Geometri Analit Ruang

Bagaimanakah cara menentukanpersamaan bidang kerucut lingkarantegak dengan puncak T(𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏),arah poros [ a, b, c] dansetengah sudut puncak 𝜶

Lihat gambar di samping. Pilih titik P(𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜) pada kerucut arah TP =𝒙𝒐-𝒙𝟏, 𝒚𝒐 − 𝒚𝟏, 𝒛𝒐-𝒛𝟏

sedangkan cos 𝜶 =𝑻𝑷 [ 𝒂,𝒃,𝒄]

𝑻𝑷 [ 𝒂,𝒃,𝒄]

Dengan menjalankan V ( 𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜 )diperoleh :

{(𝒙 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟏)

𝟐 + (𝒛 − 𝒛𝟏)𝟐 }

{a² + b² + c²} cos² 𝜶 = {a(x- 𝒙𝟏) +(b(y-𝒚𝟏) + c(z-𝒛𝟏)}², merupakan persamaanyang diminta

T (𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏 )

Lingkaran

𝜶

Geometri Analit Ruang

Dalam hal khusus :

1). Jika puncak kerucut T (0, 0, 0), persamaan

menjadi :

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 2 − (𝒂2 + 𝒃2 + 𝒄2)(𝒙2 + 𝒚2 + 𝒛2)

2). Jika puncak kerucut T(0, 0, 0) dan porosnya

sumbu Z (arah 0, 0, 1), persamaan menjadi :

𝒛2 = 𝒛 𝒙2 + 𝒚2 + 𝒛2 𝒄𝒐𝒔 𝜶 atau 𝐱² + 𝒚² = 𝒛² 𝒕𝒈²𝜶

Geometri Analit Ruang

**Tentukan persamaan kerucut lingkaran tegak yang

puncaknya T(0, 0, 0), poros sumbu y dan setengah sudut

puncak adalah 45°

Jawab :

Puncak T (0, 0, 0) dan poros sumbu y ( arah [0,1,0] persamaan

kerucut :

{a( x-𝒙𝟏) + 𝒃(𝒚 − 𝒚𝟏) + c(z-𝒛𝟏)}²=(a²+b²+c²)

{(x-𝒙𝟏)²+(y-𝒚𝟏)²+(z-𝒛𝟏)²}cos²𝜶

Geometri Analit Ruang

y²=y(x²+y²+z²)cos²𝜶

y²=1(x²+y²+z²)cos² 45°

y²=(x²+y²+z²).(𝟏

𝟐𝟐)²

y²=(x²+y²+z²)𝟏

𝟐

y²=𝟏

𝟐x²+

𝟏

𝟐y²+

𝟏

𝟐z²

𝟏

𝟐x² +

𝟏

𝟐y² - y² +

𝟏

𝟐z²= 0

𝟏

𝟐x² -

𝟏

𝟐y² +

𝟏

𝟐z² = 0

x² - y² + z² = 0

Dikali 2

Geometri Analit Ruang

Lingkaran

Garis Pelukis

M

R

Q

H

P

g

Cara menentukan persamaan silinder lingkaran tegak adalah

.....

Geometri Analit Ruang

Jika diketahui silinder lingkaran tegak merupakan :1. TK titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu garis tertentu.2. TK garis-garis yang sejajar dengan jarak yang sama terhadap suatu garis

tertentu.

Apabila jari-jari = RPoros garis : [x, y, z] = [x1,y1,z1] +

𝜆 𝑎, 𝑏, 𝑐Perhatikan Gambar !

MR

QH

P

g

P[x0,y0,z0] pada silinder, berarti persamaan bidang H yang melalui P adalah.....

a ( x-x0 ) + b ( y-y0 ) +c ( z-z0 ) = 0Q(x1,y1,z1) ke H adalah

Q𝑀 =a(x1 – x0) + b(y1 – y0) + c(z1 – z0)

𝑎2+𝑏2+𝑐²

QP = (x1 – x0)² + (y1 – y0)² + (z1 – z0)²

Geometri Analit Ruang

M

R

Q

H

P

g

R

Perhatikan segitiga PQR…

Segitiga PQR merupakan segitigasiku – siku dengan

QP² = QM² + R²Atau

QP² - QM² = R²

QP² - QM² = R²

Untuk mencari persamaan silinder maka dapat digunakan rumus diatas dengan Memasukansemua nilai qp, qm dan r

Geometri Analit Ruang

QP² - QM² = R²

(x1 – x0)² + (y1 – y0)² + (z1 – z0)² ² -a(x1 – x0) + b(y1 – y0) + c(z1 – z0)

𝑎2+𝑏2+𝑐²² = R²

𝑎2+𝑏2+𝑐² (x1 – x0)² + (y1 – y0)² + (z1 – z0)²𝑎2+𝑏2+𝑐²

-a(x1 – x0) + b(y1 – y0) + c(z1 – z0) ²

𝑎2+𝑏2+𝑐²= R²

Dengan menjalankan (X0,Y0,Z0) makadiperoleh…

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐² (x1 – x0)² + (y1 – y0)² + (z1 – z0)² - a(x1 – x0) + b(y1 – y0) + c(z1 – z0) ²= R² 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐²

Geometri Analit Ruang

SoalTentukan persamaansilinderlingkarantegakdenganjari – jari = 3 danporosnya : [x,y,z] =

[0,1,2] + 𝜆 2, −4, 5

a = 2 b = -4 c=5

R = 3

x1 = 0y1 = 1z1 = 2

Dengan memasukkan nilai nilai diatas ke persamaan didepan tadi maka didapat

Geometri Analit Ruang

(4 +16 + 25) { (x²) +(y-1)² + (z-2)² } – {2(x) + (-4)(y-1) + 5(z-2)}² = (4 +16 + 25) R²

45 (X2 + y2 – 2y + 1 + z2 – 4z + 4) – ( 2x – 4y +4 +5z -10)2 = 45 × 9

(45X2 +45 y2 – 90y + 45 + 45z2 – 180z + 180) – ( 4x2 + 16y2 + 16 + 25z2 + 100) = 405

45X2 - 4x2 + 45 y2 - 16y2 + 45z2 - 25z2 -90y – 180z + 180 – 16 – 100 – 405 = 0

41 x2 + 29 y2 + 20 z2 – 90y – 180z – 96 = 0

Jadi, Persamaan silinder lingkaran tegaknya adalah41 x2 + 29 y2 + 20 z2 – 90y – 180z – 96 = 0

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐² (x1 – x0)² + (y1 – y0)² + (z1 – z0)² - a(x1 – x0) + b(y1 – y0) + c(z1 – z0) ²= R² 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐²

Geometri Analit Ruang

KOORDINAT HOMOGEN

koordinat homogen adalah koordinat yang memiliki satu dimensi lebih tinggi dari koordinat yang ditinjau.

Misalkan titik P berkoordinat (X,Y,Z)(koordinat kartesius). Tentukan 4 bilangan x,y,z dan w (w≠0) sedemikian sehingga

Maka (x,y,z,w) merupakan koordinat homogen dari (X,Y,Z)

Geometri Analit Ruang

P (𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜶 , 𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜷 , 𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜸)

P (𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜶 , 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜷 , 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜸, 𝟏)

P (𝒄𝒐𝒔𝜶 , 𝒄𝒐𝒔𝜷 , 𝒄𝒐𝒔𝜸,1

𝑟)

.

.

.

Jika 𝑟 ⟶ ~ maka titik P dititik tak berhingga, dengan koordinat (cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾) ,atau (𝑎, 𝑏, 𝑐, 0). Jadi letak titik tak berhingga tergantung dari bilangan arah garis itu.

Geometri Analit Ruang

Jika x,y,z tidak semuanya nol, maka jika w=0,

paling kurang satu dari 𝑥

𝑤,𝑦

𝑤, 𝑧

𝑤mendekati tak

berhingga.Perhatikan gambar

ᵝα

𝜸

z

x

y

P(X,Y,Z)Bila X =𝑥

𝑤, Y =

𝑦

𝑤, Z =

𝑧

𝑤

Maka dalam koordinat homogen P(x, y, z, w)

𝑥1 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦1 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑧1 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛾

Geometri Analit Ruang

Contoh soal :

Tentukan beberapa koordinat homogen titik P (4 , 3, -6).

Jawab :

Jika w = 1 → (4, 3, -6, 1)

Jika w = 2 → (8, 6, -12, 2)

Jika w = -3 → ( -12, -9, 18, -3) dan lain-lain

Geometri Analit Ruang

CONTOH SOAL :

• Ubahlah persamaan Bidang 3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 + 6 = 0menjadi bentuk koordinat homogenJawab :

3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 + 6 = 0

3𝑥

𝑤+ 4

𝑦

𝑤+ 5

𝑧

𝑤+ 6 = 0 ⟶ 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑤

3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 + 6𝑤 = 0

Jadi persamaan bidang dalam bentuk koordinat homogen 3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 + 6𝑤 = 0

Geometri Analit Ruang

Soal :

• Tentukan persamaan kerucut lingkaran tegak yang puncaknya T (0, 0, 0), poros sumbu x dan setengah sudut puncak 60°

• Tentukan persamaan silinder lingkaran tegak yang jari-jarinya = 4, dan porosnya melalui titik P[1, 1, 1] dengan arah [2, -3, 6]