Radicación

Leyes de exponentes II

Christiam Huertas R.w3.xhuertas.blogspot.com

Universidad de Ciencias y Humanidades

Christiam Huertas R. w3.xhuertas.blogspot.com Leyes de exponentes II

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Introduccion

El gran sabio griego Pitagoras de Samos y sus discıpulos, decıanque el numero natural y las proporciones entre numeros naturalesgobernaban todo cuanto existıa.

Un descubrimiento hecho por los mismos pitagoricos demostro queesta afirmacion era falsa. Descubrieron la existencia de un numeroque no era natural y tampoco se podıa expresar como fraccionalguna. Todo comenzo con el llamado Teorema de Pitagoras.

c2 = 12 + 12 = 2⇒ c2 = 2⇒ c =?



Radicacion en R

Es aquella operacion inversa a la potenciacion. Proviene de unapotencia con exponente fraccionartio.

Notacion: n√

x = r

√

. es el sımbolo radicaln es el ındice n ∈ N ∧ n ≥ 2x es el radicandor es la raız (enesima)

Definicion:

n√

x = r ↔ rn = x ∧ xr ≥ 0

Se lee: raız enesima de x es igual a r si y solo si r elevado a la n esx .



Observaciones

Tener en cuenta lo siguiente:

1 En R, la raız es unica.

2 En adelante, 2√

x =√

x y se lee raız cuadrada de x .

3 3√

x se lee raız cubica de x .

4 ∀n ∈ N ∧ n ≥ 2 : n√

0 = 0.

5 Regla de signos:

Par√

+ = + Par√− No existe

Impar√

+ = + Impar√− = −



Ejemplos

Se sabe que

n√

x = r ↔ rn = x ∧ xr ≥ 0

Hallemos algunas raıces utilizando la definicion:

13√

8 = 2, pues 23 = 8

24√

81 = 3, pues 34 = 81

3 3√−8 = − 2, pues (−2)3 = − 8

4√

49 = 7, pues (7)2 = 49

55√

0 = 0, pues 05 = 0

6√−4 = (...), pues (...)2 = − 4

→√−4 no existe en R

74√

1 = 1, pues 14 = 1

En general: n√

1 = 1, n ∈ N ∧ n ≥ 2



Teoremas de la radicacion: 1

n√

x .y = n√

x . n√

y

Ejemplos:

13√

10 = 3√

2.5 = 3√

2. 3√

5

2√

50 =√

25.2 =√

25.√

2 = 5.√

2

33√

4. 3√

16 = 3√

4.16 = 3√

64 = 4




n

√x

y=

n√

xn√

y

Ejemplos:

1

√5

3=

√5√3

23

√5

8=

3√

53√

8=

3√

5

2

34

√81

16=

4√

814√

16=

3

2

43

√1

8=

3√

13√

8=

1

2




m√

n√

x = m.n√

x

Ejemplos:

13√

4√

5 = 3.4√

5 = 12√

5

25

√√3√

x = 5.2.3√

x = 30√

x

3

√√√√3 = 2.2.2.2

√3 = 16

√3




nk√

xmk = n√

xm ; k ∈ N ∧ k ≥ 2

Ejemplos:

19√

x6 =3.3√

x3.2 =3√

x2

24√

x12 =4√

x4.3 = x3

39√

3 =9.3√

33 = 27√

27

4 Si 4√

2 = n√

n, halle el valor de n.




n√

xn =

{x si n es impar|x | si n es par

Ejemplos:

15√

25 = 2

2 4√

(−3)4 = | − 3| = 3



Definicion de exponente fraccionario

x1n = n√

x

1 813 = 3√

8 = 2

2 1612 = 2√

16 = 4

3 (−8)13 = 3√− 8 = − 2

En general:

xmn = n√

xm =(

n√

x)m

1 723 =

3√

72

2 534 =

4√

53



Radicales sucesivos

m

√x . n√

y . p√

z = m√

x . mn√

y . mnp√

z

Ejemplos:

13√

2. 5√

7 = 3√

2. 3.5√

7 = 3√

2. 15√

7

2

√5.√

11. 3√

2 =√

5. 2.2√

11. 2.2.3√

2 =√

5. 4√

11. 12√

2



Corolario

De la formula anterior, si las bases x , y y z son iguales, esodetermina una forma practica de reducir.

n

√xa.

m√

xb. p√

xc =nmp√

x (am+b)p+c

Ejemplos:

13√

2.5√

24 =3.5√

21.5+4 =15√

29

2

√53.√

5.3√

52 =2.2.3√

5(3.2+1).3+2 =12√

523



Aplicacion 1

Simplifique la siguiente expresion.

5

√√√√√ 2(2)(2)

2−22 .

√1

16



Aplicacion 2

Simplifique la siguiente expresion.

n

√5n + 5−n

25n + 1+ 89−2−1



Aplicacion 3

Calcule el valor de la siguiente expresion.(1

16

)−4−1

+

(− 1

32

)−5−1

+

(−1

8

)−3−1



Aplicacion 4

Simplifique la siguiente expresion y de como respuesta el exponentefinal de x . √

x .5

√x2.

3

√x7.√

x2



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