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ana-tapadinhas
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Proposta de Correcção do Teste Intermédio 9ºano 7 de Fevereiro de 2011 V1
1. 1.1 Em primeiro lugar ordenam-se os valores: 1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3.Uma vez que o número de valores é par existem dois valores centrais e a mediana é a média
aritmética desses dois valores. Sendo assim 5,12
21 =+=Mediana .
1.2 Para saber quantos são e quais são os casos possíveis podemos recorrer, por exemplo, a uma tabela de dupla entrada.
Observando a tabela onde estão registados os produtos possíveis, vemos que apenas 4 destes produtos são números pares. Sendo assim,
( )3
2
6
4"" ==parnúmerouméprodutooP .
2. 2.1 Nº total de alunos : 5+40+25+10=80
5,1480
1160
80
101625154014513 ==×+×+×+×=Média
2.2 Considerando apenas os alunos com menos de 15 anos ( 45 alunos), apenas 5 têm 13 anos.
Sendo assim a probabilidade pedida é 45
5. (C)
3. ] [2,3−=∪BA logo a opção correcta é { }23: <∧−>∈ xxRx (D)4. 4.1 Elaborando uma tabela:
O 7º termo (n=7) tem 4x7+1=29 quadrados.
4.2 974
388
4
438841389438914 =⇔=⇔=⇔−=⇔=+ n
nnnn
Outra forma de resolver é:Observando que o número de quadrados é sempre um “múltiplo de 4 mais um”, se subtrairmos 1 a 389 devemos obter um múltiplo de 4. Fazendo 974388 =÷ concluímos o pretendido.R: Há um termo com 389 quadrados, é o 97º termo. 5. O número pretendido tem que ser:- divisível por 4 ( por ser o perímetro de um quadrado cujos lados são números inteiros);- divisível por 5( por ser o perímetro de um pentágono regular cujos lados são números inteiros);- dar resto 1 quando dividido por três ( uma vez que adicionado com um é o perímetro de um triângulo equilátero cujos lados são números inteiros);-inferior a 45.
Então procuramos um múltiplo de 4 e 5, inferior a 45, que dividido por 3 dê resto 1.Múltiplos comuns a 4 e a 5 : 20,40,…20 dividido por 3 dá resto240 dividido por 3 dá resto 1R: O número pretendido é o 40.6. Uma vez que as grandezas são inversamente proporcionais,
275
150
75
755,110075 =⇔=⇔×=× a
aa .
7. tvdt
dv ×=⇔=
Sendo x o número de horas que o Jorge demora a percorrer a distância a uma velocidade de 100km/h, obtemos que a distância é dada por x100 .A uma velocidade de 80km/h o Jorge demora x+1 horas logo a distância percorrida é )1(80 +x .Como a distância percorrida é a mesma igualamos as duas expressões: )1(80100 += xx e resolvemos a equação obtida:
X 1 2 31 2 32 2 63 3 6
Ordem 1 2 3 nNº quadrados 5 9 13 4n+1
420
80
20
20802080801008080100)1(80100 =⇔=⇔=⇔=−⇔+=⇔+= x
xxxxxxxx .
Se demorou 4 horas a uma velocidade de 100km/h percorreu 400 km.
8. ( ) ( ) ⇔−+≥−⇔−+≥− xxxxxx 3442
1
2
13141
2
1
( )99182281
11
4
2
1
2
1
2)2(
−≤⇔≥−⇔+≥−⇔+≥−⇔+≥−⇔××
xxxxxxx
x
] ]9,.. −∞−=SC
9. ⇔
−=
=−
32
5
yx
xy ⇔
−=−−−
⇔
−=+−+=
⇔
−=−=−
⇔
−==−
6526)5(2
5
62
5
62
5
xxxx
xy
yx
xy
yx
xy
−==
⇔
−=+−=
⇔1
4
1
51
x
y
x
y)4,1(),( −=yx
10. ( ) 4264462 222 ++=++−=+− xxxxxxx (A)11. 11.1 xxxxxP 4218182292)9(2 =++−=+×+−=
Podíamos também dizer directamente que o perímetro é x4 uma vez que o perímetro da região sombreada é igual ao perímetro do quadrado [ACEF]( basta ver que BCBG = e DCGD =).11.2 [ ] [ ]BCGDACEF → 12 9
12
9× Logo a razão de semelhança da redução é 12
9.
12. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo [ABC], 202042
2222±=⇔=⇔+= ACACAC
Como se trata de um comprimento 20=AC
O número que corresponde ao ponto E é 120201 =+− .
13. Seja ABx = . Como ABAE3
1= , 3
xAE = e sendo assim xDC
3
2= . Seja h a altura do
trapézio.
Uma vez que a área do trapézio [ABCD] é 20, podemos escrever a equação 20
23
2
=×+
hxx
.
Daqui obtemos ⇔=×+
2023
2
3
3
hxx
⇔=× 2023
5
hx ⇔=× 20
6
5h
x ⇔=6
120
6
5xh
⇔=1205xh 245
120 =⇔=⇔ xhxh .
Como a área do triângulo não sombreado é 2
3
2hx×
, ou seja 3
xh, vem que a área desse triângulo
é 83
24 = e portanto a área sombreada é 20-8=12. (B)