Povrsina cetverokuta

Površine četverokuta

Pablo Picasso:

Tvornica

1909.

• Dok se budemo bavili površinama četverokuta, upoznat ćemo nekoliko slavnih slikara koji su u svojoj umjetnosti koristili geometrijske likove.

• Ovakva umjetnička djela pripadaju kubizmu, slikarskom pravcu čiji su začetnici Pablo Picasso i Georges Braque (Žorž Brak).

Picasso

Djevojka s mandolinom

1910.

Picasso

Mrtva priroda s voćem na stolu

1910.

Picasso

Wilhelmov portret

1910.

• Kubizam je umjetnički pravac u modernoj umjetnosti, koji je imao značajan utjecaj na početak apstraktnog slikarstva.

• Apstraktan (latinska riječ)• koji nije opipljiv; koji postoji samo kao pojam;

misaon; suprotno od konkretan• u matematici : apstraktan broj je broj koji nije

praćen mjernom jedinicom• u umjetnosti : apstraktna umjetnost je umjetnost

koja ne prikazuje vidljivu stvarnost, nego su joj jedini sadržaji crta, boja, oblik, površina ili masa.

• u gramatici : apstraktne imenice znače nešto neopipljivo (osobina, osjećaj, stanje...), npr.brzina, dobrota, bol, tuga, sreća, san, um, zvuk, misao, mašta i sl. nazad

Georges Braque

Posuda s voćem

1912.

Georges Braque

Most

1908.

Georges Braque

Violina i svijećnjak

1910.

• Osnova kubizma je kocka (eng. cube), a otuda i naziv kubizam.

• Najuočljivija osobina kubističkog slikarstva je geometrijska kristalizacija.

Kristali nazad

• Poznati predstavnici kubizma su i Fernand Léger i Juan Gris

Juan Gris

Portret Pabla Picassa

1912.

Fernand Léger

Željeznički prijelaz

1919.

(Fernand Leže) (Huan Gris)

U ovoj prezentaciji bavit ćemo se površinama četverokuta, ovim redosijedom:

• Površina paralelograma i romba - izvod formule

• Površina trapeza - izvod formule

• Općenito o površini. Površina pravokutnika i kvadrata - ponavljanje

• Površina četverokuta s okomitim dijagonalama - izvod formule i primjena

(Kliknite na željeni link...)

• Sistematizacija - sve formule

Površina pravokutnika

Pablo PikasoKuća u dvorištu

1908.

Nazad na sadržaj

Prisjetimo se koja je razlika između opsega i površine.Što opisuje opseg, a što površina lika?

Opseg je duljina ruba lika,a površina veličina unutrašnjosti lika.

Opseg je duljina rubne crte...

a površina veličina svega obojanog.

Npr.

Mjerne jedinice za opseg su:

Koje je veličine centimetar? Pokaži!A kvadratni centimetar, cm2 ?

km, m, dm, cm, mm, ...Mjerne jedinice za površinu su: km2, m2, dm2, cm2, mm2...

1 cm1 cm

Procijeni kolika bi bila površina lijevog lika!

P = 12 cm2

Kvadratni centimetar:

Kolike su površine sljedećih pravokutnika:

4 cm

2 cm

P = 4 ∙ 2 = 8 cm25 cm

3 cm

P = 5 ∙ 3 = 15 cm2

a

b

P = a ∙ b

FORMULA ZA POVRŠINU PRAVOKUTNIKA!

1 cm1 cm

• a – duljina pravokutnika

• b – širina pravokutnika

• Kut između stranica je pravi!

• Formula za površinu:P = a · b

a

b

• Kvadrat spada u pravokutnike.

• On ima jednake stranice.

• Njegova površina je:P = a · a

a

a

P = duljina ∙ širina

Za pravokutnik i kvadrat vrijedi:

Dinamički prikaz:

Pravokutnik(cjelobrojne stranice)

Kvadrat

Pravokutnik(necjelobrojne stranice)

Provjerimo jesmo li dobro razumjeli:

c

d

P = c ∙ d P = x ∙ yx

y

x

y

P = 4 a P = n ∙ n

e1

f1d1

P = e1 ∙ f1P = g ∙ n

a 4

a b

c

P = (a+b) ∙ c r

s

k

P = r ∙ (s+k)

x ya

bP = (x+y) ∙ (a+b)

n

n

n

n

g

n x

Površina paralelograma

Georges Braque

Žena s gitarom

1913.

Nazad na sadržaj

P = ?

• Uočimo stranicu a.• Njoj odgovarajuća visina je va .

• Kut između stranice i visine je pravi!• Koji smo lik dobili?• Kolika je njegova površina? (Pazi na oznake!)

• Kolika je onda površina početnog paralelograma?

va

Pravokutnik!

P = a ∙ va

a

a

b b

• A što ako umjesto stranice a promatramo stranicu b?

• Visina na stranicu b je vb.

• Kut između njih je pravi!• Koji smo lik dobili?• Kolika je njegova površina? (Pazi na oznake!)

bvb

P = ?

Pravokutnik!

P = b ∙ vb

Kolika je onda površina početnog

paralelograma?

a

b

a

Paralelogram

a

va

P = a∙va

bvb

P = b∙vbili

Što je zajedničko tim formulama?

P = stranica ∙ visina na tu stranicu

Paralelogram

a

va

P = a∙va

bvb

P = b∙vbili

Ako bismo za isti paralelogrampovršinu računali i po jednoj i po drugoj formuli,što misliš - što bi vrijedilo za dobivene rezultate?Bili bi isti!!! Dakle, obje formule daju isti rezultat!

Provjeri to za zadaću na jednom paralelogramu!

Paralelogram

a

va

P = a∙va

bvb

P = b∙vbili

Uobičajeno je pisati i koristiti prvu formulu, P=a∙va .

Druga formula nam ionako govori isto što i prva(samo s drugim oznakama).

• Romb...• Što misliš, koja je formula za površinu

romba?• Romb spada u paralelograme, pa i za

njega vrijedi...

va

a

P =a a ∙ va

Dinamički prikaz:

Paralelogram Romb

Uočimo i zapamtimo:

Kad računamo površinu,množimo ono što je okomito!

Npr. u prošlim likovima smo imali:

pravokutnik

a

b

P = a ∙ b P = a ∙ aa

a

kvadrat

a

va bvb

paralelogram

P = a ∙ va

P = b ∙ vb

a

va

romb

P = a ∙ va

a

Površina trapeza

Fernand Léger

Mrtva priroda s kriglom piva

1921.

Nazad na sadržaj

• Površina mu je(pazi na oznake)

Pparal. = (a+c)∙v

• Kakva je površina početnog trapeza u odnosu na površinu tog paralelograma?

• Na pola manja!• Koja je onda fomula

za površinu trapeza?

a

c

c

a+c

P =(a + c ) ∙ v

2

Uočimo osnovice trapeza a i c

??

• Koji lik je nastao?• Paralelogram!

bd

P = ?

a?

d ?

i visinu v.

v

Opiši što se dogodilo...

Do iste formule možemo doći i na drugi način:• Prerežemo trapez na pola visine...• Koji smo lik dobili?• Kolika je površina tog paralelograma? (Pazi na oznake!)

• Kolika je onda površina trapeza?

a

P = (a+c)• v2

?

v

P = ?

Paralelogram!

?

c

a + cOpiši što se dogodilo...

d bv2__

Trapezd b

a

c

v

P = (a + c )∙v2

P = ( a + c )∙ v2

Dobili smo dvije formule za površinu:

Govore li nam one isto, ili su to dvije različite formule?Iste su! U obje zbrajamo osnovice, množimo s visinom i dijelimo s 2.

Stoga ćemo pamtiti samo jednu od njih.

Dinamički prikaz:

Trapez (1) Trapez (2)

Kod pravokutnika i paralelograma uočili smo

Je li i ovdje tako? Sa čime se množi visina?Sa zbrojem osnovica a i c.A u kakvom je položaju visina u odnosu na osnovice? Visina je okomita na osnovice!

Trapezd b

a

v

P = (a + c )∙v2

c

Dakle, i ovdje množimo ono što je okomito!

da u formulama za površinu množimo ono što je okomito.

Površina četverokuta s okomitim

dijagonalama

Pablo Picasso

Čovjek s gitarom

1910. Nazad na sadržaj

d

ba

c

Uočimo dijagonale...

P = ?

Opiši što se dogodilo.Gornji lijevi trokut se udvostručio i zarotirao.Što se sad dogodilo?

Je li se time udvostručila i površina cijelog četverokuta? Je.

d1

d2

d1

d2

Koji smo lik dobili? Pravokutnik.

?d1

?d2

Koja je formula za površinu tog pravokutnika? (Pazi na oznake!)

Ppravok. = d1 ∙ d2

Svi trokuti su se udvostručili.Kakva je površina početnog četverokuta u odnosu na površinu cijelog pravokutnika? Na pola manja.Koja je onda formula za površinu početnog četverokuta?

P=d1 · d2

2

Množi li se i u ovoj formuli ono što je okomito?

Da, dijagonale su okomite.

Dinamički prikaz:

Četverokut sokomitim dijagonalama

Uočimo za koje nama poznate četverokute vrijedi ta formula:P= d1 · d2

2

pravokutnik

ab Ima li pravokutnik okomite

dijagonale?Nema!

Onda na njega ne možemoprimijeniti gornju formulu!


2

Ima li kvadrat okomite dijagonale?Ima!Vrijedi li onda za njega gornja formula?

a

a

kvadrat

Vrijedi!Kako ćemo označiti dijagonale?(Jesu li jednake?)

d d

P= d · d2

Kako za njega glasi gornja formula?


2

Koju formulu za površinu kvadrata znamo od prije?

P = a∙a

Koju od ovih dviju formula trebamo koristiti u zadacima?

Ovisi što je zadano.Ako je zadan a, koristit ćemo formulu P= a∙a ,

a ako je zadan d, koristit ćemo formulu P= d · d2

.

a

ad d

P= d · d2

kvadrat


2

Koju formulu za površinu kvadrata znamo od prije?

A ako su zadani i a i d ?Tada je svejedno koju ćemo formulu koristiti -obje vode do istog rješenja!Provjeri to za zadaću na jednom kvadratu!

P = a∙a

a

ad d

P= d · d2

kvadrat


2

Ima li paralelogram okomite dijagonale?Nema!

ab

paralelogram

Možemo li onda na njega primijeniti gornju formulu?

Ne možemo!


2

Ima li romb okomite dijagonale?Ima!

Vrijedi li za njega gornja formula?Vrijedi!Kako ćemo označiti dijagonale?(Jesu li jednake?)Kako onda za njega glasi gornja formula?

romb

a

ad2d1

P= d1 · d2

2


2

Koju formulu za površinu romba znamo od prije?

a

ava

P =

Koju od ovih dviju formula trebamo koristiti u zadacima?Ovisi što nam je poznato...A ako nam je poznato sve?Onda je svejedno koju formulu koristimo - obje vode do istog rezultata.

a ∙ va

romb

a

ad2d1

P= d1 · d2

2


2

Ima li trapez okomite dijagonale?Nema!Možemo li onda na njega primijeniti gornju formulu?

trapez

d b

a

c

Ne možemo!

Postoji još jedan četverokut koji ima okomite dijagonale...

Deltoid

a a

b b

- četverokut kojem su dvije i dvije susjedne stranice jednako duge

Jesu li njegove dijagonale okomite?Jesu!Kako ćemo označiti dijagonale?(Jesu li jednake?)

Kako glasi formula za površinu?

d2

d1

P = d1 · d2

2

Dinamički prikaz:

Kvadrat Romb Deltoid

Sistematizacija - sve formule

Paul Klee

Crveni balon

Nazad na sadržaj

pravokutnik

a

b

P = a ∙ b

a

a

kvadrat

d d

P = a ∙ a

P = d · d2

ab

paralelogram

P = a ∙ va

va

P = d1 · d2

2

a

ava

P =

romb

a ∙ va

d2d1

trapez

d b

a

c

P = (a+c) · v2

v

deltoida a

b bd2

d1

P = d1 · d2

2

KRAJ

Juan Gris

Gitara

Nazad na sadržaj

Autorice prezentacije:

Jelena VolarovOŠ Đorđe Krstić

Beograd

Republika [email protected]

Antonija HorvatekOŠ Josipa Badalića

Graberje Ivanićko

Republika Hrvatskahttp://public.carnet.hr/~ahorvate/

[email protected]

Autor GeoGebra datoteka:

Manuel SadaŠpanjolska

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/index.htm

[email protected]

svibanj 2010.

mailto:[email protected]




http://public.carnet.hr/~ahorvate/


http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/index.htm


Najtoplije zahvaljujem kolegici Jeleni Volarov na slanju početne varijante prezentacije, nakon čega smo krenule u zajedničku doradu...

Ujedno zahvaljujem kolegi Manuelu Sadi na dozvoli da njegove GeoGebra datoteke priložim uz ovu prezentaciju, u neke unesem izmjene, prevedem na hrvatski i objavim na webu.

Antonija Horvatek

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. zaobjavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autora, te vezano uz objavu materijala navesti imena autora (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite materijale, bit će nam drago čuti povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...

Antonija [email protected]://public.carnet.hr/~ahorvate


http://public.carnet.hr/~ahorvate

http://public.carnet.hr/~ahorvate

Education

Povrsina cetverokuta