Principios BáSicos De Las Ecuaciones Diferenciales

Principios Básicos de las Principios Básicos de las Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales

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Hilda Alejandra Mariscal EscuderoHilda Alejandra Mariscal EscuderoEcuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales suelen Las ecuaciones diferenciales suelen utilizarse en la resolución de varios utilizarse en la resolución de varios problemas de ingeniería, física y ciencia.problemas de ingeniería, física y ciencia.

Una ecuación diferencial contiene Una ecuación diferencial contiene Derivadas o diferenciales de una o más Derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes.una o mas variables independientes.

Tipos de Ecuaciones DiferencialesTipos de Ecuaciones Diferenciales

Si en la ecuación hay diferenciales o Si en la ecuación hay diferenciales o derivadas totales, o ambas pero no hay derivadas totales, o ambas pero no hay derivadas parciales o hay una sola derivadas parciales o hay una sola variable independiente se denomina: variable independiente se denomina: ““Ecuación Diferencial Ordinaria”.Ecuación Diferencial Ordinaria”.

Si contiene derivadas parciales o hay dos Si contiene derivadas parciales o hay dos o mas variables independientes, se o mas variables independientes, se denomina: “denomina: “Ecuación entre Derivadas Ecuación entre Derivadas Parciales”Parciales”

Formas de clasificar las Formas de clasificar las Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales

Cuando una ecuación solo contiene una o Cuando una ecuación solo contiene una o mas derivadas simples con una o mas mas derivadas simples con una o mas variables dependientes respecto a una variables dependientes respecto a una variable independiente se clasifican de la variable independiente se clasifican de la siguiente manera:siguiente manera:

Tipo Tipo

Orden Orden

LinealidadLinealidad


Orden:Orden: El orden de una ecuación El orden de una ecuación diferencial, se determina por medio de la diferencial, se determina por medio de la derivada mayor en la ecuación. derivada mayor en la ecuación.

Grado: Grado: El grado de una ecuación El grado de una ecuación diferencial ordinaria algebraica respecto a diferencial ordinaria algebraica respecto a sus derivadas es el grado algebraico de sus derivadas es el grado algebraico de su derivada de mayor orden. su derivada de mayor orden.

Tipos de orden y gradoTipos de orden y grado

Primer Orden:Primer Orden: Es de primer orden si Es de primer orden si dy/dx es lineal es decir si esta elevado a dy/dx es lineal es decir si esta elevado a la primera potencia.la primera potencia.

Segundo Orden:Segundo Orden: Es de segundo orden si Es de segundo orden si la expresión dy/dx esta elevada al la expresión dy/dx esta elevada al cuadrado ( dcuadrado ( d22y/dxy/dx22 ) )

Tercer Orden:Tercer Orden: f(x,y,y´,y´´,y´´´)=0 f(x,y,y´,y´´,y´´´)=0

Orden n: f(x,y,y´,y´´ yOrden n: f(x,y,y´,y´´ ynn ) )


Las ecuaciones dependiendo del grado se Las ecuaciones dependiendo del grado se clasifican en:clasifican en:

Lineales:Lineales: Es lineal cuando cumple con las Es lineal cuando cumple con las siguientes condiciones: siguientes condiciones:

A) La variable dependiente y todas sus A) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer gradoderivadas son de primer grado

B) Cada coeficiente de y y sus derivadas B) Cada coeficiente de y y sus derivadas dependen solo de la variable independiente xdependen solo de la variable independiente x

No lineales:No lineales: Las que no cumplen las Las que no cumplen las condiciones anteriorescondiciones anteriores


Solución:Solución: Se define como una relación sin Se define como una relación sin derivadas entre las variables que satisface a la derivadas entre las variables que satisface a la ecuación ecuación

Solución Particular: Solución Particular: Se obtiene de la primitiva Se obtiene de la primitiva dando valores definidos a las constantes dando valores definidos a las constantes arbitrarias (Ecuación de una curva llamadas arbitrarias (Ecuación de una curva llamadas curvas integrales de la ecuación diferencial)curvas integrales de la ecuación diferencial)

Solución GeneralSolución General: Solución que contiene todas : Solución que contiene todas o casi todas sus soluciones (primitiva).o casi todas sus soluciones (primitiva).


Interpretación Geométrica:Interpretación Geométrica: Las Las ecuaciones diferenciales se expresan ecuaciones diferenciales se expresan geométricamente mediante la geométricamente mediante la interpretación de un problema mediante interpretación de un problema mediante trazos en una recta. Así a cada punto del trazos en una recta. Así a cada punto del plano le corresponde una pendiente.plano le corresponde una pendiente.


Trayectorias: Trayectorias: Cualquier curva que corte a Cualquier curva que corte a cada uno de los miembros de una familia cada uno de los miembros de una familia dada de curvas bajo un ángulo constante dada de curvas bajo un ángulo constante w, se llama una trayectoria w de la familia.w, se llama una trayectoria w de la familia.

La trayectoria de intersección, que forma La trayectoria de intersección, que forma un ángulo de 90º de una familia y sus un ángulo de 90º de una familia y sus pendientes son perpendiculares entre si pendientes son perpendiculares entre si se denomina se denomina “Trayectoria Ortogonal”. “Trayectoria Ortogonal”.


Para hallar las trayectorias ortogonales se Para hallar las trayectorias ortogonales se utilizara las curvas integrales de la utilizara las curvas integrales de la ecuación diferencial:ecuación diferencial:

f(x,y, y´-tgw/1+y`tgw)=0f(x,y, y´-tgw/1+y`tgw)=0

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales

Existencia:Existencia: Se dice que hay existencia Se dice que hay existencia cuando existe una solución real para la cuando existe una solución real para la expresión y se cumplen las siguientes expresión y se cumplen las siguientes condiciones:condiciones:

*Continuidad de f(x,y) en R*Continuidad de f(x,y) en R

* Acotamiento de f(x,y) por R* Acotamiento de f(x,y) por R


Unicidad: Unicidad: Se dice que existe unicidad, Se dice que existe unicidad, cuando se cumple lo siguiente:cuando se cumple lo siguiente:

* Continuidad de f(x,y) y n f/ u y en R* Continuidad de f(x,y) y n f/ ò y en R

* Acotamiento de f(x,y) y n f/ u y por R* Acotamiento de f(x,y) y n f/ ò y por R

Aunque existen excepciones donde solo Aunque existen excepciones donde solo se cumple una de las condiciones o se cumple una de las condiciones o ninguna de las dos.ninguna de las dos.


Campo Direccional: Campo Direccional: Al conjunto de los Al conjunto de los segmentos que resultan de la terna (x,y,ysegmentos que resultan de la terna (x,y,y´)´)

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

Ecuaciones Diferenciales; Frank Ayres Jr.; Mc Ecuaciones Diferenciales; Frank Ayres Jr.; Mc Graw Hill; Graw Hill;

Ecuaciones Diferenciales Elementales; L.M. Ecuaciones Diferenciales Elementales; L.M. Kells; Mc Graw Hill;Kells; Mc Graw Hill;

Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones al Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones al modelado; Dennis G. Zill; Thomsonmodelado; Dennis G. Zill; Thomson

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias; Otto Plaat; Ecuaciones Diferenciales Ordinarias; Otto Plaat; reverté s.areverté s.a

Ecuaciones Diferenciales; Isabel Carmona Ecuaciones Diferenciales; Isabel Carmona Jover; PearsonJover; Pearson

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