Racionalnye uravneniya

Вишняков А.Ю.Вишняков А.Ю. 2008год2008год

Prezentacii.comPrezentacii.com

В данной презентации достаточно полно В данной презентации достаточно полно изложена теория решения различных изложена теория решения различных

видоввидоврациональных уравнений,рациональных уравнений,

за исключением линейных и квадратныхза исключением линейных и квадратныхуравнений, а также общей теорииуравнений, а также общей теории

решения уравнений 3-й и 4-й степеней.решения уравнений 3-й и 4-й степеней.Нет здесь и примеров, решаемыхНет здесь и примеров, решаемых

с помощью теоремы Безу.с помощью теоремы Безу.Каждый вид уравнения сопровождаетсяКаждый вид уравнения сопровождаетсярешением соответствующего примера.решением соответствующего примера.

Данные материалы могут быть Данные материалы могут быть использованыиспользованы

частично на уроках алгебрычастично на уроках алгебрыв обычных классах, в обычных классах,

но в большей мере пригодятся но в большей мере пригодятся для изучения этой темыдля изучения этой темы

в классах с углубленным изучениемв классах с углубленным изучениемматематики. математики.

Рациональные уравнения

Целые Дробные

Способ подстановки возвратные

распадающиесяраспадающиеся биквадратные

((xx + + aa))44 + ( + (xx + + bb))44 = = cc симметричные

3-го и 4-го порядка

((xx + + aa)()(xx + + bb)()(xx + + cc)()(xx + + dd) = ) = mm Однородное 2-го порядкаendend

Рациональные уравнения

Целые Дробные

Сумма двух и более дробей

2 2, ( 0)

px qxr r

ax bx c ax dx c

( )0

( )

P x

Q x

( ) ( )0

( ) ( )

P x Q xа b c

Q x P x

endend

Способ подстановкиСпособ подстановки

При решении некоторых целых рациональных При решении некоторых целых рациональных уравнений есть смысл ввести новую уравнений есть смысл ввести новую переменную величину, обозначив некоторое переменную величину, обозначив некоторое рациональное выражение новой буквой.рациональное выражение новой буквой.

Например, в уравнении , Например, в уравнении ,

где где Р(х)Р(х) – – многочлен, удобно ввести новую многочлен, удобно ввести новую

переменную переменную y=y=Р(х)Р(х),, решить полученноерешить полученное

квадратное уравнение квадратное уравнение

относительно относительно yy и, наконец, решить и, наконец, решить

уравнение уравнение Р(х)=Р(х)= yyоо, , гдегде yyо о – – корень корень

уравнения уравнения

0)(х)(2 cPbxPa

Обратно в меню

Пример

02 cbyay

02 cbyay

Пример Пример

Решите уравнениеРешите уравнение РешениеРешение.. Введем новую переменную. Пусть Введем новую переменную. Пусть Тогда получим уравнениеТогда получим уравнение

Находим корень Находим корень у = 1у = 1 и делаем обратную и делаем обратную подстановку. подстановку.

Ответ: 2; 3.Ответ: 2; 3.

.1)65(2)75( 222 хххх

yxx 752


.1)1(22 yy

.3

,2065175 22

x

xxxxx

Распадающееся уравнениеРаспадающееся уравнение Рациональное уравнение называется Рациональное уравнение называется

распадающимся, если его можно привести к распадающимся, если его можно привести к виду , где – виду , где – рациональные выражения с переменной рациональные выражения с переменной х.х.

Для решения воспользуемся равносильным Для решения воспользуемся равносильным переходом переходом

Применяемые приемы разложения на множители: Применяемые приемы разложения на множители: - вынесение общего множителя за скобки;- вынесение общего множителя за скобки; - способ группировки; - способ группировки; -формулы сокращенного умножения.-формулы сокращенного умножения.

0)(х)( QxP )(х),( QxP

.0)(х

,0)(0)(х)(

Q

xPQxP


Пример


Решите уравнениеРешите уравнение РешениеРешение.. Разложим левую часть уравнения Разложим левую часть уравнения

на множители:на множители:

Воспользуемся равносильным переходом:Воспользуемся равносильным переходом:

Ответ:-2;0;1;2.Ответ:-2;0;1;2.

.044 234 хххх

.0)2)(2)(1(,0)4)(1(

,0)1(4)1(,0)44()(2

3234

ххххххх

хххххххх

.2

,2

,1

,0

,02

,02

,01

,0

х

х

х

x

х

х

х

x


Однородное уравнение 2-го порядкаОднородное уравнение 2-го порядка

При решении уравнения надо проверить две ситуации: 1) т.е. корнями заданного уравнения являются решения этой системы. 2) Если Q(x) ≠ 0, то после деления заданного уравнения на

Q2(x) получим уравнение

которое подстановкой сводится к квадратному уравнению В ответ включают числа, полученные при рассмотрении обеих ситуаций.

2( ) ( )

0,( ) ( )

P x P xа b c

Q x Q x


Пример

( )

( )

P xt

Q x

2 0аt bt c

2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0аP x bP x Q x cQ x

.0)(х

,0)(

Q

xP

Пример Пример Решить уравнениеРешить уравнение

(x2 – 2х)2 – (x2 – 2х)(x2 – х – 2) – 2(x2 – х – 2)2 = 0. Решение.Решение. Возможны две ситуации. Возможны две ситуации. Рассмотрим первую:Рассмотрим первую:


2

2

0,

2,2 0,2.

1,2 0,

2,

x

xx xx

xx x

x

Найден первый корень уравнения Найден первый корень уравнения х=2.х=2.

Продолжение решенияПродолжение решения

Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное уравнение на (x2 – х – 2)2 при условии, что х ≠ -1 и х ≠ 2. Уравнение принимает вид

Обозначим и решим квадратное

уравнение t2 – t –2 = 0. Получаем t1= -1, t2= 2.

Обратная подстановка дает уравнения

откуда х = -0,5 и х = -2.

С учетом обеих ситуаций получаем

ответ: - 0,5; -2; 2.

22 2

2 2

2 22 0.

2 2

x x x x

x x x x


2

2

2

2 1

x x xt

x x x

1, 2,1 1

x x

x x

Биквадратное уравнениеБиквадратное уравнение Уравнение имеет вид Уравнение имеет вид

aх4+bх2+c=0.. Сделаем подстановку Сделаем подстановку x2 = t. Значит, . Значит, x4 = t2.

Получаем квадратное уравнениеПолучаем квадратное уравнение

at2+bt+c=0. Находим значения t и, сделав обратную подстановку,

находим корни исходного уравнения. Замечание. При решении биквадратного уравнения можно получить от 1 до 4-х корней или же это уравнение может совсем не иметь корней.


Пример


Решите уравнение х4–3х2–4=0. Решение.Решение. Сделаем подстановку x2 = t. Получаем

квадратное уравнение t2–3t–4=0, корни которого t = -1 и t = 4. Обратная замена дает два уравнения x2 = -1 и x2 = 4, из которых первое

уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения -2 и 2.

Ответ: -2; 2.Обратно в меню

Симметричное уравнение Симметричное уравнение 3-го порядка3-го порядка

Уравнение имеет видУравнение имеет вид ах3+bх2+bх+а=0. Сгруппируем слагаемые: а(х3+1)+bх(х+1)=0. Применим формулу суммы кубов а(х+1)(х2 –х+1)+bх(х+1)=0 и выполним разложение на множители (х+1)(ах2+(b - а)х+а)=0. Получили распадающееся уравнение. Значит, х+1=0 или ах2+(b - а)х+а=0. Решив эти два уравнения, найдем корни исходного уравнения.Обратно

в менюПример


Решите уравнение 2х3–3х2– 3х +2=0. Решение.Решение. Сгруппируем слагаемые парами и в каждой паре

вынесем общий множитель за скобки: 2(х3+1)–3х(х+1)=0. Применим формулу суммы кубов и вынесем общий

множитель (х+1): 2(х+1)(х2 –х+1)– 3х(х+1)=0, (х+1)(2х2 –5х+2)=0. Значит, х+1=0 или 2х2 –5х+2=0. Решив эти два уравнения, найдем корни исходного уравнения: -1; 0,5; 2. Ответ: -1; 0,5; 2.


Симметричное уравнение Симметричное уравнение 4-го порядка4-го порядка

Уравнение имеет видУравнение имеет вид

ах4+bх3+сх2+bх+а=0. Сгруппируем слагаемые и разделим обе части уравнения Сгруппируем слагаемые и разделим обе части уравнения

на на хх22. Получаем . Получаем

Сделаем подстановку Сделаем подстановку , , тогда тогда

Получаем квадратное уравнение Получаем квадратное уравнение

a(ta(t22-2)+bt+c=0-2)+bt+c=0..

Находим значения Находим значения tt и делаем обратную подстановку. и делаем обратную подстановку.

011

22

c

ххb

ххa

tх

х 1

21 2

22 t

хх


Пример

Пример Пример Решите уравнениеРешите уравнение Решение.Решение. Разделим обе части уравнения на Разделим обе части уравнения на xx22 ≠ 0 и, удобно ≠ 0 и, удобно

группируя, получим равносильное уравнение: группируя, получим равносильное уравнение:

Сделаем подстановку , тогда Получаем квадратное уравнение , корни которого 2 и -3,5. Обратная подстановка дает два рациональных уравнения и откуда и находим корни исходного уравнения. Ответ: 1;

tх

х 1

4 3 22 3 10 3 2 0.x x x x

22

1 12 3 10 0.x x

x x

.21 2

22 t

хх

22 3 14 0t t

12x

x

1 7,

2x

x

7 33.

4


Возвратное уравнениеВозвратное уравнение Уравнение видаУравнение вида

axax44 + + bxbx33 + + cxcx22 + + dxdx + + ee = 0 = 0, ,

гдегде aa ≠ 0, ≠ 0, bb ≠ 0 ≠ 0 и , и ,

называется возвратным уравнением называется возвратным уравнением четвертого порядка.четвертого порядка.

Это уравнение сводится к квадратному с Это уравнение сводится к квадратному с

помощью подстановкипомощью подстановки

2

b

d

a

e

bx

dxt


Пример

Пример Пример Решить уравнение Решить уравнение xx44 + + xx33 - 6 - 6xx22 - 2 - 2xx + 4 = 0. + 4 = 0.

Решение.Решение. Заметим, что и, следовательно, данное Заметим, что и, следовательно, данное уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка. уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка.

Так как Так как xx = 0 не является решением уравнения, разделим на = 0 не является решением уравнения, разделим на xx22 и и получим равносильное уравнениеполучим равносильное уравнение

Обозначим , тогда Обозначим , тогда

и уравнение примет вид и уравнение примет вид t t22 + + tt - 2 = 0, корни которого - 2 = 0, корни которого tt11 = -2 и = -2 и tt22 = 1. = 1. Делаем обратную замену и после умножения на Делаем обратную замену и после умножения на xx ≠ 0 ≠ 0 получаем два квадратных уравненияполучаем два квадратных уравнения xx22 + 2 + 2xx - 2 = 0, - 2 = 0, xx22 - - xx - 2 = 0, - 2 = 0, откуда и получим корни исходного уравнения.откуда и получим корни исходного уравнения. Ответ:Ответ:

24 2

1 1

22

4 26 0.x x

x x

2t x

x 2 2

2

44,x t

x

1 3; 1;2. Обратно в меню

Уравнения вида Уравнения вида ((xx + + aa)()(xx + + bb)()(xx + + cc)()(xx + + dd) = ) = mm

Если Если aa + + bb = = cc + + dd , то это уравнение сводится к , то это уравнение сводится к квадратному уравнению. Действительно, квадратному уравнению. Действительно,

((xx + + aa)()(xx + + bb) = ) = xx22 + ( + (aa + + bb))xx + + abab

((xx + + cc)()(xx + + dd) = ) = xx22 + ( + (cc + + dd))xx + + cdcd = =

= = xx22 + ( + (aa + + bb))xx + + cdcd Обозначив Обозначив xx22 + ( + (aa + + bb))xx = = t,t, получим квадратное получим квадратное

уравнение уравнение

((tt + + abab)()(tt + + cdcd) = ) = mm

Из этого уравнения найдем значения Из этого уравнения найдем значения tt и, и,

сделав обратную подстановку, закончимсделав обратную подстановку, закончим

решение исходного уравнения.решение исходного уравнения.Обратно в меню

Пример

Пример Пример Решить уравнение Решить уравнение ((xx - 2)( - 2)(xx + 1)( + 1)(xx + 4)( + 4)(xx + 7) = 19. + 7) = 19. Решение.Решение. Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4. Удобно группируя, Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4. Удобно группируя,

получим получим [([(xx - 2)( - 2)(xx + 7)]·[( + 7)]·[(xx + 1)( + 1)(xx + 4)] = 19 + 4)] = 19 или или ((xx22 + 5 + 5xx – 14 )( – 14 )(xx22 + 5 + 5xx + 4) = 19. + 4) = 19. Обозначим Обозначим tt = = xx22 + 5 + 5xx - 14, тогда - 14, тогда xx22 + 5 + 5xx + 4 = + 4 = tt + 18. + 18. Уравнение примет вид Уравнение примет вид tt((tt + 18) = 19 или + 18) = 19 или tt22 + 18 + 18tt - 19 = 0, - 19 = 0, откуда откуда tt = -19 и = -19 и tt = 1. = 1. Сделав обратную подстановку, получим Сделав обратную подстановку, получим xx22 + 5 + 5xx - 14 = -19 и - 14 = -19 и xx22 + 5 + 5xx - 14 = 1. - 14 = 1.

Окончательный Окончательный ответответ::5 5 5 85

; .2 2


Уравнение видаУравнение вида ((xx + + aa))44 + ( + (xx + + bb))44 = = cc

Используя подстановку , уравнениеИспользуя подстановку , уравнение

можно свести к биквадратному уравнению можно свести к биквадратному уравнению относительно относительно tt. .

Действительно, подставив в уравнениеДействительно, подставив в уравнение ,, получимполучим

Обозначим и возведем Обозначим и возведем

каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения

подобных получим биквадратное уравнение подобных получим биквадратное уравнение

2

baxt

2

batx

.22

44

cba

tba

t

mba

2

.0)2(122 4224 cmtmtОбратно в меню

Пример

ПримерПример Решить уравнение Решить уравнение ((xx + 3) + 3)44 + ( + (xx - 1) - 1)44 = 82. = 82. Решение.Решение. Сделаем подстановку Сделаем подстановку

Получим следующее уравнение относительно Получим следующее уравнение относительно tt: : ((tt + 2) + 2)44 + ( + (tt - 2) - 2)44 = 82 = 82 или или tt44 + 8 + 8tt33 + 24 + 24tt22 + 32 + 32tt + 16 + + 16 + tt44 - 8 - 8tt33 + 24 + 24tt22 - 32 - 32tt + 16 - 82 = 0. + 16 - 82 = 0. Откуда получим биквадратное уравнение Откуда получим биквадратное уравнение tt44 + 24 + 24tt22 - 25 = 0, - 25 = 0, корни которого корни которого tt = ± 1. = ± 1. Следовательно, Следовательно, xx + 1 = ± 1. + 1 = ± 1. Значит, корни исходного уравнения Значит, корни исходного уравнения xx = -2 и = -2 и xx = 0. = 0. Ответ: -2;0.Ответ: -2;0.

3 ( 1)1

2t x x


Уравнение видаУравнение вида

Решить уравнение Р(х) = 0.Для каждого корня уравнения Р(х) = 0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию Q(х) ≠ 0 или нет. Если да, то это — корень заданного уравнения, а если нет, то этот корень является посторонний для заданного уравнения и в ответ его включать не следует.

( )0

( )

P x

Q x


Пример

ПримерПример

Решите уравнениеРешите уравнение Решение.Решение. Приравняем числитель дроби к нулю и решим

полученное уравнение: Значение х = 2 не удовлетворяет условию Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4. Ответ: 4.Ответ: 4.

2 2,6 8 0,

4.

xx x

x

2

2

6 80.

2

x x

x x


2 2 0.x x


Подстановкой это уравнение

сводится к виду

Умножим на и решим полученное квадратное

уравнение относительно t.

Остается сделать обратную подстановку

где tо - корень квадратного уравнения,

и решить полученное уравнение

относительно х.

( ) ( )0

( ) ( )

P x Q xа b c

Q x P x


Пример

( )

( )

P xt

Q x

10аt b c

t

0t

0

( ),

( )

P xt

Q x


Подстановкой это уравнение

сводится к виду

Умножим на и решим полученное квадратное

уравнение относительно t.

Остается сделать обратную подстановку

где tо - корень квадратного уравнения,

и решить полученное уравнение

относительно х.

( ) ( )0

( ) ( )

P x Q xа b c

Q x P x


Пример

( )

( )

P xt

Q x

10аt b c

t

0t

0

( ),

( )

P xt

Q x


Решите уравнениеРешите уравнение

Решение.Решение. Сделаем подстановку и решим полученное

уравнение относительно t :

Обратная подстановка приводит к уравнению

корень которого х = -1.

Ответ: -1.Ответ: -1.

212, 2 1 0, 1.t t t t

t

2 12.

2 1

x x

x x


2 1

xt

x

1,2 1

x

x

Уравнения, состоящие из суммы Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей двух и более дробей

1-й способ1-й способ Перенести все члены уравнения

в одну часть. Привести уравнение к виду и найти

корни полученного уравнения.

2-й способ2-й способ Определить О.Д.З. уравнения. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель

дробей и получить целое уравнение. Найти корни полученного уравнения и проверить их

соответствие О.Д.З.

0)(х

)(

Q

xP


Пример


Решите уравнениеРешите уравнение

Решение.Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей не могут обращаться в нуль . Значит, О.Д.З. уравнения: х ≠ 2 и х ≠ 0.

Перенесём члены из правой части уравнения в левую и приведём к общему знаменателю.

. Приравняем числитель дроби к нулю: х2 – 6х + 8 = 0. Находим корни квадратного уравнения: х = 4 и х = 2. Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З. Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4. Ответ: 4.Ответ: 4.

2 1 4

2 2 2x x x

22 2 2 4 2 6 80 0.

2 2 2 2

x x x х х

x x x x


Уравнения видаУравнения вида

Данное уравнение сводится к Данное уравнение сводится к квадратному уравнению заменой квадратному уравнению заменой переменнойпеременной

2 2, ( 0)

px qxr r

ax bx c ax dx c

ct ax

x


Пример


Решить уравнение Решить уравнение Решение.Решение. О.Д.З. уравнения есть множество

Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, перепишем уравнение в виде

(разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x). Обозначим и уравнение примет вид

2 2

2 136.

2 5 3 2 3

х х

х х х х

1

\ 1;1 .2

R

2 136

3 32 5 2 1х х

x x

32t x

x

2 136.

5 1t t


Продолжение решенияПродолжение решения

О.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠ -1.

Решая это уравнение, приходим к квадратному уравнению

2t2 - 13t + 11 = 0,

корни которого t1 = 1 и t2 = 11/2 удовлетворяют О.Д.З..

Делаем обратную подстановку и получаем два

рациональных уравнения

решив которые находим корни заданного

уравнения.

Ответ:

32 1,x

x

3 112 ,

2x

x

3;2.

4


Литература Литература

Алгебра и математический анализ, 10 Алгебра и математический анализ, 10 Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. ШварцбурдС.И. Шварцбурд

Алгебра и начала анализа. 8 – 11 кл. Пособие Алгебра и начала анализа. 8 – 11 кл. Пособие для школ и классов с углубл. изучением для школ и классов с углубл. изучением математики (серия «Дидактические математики (серия «Дидактические материалы») материалы») Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В.

Education

Racionalnye uravneniya