Tema I: Interpolación y aproximación polinomial

1. Aproximar el valor de cos4( π4+0.01) y estime el error relativo.

2. Aproximar el valor de sin (600 1') y estime el error porcentual.

Sugerencia:600 1'=π3

+ 160

( π180

)

3. Se tiene un tubo de hierro de 8mts de largo, 6cm de radio y 0.4 cm de espesor, usando la diferencial aproximar el volumen de hierro del tubo.

Sugerencia: volumen de un cilindro circular recto v=π r2h

4. Se quiere calcular el área de una esfera a partir del radio r mediante la formula r=4 π r2 y en tal forma que el margen de error sea del 5 %. Estimar el margen de error porcentual con que debe medirse el radio.

5. Justamente antes del mediodía el cuerpo de una víctima aparente de un homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante e igual a 70 º F .A mediodía, la temperatura del cuerpo es de 80 º F y una hora más tarde es de 75 º F. Considere que la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte era de 98.6 º F. ¿Cuál fue la hora de la muerte?

6. Use el polinomio interpolante de Lagrange para determinar un polinomio de grado n=2 que aproxime a f (1.09) usando aritmética de redondeo a cinco cifras decimales. La función que va a ser

aproximada es f ( x )=tan ( log10 ( x ) ) Conociendo lo anterior,

calcule una cota del error porcentual.

Sugerencia: use la siguiente información para agilizar los cálculos.

7. Use el polinomio interpolante de Lagrange para determinar un polinomio de grado n=3 que aproxime a f (0.9) usando aritmética

Apuntes de Cálculo Numérico

Licdo. Deybis Boyerdeyboyazacol@yahoo.es

UNEFMJUNIO-2015

de redondeo a cinco cifras decimales. La función que va a ser aproximada es f ( x )=(ex−2) Conociendo lo anterior, estime el error porcentual.

8. Determine los polinomios interpolante de Lagrange a partir del siguiente conjunto de datos. Utilice dicha función para resolver el siguiente problema:

La corriente en un alambre se mide en función del tiempo según los datos:

t(s) 0 0.125 0.25 0.375 0.45i(A) 0 6.2402 7.788 4.8599 2.7832

Determine la corriente en 0.20 s, 0.30 s y 0.40 s.

9. Determine los polinomios interpolante de Neville de a partir del siguiente conjunto de datos. Utilice dicha función para el siguiente problema:

Un auto que viaja en una ruta es cronometrado en algunos puntos. Los datos de las observaciones se dan en la siguiente tabla:

t(s) 0 3 5 8 13d (m) 0 70 120 190 300

v (m/s) 22.8 23.4 24.4 22.5 21.9

a. ¿Cuál es la posición del auto a los 2 seg.? ¿y a los 10 seg.?b. ¿Cuál será la velocidad en esos puntos?

10. Determine los polinomios interpolante de Diferencias dividas de Newton de grado (n=1, n=2 y n=3) a partir del siguiente conjunto de datos. Utilice dicha función para el siguiente problema:

Haciendo pruebas de velocidad para una avioneta, se registraron las siguientes distancias (obtenidas en uncuenta-kilómetros) para distintos tiempos.

t (s) d (m)5.5 31,9547486.0 37,7917596.5 44,1218037.0 50,9459117.5 58,2649048.0 66,079445

8.5 74,3900689.0 83,1972279.5 92,50128910 102,302582

10.5 112,60137211 123,397896

a. Calcule las distancias que corresponden a los tiempos 7,75s y 9,95sb. ¿Cuál sería el polinomio de menor grado que permite obtener una precisión de 10-3 para el punto 7,75s?c. Calcule el error de esa interpolación (utilice como información adicional el punto t = 11,5s y d =135,500000m).

11. De una función f(x) se conoce el siguiente conjunto de puntos: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)),..... (xn, f (xn)). Si se quiere determinar el polinomio interpolante en su forma de Lagrange debe aplicarse la siguiente fórmula.

Pn ( x )=∑k=0

n

I k ( x ) f ( xk )

Con

¿ i≠k ¿¿¿n¿

El siguiente seudocódigo calcula el valor aproximado de una función en un punto usando el polinomio interpolante en su forma de Lagrange:

// Datos del problema

n= ( ) ; // ingrese el número de puntos

for i = 1:n printf ('x%d = ',i-1) x(i)= input (' '); //Ingresoporpantalladelosvaloresx(i) printf ('f(x(%d)) = ',i-1)

f(i)= input(' '); //ingresoporpantalladelosvaloresdey(i)

end

a= ( ) ; // valordexdondesequiereevaluarelpolinomiointerpolante

// Ciclo generador del polinomio interpolante de Lagrange

for k=1:n for i=1:n if k==i I(i)=1; else I(i)=(a-x(i))/(x(k)-x(i)); end end fI(k)=f(k)*prod(I); endfa=sum(fI)

a) utilicé este código para generar los polinomios interpolante de los problemas 1, 2 y 3.

b) Compara los resultados obtenidos y estime el error cometido en cada uno de los métodos.

12. Determine una relación funcional de una construcción civil que existe entre el coeficiente de espesor y la cantidad de concreto por columna (o pilote) y ajuste el conjunto de datos por medio de un polinomio cuadrático usando el algoritmo del problema 4.

a) ¿cuál es el espesor de una columna cuando la cantidad de concreto es 0.069?

b) ¿cuál es el espesor de una columna cuando la cantidad de concreto es 0.0478?

c) ¿cuál es el espesor de una columna cuando la cantidad de concreto es 0.0975?

La siguiente tabla muestra los datos recabados.

Cantidad de

Concreto

0.040

0.041

0.055

0.056

0.062

0.071

0.072

0.078

0.082

0.090

Coeficiente de

Espesor

26.5 28.1 25.2 26.0 24.0 25.0 26.4 27.2 25.6 25.0