41
หละกคณิตศาสตร หละกคณิตศาสตร หละกคณิตศาสตร หละกคณิตศาสตร หละกคณิตศาสตร หละกคณิตศาสตร หละกคณิตศาสตร หละกคณิตศาสตร ( ( P P r r i i n n c c i i p p l l e e s s o o f f M M a a t t h h e e m m a a t t i i c c s s ) ) 1 .. 2537 www.thai-mathpaper.net

principles of mathematic

  • Upload
    -

  • View
    101

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: principles of mathematic

หละกคณติศาสตรหละกคณติศาสตรหละกคณติศาสตรหละกคณติศาสตรหละกคณติศาสตรหละกคณติศาสตรหละกคณติศาสตรหละกคณติศาสตร

((((((((PPPPPPPPrrrrrrrriiiiiiiinnnnnnnncccccccciiiiiiiipppppppplllllllleeeeeeeessssssss ooooooooffffffff MMMMMMMMaaaaaaaatttttttthhhhhhhheeeeeeeemmmmmmmmaaaaaaaattttttttiiiiiiiiccccccccssssssss))))))))

�������������� �� �����������ก������ ��

��� ““““�� ���������!"��#��”””” � $�%& 1

��%�� ��(!���)%� *

�������������� ��� ���������������������������������� ���� !�" �.%. 2537 *�� www.thai-mathpaper.net

Page 2: principles of mathematic
Page 3: principles of mathematic

�+��+�,�ก���������-�%& 3

�+,���������+�-���������������� ��� �����./�����-ก���1���� 1 7 �ก��� �.%. 2549 � ��4�ก����ก5��� �ก�-ก���.��.���ก 2 ��������ก�� *���+�-������ ��������1���� 1 4 ��6����� �.%. 2550 8�ก�.��.������ ������� +,���������ก�-ก����9�+�� .��.���9��!���� ก�8����� �ก:;�- ����ก;� ����< 8�������6,ก�������� �ก����ก��������6��� ��ก4�ก����- �����������1�����-��=>ก��� ���������������1� 8��+,�������� � ������,� 1���%?ก:��. +,����������./��������1���� ก�.��.��������4��.�*����ก��+,��������1������?������������ - ������� ���4�����+��� ��� ��� ����,����� +,������������������� ��� ��������6������� ���6?�+,����������� 1��,� 18�����- ������5��@�����1�-4�����+��� ��8��+,����� �� - ��������;�� ; *�ก�����

����� !� �����%�A !�" 27 ��6����� �.%. 2550

Page 4: principles of mathematic
Page 5: principles of mathematic

�+��+�,�ก���������-�%& 1

�ก�-ก���.��.���������������� ��� ��������./�����-ก +,�����������1�������������.�ก��ก� �!����������� ���� ���������1�����-��=>ก��� ������������1��./�ก� � ��- � ������������84 +,��������� ���ก�.��.��������4��.�*�������1��?��������������

����� !� �����%�A !�" 21 ��:��� �.%. 2549

� � � � � �

�+��+�,�ก���������-�%& 2

�ก�-ก���.��.��������+,��������.��.���9��!�����������8�� 1 2 ������ ��ก4�ก�������������1����� ��������ก����,4��*��8��� �ก��.��������;��%����8�� 1 3 ������ 1 3.4 ���� ���-��=>ก���������� �������ก�-ก���.��.��8�������4��./�.�*����ก��+,��������������กก5�����

����� !� �����%�A !�" 4 ��6����� �.%. 2550

Page 6: principles of mathematic
Page 7: principles of mathematic

�+��+�

��������������� �� 1 ���ก9� ��������,����./��������������� ��� ��-ก8�49���� ������ 15 � �� @?1� +,���������������?��*����������8���./�ก�.,����C���ก1��ก��*����������;��%�������8��� ������-ก� �;��� �ก%���� ก���������+ ก�8������+ �� ����������!ก����,4�� ���;��%���� 4?���������������� ���� 4��./�-� ������, ����9����8��ก����ก��� � ��4�+,���84 �1��.8�ก�%?ก:������;��%����8���./�+ �9��54 ����.8�D��D�������

����� !� �����%�A !�" 7 �ก��� �.%. 2549

� � � � � �

Page 8: principles of mathematic
Page 9: principles of mathematic

����(

�%%& 1 �� ��ก��������-���0� 1 � 11

1.1 .��4�� - �����9�����ก� ���ก%���� 1 1.2 ���, - ���4������ 6 1.3 .�*���.E� - �������.���; 9

�%%& 2 ก��0������1 2 �ก�,�0����1 13 � 22

2.1 ก���������+ 13 2.2 ก�8������+ 19

�%%& 3 �����! �ก�3 �45��%���� ������ 23 � 30

3.1 ก����,4�� ���� 23 3.2 ก����,4��*���������-���� �� 1 25 3.3 ก����,4��*��ก���������-��� 26 3.4 ก����,4��*��8��� �ก��.��������;��%���� 27 �����ก� 31

� � � � � �

Page 10: principles of mathematic
Page 11: principles of mathematic

�%%& 1

�� ��ก��������-���0�

1.1 ��35�� 2 ���!�+��� �ก�%���ก�����

1.1.1 ����� (Statements)

��4�;�.�*������.�� �6��G���������./������� 1 1 ���.�� %� � ������� G��ก5����6 14�������� ��4�กก�-������ �;��%����*� ��.Eก���� .�*��������� �./�.�*��������������< ��ก5����84�����������.�*������������������� -��6����ก ����ก������������1������./�.�*������.�� �6��G���������./������� 1 1 ���.�� %� � -��G��������������6 14���1���D�:����กA:��� ������� 6?�-�����G��4�������� ��4�กก�-�������;��%���� -��G��ก5�������6 14���1���ก�����������������D�:� ���กA:���� +,�����4���5���� .�*��������������@��@�����ก��1��?�� ก����������ก5��4-�ก����ก���.������� ��5����-�� ��� �����+,����� ����4�;�.�*�� ���;��%��������.�� �8�� x �./�49������5���ก8�< 6�� x �./�49�����,�- �� x2 �./�49�����,������ +,�����4���5����.�*����������./�.�*������< ��������@��@��� -�� ����4�;�.�*���������.�� �8�� x - � y �./�49������5���ก8�< 4������� �9���� y ���49���� 4�� x @?1�����1������� x + y = 0� .�*���������@��@�����ก�?�� - �8������./�4�� ��4������8� ���;��%�����.�*�� 1����� @��@�����������ก��� ������� ���1� �����@��@������.�*�� � - ����1�.H��ก��ก���������� 1+��� ���. 4?��ก�ก9����8��8�������ก:���1�- �.�*�� ���;��%���� - �8�������9�����ก����������1�� (connector) ���ก%�������1����1��.�*����������ก�� ����ก.�*�� ���;��%���� 1��ก�������./�4������ 54�����8��������?1� - ����8��.�*���9�6�� ���.�*��.I���! ���.�*���9���1���� ���35��� (statement) 8������;��%���� ������8�������ก:*������������ 5ก8��- �.��4�� ���� p, q, r, s, t �./����

Page 12: principles of mathematic

2 ���ก����������

1.1.2 �� �����ก��������ก����� ������� ���������������� ���� �����ก��

����9�����ก� ���ก%���� (logical operator) �8��ก����,� 5 ������� (1) ��!�+��� �ก� �2 �� (-) 8�����1��.��4�� 2 .��4����������ก�� �������4�����.��4�� 1���1������ �- �� 4��./�5 ����1�.��4�� ������������������4���./�5 � ����,� ��ก�����./�� 54���� �����������.��

(2) ��!�+��� �ก� ����� (/) 8�����1��.��4�� 2 .��4����������ก�� �������4�����.��4�� 1���1�� ���� ����� 4��./��%"5���1�.��4�� ������������������4���./��%"5 ����,� ��ก�����./�4�����������������.��

(3) ��!�+��� �ก� �:0�� 2 0!�� (fi) 8�����1��.��4�� 2 .��4����������ก�� *��.��4�� 1��,����� ������1�� fl 4��./� ������ ����.��4�� 1��,�� ��������1�� fl 4��./� �+ � �9�����������4�����.��4�� 1 ���1������ �6��! - ��!� 4��./��%"5 ���1�.��4�� 1�./� ������ ������������4���./�4�� ����.��4�� 1�./� �+ � ������������4���./�� 54 ��ก�����./�4�����������������.��

(4) ��!�+��� �ก� �� ก"�$����&� �� (¤) 8�����1��.��4�� 2 .��4����������ก��*��.��4�� 1��,����� ������1�� ‹ 4��./� ����1����49��./�� (necessary condition) ����.��4�� 1��,�� ��������1�� ‹ 4��./�

p q p - q

T T T

T F F

F T F

F F F

p q p / q

T T T

T F T

F T T

F F F

p q p fi q

T T T

T F F

F T T

F F T

Page 13: principles of mathematic

���������� !"#$ %&�� 3

����1����������� (sufficient condition) �9�����������4�����.��4�� 1���1������ �! ก5������1� !� 4��./� 4�����1�.��4�� ������������������4���./�4�� ����,� ����./�� 54 ����,� ก;8�ก;��?1� ��ก����4��./�� 54 ������ �����������.��

(5) ��!�+��� �ก� �� ���� (~) 8�����1�����ก�ก ���������4�����.��4��8�.��4����?1� ������� 4�����.��4�� 1�����9�����ก�����!�./������������.��

��?1� ����9�����ก� �- �� ����9�����ก� ����� ����9�����ก� �6��!- ��!� - �����9�����ก� �!ก5 ������1�!� 4���./�����9�����ก� ��D�� ก ������ �.��4�� 1�ก1���������� 2 ���� ������ �9��������9�����ก� �����!� ����4���./�����9�������กD�� *���� ����� 1 ?ก@?��ก������ก1��ก������9�����ก� ���ก%����� ��4� ���;������ก%��������4���,�8��������;���, � (Boolean Algebra) @?1��./�������8���������%?ก:� - � �.�*������ก8��� ��ก����������� +,����� 1��84����6%?ก:��� ��������1��������

��!��$��%& 1.1 8�� p, q, r, s �./�.��4�� 6�� [(p fl ~q) / r] - (q / s) ��������4���./�4�� - � (p - s) fl r ��������4���./�� 54- �� .��4��8����8�����.����������4���./��%"5 1) p fl q 2) q fl r

3) r fl s 4) s fl p

! �%+� ���1��4�ก (p - s) fl r ��������4���./�� 54 -������ r �./�� 54- � p - s �./�4�� 4?������� p, s �./�4������ ���1��4�ก [(p fl ~q) / r] - (q / s) ��������4���./�4�� -������ (p fl ~q) / r �./�4�� - � q / s �./�4������

p q p ¤ q

T T T

T F F

F T F

F F T

p ∼∼∼∼p T F

F T

Page 14: principles of mathematic

4 ���ก����������

4�ก (p fl ~q) / r �./�4�� -���� ����� r �./�� 54 ������� p fl ~q �./�4��� ������ ���1��4�ก p �./�4�� -������ ~q �./�4��� ������ ��1���� q �./�� 54 4�ก 1��4�;� ��������.������ p, s ��������4���./�4��- � q, r ��������4���./�� 54 ����G����� p fl q �./�� 54 4?������� 1) �

��!��$��%& 1.2 8�� p, q - � r �./�.��4�� ��4�;������������.�� ก. 6�� [(p - ~r) - q] fl ~(p - q) �./�� 54 - �� (p / q) fl r �./�4�� �. 6�� q / ~r �./�� 54- �� [p / (q fl r)] fl ~q �./�� 54 ���8�����.��:4ก 1) ก. 6,ก - � �. 6,ก 2) ก. 6,ก - � �. +�� 3) ก. +�� - � �. 6,ก 4) ก. +�� - � �. +�� ! �%+� ��4�;���� ก. �������� [(p - ~r) - q] fl ~(p - q) �./�� 54 4������� (p - ~r) - q �./�4�� - � ~(p - q) �./�� 54 ���1��4�ก (p - ~r) - q �./�4�� ������� p - ~r �./�4�� - � q �./�4�� - ������� p, q �./�4�� - � r �./�� 54 ����G����� (p / q) fl r �./�� 54 ��1���� ��� ก. +�� ����.��4�;���� �. �������� q / ~r �./�� 54 4������� q �./�� 54 - � r �./�4�� -������ ~q �./�4�� ������� [p / (q fl r)] fl ~q �./�4������ ��1���� ��� �. +�� 4?������� 4) �

��!��$��%& 1.3 8�� p, q, r, s �./�.��4�� 6�� [p fl (q fl r)] ‹ s - r ��������4���./�4�� - � ~p / s

��������4���./�� 54 - �����8�����.��6,ก 1) p fl q ��������4���./�4�� 2) q fl r ��������4���./�4�� 3) r fl s ��������4���./�� 54 4) s fl p ��������4���./�� 54 ! �%+� ���1��4�ก ~p / s �./�� 54 4������� p �./�4�� s �./�� 54 ���1��4�ก [p fl (q fl r)] ‹ s - r ��������4���./�4�� ������� ��4�;���� 2 ก;���

Page 15: principles of mathematic

���������� !"#$ %&�� 5

ก������ 1: p fl (q fl r) �./�4�� - � s - r �./�4�� ���1��4�ก s - r �./�4�� -���� ����� s �./�� 54 -������ก;���./��.������ ก������ 2: p fl (q fl r) �./�� 54 - � s - r �./�� 54 4�ก s - r �./�� 54 ���1��4�ก s �./�� 54 4?������� r �./�� 54���� 4�ก p fl (q fl r) �./�� 54 ���1��4�ก p �./�4�� ������� q fl r �./�� 54 ������� r �./�� 54 ������� q �./�4��� ������ ��.������ p, q �./�4�� - � r, s �./�� 54 ��4�;� 1) p fl q �./�4�� 2) q fl r �./�� 54 3) r fl s �./�4�� 4) s fl p �./�4�� ����G�������� 16,ก��� ��� 1) �

2��=>ก��� 1.1

1. 4��ก��������.��4����8���, 5 �������� 2. ก9����8�� p, q, r �./�.��4�� 6��.��4�� p fl (q - r) ��������4���./�� 54 - � (p / q) ‹ r � �������4���./�4�� - ����4�;��������4�����.��4������.�� ก. (p ‹ q) ‹ ~r

�. p ‹ (q / ~r)

���8�����.��6,ก 1) ก. 4�� - � �. 4�� 2) ก. 4�� - � �. � 54 3) ก. � 54 - � �. 4�� 4) ก. � 54 - � �. � 54 3. 8�� p, q, r, s, t �./�.��4�� 6��.��4�� (p - q) fl (r / s) ��������4���./�� 54- ��.��4��8����8�����.����������4���./�� 54 1) (p - r) ‹ (s - t)

2) (p - s) fl (q / t)

3) (p - s) / (r - t)

4) (r fl p) - (s fl t)

� � � � � �

Page 16: principles of mathematic

6 ���ก����������

1.2 ���4 2 ���5� ����

��!��$��%& 1.4 ก9����8�� p, q �./�.��4��8�< 4�-������.��4�� p fl q ���, ก��.��4�� ~p / q

! �%+� ก���4�;����.��4���,�8����, ก������ �����!ก� 1���� 1������ก����������������4�� �����

p q p fl q ~p ~p / q

T T T F T

T F F F F

F T T T T

F F T T T

4�ก�����������4�� 4���5����.��4�� p fl q - �.��4�� ~p / q ��������4��������ก�� ก;���ก; �������4?���.������ .��4�� ���������, ก�� �

��!��$��%& 1.5 ก9����8�� p, q �./�.��4�� 4�-������ (p fl q) - (q fl p) ���, ก��.��4�� p ‹ q

! �%+� ���������������4�������

p q p fl q q fl p (p fl q) - (q fl p) p ‹ q

T T T T T T

T F F T F F

F T T F F F

F F T T T T

4�ก�����������4��4���5�������.��4�� (p fl q) - (q fl p) ���, ก��.��4�� p ‹ q

������������4��������ก��ก;���ก; �

�%� ��� 1.1 ก9����8��.��4�� p, q �./�.��4��8�< ��4�ก ������ .��4�� p, q ���, ก��ก5������1�.��4�� p, q ��������4��������ก��ก;���ก;

Page 17: principles of mathematic

���������� !"#$ %&�� 7

��?1� ���, ���.��4��������� 1�����84� ��.�ก���� A:K� ����.�� @?1�ก����,4������6 9����������������*��ก�8�������������4�� +,�����4?������,4���./�-��=>ก���

?0�����ก� A:K� 1.1 ������./�4���9����.��4�� 1.�ก������.��4����������-�����.��4���?���.

%)�@�% 1.1 ก9����8�� p, q, r �./�.��4��8�< 1) ������ก�� �� 1 ก ������

1.1) p - q ≡ q - p

1.2) p / q ≡ q / p

2) ������ก��. 1��ก ��� ก ������

2.1) (p - q) - r ≡ p - (q - r)

2.2) (p / q) / r ≡ p / (q / r)

3) ������ก�ก�4�� ก ������

3.1) (p - q) / r ≡ (p / r) - (q / r)

3.2) (p / q) - r ≡ (p - r) / (q - r)

4) ��������4� (idempotence) ก ������

4.1) p - p ≡ p

4.2) p / p ≡ p

4.3) p - T ≡ p ���1� T ��� .��4��8�< ก5��� 1��������4���./�4������

4.4) p / F ≡ p ���1� F ��� .��4��8�< ก5��� 1��������4���./�� 54����

5) ����������!@�������! (double negation) ก ������ ∼(∼p) ≡ p

6) กK������ ���ก�� �9�����ก%���� ก ������

6.1) ∼(p / q) ≡ ∼p - ∼q

6.2) ∼(p - q) ≡ ∼p / ∼q

6.3) ∼(p fl q) ≡ p - ∼q

Page 18: principles of mathematic

8 ���ก����������

����.�./���1�������4��������8��+,�������4�;�� ������������.��

��!��$��%& 1.6 ก9����8�� p, q �./�.��4��8�< 4�-������.��4�� [(p fl q) - ~p] fl ~q �./���4������ ! �%+� ก���4�;����.��4��8��./���4���������� �����!ก� 1���� 1������ก����������������4�������

p q p fl q ~p (p fl q) - ~p ~q [(p fl q) - ~p] fl ~q

T T T F F F T

T F F F F T T

F T T T T F F

F F T T T T T

4�ก�����������4�� 4���5����.��4�� [(p fl q) - ~p] fl ~q ����ก; 1��������4���./� � 54 ������� 4?���.������.��4�� 1ก9����8������./���4������ �

��!��$��%& 1.7 ก9����8�� p, q �./�.��4��8�< 4�-������.��4�� [(p fl q) - ~q] fl ~p �./���4������ ! �%+� ก���4�;����.��4��8��./���4���������� �����!ก� 1���� 1������ก����������������4�������

p q p fl q ~q (p fl q) - ~q ~p [(p fl q) - ~q] fl ~p

T T T F F F T

T F F T F F T

F T T F F T T

F F T T T T T

4�ก�����������4�� 4���5����.��4�� [(p fl q) - ~q] fl ~p ��������4���./�4��8� �กก; ������� 4?���.������.��4�� 1ก9����8���./���4������ �

� � � � � �

�%� ��� 1.2 ก9����8��.��4�� p �./�.��4��8�< ��4�ก ������ .��4�� p �./���4������ (Tautology) ก5 ������1� p ��������4���./�4�� �กก;

Page 19: principles of mathematic

���������� !"#$ %&�� 9

1.3 ��C����D� 2 ���!�$�� ���

���� ������������!"���#��� ���� $�������% ���1�ก9����8�� x, y �./������ก����@� U 8�< ����6 ��.��������

1. ∀x [P(x)] ��������4���./�4�� ก5������1�- ���� x �ก���8��@� U - �� P(x) ��������4���./�4��

2. ∀x [P(x)] ��������4���./�� 54 ก5������1�- ���� x ������8��@� U - �� P(x) ��������4���./�� 54

3. ∃x [P(x)] ��������4���./�4�� ก5������1�- ���� x ������8��@� U - �� P(x) ��������4���./�4��

4. ∃x [P(x)] ��������4���./�� 54 ก5������1�- ���� x �ก���8��@� U - �� P(x) ��������4���./�� 54

���&�������!"���#��� ���� $�������% 2 ��

1. ∀x∀y [P(x, y)] ª ∀x [∀y [P(x, y)]]

2. ∀x ∃y [P(x, y)] ª ∀x [∃y [P(x, y)]]

3. ∃x ∀y [P(x, y)] ª ∃x [∀y [P(x, y)]]

4. ∃x ∃y [P(x, y)] ª ∃x [∃y [P(x, y)]]

��!��$��%& 1.8 ก9������กD������ !��./��@����49����4����ก 4���4�;��������!���

∀∈ ∃N ∀x [(x > N) fl ( 1x < ∈)] ���.��4��8����8�

ก. ∀∈ ∃N ∀x [(x ≤ N) fl ( 1x ≥ ∈)]

�. ∃∈ ∀N ∃x [(x > N) fl ( 1x < ∈)]

�. ∀∈ ∃N ∀x [(x ≤ N) / ( 1x < ∈)]

�. ∃∈ ∀N ∃x [(x > N) - ( 1x ≥ ∈)]

4. ∃∈ ∀N ∃x [(x ≤ N) - ( 1x < ∈)]

! �%+� � �กก�*�� �1��.���ก� 9�8��.�*���.E��./�����!������� ก ��������.���;8���./���ก������

ก ������ �. 1��4�ก ∀ �.�./� ∃ - ��. 1��4�ก ∃ �.�./� ∀ ��ก4�ก����- ����������. 1�� .�*���.E��.�./�����!����

������� 4�ก.�*�� ∀∈ ∃N ∀x [(x > N) fl ( 1x < ∈)] 4?��. 1���./�

∃∈ ∀N ∃x [∼[(x > N) fl ( 1x < ∈)]]

�%� ��� 1.3 ��� ���� (Open sentence) ��� ������� 1����������6��ก�������4����� 4�ก���4�- �������-. ��. - ��4?�4���ก�������4�����

Page 20: principles of mathematic

10 ���ก����������

≡ ∃∈ ∀N ∃x [∼[∼(x > N) / ( 1x < ∈)]]

≡ ∃∈ ∀N ∃x [(x > N) - ( 1x ≥ ∈)] @?1���ก����� �. �

��!��$��%& 1.9 8�� x �./��@����+,�- ��:K y �./��@����4������8�.�� %� � - � P(x, y) - �������� �x �./�+,�- ��:K���4������ y� �������8����8�����.���./�� 54

ก. ∀x ∃y [P(x, y)]

�. ∀y ∃x [P(x, y)]

�. ∃x ∀y [P(x, y)]

�. ∃x ∃y [P(x, y)]

! �%+� ��4�;�-�� ��������� ก. �+,�- ��:K �ก< �� �./�+,�- ��:K���4������8�4��������?1�� ����������./�4�� �. � �ก< 4������8�.�� %� � 4��+,�- ��:K� ����������./�4�� �. �+,�- ��:K����� �./�+,�- ��:K��� �ก4������� ������������6,ก���� ����G����� ��� 1�./�� 54��� ��� �. �

��!��$��%& 1.10 ��4�;������������.��

ก. 6����กD������ !���� �@����49������5� - ��������� ∃m ∃n [5m + 7n = 1] ���� ����4���./�4��

�. ����!���������� ∀x ∃y [(x2 � 2x ≥ y � 2) - (y ≥ sin x)] ���

∃x ∀y [(x2 � 2x < y � 2) / (y < sin x)]

���8�����.��:4ก 1) ก. 6,ก - � �. 6,ก 2) ก. 6,ก - � �. +�� 3) ก. +�� - � �. 6,ก 4) ก. +�� - � �. +�� ! �%+� ��4�;���� ก. � ��ก m = 3, n = �2 4������� 5(3) + 7(�2) = 1 ������� .�*���.E� 1ก9����8����������4���./�4�� -��������� ก. 6,ก���� ����.��4�;���� �.

���1��4�ก ~[∀x ∃y [(x2 � 2x ≥ y � 2) - (y ≥ sin x)]]

≡ ∃x ∀y [~(x2 � 2x ≥ y � 2) / ~(y ≥ sin x)]

≡ ∃x ∀y [(x2 � 2x < y � 2) / (y < sin x)]

Page 21: principles of mathematic

���������� !"#$ %&�� 11

������� ��� �. 6,ก���� ����G����������� 1) �

��!��$��%& 1.11 ก9������กD������ !���������.E� (�2, 2) ��4�;������������.��

ก. .��4�� ∀x [|x + x2| ≤ |x| + x2 - � x ≤ x

2] ��������4���./�4��

�. .��4�� ∃x [x2 � x � 6 ≥ 0] ��������4���./�4��

���8�����.��6,ก 1) ก. 6,ก - � �. 6,ก 2) ก. 6,ก - � �. +�� 3) ก. +�� - � �. 6,ก 4) ก. +�� - � �. +�� ! �%+� ��4�;���� ก.

���1��4�ก |x + x2| ≤ |x| + |x2| �����./����ก����,.����� 1�� - � |x2| = x2

�9���� �ก< ������ x �./�4��

-�� x ≤ x2 ���4�����1� 0 < x < 1

������� ��� ก. +�� ����.��4�;���� �.

��4�;����ก� x2 � x � 6 ≥ 0

(x � 3)(x + 2) ≥ 0

-ก����ก���� x ∈ (�∞,�2] ∪ [3, ∞)

4���5����������� x ∈ (�2, 2) ��������� 1 ��� 1 9�8��.�*�����./�4�� -������.�*�����./�� 54 ������� ��� �. +�� ����G�����4?������� 4) �

2��=>ก��� 1.2

1. ก9����8�� p, q, r �./�.��4��8�< 4��ก��������.��4�� 1���, ก�� ~(p ‹ q) / (p ‹ r) ��8���, 49���� 3 �������� 2. 4����,4�� A:K� 1.1 3. ก9����8�� p, q, r �./�.��4��8�< 4���4�;���� [(p fl q) - (q fl r)] fl (p fl r) �./���4������ ������

4. ก9����8�� U = {x | x œ I+} 4���4�;����.�*�� ∃x œ U, ∃y œ U [x > y fl x

2 > y

2] �./�4��

������

� � � � � �

Page 22: principles of mathematic
Page 23: principles of mathematic

�%%& 2 ก�,�0����1 � ก��0������1

2.1 ก��0������1

2.1.1 ก���(���)�*+�

ก���������+ .�ก������ 2 ����@?1���ก��� ����*��-���� (argument) �������.�� (1) ������� P1, P2, P3, !, Pn �./�������� �����1� 1ก9����8�� (2) ������� C �./������. ����� 8�ก���4������ก���������+ ������������+ ������ ����6 9����*��ก���4������ .��4�� (P1 - P2 - P3 -! - Pn) fl C �./���4�����������������! 1���%?ก:���- ��8�� 1+����� ��� ��48����! 1��ก��� �ก���!��1 �3 ��� (falsification) ก5��� ��8��+,�����%?ก:�4�ก������������< ����.��4�� ��������84��ก��1��?��

��!��$��%& 2.1 ก9����8�� ���� 1. p fl q

2. ~p

+ ~q

4���4�;����������� 1ก9����8�����ก �����������+ ������ ! �%+� 8�ก���4�;����������� 1ก9����8�������������+ ������ 4�������4�;����.��4�� [(p fl q) - ~p] fl ~q �./���4������������ 8� 1��+,�����4�8��ก������+��� ������� �������� [(p fl q) - ~p] fl ~q �./�� 54 4������� 1. .��4�� (p fl q) - ~p �./�4�� 2. .��4�� ~q �./�� 54 4�ก��� 2. 4������� q �./�4�� ����.��4�;���� 1. 4������� (p fl q) �./�4�� - � ~p �./�4�� ������� p �./�� 54 4���5��������ก����-����ก���?��� � ����G�����4?���.������.��4�� [(p fl q) - ~p] fl ~q ����./���4������ - �������������� 1ก9����8�������������+ �

�%� ��� 2.1 ก������������ (Inference) ��� ก����ก���4���������*��-��� 1ก9����8����������+ (valid) ������

Page 24: principles of mathematic

14 ���ก����������

��!��$��%& 2.2 ก9����8�� ���� 1. p fl q

2. ~q

+ ~p

4���4�;����������� 1ก9����8�����ก �����������+ ������ ! �%+� 8�ก���4�;����������� 1ก9����8�������������+ ������ 4�������4�;����.��4�� [(p fl q) - ~q] fl ~p �./���4������������ 8� 1��4�8��ก������+��� ������� �������� [(p fl q) - ~q] fl ~p �./�� 54 4������� 1. .��4�� (p fl q) - ~q �./�4�� 2. .��4�� ~p �./�� 54 4�ก��� 2. 4������� p �./�4�� ����.��4�;���� 1. 4������� p fl q �./�4�� - � ~q �./�4�� ������� q �./�� 54 -��4�ก p fl q �./�4�� - ��� ����� p �./�4��4?� ����� �� ��� q �����./� 4�� 4���5�����ก��������-����?���ก1��ก���������4�����.��4�� q ����G�����4?���.������ .��4�� [(p fl q) -~q] fl ~p �./���4������ - �������������� 1ก9����8����������+ �

��?1� ���*��-��� 1��������+ ������6�9��.8��������*��4���ก��� �กK���ก��������� (Rules of

Inference) @?1��ก����������ก��� -�� 1�9���8��ก������< ������ ?0�C�02�0�

ก@?��ก��0��� � ?0��0�� ?0����

1. กKก����������� (Modus Ponens: M.P.) 1. p fl q

2. p

q

2. กKก�.I���!+ (Modus Tollens: M.T.) 1. p fl q

2. ~q

~p

3. �ก� -�������C�� (Hypothetical Syllogism: H.S.) 1. p fl q

2. q fl r

p fl r

4. �ก� -�������ก (Disjunctive Syllogism: D.S.) 1. p / q

2. ~p

q

5. กKก�� ��ก (Constructive Dilemma: C.D.) 1. (p fl q) - (r fls)

2. p / r

q / s

6. กKก� 9�8������ (Simplification Law: Simp.) p - q p

7. กKก��� (Conjunction Law: Conj.) 1. p

2. q

P - q

Page 25: principles of mathematic

���������� !"#$ %&�� 15

8. กKก����1� (Addition Law: Add.) p p / q

9. กK����!@��� (Double Negation: D.N.) ~~p p

10. กKก�ก9�4�����, (Equivalence Elimination: E.E.) p ‹ q 1. p fl q

2. q fl p

��?1� 8�ก; 1���*��-��� 1��ก9� ����4�;���,�������������49������ก ก���4�;�*��8����! 1+���< �� ��4 9�������������ก ������� ��4?����!8���8�ก���4������*��-��� 1� �ก:;����ก ���@?1���ก��� �ก����,4�� ������������+ *���������� @?1���4����%?ก:�����.

2��=>ก��� 2.1 ก

1. 4���4������ก���������+ ����.����������+ (valid) ������ ก. ���� 1) p fl (p fl q)

2) p fl p

+ p fl q

�. ���� 1) p fl (q fl r)

2) r fl ~p

+ r fl ~q

�. ���� 1) ∼p fl ∼q

2) ∼r

3) p fl s

4) q / r

+ s

�. ���� 1) ∼p fl (q fl r)

2) ∼p / s

3) ∼t fl q

4) ∼s

+ r fl t

2. 4���4�;����������� 1ก9����8������.����������+ ������ ก. ���� 1) �.H��1��� ���-����1��� 2) 6���.H��1��� - ���.H��1�ก�-N 3) �.H�����1�ก�-N + -����1��� ����������1�ก�-N

Page 26: principles of mathematic

16 ���ก����������

�. ���� 1) 6����� �����%��- �� ��%�ก��"������ 2) 6����%�ก��"���������- �� ��� ������� 3) ��%�ก��"��������� + ��� ��������%��- ���� ���������� �. ���� 1) 6�������=��ก - ��64���� 2) 6�������=�����ก - ��6����� �1� 3) 6��6���.O�ก - ��6��4� �1� + 6�� �1����6���.O�ก �. ���� 1) 6��-��������กK���� - ���9���������%�� 2) 6��-�����กK���� - ��-��4��./�+,�- ��:K 3) �9������%�� ������������� 4) ������������� + -���������./�+,�- ��:K �������������

2.1.2 ก�����&�� �����)�*��+�!�"�"�"�

ก����,4��������������+ *������������� ��4���1����4�กก���������������ก�� ���- ��8��กK��� ก�����������1� 9�8����������.8�� ����� �����1���� ��8��+,�������4�;�������������.��- ��4�����84��1��?��

��!��$��%& 2.3 4���4������ก���������+ ����.����������+ ������ ���� 1) (p / q) fl (r - s)

2) r fl ~s

+ ~p - ~q

! �%+� 8� 1��4�8��ก����,4��������������+ *��������� 1. (p / q) fl (r - s)

2. r fl ~s

3. ~r / ~s 4�ก��� 2, Equiv. 4. ~(r - s) 4�ก��� 3, A:K� 1.1 (6.2) 5. ~(r - s) fl ~(p / q) 4�ก��� 1, Equiv. 6. ~(p / q) 4�ก��� 5, 4 M.P.

7. ~p - ~q 4�ก��� 6, Equiv. 4���5�������8�� �� 1 7 ����������. 1����ก� ����G����� ก���������+ ����������+ �

Page 27: principles of mathematic

���������� !"#$ %&�� 17

��!��$��%& 2.4 4���4������ก���������+ ����.����������+ ������ ���� 1) p fl (q / ~r)

2) s fl r

3) p

4) ~q

+ ~s

! �%+� 1. p fl (q / ~r)

2. s fl r

3. p

4. ~q

5. q / ~r 4�ก��� 1, 3 M.P.

6. ~q fl ~r 4�ก��� 5, Equiv. 7. ~r 4�ก��� 6, 4 M.P.

8. ~r fl ~s 4�ก��� 2, Equiv. 9. ~s 4�ก��� 8, 7 M.P

4���5�������8�� �� 1 9 ����������. 1����ก� ����G�����ก���������+ ����������+ �

��!��$��%& 2.5 4���4������ก���������+ ����.����������+ ������ ���� 1) 6�������=��ก - ��64���� 2) 6�������=�����ก - ��6����� �1� 3) 6��6���.O�ก - ��6��4� �1� + 6�� �1����6���.O�ก ! �%+� ก9����8�� p : �����=��ก q : 6��� r : 6�� �1� s : 6���.O�ก ����G����� ���*��-��� 1*4 ��ก9����8��4?��. 1���./���� �ก:;������� ���� 1) p fl q

2) ~p fl ~r

3) s fl r

+ r / s

Page 28: principles of mathematic

18 ���ก����������

1. p fl q

2. ~p fl ~r

3. s fl r

4. ~q fl ~p 4�ก��� 1, Equiv. 5. ~q fl ~r 4�ก��� 4, 2 H.S.

6. ~r fl ~s 4�ก��� 3, Equiv. 7. ~q fl ~s 4�ก��� 5, 6 H.S.

4���5����������������6 9�8����������. r / s ����G����� ก���������+ �������������+ �

2��=>ก��� 2.1 ?

1. 4���4������ก���������+ ����.����������+ (valid) ������ *��8��ก����,4��������������+ *��������� ก. ���� 1) p fl (p fl q)

2) p fl p

+ p fl q

�. ���� 1) p fl (q fl r)

2) r fl ~p

+ r fl ~q

�. ���� 1) ∼p fl ∼q

2) ∼r

3) p fl s

4) q / r

+ s

�. ���� 1) ∼p fl (q fl r)

2) ∼p / s

3) ∼t fl q

4) ∼s

+ r fl t

Page 29: principles of mathematic

���������� !"#$ %&�� 19

2. 4���4�;����������� 1ก9����8������.����������+ ������ *��8��ก����,4��������������+ *��������� ก. ���� 1) �.H��1��� ���-����1��� 2) 6���.H��1��� - ���.H��1�ก�-N 3) �.H�����1�ก�-N + -����1��� ����������1�ก�-N �. ���� 1) 6����� �����%��- �� ��%�ก��"������ 2) 6����%�ก��"���������- �� ��� ������� 3) ��%�ก��"��������� + ��� ��������%��- ���� ���������� �. ���� 1) 6��-��������กK���� - ���9���������%�� 2) 6��-�����กK���� - ��-��4��./�+,�- ��:K 3) �9������%�� ������������� 4) ������������� + -���������./�+,�- ��:K �������������

� � � � � �

2.2 ก�,�0����1

2.2.1 ก��,)(�)�*+��$$���"

����� ����; ����4����Q��ก� (2545: 66) ���ก ����ก1��ก��ก�8������+ *����.4�ก� �ก�ก;R���������� �����ก����������� ��!"ก��#���������� $����ก���ก�ก�%&ก'�(� ���)����*����+�"&�",����+�"&#����� +�$-�"&��(�.$��/����ก���)����*����+�"&�(�" 0,��/����1ก��+�$-�"&)�.����� ����ก��������ก��� � ��(�ก� �� ��ก� ���",��ก'�(� ���)����*����+�"&#�) �������ก����ก��ก���)����*����+�"&�ก �"��"����

�%� ��� 2.2 ก��#��������.11"��"� ��(�ก��#���������� $����ก���ก�ก�%& (Deduction or Deductive Reasoning) ����6?� ก�8������+ *����%��� �กC��4�ก����,������������4������./� 1�����ก��*�� �1��. *�� �����8�����������������./�4��- ��8��� �ก�ก;R�8�ก��������.

Page 30: principles of mathematic

20 ���ก����������

ก�8������+ -����6��������������������ก 1 9�8���;��%�����*������ 1����4�-����� *�� 1��ก �;��%����8����� ��< ����ก5��5���ก����� ���� �� ��ก�;��%�������กก+,���1�8����./�+,�����กC�������;�� %���� 1����*������������4�4���./���-ก @?1��� ���8����5����4�ก+ ��� 1��1� ��� ������� (Elements) ��1���� ��!��$��%& 2.6 ���� 1) �ก �ก��������� 2) �ก� �ก��������� + �ก� �ก����./��ก �

��!��$��%& 2.7 ���� 1) ,.�1�� 1�����������./�,.�1�� 1�� 1���������������ก������,� 2) ,.�1�� 1������.O�ก.,��./�,.�1�� 1�� 1���������������ก������,� + ,.�1�� 1������.O�ก.,��./�,.�1�� 1���������� �

��!��$��%& 2.8 4���4�;����ก�8������+ ����.����������+ ������ ���� 1) ��� �ก 9� ����9���� 2) 6����9�� ����ก ����9���� + ����./�6����9�� ����ก ! �%+� ���1��4�ก�� ����� ������- �6����9�� ����ก����ก5 ����9���� ������� -��ก���.�������./�6����9�� ����ก�������6,ก���� ����6���� �������� �ก 9� ����9���� ��1�-������ �ก��1� 1 ����9����ก5�����./���� ������� ก�8������+ ���ก ��������������+ �

2.2.2 ก��,)(�)�*+��$$�*��"

��!��$��%& 2.9 ���� 1) ������=��ก 2) ���1�����=��ก + ������ก5�=��ก �

�%� ��� 2.3 ก��#��������.11��"� ��(�ก��#���������� $����ก��$1ก���& (Induction or Inductive Reasoning) ����6?� ก�8������+ *����%��� �กC��4�ก.���ก�;��������ก�;��G���@?1���44��ก���?������ ������ ���1��������+ ��. *����4�./�4��������ก5���

Page 31: principles of mathematic

���������� !"#$ %&�� 21

��!��$��%& 2.10 ���� 1) ���1����@������� �����?�� �� �%�������ก - ��ก �� �%������ก 2) ���1����������� �����?�� �� �%�������ก - ��ก �� �%������ก 2) ���������� ����ก5�?�� �� �%�������ก - ��ก �� �%������ก + ���������- �������< �.����� ����ก5�?�� �� �%�������ก - ��ก �� �%������ก �

��!��$��%& 2.11 4���4�;� 9�������49��������.��- ����4�� �1��. 1) 1, 3, 5, 7, !

2) 0, 7, 26, 63, !

! �%+� 1) 1 = 1 + 2(0) 3 = 1 + 2(1)

5 = 1 + 2(2)

7 = 1 + 2(3)

! !

����G����� *��8��ก�8������+ -����.�������6��.������ �4�� �1��.��� 9���� 1ก9����8�� ��� an = 1 + 2(n � 1) = 2n � 1 �

2) 0 = 13 � 1

7 = 23 � 1

26 = 33 � 1

63 = 43 � 1

! !

����G����� *��8��ก�8������+ -����.�������6��.������ �4�� �1��.��� 9���� 1ก9����8�� ��� an = n

3 � 1 �

��!��$��%& 2.12 ��4�;�ก���+ ��ก����.�� 1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

4��������� 1 + 3 + 5 + ! + 101 ! �%+� ���1��4�ก 1 = 1 = 1

2

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

Page 32: principles of mathematic

22 ���ก����������

����ก����49�����4�� 1�9�����กก�� ��@����������� ��ก������ � 1�9����กก9� ����� �������� ����.��4�;� 1 + 3 + 5 + ! + 101 ���1��4�ก49������5��1������ 1 ก�� 101 � ������ 51 49���� ����G����� 1 + 3 + 5 + ! + 101 = 512

= 2,601 �

2��=>ก��� 2.2

1. 4��ก��������ก�8������+ -������� 1��$��������+ ����������� 3 �������� 2. 4���4�;����ก�8������+ ����.����������+ ������ ���� 1) ��ก������������ ��กT� 2) ���./���ก������ + ��� ��กT� 3. 4���4�;����ก�8������+ ����.����������+ ������ ���� 1) ������ ��� ,ก������ �ก��������� 2) -���./������� ��� ,ก������ + -�������� 4. ก9���� 9���� 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 4���4�;����49����6���.���49����8� - �4���4�;���� ��ก4�ก49�������ก ���- ������49������1�< �ก������ 6���4��ก����������� 1 �������� 5. ก9���� 9���� 2, 4, a ���1� a �./�49������5�8�< 4���49����6���. - �8����4�;�����49������5� a ��1�< 1�./��.����ก������ 6���4��ก���ก 2 49����

� � � � � �

Page 33: principles of mathematic

�%%& 3 �����! �ก�3 �45��%���� ������

ก����,4�� ���;��%���� (Mathematical Proofs) �./�ก����ก� 149��./�8�ก���4��� ������ ��� ��ก ��� A:K� 8������;��%����*��8��� �กก���������+ ��� 1���%?ก:���- ��8�� 1 2 ������� �9����+,����� 1��84%?ก:���� �������;��%����8������,��?���. 4?�49��./��������1� 14����� 9���������84�������8�� �� ����� ?ก@?�� ก����,4�� ���;��%�����,.-����ก��� -�� 1����8��ก����������ก1,.-�� - �8��������� ����4��ก ��ก ���6?����� 3 � 4 ,.-��� ���������������������9������ก���8�������!��%?ก:����. ��

3.1 ก�3 �45��%���� (Direct Proof)

ก����,4�� ���� ��1����4�ก�����8��������������./�4��- ��������-���8���������������+ �./�4�� ������� ก����,4�� ����4?�� �ก:;� 1���� ���ก��.��4�� p fl q ��1���� @?1��,.-�������

��!��$��%& 3.1 4�-������ ��9����49������5���ก a 8�< 6�� a �./�49�����1- �� a2 �./�49�����1�

3 �45�� �����8�� a �./�49������5���ก�18�< *��� ��������49�����14������� a = 2k + 1 �9����49������5� k ���49���� ��1���� a2

= (2k + 1)2

= (4k2 + 4k) + 1

= 2(2k2 + 2k) + 1

���1��4�ก k �./�49������5�8�< 4������ 2k2 + 2k �./�49������5�����

������� 4�ก� ��������49�����1 4?������� a2 �./�49�����1�������ก� �

���� !$�?0��!��������G�5 � !

!

!

1

Page 34: principles of mathematic

24 ���ก����������

��!��$��%& 3.2 4�-������ ��9����49������5���ก a 8�< 6�� 2 | a - �� 2 | a2�

3 �45�� �����8�� a �./�49������5���ก8�<

4�ก 2 | a 4������� a = 2m �9����49������5� m ������ ������� a2

= (2m)2 = 4m

2 = 2(2m

2) �9����49������5� 2m2

����G����� 4������� 2 | a2 �������ก� �

��!��$��%& 3.3 4�-������ ��9����49������5���ก a, b 8�< - � a ≠ 0 6�� a | b - �� a | b2�

3 �45�� �����8�� a, b �./�49������5���ก8�< - � a ≠ 0

4�ก a | b 4������� b = ma �9����49������5� m ������ ������� b2

= (ma)2 = m

2a2 = a(am

2) �9���� am2

@?1��./�49������5�8�<

����G����� 4������� a | b2 �������ก� �

2��=>ก��� 3.1

1. �9����49������5���ก a, b, x, y 8�< 4����,4�������������.��

1) 6�� 3 | x - � 3 | y - �� 3 | (xy) 2) 6�� 3 | x - � 3 | y - �� 3 | (mx + ny) �9�������49������5� m, n

2. �9����49����4�� a ≠ 0 4�-������ a0 = 1

3. 4�-������ 00 �������6��������

� � � � � �

Page 35: principles of mathematic

���������� !"#$ %&�� 25

3.2 ก�3 �45��C��?0��!��2�0�� ��%& (Contraposition)

4�ก� 1 1 �������������� ���� �� �����.��4�� p fl q ���, ก��.��4�� ~q fl ~p ���� G����� - � 14����,4����� p fl q �./���4������ 4?�� 1���.���,4����� ~q fl ~p �./���4������- � ��ก��� �ก����,4��*���������-���� �� 1� @?1��,.-�������

��!��$��%& 3.4 4�-������ ��9����49������5� x 8�< 6�� x2 �./�49�����,�- �� x �./�49�����,������

3 �45�� ������� 1����ก����,4��������,�8�,. p fl q @?1� 9������ก ������� 4?�4�8��ก����,4��*��8��������� -���� �� 1��� ~q fl ~p - � ��1���� ����ก�-������ ��+����5+��!���"� x ,�H :0� x ��G�5+��!��&2 0! x2 ��G�5+��!��&� 8�� x �./�49������5�8�< �������� x �./�49�����1 4��������49������5� k ������ 1 9�8�� x = 2k + 1 ������� x2

= (2k + 1)2 = 4k

2 + 4k + 1 = 2(2k

2 + 2k) + 1

*��� ��������49�����14?������� x2 �./�49�����1 - �*���������-���� �� 14?������� x �./�

49�����,��������ก� �

2��=>ก��� 3.2

1. �9����49������5���ก x 8�< 4����,4����� 6�� x3 �./�49�����1- �� x �./�49�����1

� � � � � �

���� ,�0� ���?��?0��!��1 ��G�5 � !

!

!

� ���?��?0��!��������G�5 �

Page 36: principles of mathematic

26 ���ก����������

3.3 ก�3 �45��C��ก���?0�?��2�0� (Contradiction)

ก����,4��*��ก���������-�������4�8�����1�ก����,4�� ���� - �ก����,4��*��8���������-���� �� 1 9������ก ���� ����ก�-������ 2 �./�49������ก�� (irrational) 4���5����ก����,4�� �������� 9������� � � -����ก���. 1����!ก�*�������8�� 2 �./�49�����ก�� (rational) - ��������-���8��������ก� ������������� 9�8���ก��������-����?�� ��4?�����6��.������ 1����������������6,ก���� ��1�-������������� 1 ����ก����,4���./�4�� 4�ก 1����4�;��� ������ ����6��.,.-�����ก����,4��*����������-�����������

�������� �9������ ����48�� �ก����,4�� ������� (indirect proof) ก5��� ��!��$��%& 3.5 4�-������ 2 �./�49������ก�� 3 �45�� �����8�� 2 �./�49�����ก�� *��� ��������49�����ก��4�������

�49������5���ก a, b ���49���� 1 9�8�� 2 = ab -----(3.3.1)

- � �..�. ��� a, b � ��ก�� 1

�กก9� ����� ���������������ก� (3.3.1) ��� 2 = 2

2a

b ������� a2

= 2b2 -----(3.3.2)

4���5������� a2 �./�� ��,� 4?������� a �./�� ��,����� 4������� a = 2p -----(3.3.3) �9����49������5� p ������ �กก9� ����� ���������������ก� (3.3.3) ��� a2

= (2p)2 = 4p

2 -----(3.3.4)

- ���� (3.3.4) 8� (3.3.2) 4���� 4p

2 = 2b

2 ==> 2p

2 = b

2 ��1���� b2 �./�� ��,� - ������� b �./�� ��,�����

������� b = 2q -----(3.3.5) �9����49������5� q ������

���� ,�0?0��!��%&�0��ก�3 �45����G��%"5 !

!

!

�ก �?0�?��2�0�?�-� 2���!$�� &�%&������ �!0,�����0���-���G��%"5 �$��2���!$� ?0��!��%&���0��ก�3 �45����G�5 �

Page 37: principles of mathematic

���������� !"#$ %&�� 27

4������� ab =

2p2q

= pq

4���5���� ab ����./��%:����������19� (����ก�����?1�ก5��� �..�. ��� a ก�� b ���� ��ก�� 1)

4?��ก��������-��� ����G����� 2 �./�49������ก���������ก� �

2��=>ก��� 3.3

1. 4�-������ 3 �./�49������ก�� 2. 4�-������8����49����4�� ����������ก������� 0 3. 4�-������ �49�����G�����ก����./�49����������

4. 4����,4����� ( )xx + 1

x

lim→∞

≠ 0

� � � � � �

3.4 ก�3 �45��C��,�0� �ก�������� ��� ������

ก����,4��*��8��� �ก��.��������;��%���� 8��8�ก; 1����ก����,4��������� 1�ก1������ก��49������5�

��ก ���� ����ก�-������ P(n) =n

k 1

k∑=

= n(n + 1)2

�9���� �ก< 49������5���ก n �./����

� �กก���.��������;��%�������� ��1����4�กก�-������������� P(1) �./�4��- �������-���8�������� ������� P(n) �./�4���9����49������5���ก n 8� ก�-������������� P(1) �./�4����ก��� �?�-�I��� (Basis Step) - �ก�-������������� P(n) �9���� 49������5���ก n 8�< �./�4�� ��ก��� �?�-�������� (Inductive Step) �9����� �ก��.��������;��%�������� � 1��4�ก� �กก�4�������������� (Well � ordering principle) .�ก��ก����4�4������.��*� (PeanoGs Axioms)

@?1�4�������,4��8� 1�� +,����� 1��84����6����������4�ก��������ก1��ก��� �ก�;��%���� �1��. � ��4��9�� �ก1��ก�� A:K49����8���������%?ก:�

��!��$��%& 3.6 �9����49������5���ก n 8�< 4�-������ 12 + 2

2 + 3

2 + ! + n

2 = n

6(n + 1)(2n + 1)

! �%+� 8�� n �./�49������5���ก8�< - � P(n) : 12 + 2

2 + 3

2 + ! + n

2 = n

6(n + 1)(2n + 1)

*�2"3�": 4���5���� 12 = 1

6(1 + 1)(2(1) + 1) = 1 ������� P(1) �./�4��

*�2"��"� : �����8�� k �./�49������5���ก8�< �������� P(k) �./�4�� ����ก�-������ P(k + 1) �./�4������

4�ก 12 + 2

2 + 3

2 + ! + k

2 = k

6(k + 1)(2k + 1)

Page 38: principles of mathematic

28 ���ก����������

������� 12 + 2

2 + 3

2 + ! + k

2 + (k + 1)

2 = k

6(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)

2

= (k + 1) k6(2k + 1) + (k + 1)

= (k + 1)( )22k + 7k + 6

6

= (k + 1)(2k + 3)(k + 2)

6

= k + 16

[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1]

-������������� P(k + 1) �./�4�� *��� �ก��.��������;��%����4?�������

12 + 2

2 + 3

2 + ! + n

2 = n

6(n + 1)(2n + 1) �

��!��$��%& 3.7 4����,4������9����,.� ���� 1�� (polygon) 1�4����� n 4��4��49�������� -������ ��ก��

n(n - 3)2

���� �9���� �ก< 49������5���ก n ≥ 4

! �%+� *�2"3�":

4�ก,. 3.1 4���5�����������9����ก; n = 4 (�4����� 4 4��) - ��49�������� -�����4�� ��ก��

4(4 - 3)2

= 2 ���� @?1��./�4��

P1 P2

P4 P3

4� 3.1 ,.� ���� 1�� 1�4����� 4 4��

Page 39: principles of mathematic

���������� !"#$ %&�� 29

*�2"��"� :

�������� ,.� ���� 1�� 1�4����� k 4�� �49�������� -������ ��ก�� k(k - 3)2

����

4�����-������ ,.� ���� 1�� 1�4����� k + 1 4��4��49�������� -������ ��ก�� (k + 1)((k + 1) - 3)2

= (k + 1)(k - 2)

2 ����

4�ก�����C�� 1���,.� ���� 1�� 1�4����� k 4��4��49�������� -������ ��ก�� k(k - 3)2

����

��4�;�,.� ���� 1�� 1�4����� k + 1 4�� ก9����4�� Pk + 1 ���,. 3.3 4���5�������4�� Pk + 1 ��������6�������� -�����ก��4����� �ก< 4��8�,. � ���� 1�� k + 1 4����� �ก����4�� P1, Pk @?1��./�4����� 1��,�.����ก��4�� Pk + 1 ��1���� ����G�����4�� Pk + 1 4��������� -�������� ������� k � 2 ����

4������� 49�������� -����� ������4�� ��ก�� k(k - 3)2

+ (k � 2) + 1 = k(k - 3)2

+ (k � 1) ����

��4�;� k(k - 3)2

+ (k � 1) = k(k - 3) + 2(k - 1)

2

= 2

k - 3k + 2k - 22

= 2

k - k - 22

= (k + 1)(k - 2)

2

*��� �ก��.��������;��%����4?������� �9����,.� ���� 1�� 1�4����� n 4��4��49�������� -��

���� ��ก�� n(n - 3)2

���� �9���� �ก< 49������5���ก n ≥ 4 �

?0�����ก� 4�ก�������� 1 3.7 4���5������� 8�ก����,4��*��8��� �ก��.��������;��%�������49��./�������1���� 4�ก n = 1 �����.

P1

P2

P3 Pk � 1

P4

Pk

4� 3.2 ,.� ���� 1�� 1�4����� k 4��

P1

P2

P3 Pk � 1

P4

Pk

Pk + 1

4� 3.3 ,.� ���� 1�� 1�4����� k + 1 4��

Page 40: principles of mathematic

30 ���ก����������

2��=>ก��� 3.4

1. 4�-������ �9���� �ก< 49������5���ก n 4���� 13 + 2

3 + 3

3 + ! + n

3 =

2n(n + 1)2

2. ก9����8�� Z = r (cos θ + i sin θ) �./�49��������@���8�,.�������� - �8�� n �./�49������5���ก 4����,4�������������.��

1) Zn = r

n(cos nθ + i sin nθ)

2) Zn = cos nθ + i sin nθ ���1� r = 1

3. �9���� �ก< 49������5���ก n ≥ 1 4�-������ (1 + x)n ≥ 1 + nx ���1� x �./�49����4��8�< - �

x ≥ �1

4. 4�-������ 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + ! + n(n!) = �1 + (n + 1)! �9���� �ก49������5���ก n 5. 4���49��������;8����� 1��ก 1������1�6,ก-��������������������49���� n ���� ���� ������,4�� �9������� �������

� � � � � �

Page 41: principles of mathematic

���������� !"#$ %&�� 31

�����ก�

ก;�ก� ก��ก��R,��. � �ก�� ������. ��������� 1 2. ก��� �V : 4�T� �ก;������ �� ��, 2542. �����;R��-��-��. �J �?0���� EntA ����� 44. ก��� �V : �����;R��-��-��, 2544. . �J �?0���� EntA ��� 45. ก��� �V : �����;R��-��-��, 2545. . �J �?0���� EntA ��� 46. ก��� �V : �����;R��-��-��, 2546. . �J �?0���� EntA �� � 47. ก��� �V : ������������ก������, 2547. . �J �?0���� EntA ��� 48. ก��� �V : ������������ก������, 2548. �����% ��%��ก, ; ���!�� - ���*4�� ������. ก�,�0����1 . ��������� 1 5. ก��� �V : ����� �� �� ���9�-��, 2547. D� � ����D��� ��. �� ��ก�����. ��������� 1 3. ก��� �V : ����� �� ���ก:�%����, 2540. ����� ������. �������� ������. ��������� 1 1. ก��� �V : ���!ก������, 2533. ����; ����4����Q��ก� . �กI���?��� �. ��������� 1 4. ก��� �V : ����� �� �����9�-��, 2545. ��%�ก��" ��Q���ก� - ��;�. �J � EntA �� ��� 43 21�ก! %��. ����8��� : .���ก!�ก�4, 2543. ���ก ����. !�� �ก�� ������ �.4 (� 011, � 012). ���������-ก. ก��� �V : NE��ก���@5�����, 2539.

� � � � � �