Studenti: Daniela Dardano Flavio Maiorana

Tutor: Prof.ssa Anna Alfieri Liceo scientifico «Luigi Siciliani»

«QUANTA MATEMATICA IN

BACH?»

«Esperienza a confronto» Università degli studi di

Perugia 27-30 aprile 2015

Sommario-Musica e matematica-Trasformazioni geometriche- Dimostrazione in una fuga di Bach

JOHANN SEBASTIAN BACH (1685-1750)Nato il 31 marzo 1685 ad Eisenach. Fu un compositore e musicista tedesco del periodo Barocco. Visse a Lipsia insegando agli studenti a cantare e suonare, e morì il 28 luglio 1750

Musica e matematica insieme possono sembrare una

provocazione…

due relazioni pericolose.

FREDDA RAZIONALITA’:MATEMATICA

CALDA SENSUALITA’:

MUSICA

MATEMATICA DEL SENSO

nella pratica musicale: scoprendo che anche nella musica, molte strutture sono riconducibili a classificazioni matematiche , sia concrete sia astratte.

MUSICA DELLA RAGIONE

nella teoria matematica la troveremo nel lavoro di numerosi scienziati che hanno applicato le loro competenze al campo musicale

Metro e frazioni

METRO BREVE SEMIBREVE

2 4

2 semibrevi 2 minime

68

2 semibrevi

3 minime

34

3 semibrevi 2 minime

98

3 semibrevi

3 minime

Il sistema fu codificato nel 1320 in Francia nell’»Ars Nova» in Italia da

Marchetto da Padova nel

«Pomerio di musica mensurata».

Breve (tempus)Semibreve (prolatio)

«La musica è una regola che indica l’intenzione, in qualche modo nascosta, del compositore»

Johannes Tinctoris

Esempi di brani che manifestano spesso vari tipi di canoni -Variazioni di Goldberg -Arte della fuga-Io scendo dalle stelle

I canoni possono essere scritti in forma aperta, con tutte le voci esplicitate. Basta scriverne una e indicare dove e come inserire le altre.

Esempio: si specifica il tipo di canone nel titolo, dando le coordinate verticali sullo spartito medianti chiavi posti agli inizi del partitura, e coordinate orizzontali mediante un segno apposito che indichi quando far iniziare la voce corrispondente.

Nei canoni enigmatici il compositore omette poche o molte informazioni relative alle varie voci.Esempio : Bach nel componimento «le offerte musicali» ha inserito i canoni enigmatici scrivendo «quaerendo invenietis», « cercando troverete»

I canoni a forma chiusa non sono semplici da decifrare, perché bisogna risolvere il problema di come far finire le varie voci allo stesso tempo.

È evidente l’interesse alla matematica in Bach. Egli utilizzò molto spesso il numero 14, che corrisponde alla somma dei numeri 2+1+3+8

B=2 A=1 C=3 H=8

Per questo motivo 14 sono le fughe dell’Arte, o le note dei vari temi delle sue composizioni, ad esempio la prima fuga del Clavicembalo ben temperato.

L’allievo di Bach, Lorenz Christoph Mizler, aveva fondato a Lipsia una società per le Scienze Musicali, con l’intento di mostrare il legami tra la musica e la matematica. Bach fu il quattordicesimo membro ad entrare nella società

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

1. Ad ogni punto P corrisponde uno e un solo punto P’

2. Per ogni punto del piano esiste un

punto che si trasforma in esso

t : P (x;y) P’ (x’;y’)

CI SONO VARI TIPI DI TRASFORMAZIONI

SIMMETRIA AFFINITA’ TRASLAZIONE OMOTETIA

SIMMETRIA

Data la retta r, si definisce simmetria assiale la trasformazione che associa ad un punto P il punto P’, nel semipiano opposto rispetto a r e tale che r sia asse del segmento PP’.

TRASLAZIONE

Fissato un vettore, traslare una figura significa spostare ogni suo punto secondo un segmento di lunghezza, direzione e verso del vettore.

OMOTETIASi chiama omotetia di centro O(0; 0) e rapporto k (k≠0) la corrispondenza biunivoca che ad ogni punto P del piano ne associa un altro P’, tale che:

OP’= k OP

P(x; y) P’ ( kx; ky)

AFFINITA’Un'affinità fa corrispondere al punto P ( x; y) il punto P’ (x’; y’) secondo la formula:

X’ = ax + by + e Y’ = cx + dy + f

La Matematica in Johann Sebastian Bach

Fuga nr 23 dal “Clavicembalo ben Temperato“

I canoni nella musica sono delle regole, divisi in un certo numero di

parti, dette voci….i canoni, quindi, si traducono in trasformazioni

geometriche

In una fuga di Johann Sebastian Back una melodia

si può rappresentare matematicamente

una funzione f(x) a gradini: l’altezza e la lunghezza dei gradini

corrispondono all’altezza e la durata delle note

Cos‘é la Fuga?

0 4 8 12 16 20 24 28 32

-20

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

Tempo (1 croma=1 unitá)

Alte

zza

del s

uono

(1

sem

itono

=1

unitá

)

Soggetto

Trasformazioni geometriche: traslazione (i due motivi in blu) al cui interno é presente una riflessione rispetto all‘asse x .

Nel diagramma cartesiano:Asse x = Nota Do diesis

Asse y = altezza del suono

Controsoggetto

0 4 8 12 16 20 24 28 32

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

Tempo (1 croma=1 unitá)

Alte

zza

del s

uono

(1

sem

itono

=1

unitá

)

0 4 8 12 16 20 24 28 32

-21

-17

-13

-9

-5

-1

3

7

11

15

19

23

27

31

35

Tempo (1 croma=1 unitá)

Alte

zza

del s

uono

(1

sem

itono

=1

unitá

)

0 4 8 12 16 20 24 28 32

-21

-17

-13

-9

-5

-1

3

7

11

15

19

23

27

31

35

Tempo (1 croma=1 unitá)

Alte

zza

del s

uono

(1

sem

itono

=1

unitá

)

Soggetto invertito

BIBLIOGRAFIA

Piergiorgio Odifreddi: Penna pennello e bacchetta, le tre invidie della matematica

Biografia Bach wikipedia.org

GRAZIE PER L’ATTENZIONE