển động xoáy ốc dưới tác dụng

của từ trường,

số hạng thứ năm là thế năng tương tác giữa điện tử và lỗ trống,

với A

là thế vectơ của từ trường.

Khi có từ trường, toán tử động lượng của hạt lúc này là ˆ qp Ac

+

(với q là điện tích

của hạt), vì vậy chúng ta cần khai triển các số hạng thứ nhất và ba của toán tử

Hamilton (1.1) và rút gọn. Tiếp theo, ta đưa toán tử Hamilton của bài toán về hệ quy

chiếu khối tâm để thuận lợi cho quá trình tính toán. Sau đó, đưa toán tử Hamilton về

dạng không thứ nguyên.

17

Tìm 2

ˆˆ e eep Ac

−

:

( )

2 2 222ˆ ˆ ˆ ˆe e e e e e e e

e e ep A p A p p A Ac c c

− = − + +

.

Mà ˆˆ ,e e ep i A A= − ∇ =

nên

ˆ ˆe e e x y zA p A i i A A Ax y z

∂ ∂ ∂= − ∇ = − + + ∂ ∂ ∂

,

ˆˆ e e e x y z ep A i A i A A A i divA

x y z ∂ ∂ ∂

= − ∇ = − + + = − ∂ ∂ ∂

.

Suy ra

( )

2 22 2

2ˆ ˆˆ ˆe e e e e e

e e ep A p A i i divA Ac c c

− = − − ∇ − +

,

2 22 2

* * * * * 2

1 1ˆ ˆˆ ˆ2 2 2 2 2e e e e e e e

e e e e e

e ei ei ep A p A divA Am c m m c m c m c

− = + ∇ + +

.

Do 2

2ec

rất nhỏ nên bỏ qua số hạng 2

2* 2

ˆ2 e

e

e Am c .

Chọn eA

sao cho 0edivA =

; nên số hạng * 02 e

e

ei divAm c

=

.

Suy ra

22

* * *

1 1ˆ ˆ2 2 2e e e e e

e e e

e eip A p Am c m m c

− = + ∇

.

Mặt khác 1 ,2

A r B =

nên khi (0,0, )B B=

thì

1 1 1 1,2 2 2 2

0 0

i j kA r B x y z Byi Bxj

B = = = −

1 1; ; 02 2x y zA By A Bx A⇒ = = − = ,

18

do đó

* *

* *

( )2 2

ˆ .2 2

e e x y ze e

ze e

i e i eA A A Am c m c x y z

i eB eBy x Lm c x y m c

∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂

∂ ∂= − = ∂ ∂

Suy ra

22

* * *

1 1ˆ ˆˆ ˆ2 2 2e e e z

e e e

e eBp A p Lm c m m c

− = +

.

Tương tự, ta có:

22

* * *

1 1ˆ ˆˆ ˆ2 2 2h h h z

h h h

e eBp A p Lm c m m c

+ = +

.

Vậy toán tử Hamilton của điện tử và lỗ trống:

2 2* * * *

2* 2 2 * 2 2

1 1 1 1ˆ ˆ ˆ2 2 2

1 1 .2 2

ze he h e h

e c e h c he h

eBH p p Lm m c m m

em r m r Zr r

ω ωε

= + + +

+ + −−

(1.2)

1.2.2 Toán tử Hamilton của bài toán đối với hệ quy chiếu khối tâm

Chuyển hệ tọa độ ( ),e hr r sang hệ tọa độ ( ),r R với:

* *

* *, e e h he h

e h

m r m rr r r Rm m

+= − =

+,

* *

* ** *, e h

e he h

m mM m mm m

µ= + =+

.

Chiếu hai biểu thức trên lên trục x, ta có:

* *

* *, e e h he h

e h

m x m xx x x Xm m

+= − =

+ .

Đổi biến *e

e e e

mx Xx x x X x x M X∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

,

*h

h h h

mx Xx x x X x x M X∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + = − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

,

19

2* *2 2 2

2 2 22e e

e

m mx M X M X x x

∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

,

2* *2 2 2

2 2 22h h

h

m mx M X M X x x

∂ ∂ ∂ ∂== − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Suy ra

2 2 2 2 2 2 2 2

* 2 * 2 2 22 2 2 2e e h hm x m x M X xµ∂ ∂ ∂ ∂

− − = − −∂ ∂ ∂ ∂

.

Tương tự đối với trục y:

2 2 2 2 2 2 2 2

* 2 * 2 2 22 2 2 2e e h hm y m y M Y yµ∂ ∂ ∂ ∂

− − = − −∂ ∂ ∂ ∂

.

Suy ra

2 2 2 2 2 2 2 2

* 2 * 2 2 22 2 2 2e e h hm r m r M R rµ∂ ∂ ∂ ∂

− − = − −∂ ∂ ∂ ∂

.

Toán tử Hamilton ở (1.2) được viết lại như sau:

22 2 2 2 22 2 2

2 2

1 1ˆ ˆ2 2 2 2 2 2c z

eB eB eH M R r L ZM R r c c r

ω µµ µ µ ε

∂ ∂= − − + + + − ∂ ∂

. (1.3)

Đặt ceB

cµΩ = , ta có:

22 2 22 2 2ˆ ˆ 1 1ˆ ˆ

2 2 2 2 2 2cR r

c zp p eB eH M R r L ZM c r

ω µµ µ ε

Ω = + + + + −

. (1.4)

Tách toán tử Hamilton ở (1.4) thành hai phần:

- 2

2 2ˆ 1ˆ2 2

RR c

pH M RM

ω= + . Thành phần này đặc trưng cho chuyển động của

khối tâm có khối lượng M, có dạng giống toán tử Hamilton của dao động tử điều

hoà và đã tìm được nghiệm [1].

-

22 22ˆ 1ˆ ˆ

2 2 2 2cr

r zp eB eH r L Z

c rµ

µ µ εΩ = + + −

. Thành phần ˆ

rH đặc trưng cho

chuyển động tương đối của electron và lỗ trống trong trường thế Coulomb với khối

lượng rút gọn µ .

20

Đưa thành phần toán tử Hamilton ˆrH về dạng không thứ nguyên ta được:

( )2 2 2

2 22 2

1 1ˆ2 8 2

iH x y x y Zx y y x r

γ γ ∂ ∂ ∂ ∂= − + + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂

. (1.5)

(xem phụ lục 1)

Phương trình Schrödinger cho điện tử và lỗ trống trong từ trường được viết như sau:

( )2 2 2

2 22 2

1 1 ( ) ( )2 8 2

ix y x y Z r E rx y y x r

γ γ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + − − − Ψ = ∂ ∂ ∂ ∂

. (1.6)

Ở đây, E là năng lượng liên kết giữa electron và lỗ trống, đơn vị của năng

lượng là hằng số Rydberg hiệu dụng * 4 2 2/ 2R eµ ε= , đơn vị độ dài là bán kính

Bohr hiệu dụng * 2 2/a e µε= . Cường độ từ trường không thứ nguyên γ được xác

định bằng biểu thức: */ 2c Rγ ω= , trong đó /c eB cµω = là tần số chuyển động

xoáy ốc với B là cường độ từ trường; ,µ ε lần lượt là khối lượng rút gọn hiệu dụng

của cặp electron-lỗ trống và hằng số điện môi; Z là số điện tích của lỗ trống, trong

trường hợp exciton ta có 1Z = . Trong công trình này ta xét trong miền thay đổi

rộng của γ từ miền từ trường yếu đến từ trường mạnh.

21

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK

Trong chương này tôi giới thiệu sơ lược về phương pháp toán tử. Các bước

giải một bài toán bằng phương pháp toán tử được thể hiện qua bài toán đơn giản là

dao động tử điều hòa. Khi áp dụng phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ phân tử,

nguyên tử chúng ta cũng cần lưu ý một số vấn đề như: toán tử Hamilton chứa biến

động lực ở mẫu, dạng chuẩn của toán tử, cách xây dựng bộ hàm sóng cơ sở và cách

chọn tham số tự do để tốc độ hội tụ của bài toán là tối ưu.

2.1 Giới thiệu về phương pháp toán tử và các bước giải

Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm

1979. Phương pháp toán tử FK được ứng dụng thành công cho nhiều bài toán khác

nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn và lý truyết trường [2], [5]. Qua các

nghiên cứu và ứng dụng vào một số bài toán cụ thể, phương pháp toán tử FK đã thể

hiện một số ưu điểm như sau:

- Chỉ sử dụng các tính toán thuần đại số. Toán tử Hamilton của bài toán được

đưa về các toán tử sinh hủy nên chúng ta không cần tính các tích phân phức

tạp. Vì vậy có thể sử dụng các chương trình tính toán trên biểu tượng như

Matlab, Mathematica,... để tự động hóa quá trình tính toán.

- Cho phép xét các hệ lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì.

- Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền

thay đổi tham số trường ngoài.

Các bước giải một bài toán bằng phương pháp toán tử FK được trình bày

qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa. Ta xét bài toán dao động phi điều hòa

với toán tử Hamilton có dạng sau:

2

2 42

1 1ˆ ,2 2

dH x xdx

λ= − + + (2.1)

với hệ số phi điều hòa 0λ > . Bài toán này có dạng chuyển động trong hố thế và có

các mức năng lượng gián đoạn.

22

Bước một: Chuyển H về dạng ˆ ˆ ˆ( , , , )H a a λ ω+ , với toán tử a+ (toán tử

sinh), a (toán tử huỷ) được định nghĩa như sau:

,

.

1ˆ ˆ ˆ2 2

1ˆ ˆ ˆ2 2

i da x p xdx

i da x p xdx

ω ωω ω

ω ωω ω

+

= + = +

= − = − (2.2)

Ở đây, ω là tham số thực dương được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính toán.

Dễ dàng tính được hệ thức giao hoán

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1.a a aa a a+ + + = − = (2.3)

(xem phụ lục 2)

Hệ thức (2.3) giúp chúng ta đưa các toán tử về dạng chuẩn, nghĩa là toán tử sinh

nằm ở phái bên trái, toán tử hủy nằm ở phía bên phải. Từ đây về sau ta xem đó là

dạng chuẩn của toán tử (xem mục 2.2).

Và

1 ˆ ˆ( )2

ˆ ˆ( )2

x a a

d a adx

ωω

+

+

= + = −

. (2.4)

Để thuận lợi cho các tính toán đại số sau này, ta được biểu thức toán tử Hamilton

(2.1) về dạng chuẩn như sau:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 222

4 3 24 3 22

1 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 14 4 4

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4 4 6 6 .4

H a a a a a a a a

a a a a a a a a

ω ω λω ω ωλω

+ + + +

+ + + +

+ −= + + + + + +

+ + + + + + (2.5)

Bước hai: Tách toán tử Hamilton ở phương trình (2.5) thành hai thành phần

như sau:

+ Phần thứ nhất là ( )0ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a λ ω+

chứa các toán tử trung hòa, nghĩa là các

số hạng chứa số toán tử sinh và số toán tử hủy bằng nhau:

( ) ( )2 2

0 21 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1 .

4 4OMH a a a a a aω λ

ω ω+ + +

+= + + + + (2.6)

23

+ Phần còn lại là ( )ˆ ˆ ˆ, , ,OMV a a λ ω+ .

Trong lý thuyết nhiễu loạn, ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phần

0ˆ ˆ ˆH H V= + dựa vào yếu tố vật lý; trong đó thành phần 0H có nghiệm của bài toán

dao động tử điều hòa và thành phần V được xem là nhiễu loạn liên quan đến tương

tác trường ngoài. Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn được áp dụng với điều kiện

0ˆ ˆV H<< ứng với những giá trị λ phù hợp. Đối với phương pháp toán tử, việc tách

toán tử Hamilton chỉ dựa trên hình thức của các số hạng chứ không dựa vào ý nghĩa

vật lý của bài toán thể hiện ở chỗ λ không chỉ có trong phần nhiễu loạn V mà có cả

trong phần 0H .Vì vậy, phương pháp này có thể áp dụng cho các dạng hệ vật lý

khác nhau. Ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: phần chính

( )0ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a λ ω+ chỉ chứa các toán tử trung hòa nên có nghiệm chính xác mà chúng

ta sẽ dễ dàng xây dựng dưới đây; riêng thành phần ( )ˆ ˆ ˆ, , ,OMV a a λ ω+ đóng vai trò

“nhiễu loạn”. Hệ số trường ngoài λ có mặt trong cả phần chính và phần nhiễu loạn.

Toán tử Hamilton không phụ thuộc vào tham sốω , nên ω được gọi là tham số tự

do. Phần chính và phần nhiễu loạn phụ thuộc vào tham số tự do ω và ω có vai trò

điều chỉnh ( )ˆ ˆ ˆ, , ,OMV a a λ ω+

để đảm bảo điều kiện lý thuyết nhiễu loạn 0

ˆ ˆ .V H<<

Bước ba: Tìm nghiệm gần đúng bậc không bằng cách giải phương trình:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 00

ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a Eλ ω ψ ψ+ = . (2.7)

Toán tử ( )0ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a λ ω+ giao hoán với toán tử ˆ ˆa a+ , nên nghiệm của (2.7) là:

( )1 ˆ( ) 0!

nn a

nω += , (2.8)

với nghiệm cơ bản: ˆ( ) 0 0; 0 0 1a ω = = .

Ta chứng minh được: .ˆ ˆa a n n n+ =

Từ đó, ta có:

( ) ( )2

(0) 20 2

1 32 1 2 2 14 4

OMnE n H n n n nω λ

ω ω+

= = + + + + . (2.9)

24

Điều kiện xác định ω : (0)

0nEω

∂=

∂. (2.10)

Suy ra: ( ) ( ) ( )3 22 1 2 1 6 2 2 1 0n n n nω ω λ+ − + − + + = . (2.11)

Bước bốn: Phương pháp toán tử FK tìm nghiệm số chính xác:

Hàm sóng chính xác bậc (s) ứng với năng lượng ( )snE có dạng:

( ) ( )

0.

n ss s

n lll n

n C k+

=≠

Ψ = + ∑ (2.12)

Ở bước bước này chúng ta có thể dùng sơ đồ vòng lặp để tính các bổ chính bậc cao

(xem phụ lục 3).

Phương pháp vòng lặp cho ta sơ đồ sau:

( ) ( )

0,,

n ss s

n nn k nkk k n

E H C V+

= ≠= + ∑ (2.13)

( ) ( 1) ( )

0.( )

n ss s s

n jj j jn k jkkk n

E H C V C V+

+

=≠

− = + ∑

(2.14)

Chú ý rằng ở đây chúng ta không cần sử dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho

1β = . Ngoài ra các giá trị ( )( ) , ssn jE C tương ứng với các bước lặp khác nhau chứ

không phải là bổ chính như trong phương pháp lý thuyết nhiễu loạn.

Các yếu tố ma trận viết lại như sau:

0ˆ OM

kkH k H k= , ˆ OMjkV j V k= . (2. 15)

Sử dụng : ˆ ˆ1 1 ; 1a n n n a n n n+ = − + = − để tính các phần tử ma trận.

Kết quả ta có các phần tử ma trận :

( ) ( )2

22 ,1 32 1 2 2 1

4 4nnH n n nω λω ω

+= + + + + (2.16)

25

2

, 2 2

1 (4 6) ( 2)( 1)4 4n nV n n nω λω ω+

−= + + + +

, (2.17)

( )( )( )( ), 4 2 4 3 2 14n nV n n n nλω+ = + + + + . (2.18)

Chú ý các yếu tố ma trận khác không thu được có tính đối xứng nk knV V= .

Hệ phương trình (2.13)-(2.14) có thể được giải theo quy trình sau: Đầu tiên,

thế ( )skC vào phương trình (2.14), khi đó ta thu được một phương trình ẩn số ( )s

nE .

Giải phương trình đó rồi thế nghiệm ( )snE thu được và ( )s

kC ban đầu vào phương

trình (2.14) để xác định ( 1)snC + . Tiếp đó, ta lại thế ( 1)s

nC + vào phương trình (2.13) và

lặp lại quá trình tính toán cho đến khi giá trị năng lượng ( )snE đạt được độ chính xác

theo yêu cầu. Quá trình này sau đó lại được lặp lại cho vòng lặp ( 2)s + kế tiếp.

26

Bảng 2.1 Phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản 0n = của dao động tử phi

điều hòa [2].

0.01λ = 0.05λ = 0.1λ = 0.3λ = 1.5λ =

( )00E 0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180

( )10E 0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180

(2)0E 0.5072563014 0.5323777399 0.558838596 0.6373408787 0.8817884333

( )30E 0.5072562707 0.5326638127 0.559112766 0.6378326682 0.8840817664

( )40E 0.5072562023 0.5326424521 0.559151382 0.6380153133 0.8849480705

( )50E 0.5072620492 0.5326424823 0.559146495 0.6379948737 0.8848112845

( )60E 0.5072620448 0.5326427790 0.559146278 0.6379914404 0.8847892918

( )70E 0.5072620453 0.5326427553 0.559146329 0.6379917786 0.8847943659

( )80E 0.5072620452 0.5326427551 0.559146328 0.6379918013 0.8847946861

( )90E 0.5072620452 0.5326427553 0.559146327 0.6379917866 0.8847944336

( )100E 0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917844 0.8847944198

( )0TE 0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917842 0.8847944251

27

Bảng 2.2 Phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích 4n = của dao động tử

phi điều hòa [2].

0.01λ = 0.03λ = 0.06λ = 0.1λ = 1.5λ =

( )04E 4.8092999999 5.2078603252 5.8694444444 6.2490740740 12.4453125000

( )14E 4.8092999999 5.2078603252 5.8694444444 6.2490740740 12.4453125000

(2)4E 4.7736995554 5.2060800093 5.6861199877 6.2223820797 12.3776059956

( )34E 4.7747285026 5.2051664217 5.6967910549 6.2199718947 12.3574329062

( )44E 4.7749316376 5.2051386595 5.7021291564 6.2202679913 12.3556586805

( )54E 4.7749139015 5.2051516636 5.7011304336 6.2203200633 12.3576222919

( )64E 4.7749129456 5.2051514395 5.7009480693 6.2203017742 12.3577769104

( )74E 4.7749131151 5.2051511291 5.7010151586 6.2202996521 12.3574810758

( )84E 4.7749131114 5.2051511437 5.7010178067 6.2203009392 12.3574842521

( )94E 4.7749131114 5.2051511499 5.7010146470 6.2203009652 12.3575265919

( )104E 4.7749131115 5.2051511492 5.7010148920 6.2203008706 12.3575216732

( )4TE 4.7749131114 5.2051511491 5.7010149485 6.2203008813 12.3575176582

28

0 2 4 6 8 100.500

0.502

0.504

0.506

0.508

Naêng

löôïn

g E(s) n

Voøng laëp s

n = 0, λ = 0.01 PP toaùn töû FK PP lyù thuyeát nhieãu loaïn

λ<< 0.67

0 2 4 6 8 100.50

0.51

0.52

0.53

0.54

0.55

Naêng

löôïn

g E(s) n

Voøng laëp s

n = 0, λ = 0.03 PP toaùn töû FK PP lyù thuyeát nhieãu loaïn

λ<< 0.67

0 2 4 6 8 10-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Naêng

löôïn

g E(s) n

λ<< 0.67 n = 0, λ = 0.1

PP toaùn töû FK PP lyù thuyeát nhieãu loaïn

Voøng laëp s

Hình 2.1 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động

tử phi điều hòa ứng với trạng thái cơ bản 0n = . Phương pháp toán tử ứng với trạng

thái cơ bản cho kết quả hội tụ tốt hơn phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. Ứng với

các giá trị khác nhau của λ phương pháp toán tử đều cho kết quả hội tụ. Phương

pháp lý thuyết nhiễu loạn chỉ cho kết quả hội tụ với λ nhỏ, với giá trị 0.1λ = tuy

vẫn còn nhỏ hơn giới hạn nhiễu loạn các bổ chính bậc ba trở lên đã cho kết quả sai.

Với 0.3λ ≥ lý thuyết nhiễu loạn không còn phù hợp nữa trong khi phương pháp

toán tử vẫn cho kết quả hội tụ tốt.

29

0 2 4 6 8 104.5

4.6

4.7

4.8Na

êng lö

ôïng E

(s) n

n = 4, λ = 0.01 PP toaùn töû FK PP lyù thuyeát nhieãu loaïn

λ<< 0.146

Voøng laëp s

0 2 4 6 8 103

4

5

6

7

Naêng

löôïn

g E(s) n

n = 4, λ = 0.03 PP toaùn töû FK PP lyù thuyeát nhieãu loaïn

λ<< 0.146

Voøng laëp s

Hình 2.2 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao

động tử phi điều hòa ứng với trạng thái kích thích 4n = . Lý thuyết nhiễu loạn cho

kết quả hội tụ với giá trị 0.01λ = . Với λ rất nhỏ 0.03λ = lý thuyết nhiễu loạn đã

cho kết quả phân kì. Phương pháp toán tử ứng với các giá trị λ khác nhau vẫn cho

kết quả hội tụ.

Bằng phương pháp toán tử, ta tìm được nghiệm chính xác cho giá trị λ bất

kì, không chỉ trạng thái cơ bản mà cho cả các trạng thái kích thích n. Nghiệm chính

xác và hội tụ đến 10 chữ số thập phân sau dấu phẩy. Mặc dù tham số tự do đuợc

chọn chưa phải tối ưu, ta thấy nghiệm thu được có tốc độ hội tụ cao. Như vậy, ta

thấy phương pháp toán tử FK cho ta nghiệm chính xác bằng số với giá trị tham số

nhiễu loạn bất kì. Đối với bài toán dao động tử phi điều hòa, sơ đồ vòng lặp cho kết

quả hội tụ về nghiệm chính xác nhanh hơn dùng thuyết nhiễu loạn để tính bổ chính

năng luợng và tài nguyên tính toán cho mỗi bậc vòng lặp ít hơn so với mỗi bậc

nhiễu loạn. Từ truớc đến nay, trong các công trình áp dụng phương pháp toán tử FK

thì sơ đồ vòng lặp được mặc định sử dụng mặc dù chưa có tuyên bố nào về sự so

sánh giữa hai sơ đồ. Trong luận văn này tôi sẽ sử dụng sơ đồ vòng lặp để giải bài

toán exciton trung hòa hai chiều trong từ trường.

30

2.2 Phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ nguyên tử, phân tử

`Khi áp dụng phương pháp toán tử FK để giải một bài toán hệ nguyên tử,

phân tử cụ thể cần lưu ý một số vấn đề sau:

(a) Biến động lực ở mẫu số: bước đầu tiên để áp dụng phương pháp toán tử là

đưa toán tử Hamilton của bài toán đang xét về các toán tử sinh hủy. Việc biểu diễn

qua các toán tử sinh hủy được thực hiện một cách dễ dàng khi toán tử Hamilton có

dạng đa thức của các biến số động lực, ví dụ như bài toán dao động tử phi điều hòa.

Tuy nhiên, đối với các bài toán về nguyên tử, phân tử thì các số hạng biểu diễn

tương tác Coulomb đều chứa phần tọa độ ở phía mẫu số, một số trường hợp các

biến động lực này còn nằm trong dấu căn, gây khó khăn trong việc đưa toán tử

Hamilton về biểu diễn đại số. Để vận dụng cho các bài toán hệ nguyên tử khi tương

tác Coulomb có biểu thức tọa độ nằm ở mẫu số ta có thể sử dụng phép biến đổi

Levi-Civita [2], [10] hay Laplace đã được áp dụng trong công trình [7].

Phép biến đổi Levi-Civita hay còn gọi là phép biến đổi tuyến tính bình

phương được định nghĩa như sau:

2 2

2x u vy uv

= −=

(2.19)

cho phép chuyển đổi từ không gian hai chiều ( ; )x y sang không gian hai chiều

( ; )u v . Trong phép biến đổi này khoảng cách trong không gian ( ; )x y được đưa về

bình phương khoảng các trong không gian ( ; )u v theo công thức:

2 2 2 2 ,r x y u v= + = + (2.20)

phép biến đổi tọa độ này có Jacobien khác 1 như sau:

2 24( )dxdy u v dudv= + . (2.21)

Vì vậy Jacobien sẽ xuất hiện như là một trọng số trong công thức tích vô hướng của

hai vectơ trạng thái khi chuyển từ không gian ( , )x y sang không gian ( , )u v . Điều

này có nghĩa nếu toán tử K nào đó là hermite trong không gian ( , )x y thì toán tử

2 2 ˆ4( )K u v K= + sẽ hermite trong không gian ( , )u v . Chính vì vậy để cho bảo toàn

tính hermite cho toán tử Hamilton qua phép biến đổi (2.19) ta cần viết phương trình

Schrödinger lại như sau:

31

( )ˆ( ) 0r H E r− Ψ = . (2.22)

Trong không gian ( , )u v phương trình này trở thành:

( ) ( ), ,H u v Z u vΨ = Ψ . (2.23)

Ta thấy trong phương trình (2.23) có sự đổi chỗ của Z và E với vai trò trị riêng.

Năng lượng E không còn là trị riêng nữa mà nó đóng vai trò như một tham số.

Trong khi đó Z trở thành trị riêng của phương trình (2.22).

Công thức phép biến đổi Laplace được biểu diễn như sau:

2 2( )

0

ˆt x yZ Z eU dt

r tπ

∞ − +

= = ∫ . (2.24)

Đây là phép biến đổi trực tiếp đưa biến động lực lên mà không cần phải thông qua

một biến hình thức nào khác, mặc dù khối lượng tính toán ban đầu sẽ tăng lên đáng

kể so với việc sử dụng phép biến đổi Levi-Civita. Phép biến đổi Laplace sẽ được áp

dụng cho bài toán trong luận văn này.

(b) Dạng chuẩn của toán tử sinh hủy: dạng chuẩn của toán tử được định

nghĩa là dạng đã được biến đổi sao cho toán tử hủy luôn về phía bên phải của biểu

thức, toán tử sinh luôn về phía bên trái của biểu thức và các toán tử trung hòa ở

giữa. Mục đích của việc đưa các biểu thức toán tử về dạng chuẩn là giúp cho việc

tính toán trong các bài toán chứa nhiều loại toán tử được dễ dàng hơn rất nhiều.

Thực vậy, khi biểu biễn tất cả trạng thái qua trạng thái cơ bản 0( )ω thì lợi dụng

tính chất ˆ 0( ) 0a ω = , chúng ta sẽ biểu diễn tất cả trạng thái còn lại qua biểu thức

chỉ còn một loại toán tử sinh tác dụng.

Trường hợp các toán tử sinh, hủy với số mũ lũy thừa: ta chỉ cần áp dụng công

thức giao hoán tử:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1 1a a a a aa aa a a+ + + + + = − = ⇒ = + , thì có thể đưa toán tử về

dạng chuẩn thường được áp dụng khi các biểu thức toán tử có dạng như các đa thức.

32

Ví dụ: Đưa toán tử ( )22ˆ ˆa a+ về dạng chuẩn. Ta có:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( )

22

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 .

a a a aa a a a a a aa aa aa

a a a a a a

a a a a a aa a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a

+ + + + + + + +

+ + +

+ + + +

+ + +

+ + +

+ +

= = + = +

= + + + +

= + + + +

= + + +

= + + +

= + +

Trường hợp hàm e mũ của các toán tử sinh, hủy: khi vận dụng phép biến đổi

như trên sẽ gặp khó khăn. Vì các toán tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa về

dạng chuẩn sẽ có bậc lũy thừa rất cao. Nên ta phải áp dụng phương pháp biến đổi

khác như dưới đây.

Ví dụ: ( )ˆ ˆt a ae+ +

Vì ta có hệ thức giao hoán ˆ ˆ, 1a a+ = nên từ đây các toán tử ˆ ˆ,a a+ và số một tạo

thành một đại số kín. Như vậy ta có thể viết:

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )t a a f t a h t g t ae e e e F t+ ++

= = . (2.25)

Tìm các hàm số ( ), ( ), ( )f t g t h t theo các bước sau:

Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (2.25) theo t rồi nhân cho ( )1F t− và thu gọn

các số hạng ta được:

( ) ( ) ( ) ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' .f t a f t aa a f t a h t g t e ae+ ++ + −+ = + + (2.26)

Bước hai: Sử dụng công thức:

ˆ ˆ 1 1

2! 3!ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆA Ae B e = B+ A,B + A, A,B + A, A, A,B +...− . (2.27)

Ta có: ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ...f t a f t ae ae a f t a a a f t+ +− + = + + = − .

33

Suy ra

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' ' 'a a f t a g t a f t h t f t a g t a h t g t f t+ + ++ = + − + = + + − . (2.28)

Bước ba: Đồng nhất hai vế của phương trình (2.28), ta có hệ phương trình:

( )( )( ) ( ) ( )

' 1

' 1

' ' 0

f t

g t

h t g t f t

=

= − =

.

Giải hệ này kết hợp với điều kiện ban đầu,ta được:

( )( )

( )2

2

f t t

g t t

th t

= = =

.

Như vậy dạng chuẩn của ( )ˆ ˆt a ae+ +

là: ( ) 2ˆ ˆ ˆ ˆ /2t a a ta ta te e e e+ ++

= . (2.29)

(c) Xây dựng bộ hàm sóng cơ sở: đây là một trong những bước quan trọng để

áp dụng phương pháp toán tử. Nghiệm chính xác của bài toán được biểu diễn qua

bộ hàm này với các yếu tố ma trận tương ứng, sau đó áp dụng sơ đồ thích hợp ta sẽ

thu được nghiệm số chính xác. Để xây dựng được bộ hàm sóng cơ sở thuận lợi cho

quá trình tính toán và có ý nghĩa vật lý, cần dựa trên ba yếu tố.

Thứ nhất, hàm sóng cơ sở là nghiệm riêng của phần chính 0H : vì toán tử

này chỉ chứa các toán tử trung hòa nên nên bộ hàm sóng cơ sở cũng chính là hàm

sóng của dao động tử điều hòa.

Thứ hai, tính đối xứng của bài toán: để đảm bảo ý nghĩa vật lý của bộ hàm

sóng cơ sở. Đối với hệ chuyển động tự do trong không gian ba chiều sẽ có tính đối

xứng cầu, khi đó bình phương moment động lượng quĩ đạo 2L là một đại lượng bảo

toàn. Trong trường hợp hai chiều, nếu hệ chuyển động tự do hoặc chịu tác dụng của

từ trường vuông góc với mặt phẳng chuyển động Oxy thì sẽ có đối xứng quanh trục

Oz, khi đó hình chiếu moment động lượng quĩ đạo lên trục Oz bảo toàn. Như vậy,

để đảm bảo tính đối xứng của hệ vật lý, ta chọn bộ hàm sóng cơ sở đồng thời là hàm

34

riêng của đại lượng bảo toàn, trong trường hợp hai chiều là ˆzL vì toán tử ˆ

zL là đại

lượng bảo toàn.

Thứ ba, biểu thức tường minh của toán tử Hamilton: để sử dụng được bộ

hàm sóng cơ sở khi tính toán các tác dụng để tìm các yếu tố ma trận của toán tử

Hamilton, một yêu cầu cơ bản là các số hạng có mặt trong toán tử Hamilton khi tác

dụng lên hàm sóng định nghĩa phải trả về đúng dạng đã định nghĩa, với số trạng thái

cùng hoặc khác trạng thái ban đầu. Do đó, trong quá trình tính toán, thay vì sử dụng

các toán tử sinh hủy cơ bản đã định nghĩa ban đầu để xây dựng hàm sóng, ta chọn

các tổ hợp tuyến tính thích hợp của các toán tử này. Những điều kiện này sẽ được

áp dụng để xây dựng hàm sóng cơ sở cho bài toán của luận văn.

(d) Cách chọn tham số tự do ω để tăng tốc độ hội tụ của bài toán: Một trong

các vấn đề quan trọng khi áp dụng phương pháp toán tử FK đó là vai trò của tham

số tự do. Tham số này được đưa vào khi biểu diễn các biến số động lực qua các toán

tử sinh hủy. Chúng ta gọi là tham số tự do vì thực chất toán tử Hamilton của hệ

không phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này. Tuy nhiên, tham số tự do ω đóng vai

trò đặc biệt quan trọng trong phương pháp toán tử FK do độ chính xác của nghiệm

gần đúng phụ thuộc vào việc chọn lựa ω . Ngoài ra khi tính chuỗi các bổ chính vào

nghiệm để thu được nghiệm chính xác bằng số, tốc độ hội tụ cũng phụ thuộc rất lớn

vào giá trị ω . Chúng ta có thể chọn tham số tự do từ điều kiện (2.10) hoặc từ điều

kiện của lý thuyết nhiễu loạn:

1/2( ) ( )( )

( ) ( )0

( ) 1.s OM OM s

ss OM s

V V

H

ψ ψβ ω

ψ ψ= (2.30)

Ngoài ra, khi giải bài toán bằng phương pháp toán tử FK, ta có thể sử dụng

sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn hay sơ đồ vòng lặp. Đối với bài toán dao động tử phi điều

hòa sơ đồ vòng lặp tỏ ra chiếm ưu thế hơn. Nhưng chưa có kết luận cụ thể về việc

so sánh hai sơ đồ. Vậy việc chọn lựa sơ đồ có ảnh hưởng gì đến quá trình tính toán

cũng như kết quả bài toán không? Đây cũng là một trong những vấn đề cần được

nghiên cứu.

35

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK

GIẢI BÀI TOÁN EXCITON 2D

TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU

Trong chương trước, chúng tôi đã trình bày một cách tổng quan về phương

pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger qua ví dụ minh họa về dao động tử

phi điều hòa, trong đó nhấn mạnh đến thế mạnh của phương pháp FK khi tìm

nghiệm chính xác bằng số. Trong chương này tôi áp dụng phương pháp toán tử FK

cho bài toán exciton hai chiều trong từ trường kết hợp phép biến đổi Laplace. Từ đó

đưa ra kết quả chính xác bằng số cho bài toán này.

3.1 Phương pháp toán tử FK giải bài toán exciton 2D trong từ trường

Phương trình Schrödinger cho điện tử và lỗ trống trong từ trường được viết

như sau:

( )

2 2 22 2

2 2

1 1 ( ) ( )2 8 2

ix y x y Z r E rx y y x r

γ γ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + − − − Ψ = ∂ ∂ ∂ ∂

. (3.1)

Toán tử Hamilton của bài toán có tương tác Coulomb chứa biến động lực ở mẫu. Vì

vậy để đưa toán tử Hamilton về dạng toán tử sinh hủy tôi sử dụng trực tiếp phép

biến đổi Laplace (2.24).

Toán tử Hamilton của hệ điện tử và lỗ trống được viết lại như sau:

( )2 22 2 2 ( )

2 22 2

0

1ˆ .2 8 2

t x yi Z eH x y x y dtx y y x t

γ γπ

∞ − + ∂ ∂ ∂ ∂= − + + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂

∫ (3.2)

Sau đây chúng ta sẽ áp dụng quy trình bốn bước của phương pháp toán tử FK đã đề

cập ở chương 2 kết hợp với biến đổi Laplace cho bài toán exciton hai chiều trong từ

trường đều.

36

Bước một: Đưa toán tử Hamilton của bài toán về biểu diễn đại số của các

toán tử sinh hủy hai chiều có dạng như sau:

1 1ˆˆ ( ) , a ( ) ,2 2

1 1ˆ ( ) , ( ) .2 2

x xx x

x x

y yy y

y y

a x xx x

b y b yy y

ω ωω ωω ω

ω ωω ω

ω ω

+

+

∂ ∂= + = − ∂ ∂

∂ ∂= + = − ∂ ∂

(3.3)

Từ (3.3), dễ dàng suy ra được các hệ thức giao hoán của các toán tử như sau:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1,

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , , 0.

a a aa a a

b b bb b b

a b a b a b

+ + +

+ + +

+ +

= − = = − = = = =

(3.4)

Ta có các công thức biểu diễn các biến động lực qua toán tử sinh hủy:

( ) ( )22 21 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1

22 xx

x a a x a a a aωω

+ + + = + ⇒ = + + + ,

( ) ( )

2 222ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1

2 2x xa a a a a a

x xω ω+ + +∂ ∂ = − ⇒ = − − + ∂ ∂

,

( ) ( )2

2 21 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 122 yy

y b b y b b b bωω

+ + + = + ⇒ = + + + ,

( ) ( )

2 22

2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1

2 2y yb b b b b b

y yω ω+ + +∂ ∂ = − ⇒ = − − + ∂ ∂

.

Chọn x yω ω ω= = , thay vào (3.2), ta được:

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )2 22 2

222 2

2 222 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 22

0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 24

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 216

ˆ ˆˆ ˆ .2

t a b a b b b a a

H a b a b b b a a

a b a b b b a a

i Z ea b ab dtt

ω

ω

γω

γπ

+ + + +

+ + + +

+ + + +

− + + + + ++ + ∞ + +

= − + + + − − −

+ + + + + + +

− − − ∫

(3.5)

37

Để thuận lợi trong quá trình tính toán ta sử dụng các toán tử sau:

( ) ( )( )

222 2ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ, ,

ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 1 ,

M a b M a b

N b b a a

+ + +

+ +

= + = +

= + +

( )ˆ ˆˆ ˆ ˆzL i x y i b a a b

y x+ + ∂ ∂

= − − = − ∂ ∂ . (3.6)

Biểu thức (3.5) được viết lại như sau:

( ) ( )( )ˆ ˆ ˆ2

0

2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 16 2

M M N

zeH M M N M M N L Z d

τω γ γ ω τ

ω π τ

+− + +∞+ += − + − + + + + − ∫ . (3.7)

trong đó 2tτω

= , các toán tử ˆ ˆ ˆ ˆ, , , zM M N L+ tạo thành một đại số kín (phụ lục 4).

Đặt ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + + , sau đó đưa về dạng chuẩn (phụ lục 5).

Ta có dạng chuẩn của S như sau:

1ˆ ˆ ˆ ˆexp exp ln 2 1 exp .2 1 2 2 1

S M N Mτ τττ τ

+− − = − + + + (3.8)

Ta có: ( )

ˆ /2

1 1ˆexp ln 2 12 2 1 N

Nττ

− + = +

.

Khai triển chuỗi Taylor, ta được:

( )

0

1ˆ ˆexp2 1 ! 2 1

ii

iM M

iτ τ

τ τ

∞+ +

=

− − = + + ∑ ,

0

1ˆ ˆexp2 1 ! 2 1

jj

jM M

jτ τ

τ τ

∞

=

− − = + + ∑ .

Suy ra

( )( )

ˆ /20 0

1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) ,! 2 1 ! 2 12 1

i ji j

NS M M N M M

i jτ ττ

τ ττ

∞ ∞+ +− − = − + + = + + +

∑ ∑

( )( )

( )( )

( )

2

ˆ ˆ2 /2 /20 0 0

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,2 1 ! ! 2 1! 2 1 2 1

i i ji ii j

N Ni i j

j i

S M M M Mi ji

τ ττ ττ τ

+∞ ∞ ∞+ +

= = =≠

− − = + + + + +∑ ∑∑

1 2ˆ ˆ ˆ .S S S= +

38

Bước hai: Tách toán tử Hamilton ở phương trình (3.7) thành hai thành phần:

0ˆ ˆ ˆH H V= + . (3.9)

• Phần chính là 0ˆ ˆˆ ˆ( , , )H a a b b ω+ + chỉ chứa các thành phần giao hoán với toán tử

ˆ ˆa a+ , ˆ ˆb b+ và các toán tử trung hòa:

( ) ( )

( )( )

2

0

ˆ ˆ2/2 /200

ˆ ˆ ˆ ˆ4 16 2

2 1 1 1ˆ ˆ .!2 1 2 1

z

i iN N

H N N L

dZ M Mi

ω γ γω

ω τπ ττ τ

∞ ∞+

= + +

−+ +

∑∫ (3.10)

• Thành phần còn lại được xem là nhiễu loạn. Nghiệm gần đúng bậc không

của phương trình (3.7) là nghiệm chính xác của toán tử 0H , còn các bổ chính bậc

cao được tính theo sơ đồ thích hợp.

Bước ba: Tìm nghiệm gần đúng bậc không bằng cách giải phương trình:

(0) (0) (0)0

ˆn n nH ψ ε ψ= . (3.11)

Ta chọn bộ hàm sóng cơ sở

( )22 )ˆ ˆˆ ˆ, [( ) ( ] 0m

kkmk m C a b a ib+ + + += + ± , (3.12)

với ( )( )

2

2

2 )

2 )

ˆ ˆˆ ˆ[( ) ( ] 0 khi m 0,

ˆ ˆˆ ˆ[( ) ( ] 0 khi m < 0

mk

km

mk

km

C a b a ibk m

C a b a ib

+ + + +

−+ + + +

+ + ≥= + −

, (3.13)

trong đó 0, 1, 2, 3,...; 0, 1, 2, 3,...k m= = ± ± ± và 0( )ω là trạng thái chân không

được định nghĩa:

ˆˆ 0( ) 0, 0( ) 0a bω ω= = .

Và điều kiện chuẩn hóa 0( ) 0( ) 1ω ω = , từ đó ta tìm được hàm sóng đã chuẩn hóa:

( ) ( )( ) ( )221 ˆ ˆˆ ˆ, 02 2 !( )!

k m

mkk m a b a ib

k m k+ + + += + ±

+. (3.14)

(xem phụ lục 6)

39

Với hàm sóng như trên, ta có các biểu thức:

( )( )( )

( )

ˆ , 2 1, ,

ˆ , 2 1 1 1, ,

ˆ , 2 2 1 , ,ˆ , , .z

M k m k k m k m

M k m k k m k m

N k m k m k m

L k m m k m

+

= + −

= + + + +

= + +

=

Từ đó tìm được nghiệm gần đúng bậc không:

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

20

22 2 1

0

2 12 8 2

! !1 ,! !!

k kk

ik m

i

H k m m

k i k m iZ I

k k mi

ω γ γεω

ω∞

+ +=

= = + + + +

+ + +

−+∑

(3.15)

với ( )

( )

2

120, 0

.

2 ( 1) (2 2 3)!!(2 1)!! 2 ( 1)!1

qq

p p

p qp q

t p q qq dtp ptI π

π

∞

−

>∈

− − − − −= =

−+∫

.

(xem phụ lục 7)

Từ biểu thức trên ta thấy năng lượng bậc không phụ thuộc vào tham số ω , để tối ưu

hóa quá trình tính toán ta xác định ω dựa vào điều kiện (2.10), ta thu được biểu

thức sau:

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

22

22 2 10

! !1 1 12 1 02 8 ! !2 !

ik m

i

k i k m ik m Z I

k k miγω ω

∞

+ +=

+ + + − + + − = +

∑ . (3.16)

Bước bốn: Dùng phương pháp toán tử FK tìm nghiệm số chính xác:

Do tính chất đầy đủ của hàm sóng nên ta có thể viết hàm sóng thành tổ hợp

tuyến tính của các hàm sóng cơ sở:

( ) ( )km ll ol k

k m C l m∞

=≠

Ψ = + ∑ , (3.17)

40

Sử dụng sơ đồ vòng lặp để giải tìm nghiệm số chính xác. Khi đó hàm sóng chính

xác bậc (s) ứng với năng lượng ( )skmE có dạng:

( ) ( )( ) ( )k s

s skm l

l ol k

k m C l m+

=≠

Ψ = + ∑ . (3.18)

Năng lượng chính xác gần đúng bậc ( )s là:

( ) ( )k s

s sn kk l kl

l ol k

E H C V+

=≠

= + ∑ , (3.19)

( )

( )

( 1)( )

k ss

jk l jll ol ks

j sn jj

V C V

CE H

+

=≠+

+

=−

∑, (3.20)

với điều kiện ban đầu là (0) (0)0, j n kkC Hε= = .

Các yếu tố ma trận của toán tử Hamilton:

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

20

22 2 1

0

2 12 8 2

! !1 ,! !!

k kk

kik m

i

H k m m

k k mZ I

k i k m ii

ω γ γεω

ω + +=

= = + + + +

+

−− + −∑

(3.21)

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

, ,1

22 1

1 12 8

! ! ! !1 .!( )! ( )! !

k k s s

k si sk s m

i s

H k k m

k k m k s k m sZ I

i i s k s i k m s i

ω γ δω

ω

+

+−+ + +

=

= − + + + +

+ + + +−

− + − + + −∑ (3.22)

Chú ý đến tính đối xứng của các phần tử ma trận , ,k k s k s kH H+ += .

Như vậy, bằng cách thế nghiệm của hệ phương trình (3.20) vào (3.19) ta có

năng lượng của hệ ( )sE ở vòng lặp thứ (s), ta còn gọi là ở bậc gần đúng (s). Kết quả

tính số cho thấy với sự chọn lựa tham số ω thích hợp ta thu được dãy các giá trị

năng lượng gần đúng

(0) (1) (2) ( ), , , , ,sE E E E (3.23)

hội tụ nhanh về một giá trị ( )TE với một độ chính xác cho trước. Trong công trình

này chúng tôi tính sử dụng ngôn ngữ lập trình Fortran để tìm nghiệm số chính xác.

41

Trong kết quả cuối cùng của năng lượng chúng tôi lấy đến 12 chữ số thập phân.

Ngoài ra, các hệ số ( )skC cũng nhanh chóng hội tụ cho nên kết quả thu được không

những là năng lượng mà còn có hàm sóng chính xác bằng số.

Ở đây, tham số ω được chọn dựa vào điều kiện (2.10). Về nguyên tắc tham

số này không ảnh hưởng đến kết quả số chính xác. Tuy nhiên, tương tự như trong

chương 2 đối với trường hợp dao động tử phi điều hòa, kết quả khảo sát cho thấy

tốc độ hội tụ về nghiệm chính xác phụ thuộc rất lớn vào sự chọn lựa giá trị ω .

Trong luận văn này điều kiện (2.10) cho ta giá trị 0ω đầu tiên, đây chưa phải là giá

trị tối ưu. Với các trạng thái kích thích bậc cao, thậm chí cách chọn 0ω như vậy

không cho sự hội tụ đến giá trị chính xác. Ta có thể thử lần lượt thử các giá trị khác

nhau để tìm giá trị tham số tối ưu quanh giá trị 0ω đầu tiên.

3.2 Kết quả

3.2.1 Nghiệm chính xác bằng số

Để giải tìm nghiệm ta cần chọn giá trị của tham số từ do ω cho kết quả hội

tụ đến nghiệm chính xác. Đầu tiên, tôi chọn ω từ điều kiện (2.10). Tuy nhiên, tốc

độ hội tụ của bài toán chưa cao. Do đó, chúng tôi đã sử dụng phương pháp thử để

chọn ω sao cho tốc độ hội tụ của bài toán là cao nhất có thể và đã thu được các kết

quả thể hiện qua các bảng dưới đây. Để dễ dàng so sánh với kết quả trong công

trình [10], cường độ từ trường được thể hiện qua đại lượng ' / ( 1)γ γ γ= + .

42

Bảng 3.1 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái cơ bản 1s ( 0, 0k m= = ) ứng với các giá trị khác nhau của từ trường. Các

chữ số được in đậm phù hợp với kết quả trong công trình [10]. Kết quả năng lượng

thu được ở vòng lặp thứ 300. Cột thứ bốn thể hiện sai số tỉ đối giữa kết quả tìm

được với kết quả trong công trình [10].

'γ E(300) E[10] Sai số

0.1 -1.997973813778 -1.999421665077 7.24.10-2 %

0.3 -1.989977629071 -1.991469067120 7.49.10-2 %

0.5 -1.953671439934 -1.955159683246 7.61.10-2 %

0.7 -1.782801898817 -1.784261762508 8.18.10-2 %

0.9 -0.120235792196 -0.121101576062 71.49.10-2 %

Bảng 3.2 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái kích thích 2 p− ( 0, 1k m= = − ). Kết quả thu được ở bước lặp thứ 300, kết

quả hội tụ đến năm hoặc sáu chữ số thập phân.

'γ E(300) E[10] Sai số

0.1 -0.261974410532 -0.261975202089 3.02.10-4 %

0.3 -0.281796667846 -0.281797058842 1.38.10-4 %

0.5 -0.204790157801 -0.204790385882 1.11.10-4 %

0.7 0.135978233882 0.135978098717 0.99.10-4 %

0.9 2.550624517939 2.550624394643 0.05.10-4 %

43

Bảng 3.3 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái kích thích 3 d − ( 0, 2k m= = − ).

'γ E(300) E[10] Sai số

0.1 -0.130254450273 -0.130254451784 11.60.10-7 %

0.3 -0.118881793325 -0.118881793858 4.48.10-7 %

0.5 0.005694129007 0.005694128790 38.11.10-7 %

0.7 0.425152535901 0.425152535675 0.53.10-7 %

0.9 3.067077752405 3.067077752170 0.08.10-7 %

Bảng 3.4 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái kích thích 5 d − ( 2, 2k m= = − ).

'γ E(300) E[10] Sai số

0.1 0.133410713094 0.133410698725 10.77.10-6 %

0.3 0.797761172252 0.797761156804 1.94.10-6 %

0.5 2.087329659345 2.087329653047 0.30.10-6 %

0.7 5.208288481033 5.208288474957 0.12.10-6 %

0.9 21.282074276103 21.282074270235 0.03.10-6 %

Như vậy, phương pháp toán tử sử dụng phép biến đổi Laplace cho phép ta

thu được lời giải chính xác cho bài toán exciton trong từ trường với cường độ bất kì

cho trạng thái cơ bản và các trạng thái kích thích. Đối với trạng thái cơ bản, mặc dù

đã chọn tham số tụ do tối ưu nhưng ở bước lặp thứ 300, kết quả thu được chỉ hội tụ

đến một hoặc hai chữ số thập phân. Đối với những trạng thái kích thích tốc độ hội tụ

của bài toán nhanh hơn so với trạng thái cơ bản 1s.

44

Tốc độ của chương trình còn chậm, nên tôi chỉ cho số vòng lặp s lên đến

300. Kết quả thu được có thể hội tụ đến chín chữ số thập phân với giá trị ω tối ưu.

Nếu cho số vòng lặp thì số chữ số hội tụ cũng sẽ tăng theo. Để thu được năng lượng

ở bước lặp cao hơn trong thời gian ngắn cần phải cải tiến chương trình để tăng tốc

độ tính toán. Đồng thời, muốn tăng độ chính xác của kết quả có thể dùng chương

trình Multi Precision.

0 2 4 6 8 10

0

5

10

15

20

25

Naêng

löôïn

g E (R

*)

Cöôøng ñoä töø tröôøng γ

1s

2p-

3d-

2s2p+3p-

3p+

3d+

Hình 3.1 Các mức năng lượng của exciton

được vẽ ứng với các giá trị khác nhau của từ trường.

Ta thấy khi cường độ từ trường tăng thì năng lượng của từng trạng thái tăng, trong

vùng từ trường mạnh các mức Landau suy biến đã tách ra do tương tác Coulomb.

Đối với các trạng thái có cùng số lượng tử chính N, năng lượng của các trạng thái

có số lượng tử từ m lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.

45

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

Naêng

löôïn

g E (R

*)

Cöôøng ñoä töø tröôøng γ

2p-

3d-

2s

2p+3p-

3p+

3d+

Hình 3.2 Các mức năng lượng của exciton được vẽ trong vùng từ trường có 1.γ ≤

Phương pháp toán tử FK không chỉ cho kết quả năng lượng mà còn là hàm

sóng. Với các hệ số ( )sjC được xác định từ biểu thức của sơ đồ vòng lặp (3.20).

3.2.2 Ý nghĩa các số lượng tử k, m

Khi sử dụng phép biến đổi Levi-Civita, năng lượng của exciton phụ thuộc

vào hai số lượng tử n và m. Với với mn = và 0, 1, 2,...)m = ± ± là số lượng tử quĩ

đạo. Đối với biến đổi Laplace, năng lượng của exciton phụ thuộc vào hai số lượng

tử k và m. Tìm kết quả ứng với các giá trị khác nhau của các số lượng tử, sau đó so

sánh với các kết quả đã có. Từ đó tìm được mới liên hệ giữa k và n và ý nghĩa các

số lượng tử k và m.

46

Bảng 3.5 Giá trị các số lượng tử ứng với các trạng thái khác nhau. Bằng cách tìm

năng lượng ứng với các giá trị k và m khác nhau, sau đó so sánh kết quả thu được

với các kết quả trong công trình [10], tôi đã xác định được số lượng tử k, m trong

phép biến đổi Laplace tương ứng với số lượng tử n, m trong phép biến đổi Levi-

Civita.

Trạng thái Laplace Levi-Civita

m k m n

1s 0 0 0 0

2s 0 1 0 0

2p- -1 0 -1 1

2p+ 1 0 1 1

3s 0 2 0 0

3p- -1 1 -1 1

3p+ 1 1 1 1

3d- -2 0 -2 2

3d+ 2 0 2 2

5d- -2 2 -2 2

Ta xác định được mối quan hệ giữa số lượng tử k và n:

1 hay 1n mk N N k− += − = + , (3.24)

với 0, 1, 2, 3,...N = là số lượng tử chính.

Ta có:

1r mN n + += . (3.25)

Từ biểu thức (3.24) và (3.25), số lượng tử k đóng vai trò là số lượng tử bán kính

rnk = và 0, 1, 2,...m = ± ± là số lượng tử quĩ đạo.

47

Các trạng thái được thể hiện trong bảng 3.5, số đứng trước thể hiện số

lượng tử chính N, chữ cái theo sau khác nhau thì số lượng tử quĩ đạo khác nhau. Với

0m = ứng với trạng thái s, 1m = ± ứng với trạng thái p± , 2m = ± ứng với trạng

thái d ± …. Từ đó, dựa vào công thức (3.24) ta xác định đượng các giá trị của k. Ví

dụ, đối với trạng thái 4d − ta có: 4, 2, 1N m k= = − = ; trạng thái 6 p+ có:

6, 1, 4N m k= = = .

48

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI

Luận văn đã đạt được các kết quả sau:

- Tìm hiểu tổng quan về exciton.

- Tìm hiểu được phương pháp toán tử và các bước giải thông qua bài

toán dao động tử phi điều hòa.

- Ứng dụng phương pháp toán tử FK kết hợp với phép biến đổi Laplace

tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều. Đối với

trạng thái cơ bản kết quả thu được hội tụ đến hai chữ số thập phân. Trạng thái

kích thích 2 p− , 3 d − , 5 d − , kết quả năng lượng thu được ở bước lặp thứ 300

cho kết quả hội tụ từ năm đến chín chữ số thập phân.

- Xác định được ý nghĩa của các số lượng tử xuất hiện trong bài toán.

Hướng phát triển của đề tài là cải tiến chương trình để tăng tốc độ tính toán

và tăng độ chính xác của nghiệm số. So sánh kết quả tìm được khi sử dụng sơ đồ

vòng lặp và sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn.

49

Phụ lục 1:

Đưa toán tử Hamilton của exciton về dạng không thứ nguyên

Toán tử Hamilton của exciton:

( )

22 2 2 22 2

2 2

1ˆ .2 2 2 2r

eB i eB eH x y x y Zx y c c y x r

µµ µ µ ε

∂ ∂ ∂ ∂= − + + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂

(A1.1)

Thay 3 2

3 2

e cB µ γε

=

vào (A1.1), ta được:

( )

2 2 2 8 3 4 22 2 2

2 2 6 4 2 2

1ˆ2 8 2r

e i e eH x y x y Zx y y x r

µ µγ γµ ε ε ε

∂ ∂ ∂ ∂= − + + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂

.

(A1.2)

Phương trình Schrödinger của exiton:

( )2 2 2 8 3 4 2

2 2 22 2 6 4 2 2

12 8 2

.

e i e ex y x y Zx y y x r

E

µ µγ γ ψµ ε ε ε

ψ

∂ ∂ ∂ ∂− + + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂

=

(A1.3)

Chia hai vế phương trình (A1.3) cho2

µ , ta được:

( )2 2 8 4 2 4 2

2 2 22 2 8 4 4 2 2

2

1 12 8 2

.

e i e ex y x y Zx y y x r

E

µ µ µγ γ ψε ε ε

µ ψ

∂ ∂ ∂ ∂− + + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂

=

(A1.4)

Đặt , ,x yax ay bEρ ρ ξ= = = ,ta có

2 22

2 2

,

.

x

x x

x

ax x

ax

ρρ ρ

ρ

∂∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂=

∂ ∂

50

Tương tự:

2 2

22 2

ya

y ρ∂ ∂

=∂ ∂

,

2 2 2 21 px y

rr x y

a aρ ρ= + = + = .

Phương trình (A1.1) được viết lại như sau:

( )2 2 8 4 2 4

2 2 22 2 8 4 4 4 2 2

2

2 2 2

1 12 8 2

.

x y x yx y y x

e i ea a

eZa a brρ

µ µγ ρ ρ γ ρ ρρ ρ ε ε ρ ρ

µ µ ξψ ψε

∂ ∂ ∂ ∂− + + + − − ∂ ∂ ∂ ∂

− =

Chọn

∗ 2 4 2

4 2 2 20

11e eaa r

µ µε ε

= ⇒ = =

, 0r có thứ nguyên độ dài nên xρ không có thứ

nguyên.

∗ 4 2 2 2

2 2 2 2 4 40

1 11 1 ba b e b e E

µ µ ε εµ µ

= ⇒ = ⇒ = =

, 0E có thứ nguyên của năng

lượng nên ξ không có thứ nguyên.

Suy ra phương trình Schrödinger không thứ nguyên:

( )2 2 2

2 22 2

12 8 2x y x y

x y y x

Zrρ

γ γρ ρ ρ ρ ψ ξψρ ρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂− + + + − − − = ∂ ∂ ∂ ∂

. (A1.5)

Để tiện lợi ta có thể viết lại (A1.5) dưới dạng:

( )2 2 2

2 22 2

12 8 2

Zx y x y Ex y y x r

γ γ ψ ψ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + − − − = ∂ ∂ ∂ ∂

. (A1.6)

51

Phụ lục 2: Toán tử sinh-hủy một chiều

Toán tử sinh, hủy một chiều được định nghĩa như sau:

1ˆ2

da xdx

ωω

= +

, 1ˆ

2da xdx

ωω

+ = −

. (A2.1)

1. Giao hoán tử ˆ ˆ, 1a a+ =

Ta có 2

22 2

1 1 1 1ˆ ˆ ,2 2

d d daa x x xdx dx dx

ω ωω ω ω ω

+ = + − = + −

(A2.2)

và 2

22 2

1 1 1 1ˆ ˆ ,2 2

d d da a x x xdx dx dx

ω ωω ω ω ω

+ = − + = − −

(A2.3)

từ đây suy ra 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 12

a a aa a a ωω

+ + + = − = = . (A2.4)

2. Chứng minh ˆ ˆa a n n n+ =

Từ định nghĩa ( )1 ˆ 0!

nn a

n+= ta suy ra với trường hợp 0n = công thức

trên đúng: ˆ ˆ 0 0 0 0a a+ = = . Giả sử ta có ˆ ˆ 1 ( 1) 1a a n n n+ − = − − ta sẽ chứng minh

ˆ ˆa a n n n+ = . Thật vậy:

( ) ( )( )

( )

11 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0! !

1 ˆ ˆ ˆ 1 1 .

n na a n a a a a aa a

n n

a a a nn

−+ + + + + +

+ +

= =

= + − (A2.5)

Từ đây ta có

( )

( ) 1

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1

1 1ˆ ˆ 0 .( 1)!

n

a a n a a a n n a nn n

n a a n nn n

+ + + +

−+ +

= + − = −

= =−

(A2.6)

3. Chứng minh ˆ 1a n n n= −

52

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 0! ! !

1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 1! !

1 11 ( 1) 1 1 .

n n n

n n

a n a a aa a a a an n n

a a a a n a a nn n n n

n n n n nn n

− −+ + + + +

− −+ + + +

= = = +

= + = − + −

= − + − − = −

(A2.7)

Ta thấy rằng mỗi toán tử hủy có tác dụng “hủy” (giảm) đi một bậc của vectơ trạng

thái. Như vậy cứ có bao nhiêu toán tử hủy tác dụng lên vectơ trạng thái thì sẽ hủy đi

bấy nhiêu bậc của nó.

4. Chứng minh ˆ 1 1a n n n+ = + +

( )

( )( )1 11 1ˆ ˆ ˆ0 1 0 1 1

! 1 !

n na n a n a n n

n n+ ++ + +

= = + = + + +

. (A2.8)

Tương tự, ta cũng thấy rằng mỗi toán tử sinh có tác dụng “sinh” (tăng) lên một bậc

của vectơ trạng thái. Như vậy cứ có bao nhiêu toán tử sinh tác dụng lên vectơ trạng

thái thì sẽ sinh thêm bấy nhiêu bậc của nó.

5. Chứng minh sự liên hợp của ˆ ˆ+a,a

, 1

, 1

ˆ 1 ,

ˆ 1 ,

n j

n j

n a j j n j j

j a n j j n j−

+−

= − =

= − =

δ

δ

ˆ ˆn a j j a n+⇒ = . (A2.9)

Nhận xét: Từ các tính chất ở trên ta thấy rằng: nếu như tác dụng một toán tử chứa

cùng số toán tử sinh và toán tử hủy lên một vectơ trạng thái, thì sẽ không làm vectơ

này thay đổi bậc, và ta gọi các toán tử như thế là toán tử “trung hòa”; ngược lại nếu

toán tử chứa số toán tử sinh-hủy khác nhau thì sẽ làm thay đổi bậc của vectơ trạng

thái. Đây là một tính chất rất quan trọng trong các tính toán đại số khi sử dụng biểu

diễn toán tử và cũng chính là yếu tố để ta tiến hành việc tách toán tử Hamilton của

hệ thành hai thành phần: trung hòa và nhiễu loạn.

53

Phụ lục 3: Xây dựng sơ đồ vòng lặp tìm nghiệm bậc không

Tìm nghiệm gần đúng bậc không

(0)0

ˆn n nH Eψ ψ= . (A3.1)

Hàm sóng chính xác bậc (s) ứng với năng lượng ( )skmE có dạng:

( ) ( )( ) ( )k s

s skm l

l ol k

k m C l m+

=≠

Ψ = + ∑ . (A3.2)

Suy ra

( ) ( ) ( )0

ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( )k s k s

s sl n l

l o l ol k l k

H V k m C l m E k m C l mβ+ +

= =≠ ≠

+ + = +

∑ ∑ . (A3.3)

Nhân hai vế phương trình (A3.3) với ( )k m , ta được:

( ) ( ) ( )0

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k s k s

s sl n l

l o l ol k l k

k m H V k m C l m k m E k m C l mβ+ +

= =≠ ≠

+ + = +

∑ ∑ ,

( ) ( )k s

s skk l kl n

l ol k

H C V E+

=≠

+ =∑ . (A3.4)

Nhân hai vế phương trình (A3.3) với ( )j m với j k≠ , ta được:

( ) ( ) ( )0

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,k s k s

s sl n l

l o l ol k l k

j m H V k m C l m j m E k m C l mβ+ +

= =≠ ≠

+ + = +

∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( )

k ss s s s

j jj jk l jl j nl ol k

C H V C V C E+

=≠

+ + =∑ , (A3.5)

( )( ) ( ) ( )k s

s s sn jj j jk l jl

l ol k

E H C V C V+

=≠

− = + ∑ . (A3.6)

Vì ( ) ( 1) ( ) ( 1) và , và s s s sl l n nC C E E+ + sai khác nhau rất ít nên ta có sơ đồ vòng lặp sau:

( ) ( )k s

s sn kk l kl

l ol k

E H C V+

=≠

= + ∑ , (A3.7)

54

( )

( )

( 1)( )

k ss

jk l jll ol ks

j sn jj

V C V

CE H

+

=≠+

+

=−

∑. (A3.8)

Với điều kiện ban đầu là (0) 0, ( )lC j n= ≠ . Ở đây ta chọn 1β = . Các giá trị

( ) ( ), s sl nC E tương ứng với giá trị tương ứng với các bước lặp chứ không phải các bổ

chính.

55

Phụ lục 4: Chứng minh các toán tử tạo thành đại số kín

Để có thể đưa toán tử ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + +

về dạng chuẩn thì các

toán tử ˆ ˆ ˆ ˆ, , , zM M N L+

phải tạo thành đại số kín.

( ) ( )222 2ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ, ,M a b M a b+ + += + = + (A4.1)

( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 1 ,N b b a a+ += + + (A4.2)

( )ˆ ˆˆ ˆ ˆzL i x y i ab a b

y x+ + ∂ ∂

= − − = − ∂ ∂ . (A4.3)

Tính giao hoán tử ˆ ˆ,M M + :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2

2 22 22 2 2 2

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ,

MM a b a a

a a a b b a b b

+ + +

+ + + +

= + +

= + + +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

22 2 2

2 22 22 2 2 2

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ,

M M a b a b

a a a b b a b b

+ + +

+ + + +

= + +

= + + +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 22 22 2 2 2

2 22 22 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 4 2 4

ˆ ˆ ˆˆ ˆ 4 4 4 2 .

M M MM M M

a a b b a a b b

a a a a b b b b a a b b

a a b b N

+ + +

+ + + +

+ + + + + +

+ +

= −

+ − −

= + + + + + − −

= + + =

Vậy ˆ ˆ ˆ, 2M M N+ = . (A4.4)

Tính giao hoán tử ˆ ˆ,M N :

( ) ( )( )

2 2

2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ,

MN a b b b a a

a b b a a a a b b b b a a b

+ +

+ + + +

= + + +

= + + + + +

56

( )( )( )

2 2

2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ,

NM b b a a a b

b ba b bb a aa a ab a b

+ +

+ + + +

= + + +

= + + + + +

( )( )( )

2 2 2 2

2 3 2 3 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2

ˆ ˆˆ 2 2 2 4 .

M N MN NM

a a a b b b b bb a aa

a a a b b b b bb a aa

a b M

+ + + +

+ + + +

= −

= + − −

= + + + − −

= + =

Vậy ˆ ˆ ˆ, 4M N M = . (A4.5)

Tính giao hoán tử ˆ ˆ,N M + :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

2 2 22 2 2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ,

NM b b a a a b

b b a b b b a a a a a b a b

+ + + + +

+ + + + + + + + + +

= + + +

= + + + + +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

2 2 22 2 2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ,

M N a b b b a a

a b b a a a b b b b a a a b

+ + + + +

+ + + + + + + + + +

= + + +

= + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22 2

2 3 22 3 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 2

ˆ ˆˆ 2 2 2 4 .

N M NM M N

b b b a a a a a a b b b

b b b a a a a a a b b b

b a M

+ + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + +

= − = + − −

= + + + − − = + =

Vậy ˆ ˆ ˆ4NM M+ + = . (A4.6)

Các giáo hoán tử ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0z z ZM L M L N L+ = = = . (A4.7)

57

Phụ lục 5: Dạng chuẩn của toán tử ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + +

Do các toán tử ˆ ˆ ˆ, ,M M N+ tạo thành một đại số kín nên ta có thể đưa toán

tử S về dạng chuẩn như sau:

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) ( ).M M N f M g N h M Fτ τ τ τ τ+ +− + + = = (A5.1)

Ở đây chúng ta cần xác định các hàm số ( ), ( ), ( )f g hτ τ τ với điều kiện biên là:

(0) 0, (0) 0, (0) 0f g h= = = . (A5.2)

Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (A5.1) sau đó nhân hai vế với toán tử ngược 1S − , ta được:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )exp ( ) exp ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) ,

M M N f M g f M N f M

h f M g N M g N f M

τ τ τ τ

τ τ τ τ τ

+ + + +

+ +

′ ′− + + = + −

′+ − −

(A5.3)

với 1ˆ ˆ( ). ( ) 1S Sτ τ− = hay ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp ( ) exp ( )S h M g N f M− += − τ − τ − τ .

Bước hai: Ta sử dụng công thức :

( ) ( ) 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp exp , , , , , , ...2! 3!

X Y X Y X Y X X Y X X X Y − = + + + + .

Lần lượt tính các số hạng của (A5.3), ta được :

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) exp ( ) ( ) 4 ( ) ,g f M N f M g N f Mτ τ τ τ τ+ + +′ ′− = −

( ) ( ) 4 ( )ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp ( ) . ,gg N M g N M e ττ τ −− =

( ) ( ) ( ) ( )

( )4 ( ) 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( )

ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 4 ( ) .g

h f M g N M g N f M

e h M f N f Mτ

τ τ τ τ τ

τ τ τ

+ +

− +

′ − −

′= − +

Thay các số hạng vừa tính được vào (A5.3), ta được: 4 ( )

4 ( ) 4 ( ) 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( )ˆ ˆ 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) .

g

g g

M M N f M g N g f M e h M

e h f N e h f M

τ

τ τ

τ τ τ τ τ

τ τ τ τ

+ + + −

− − +

′ ′ ′ ′− + + = + − +

′ ′− +

Bước ba: Đồng nhất các hệ số trước các toán tử ˆ ˆ ˆ, ,M M N+ ta thu được hệ phương

trình vi phân để xác định các hàm số ( ), ( ), ( )f g hτ τ τ :

58

4 ( ) 2

4 ( )

4 ( )

( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 12 ( ) ( ) ( ) 1

( ) 1

g

g

g

f g f e h fe h f g

e h

τ

τ

τ

τ τ τ τ τ

τ τ τ

τ

−

−

−

′ ′ ′ − + = −

′ ′− + = − ′ = −

. (A5.4)

Giải hệ (A2.4) bằng phương pháp thế ta được :

( )2

4 ( )

( ) 1 2 ( )( ) 1 2 ( )

1( ) g

f fg f

he τ

τ ττ τ

τ −

′ = − +

′ = − − −′ =

. (A5.5)

Ta có ( )( )

22

'( )'( ) 1 2 ( ) 11 2 ( )

ff ffττ τ

τ= − + ⇒ = −

+. (A5.6)

Giải phương trình vi phân cấp một (A5.6) bằng cách lấy tích phân bất định hai vế

kết hợp với điều kiện biên (0) 0f = ta được :

( )2 1

f −ττ =

τ +. (A5.7)

Thay (A5.7) vào hệ (A5.5), ta được:

2

1 1( ) ( ) ln 2 12 1 2

g g C−′ τ == ⇒ τ = − τ + +τ +

.

Áp dụng điều kiện tại biên 21(0) 0 0 ( ) ln 2 12

g C g τ τ= ⇒ = ⇒ = − + . (A5.8)

Ta có: ( ) ( ) 321 2 ln 2 14 ln 2 1

2

1 1 1 1( ) ( )2 2 12 1

h h Ce

eτ+ − − τ+

− − −′ τ = = = ⇒ τ = +τ +τ +

. (A5.9)

Mà ( )3 3

1 1 1 1(0) ( )2 2 2 2 1 2 2 1

h C C h −τ= + ⇒ = − ⇒ τ = − =

τ + τ +. (A5.10)

Dạng chuẩn của toán tử ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + + là:

1ˆ ˆ ˆ ˆexp exp ln 2 1 exp2 1 2 2 1

S M N Mτ τττ τ

+− − = − + + + . (A5.11)

59

Phụ lục 6: Tìm bộ hàm sóng cơ sở cho bài toán exciton

Nghiệm bậc không:

(0) (0) (0)

0ˆ

n n nH Eψ ψ= . (A6.1)

1. Trước hết, ta chọn bộ hàm sóng của dao động tử điều hòa (vì hàm này chắc chắn

là nghiệm riêng của các toán tử trung hòa nên sẽ là nghiệm riêng của 0H )

( ) ( ) ( )ˆˆ, 0 ,yx

x y

nn

x y n n x yn n C a b ω ω+ += , (A6.2)

trong đó ,x yn n là các số nguyên dương và 0 là trạng thái chân không được định

nghĩa:

( ) ( )ˆˆ 0 , 0, 0 , 0x y x ya bω ω ω ω= = ;

và điều kiện chuẩn hóa là 0 0 1= .

Như vậy nghiệm riêng của pt Schrödinger ta sẽ viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của

các vectơ sóng trên:

( ) ( ) ( ), ,

ˆˆ, 0 ,yx

x y x yx y x y

nn

n n x y n n x yn n n n

C n n C a bψ ω ω+ += =∑ ∑ . (A6.3)

Nhận xét: tổng số mũ của hai toán tử ˆˆ ,a b+ + là x yn n+ . (*)

2. Mặt khác do toán tử ˆzL là đại lượng bảo toàn nên hàm riêng của phương trình

Schrödinger phải đồng thời là hàm riêng của toán tử này:

ˆzL mψ ψ= , (A6.4)

với ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆzL i b a a b+ += − .

60

Ta có:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

1 11 1

,

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0 ,

ˆ ˆˆ ˆ 0 , .

yx

x y

y yx x

x y

nn

z x yn n

n nn n

x y x yn n

L Ci b a a b a b

Ci n a b n a b

ψ ω ω

ω ω

+ + + +

+ −− ++ + + +

= −

= −

∑

∑ (A6.5)

Nhận xét: tổng số mũ của hai toán tử ˆˆ ,a b+ + vẫn là x yn n+ .(**)

Như vậy, từ hai nhận xét (*) và (**), kết hợp với công thức khai triển nhị thức

Newton, ta có thể chọn dạng của hàm sóng cơ sở như sau:

( ) ( )1 2ˆˆ 0 ,

x yn n

x yC c a c bψ ω ω+

+ += + . (A6.6)

Xét các trường hợp:

0m = : 0 0ˆ 0 0 0 0z x yL n n mψ ψ= → = → + = =

0m ≠ :

( )( )( ) ( )

1 2

11 2 21 2 1 2

0

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ 0

( )! ˆˆ( ) 0 .!( )!

x y

x yx y

x y

n n

n n n n kkn n k x ykx y

k x y

L iC b a a b c a c b

n nC ic c c n n k c k a b

k n n k

ψ+

+ + + +

+ + −+ − −− + +

=

= − +

+ = + − − + −∑

Nhận xét: Để thu được dạng của vế phải (A6.6), ta cần có điều kiện: 2 21 2c c= − , ta

chọn 1 1c = và 2c i= , khi đó ta có:

( ) ( ) ( ) ( )0

( )! ˆ ˆˆ ˆ0 ( ) .!( )!

x yx y x y

x y

n n n n k n nkn n k x yx y x y

k x y

n nVT n n C i a b n n C a ib

k n n k

+ + − ++ − + + + +

=

+= + = + +

+ −∑Mặt khác, do , 0x yn n ≥ nên dạng nghiệm ta vừa chọn thỏa cho trường hợp 0m ≥ ,

khi đó: x ym n n= + :

( )ˆˆ 0m

mC a ibµ + += + . (A6.7)

Đối với trường hợp 0m < , ta cần điều chỉnh cho hợp lý hơn: ( )x ym n n= − + , khi

đó ta chọn 1 21,c c i= = − :

61

( ) ( ) ( )0

( )! ˆˆ( ) 0!( )!

x yx yx y

n n n n kkn n k x yx y

k x y

n nVT n n C i a b

k n n k

+ + −+ − + +

=

+= − + −

+ −∑

( )ˆˆ 0m

mC a ibµ−

+ +− = − . (A6.8)

3. Tính tác dụng của các toán tử lên µ và µ− , sau đó chuẩn hóa hàm sóng. Từ

đó ta chọn hàm sóng mới có dạng:

( )( )

2

2

2 )

2 )

ˆ ˆˆ ˆ[( ) ( ] 0 khi m 0,

ˆ ˆˆ ˆ[( ) ( ] 0 khi m < 0

mk

km

mk

km

C a b a ibk m

C a b a ib

+ + + +

−+ + + +

+ + ≥= + −

(A6.9)

62

Phụ lục 7: Các thành phần ma trận của toán tử Hamilton

Ta có bộ hàm sóng cơ sở cho bài toán exciton như sau:

( )2 2ˆ ˆˆ ˆ, [( ) ( ) ] 0m

kkmk m C a b a m ib+ + + += + + . (A7.1)

Tác dụng của các toán tử lên hàm sóng:

( )ˆ , 2 2 1 ,N k m k m k m= + + , (A7.2)

( )ˆ , 2 1, ,M k m k k m k m= + −

(A7.3)

( )

( ) ( )! !ˆ , 2 , ,! !

j j k k mM k m k j m

k j k m j+

= −− + −

(A7.4)

( )( )ˆ , 2 1 1 1, ,M k m k k m k m+ = + + + +

(A7.5)

( ) ( ) ( )( )! !ˆ , 2 , .

! !i

i k i k m iM k m k i m

k k m+ + + +

= ++

(A7.6)

∗ Tính thành phần ma trận của toán tử S :

( )( )

( )( )

( )

2

ˆ ˆ2 /2 /20 0 0

1 2

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,2 1 ! ! 2 1! 2 1 2 1

ˆ ˆ ˆ .

i i ji ii j

N Ni i j

j i

S M M M Mi ji

S S S

τ ττ ττ τ

+∞ ∞ ∞+ +

= = =≠

− − = + + + + +

= +

∑ ∑∑

Từ biểu thức (A7.2), (A7.4) và (A7.6), ta tính được thành phần 1S

( )( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( )( ) ( )

( )

2

1 ˆ2 /20

2

20

2 2 1

1 1ˆ ˆ ˆ, ,2 1! 2 1

! !1 22 1 ! !!

! !1 x 2 , ,! !2 1

ii i

Ni

iki

i

ik i m

S k m M M k mi

k i k m ik k mi

k i k m ik i m

k k m

ττ τ

ττ

τ

∞+

=

=

− + +

− = + +

+ + +− = + +

+ + ++

++

∑

∑

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

21 2 2 1

0

! !1 1ˆ , 2 , .! !! 2 1

ki

k mi

k k mS k m k m

k i k m iiτ

τ + +=

+= −

− + − +∑ (A7.7)

Tương tự, ta tính được thành phần 2S :

63

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

20 0

2 1

! ! ! !1 1ˆ , 2! ! ( )! !

1 x , .2 1

k ki j

i jj i

k i j m

k k m k i j k m i jS k m

i j k j k m j

k i j m

τ

τ

+

= =≠

+ − + +

+ + − + + −= −

− + −

+ −+

∑∑ (A7.8)

∗ Tính các thành phần ma trận của toán tử Hamilton:

( )( )

( )

22

0 ˆ2 /200

2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 16 2 2 1! 2 1

ii i

z N

dH N N L Z M Mi

ω γ γ ω τ τω π τ ττ

∞ ∞+− = + + − + +

∑∫ .

Ta có:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )2

1 2 2 10

! !1 1ˆ, , 2 ,! !! 2 1

ki

k mi

k k mm k S k m

k i k m iiτ

τ + +=

+= −

− + − +∑

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

2

1 2 2 100 0

! ! 21ˆ, , .! !! 2 1

ik

k mi

k k md dm k S k mk i k m ii

ττ ττ ττ

∞ ∞

+ +=

+ −=

− + − +∑∫ ∫

+ Tính thành phần ma trận kkH

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

2

2

2 2 10 0

2 12 8 2

! ! 22 1 2 . ! ! 2! 2 1

kk

ik

k mi

H k m m

k k m dZk i k m ii

ω γ γω

τω τπ ττ

∞

+ +=

= + + + +

+ −−

− + − +∑ ∫

(A7.9)

Đặt 22

dt dt τττ

= ⇒ = , biểu thức (A7.9) được viết lại như sau:

( )( )

( )( ) ( ) ( )

22

2 2 10

! !12 1 ,2 8 2 ! !!

ki

kk k mi

k k mH k m m Z I

k i k m iiω γ γ ω

ω + +=

+ = + + + + − − + −

∑

với ( )

( )

2

120, 0

.

2 ( 1) (2 2 3)!!(2 1)!! .2 ( 1)!1

qq

p p

p qp q

t p q qq dtp ptI π

π

∞

−

>∈

− − − − −= =

−+∫

+ Tính thành phần ma trận ,k k sH +

64

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2

,2 10

2

2 1

ˆ, ,

! ! ! !1 1 12! ! ( )! ! 2 1

! ! ! !1 12 .!( )! ( )! ! 2 1

k s ki j

s i jk i j mi s j

j i

k si s

k s mi s

m k s S k m

k k m k i j k m i ji j k j k m j

k k m k s k m si i s k s i k m s i

τ δτ

ττ

++

−+ − + += =

≠

+−

+ + +=

+

+ + − + + −= −

− + − +

+ + + += −

− + − + + − +

∑∑

∑

Toán tử V :

( ) ( )( )

2

ˆ /20 00

2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .4 16 ! ! 2 1 2 1

i ji j

Ni j

i j

dV M M Z M Mi j

ω γ ω τ τω π τ ττ

+∞ ∞ ∞+ +

= =≠

− = − + + − + +∑∑∫

( )

( )( )

( ) ( )( )( )

, ,

2

ˆ /20 00

2

, 1 , 1

, ,

ˆ ˆ ,4 16

2 1 1ˆ ˆ ,! ! 2 1 2 1

2 2 1 14 16

k k s k s k

i ji j

Ni j

i j

k s k k s k

H H m k s V k m

m k s M M

dZ M M k mi j

k k m k k m

ω γω

ω τ τπ τ ττ

ω γ δ δω

+ +

+

+∞ ∞ ∞+

= =≠

+ − + +

= = +

= + − + +

− − + +

= − + + + + + +

∑∑∫

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2

2 10

! ! ! !22 1 .!( )! ( )! ! 2 1

i sk s

k s mi s

k k m k s k m s dZi i s k s i k m s i

τω τπ ττ

−∞ +

+ + +=

+ + + +−−

− + − + + − +∑∫

( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

2

, , 1 ,1

2

2 10

2 2 1 14 16

! ! ! ! 21 2 .!( )! ( )! ! 22 1

k k s s s

i sk s

k s mi s

H k k m k k m

k k m k s k m s dZi i s k s i k m s i

ω γ δ δω

τ τωπ ττ

+ −

−∞+

+ + +=

= − + + + + + +

+ + + + −−

− + − + + − +∑ ∫

(A7.10)

65

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1]. Hoàng Dũng (1999), “Nhập môn cơ học luợng tử-Tập 1”. Nhà xuất bản Giáo

dục.

[2]. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), “Phương pháp toán tử giải phương trình

Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kỳ”,

Luận văn thạc sĩ. Khoa Vật lý trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ

Chí Minh.

[3]. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Lê Văn Hoàng (2012), “Tham số tự do với sự hội tụ

của phương pháp toán tử FK”, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp. Hồ

Chí Minh, số 33, tr. 94 -106.

[4]. Lê Quý Giang (2012), “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger

cho exciton âm hai chiều”, Luận văn thạc sĩ. Khoa Vật lý trường Đại học

Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh.

[5]. Lê Văn Hoàng (2007), “Phổ năng lượng trạng thái exciton của khí điện tử

hai chiều tạo ra do hệ nhiều lớp GaAs/GaAsAl trong từ trường đều”, Đề tài

nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp bộ B.2005.23.72.

[6]. Phan Thị Cẩm Nhung (2006), “Bài toán exciton hai chiều trong bán dẫn

nhiều lớp GaAs/AlGaAs đặt trong từ trường”, Luận văn tốt nghiệp. Khoa

Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.

[7]. Trương Mạnh Tuấn (2010), “Phương pháp toán tử cho bài toán exciton hai

chiều”, Luận văn tốt nghiệp. Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ

Chí Minh.

[8]. Vũ Thị Lan Anh (2012), “Trạng thái liên kết giữa electron và lỗ trống trong

bán dẫn hai chiều”, Luận văn tốt nghiệp. Khoa Vật lý trường Đại học Sư

phạm Tp. Hồ Chí Minh.

66

Tiếng Anh

[9]. Edelstein W. (1989), “Two-dimensional excitons in magnetic fields”, Physica

B 39,p. 7697-7704.

[10]. Hoang Do Ngoc Tram, Pham Dang Lan, Le Van Hoang (2013), “Exact

numerical solutions of the Schrödinger equation for a two-dimensional

exciton in a constant magnetic field of arbitrary strength”, Physica B 13-

00559R1.

[11]. Lampert M. A. (1958), “Mobile and immobile effective-mass-particle complexes in nonmetallic solids”, Physical Review Letters 1, p. 450-453.

[12]. Lozovik Y. E., Korbakov I. L., Ovchinnikov I. V. (2003), “Nonlinear optical

phenomena in coherent phase of 2D exciton system”, Solid Stase Com 126,

p. 269.

[13]. Paquet D., Rice T. M. and Ueda K. (1985), “Two-dimensional electron-hole

fluid in a strong perpendicular magnetic field: Exciton Bose condensate or

maximum density two-dimensional droplett”, Physical Review B 32, p.

5208-5221.

[14]. Rashba E. I. (1984), “The prediction of excitons”, Uspekhi Fizicheskikh

Nauk 144, p. 347-357.

[15]. Soylu A., Boztosun I. (2008), “Asymptotic iteration method solution of the

energy spectrum of two-dimensional screened donor in a magnetic field”,

Physical E 40, p. 443- 448.

[16]. Villalba V. M. and Pino R. (2002), “Energy spectrum of a two-dimensional

screened donor in a constant magnetic field of arbitrary strength”, Physica

B 315, p. 289-296.

[17]. Zakharchenya B. P. (1994), “Discovery of excitons”, Uspekhi Fizicheskikh

Nauk 164, p. 345-356.

[18]. Zhu J. L., Cheng Y., and Xiong J. J. (1990), “Quantum levels and Zeeman

splitting for two-dimensional hydrogenic donor states in a magnetic field”,

Physica B 41, p. 10792-10798.