La historia de las Matemáticas,

un diamante en bruto.

Santiago Fernández

Asesor de matemáticas

Vivir y convivir con las

MatemáticasSantander, 30- 4- 2010

Esquema de la sesión:

1.- Reflexiones respecto al papel de la Historia

de la Matemáticas en el aula.

2.- Propuesta de J. Fauvel.

3.- Pequeños cuentos matemáticos.

“Ningún tema pierde tanto cuando se le divorcia de su historia como

las Matemáticas”

E.T. Bell

1.- Reflexiones respecto al papel de la Historia de la

Matemáticas en el aula.

“ No hay que olvidar el origen concreto de la Matemática ni los procesos

históricos de su evolución”

P. Puig Adam

“La Historia de las Matemáticas tiene una función didáctica como

instrumento de comprensión profunda de sus fundamentos y de las

dificultades de sus conceptos para así responder mejor a los retos de

su aprendizaje”

P. González Urbaneja

La Historia de las Matemáticas es para el profesor un medio de

autoformación………

Es, además, una fuente inagotable de material didáctico, de ideas y

problemas interesantes y, en alto grado, de diversión y recreo intelectual, y

por tanto de enriquecimiento personal, científico y profesional.

P. González Urbaneja

2.- Propuesta de J. Fauvel (1947-2001)

- Presentar introducciones históricas de los conceptos que son nuevos

para el alumnado.

- Trabajar con posters, exposiciones u otros proyectos con trasfondo

histórico.

- Idear el orden y estructura de los temas dentro del programa de

acuerdo con su desarrollo histórico.

-Trabajar en la comprensión de algunos problemas históricos cuya

solución ha dado lugar a los distintos conceptos matemáticos.

-Seguir la línea del tiempo de algunas teorías o problemas

-Realizar test comentados sobre historia de matemáticas

- Repasar situaciones históricas para ilustrar técnicas y métodos de

resolución.

- Proponer ejercicios similares a los propuestos en textos históricos

del pasado.

- Realizar proyectos en torno a actividades históricas del pasado.

- Estudiar errores históricos y comentarlos.

-Mencionar anécdotas históricas.

- Recrear el ambiente de la época

- Conocer las grandes figuras de la ciencia

- Reconocer la importancia de los matemáticos menores

3. Pequeños cuentos matemáticos

Los magos egipcios….

En este periodo las matemáticas están imbricadas en la

práctica humana, inmersas interactivamente en su entorno.

Las fórmulas utilizadas eran empíricas:

Así el área de un cuadrilátero de lados a, b, c, d estaba dada por

A= (a + c)/2 . (d + b)/2

Del mismo modo el área

de un triángulo isósceles

de lados a y b estaba

dada por (a . b)/2.

Matemática Egipcia

Una fracción egipcia es una fracción de la forma 1/n

en la que n es un entero positivo.

Dados dos enteros positivos a < b. el problema

de las fracciones egipcias se puede plantear de la

siguiente manera:

¿Cómo se puede expresar la razón a/b como una

suma de fracciones egipcias?

¿Como podemos dividir equitativamente 6, 7, 8 o 9

hogazas de pan entre 10 personas?

6/10= 1/2 + 1/10

7/10= 1/3 + 1/3 + 1/30

8/10= 1/3 + 1/3 + 1/10 + 1/30

9/10= 1/3 + 1/3 + 1/5 + 1/30

Soluciones que aparecen en el pariro de Rhind

3/8 = 1/3 + 1/8(1/3) = 1/3+1/24

3/8

Dividir entre 8

Repartir 3 panes entre 8 personas

1/5

3/8

Nos quedan 7 ( de tamaño 1/5) para repartir entre 8 personas

Repartir 3 panes entre 8 personas

Ya hemos repartido 1/5 a cada persona ahora tenemos que

repartir 7 trozos( de 1/ 5 cada trozo) entre las 8 personas

3/8 = 1/5+ …..

Resumiendo

(1/2).(1/5)= 1/10

Nos quedan 3 ( de tamaño1/5) para repartir entre 8 personas

Vamos ahora a repartir los 7 trozos restantes.

Primero repartimos 4 de los siete trozos, para ello dividimos

cada trozo en dos partes iguales

3/8 = 1/5+ 1/10+…..

(1/2).(1/2).(1/5)= 1/20

Por tanto

3/ 8 = 1/5+1/10+1/20

Cada uno de los trozos de tamaño 1/5 lo dividimos por la

mitad y luego otra vez por la mitad

¿Es la única manera de descomponer 3/8 en fracciones unitarias?

La Sucesión de Farey(1816) es una de esas curiosidades matemáticas

que casualmente descubrió un aficionado a las matemáticas llamado,

John Farey.

La idea es tomar un número natural (ej. n = 3) y empezar a definir la

serie Farey(3) como una serie de fracciones que tienen como

numerador y denominador los números naturales entre 1 y n.

En el caso de F(3) escribiendo todas estas fracciones serían:

1/1, 1/2, 1/3, 2/1, 2/2, 2/3, 3/1, 3/2, 3/3

Los valores equivalentes como 2/4 y 4/8 se simplifican (1/2) y se deja sólo uno de

ellos. A continuación sólo se tienen en cuenta las fracciones cuyos valores están

entre 0 y 1 (ej. 3/2 se elimina).

Las fracciones restantes se ordenan de menor a mayor, ej.

F(3) = 0, 1/3, 1/2, 2/3, 1

Un salto de 4.000 años…..

Conjuntos de Farey

Si tomamos dos términos seguidos de un conjunto de Farey y los restamos,

obtenemos lo siguiente:

Por ejemplo:

F(5) = 0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1

2/5-1/3 =1/15

Si A / B y C/ D son términos de Farey seguidos de un mismo conjunto, se

verifica que :

A ⁄B − C ⁄ D = 1/B.D

Algoritmo: Para escribir la fraccion a/b (a, b enteros

positivos, a<b) como una suma de fracciones egipcias.

Paso 1 : Determinar la fracción mayor c/d en la b-esima regla de Farey tal

que c/d < a/b. Escribir a/b = c/d + 1/q para algún entero positivo q. Entonces 1 /q es

uno de los términos de la descomposición.

Paso 2 [¿Fin?] Si c=1, 1/d es un termino de la descomposición y termina el

algoritmo.

Paso 3 [ Ajuste], Tomar c como el nuevo valor de a y d como el nuevo valor

de b. Continuar en el Paso 1,

Sucesión de SylvesterLa sucesión de Sylvester es una sucesión de números enteros en la cual

cada término es el producto de todos los anteriores, más uno. Los primeros

términos de la sucesión son:

2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, …..

La sucesión de Sylvester se llama así en honor de James Joseph Sylvester

quien la investigó por primera vez en 1880.

Sus términos crecen de manera vertiginosa, la sucesión

tiene propiedades increíbles:

- La suma de sus inversos constituye una serie de

fracciones unitarias que converge a 1 más rápidamente

que ninguna otra serie de fracciones unitarias con la

misma suma.

1814- 1897

Se pueden encontrar representaciones finitas en forma de

fracción egipcia de la unidad, de cualquier longitud, truncando

esta serie y restando uno del último denominador:

...807.1

1

43

1

7

1

3

1

2

11

6

1

3

1

2

11

42

1

7

1

3

1

2

11

806.1

1

43

1

7

1

3

1

2

11

2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, …..

La solución de Arquitas es la más notable de todas,

especialmente cuando se considera su fecha (primera mitad

del siglo IV a.C.), ya que no es una construcción plana sino

una atrevida construcción en tres dimensiones la cual

determina un cierto punto( solución del problema) como la

intersección de tres superficies de revolución: un cono, un

cilindro y un toro.

Problema de la Duplicación del Cubo

Construir con regla y compás el lado de un

cubo que tenga doble volumen que otro cubo

dado.

?

Primer mago……..

Si el volumen del cubo original es a3, el

problema equivale a construir un segmento de

longitud x, tal que x3 =2 a3.

cbxx 3

x

bxy 2

bxcyx 22

Omar Jayyam

Siglo XI-XII

Cuando muera, esparcid mis cenizas por tierra,

que le sirva a la gente mi estado de lección,

empapad esta tierra de mis restos con vino, y

haced con ese barro la tapa de una cántara.

Omar Jayyam

“El dios Sol tenía un rebaño formado por un cierto número de toros blancos,

negros, moteados y amarillos, así como vacas de los mismos colores. De tal

forma que:

• El número de toros blancos es la mitad y la tercera parte de los negros más

los amarillos.

• El número de toros negros es igual a la cuarta más la quinta parte de los

moteados más los amarillos.

• El número de toros moteados e igual a la sexta más la séptima parte de los

blancos más los amarillos.

• El número de vacas blancas es igual a un tercio más un cuarto de la suma de

los toros negros y las vacas negras.

• El número de vacas negras es igual a la cuarta parte más la quinta aparte de

la suma de los toros moteados más las vacas moteadas.

• El número de vacas moteadas es igual a la quinta más la sexta parte de la

suma de los toros amarillos más las vacas amarillas.

• El número de vacas amarillas es igual a la sexta más la séptima parte de la

suma de los toros blancos más las vacas blancas.

• Además, la suma de los toros blancos y negros es un número cuadrado.

• Además, la suma de los toros moteados y amarillos es un número

triangular.

El rebaño de ArquímedesSegundo mago……..

Si W, X, Y, Z (número de toros blancos, negros, moteados y marrones) y

w, x, y, z (número de vacas blancas, negras, moteadas y marrones)

W = 5/6X+Z

X = 9/(20)Y+Z

Y = (13)/(42)W+Z

w = 7/(12)(X+x)

x = 9/(20)(Y+y)

y = (11)/(30)(Z+z)

z = (13)/(42)(W+w).

Estas ecuaciones se relacionan con la ecuación de Pell

u2 – 472.9494v2 = 1

Su resolución mediante fracciones continuas lleva a los valores mínimos:

u = 109931986732829734979866232821433543901088049

v = 50549485234315033074477819735540408986340

Y ello conduce a la solución original del problema, que es aproximadamente:

N = 7,760271·10206.544

En el solsticio de verano los rayos solares inciden perpendicularmente

sobre el Trópico de Cáncer, donde se encuentra Siena (Asuán). En

Alejandría, más al norte esto no sucede.

Cálculo del radio de la tierra- método de Eratóstenes.

Tercer mago……..

Carl Sagan, uno de los grandes divulgadores científicos

en la serie COSMOS

El teorema de Ptolomeo es una relación en geometría euclidiana entre los

cuatro lados y las dos diagonales de un cuadrilátero inscrito en una

circunferencia

Un gran resultado: El teorema de Ptolomeo

Cuarto mago……..

AC . BD = AB . CD + BC . AD

C.C= A.A+B.B

Del teorema de Ptolomeo al Teorema de Pitágoras

Un caso particular del teorema de Ptolomeo es especialmente interesante. Se

obtiene al considerar cuando uno de los lados del cuadrilátero es el diámetro

de la circunferencia.

sen (a-b) = sen a · cos b - cos a · sen b

Esta es la herramienta para modelizar el cosmos….

El desafío de Platón (427-347 a.C.)

• Las estrellas eternas, divinas, inalterables se mueven “se han de mover” alrededor de la tierra en un movimiento “uniforme y ordenado”

• (mov. Circular Uniforme)

PERO…

Existen unas pocas estrellas errantes (planetas) que no

siguen “aparentemente” trayectorias circulares uniformes

Como en realidad, sólo el movimiento uniforme circular

es posible, ¿Cómo se puede obtener estos movimientos

errantes como composición de movimientos circulares

uniformes y así “salvar las apariencias”?

Una solución geocéntrica mejorada

• El centro de gravedad científico se desplaza a de Atenas a

Alejandría.

• Apolonio (ca. 262 a.C. ca. 190 a.C. ) introduce el concepto

de epiciclos y deferentes para explicar los movimientos

retrógrados,

• Hiparco (190 BC – ca. 120 BC) lleva a cabo ajustes de

observación astronómicas basadas en este nuevo

concepto.

• Ptlomeo ( 83 d.C– 161 d.C. ) lleva a cabo la descripción

completa del cosmos conocido dando nombre a estos

modelos.

El modelo planetario de Ptolomeo• Los planetas se mueven en trayectorias circulares

-epiciclos- cuyos centros describen un movimiento circular uniforme -deferente- entorno a la tierra

Para mejorar el nivel predictivo de los movimientos planetarios, se

amplió el modelo de epiciclos para incluir más movimientos, lo que

lo volvió cada vez más complejo.

Claudio Ptolomeo

El éxito del modelo de Ptolomeo• Ptolomeo haciendo uso de su modelo y de observaciones propias y

Babilónicas consiguió un modelo del universo que perduró casi 1400 años.

• Su prolongado éxito se basó en:

– Proporcionar ajuste “preciso” de las observaciones disponibles.

– Predicciones suficientemente buenas de las efemérides.

– Explica la ausencia de paralaje de las estrellas.

– Sigue la doctrina física dominante

– Se basa en el “sentido común”

Los modelos Heliocéntricos

• Propuesto por Aristarco de Samos (310 a.C. -

ca. 230 a.C.)

Quinto mago…

J. KEPLER

Modelo de KEPLER

La costa de Linz estaba abarrotada con barricas de vino que se vendían a

precio razonable … Es por esa razón que fueron traídas a mi casa y

colocadas en fila un cierto número de barricas, y cuatro días más tarde el

vendedor vino y midió todos los barriles, sin distinción, sin poner atención

a la forma, sin pensar o hacer cálculo alguno.

A saber, metía la punta de cobre de una regla por el hoyo de llenado del

barril atravesándolo hasta llegar al talón de cada uno de los discos de

madera a los que nos referiremos simplemente como los fondos, y tan

pronto como la longitud era medida el vendedor daba el número de

ánforas contenidas en el barril después de tan sólo ver el número en la

regla en el punto donde la longitud en cuestión terminaba. ¡Quedé

asombrado!”.

J. Kepler

Kepler y las barricas de vino

Quinto mago…

Conociendo el valor de M calculaba el volumen de la barrica

M

Dibujos de Kepler sobre las barricas

La Nova stereometria doliorum vinariorum (Nueva geometría

sólida de las barricas de vino), publicada en Linz en 1615

En Practica Aritmetice (1539)

N.Cardano describe en latín

el cálculo del volumen de un

tonel.

M

Dd

L

El método tradicional, el que se ha empleado toda la vida por parte de los

toneleros y llagareros para medir el volumen es:

V= 0,625.M³

V = D. d. L. 0,82

Los toneleros Franceses

V = R. r. L. 3,2

Otras fórmulas matemáticas

V= (2 D² + d²). L. 11/42

V= (D+ d)². 2L

V= 3,14. h [ r + 2/3 ( R-r)]²

Oughtred V = 0,262.L. (2D² + d²)

Dez V = 0,785.L [D - 3/8 (D - d)]²

Práctica V = 0,087.L (2D+d)²

M G Ardura V = 0,2 .h. (D+d)²

A. L. Casilla V = 0,209. h.( 2D² + Dd + ¾ d²)

Kepler consideró primero el caso de los barriles cilíndricos.

V= 2. (p). l3. t. ( 4+ t2) -3/2

De esta fórmula se observa, pensó Kepler, que el volumen de un barril

cilíndrico no se determina solamente con λ. Para que se pueda usar el método

de medición de los toneleros Austriacos, los barriles tendrían que fabricarse

con una relación t fija.

t = x/y

¿Cuál será la mejor selección de t? ¿Cómo podría escogerse

ventajosamente la relación entre el segmento AB o altura del cilindro y el

diámetro AD de los fondos?

Kepler supuso que los vinateros Austriacos habían elegido con astucia a t,

tomándola como aquel valor que maximiza el volumen V de todos los

barriles que tengan el mismo valor de λ, obteniendo por métodos

discretos y aproximativos que .

V= p. l3/3.3 0,6053. l3

No todas las barricas son iguales……. investiguemos

Gauss demostró (en 1796), le faltaba un mes para cumplir los 19 años, que

podría construirse con regla y compás el polígono regular de 17 lados

sección VII de Disquisitiones Arithmeticae

heptadecágono

!! Un logro que gana un genio

para la humanidad !!

Sexto mago….

Christian Huygens le propuso a W. Leibniz

S= 1+ 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 +...

Leibniz empezó por dividir la serie por 2, obteniendo:

(1/2) S=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...

(1/2)S=(1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + (1/4-1/5) + (1/5-1/6) + ...

Hacia el 1672

Quinto mago… W. LEIBNIZ

quitando los paréntesis, tenemos :

(1/2)S = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6+ ...

(1/2)S = 1, luego S = 2 ¿ No es genial?

1 1/3

1/12

4166,112

17

12

1

3

112

Los magos hindúes (sulbasutras)( hacia el siglo VI a.C.)

1

1/3

1/3

1/3

1/12

2

Primer teorema de Mikami y Kobayashi

Al triangular un polígono convexo inscrito en un círculo, trazando todas

las diagonales desde uno de los vértices, la suma de los radios de los círculos

inscritos en los triángulos es una constante que es independiente del vértice

usado para hacer la triangulación.

Los magos japoneses…

Los Sangaku son unas tablas de madera con enunciados de problemas de geometría

creados en Japón en el período Edo 1603-1867. Estas tablas estaban expuestas en

los templos budistas.

Círculos inscritos encadenados (Tokyo, 1788)

¿Cuál es el radio del enésimo círculo azul, en términos de r, el radio

del círculo grande verde?

El teorema de DescartesEn una carta de Noviembre de 1643 a la princesa Isabel de Bohemia, Descartes

encontró una fórmula para los radios de cuatro círculos mutuamente tangentes.

El teorema de Descartes se expresa de forma sencilla usando el concepto

de curvatura de un círculo.

.

Curvatura de un círculo de radio r:

En el caso de cuatro círculos mutuamente tangentes, si todos los contactos

son externos, entonces convendremos en que todas las curvaturas son

positivas, pero si un círculo encierra a los demás, entonces le asignaremos

curvatura negativa.

Los magos

persas

El último mago…. N. I. Lobachevski

Vivir es sentir, gustar la vida, ensayar

constantemente algo nuevo que recuerde

que vivimos...N.I. Lobachevski.

Un espíritu indomable, que supo ir

en contra del pensamiento establecido

EDUCAREducar es lo mismo

que poner un motor a una

barca...

hay que medir, pesar,

equilibrar...

... y poner todo en marcha.

Pero para eso,

uno tiene que llevar en el alma

un poco de marino...

un poco de pirata...

un poco de poeta...

y un kilo y medio de paciencia

concentrada.

Pero es consolador soñar

mientras uno trabaja,

que ese barco, ese niño

irá muy lejos por el agua.

Soñar que ese navío

llevará nuestra carga de palabras

hacia puertos distantes, hacia islas lejanas.

Soñar que cuando un día

esté durmiendo nuestra propia barca,

en barcos nuevos seguirá

nuestra bandera enarbolada.

Gabriel Celaya

Gracias por su

atención