194

Radicación en R

RADICACIÓN Es la operación matemática que consiste en

hallar una expresión llamada RAIZ de tal manera que se cumpla, que al ser elevado esta a un número llamado INDICE resulta otra expresión denominado RADICANDO o cantidad subradical; es decir:

Zn r A r entonces 0 Apar es n"" si n +∈∀=↔=≥∧ n A

Donde: “r” es la raíz, “n” es el índice,

“A” es el radicando ó cantidad subradical

Ejemplo :

( )( ) 625=55=625

=100=

2−=2=

4 porque

100 porque 1 100

3 (-2) porque - 32-

4

2

55

SIGNOS DE UNA RAÍZ

Si +∈ Z n y r es la raíz, se presentan los siguientes casos en A n :

positivo Par # = + r

negativo # Par = # imaginario

parIm positivo # = + r

negativo # parIm = - r

TEOREMAS DE RADICACIÓN EN R Sean a,b +

0∈ R y m,n +∈ Z , entonces se tiene:

a) Raíz de una potencia: np

n p aa =

b) Potencia de una raíz: n pm

pn m aa =

c) Raíz de un producto: nnn b.ab.a =

d) Raíz de un cociente: n

nn

b

aba

=

e) Introducción de un factor a un radical

n n.mnm baba =

f) Raíz de raíz: m.nn m aa =

CLASIFICACIÓN DE LOS RADICALES 1. RADICALES HETEROGÉNEOS: Son aquellos

radicales que tienen diferentes índices. Ejemplo : 5 xy30 ; 3 xy ; xz6

2. RADICALES HOMOGÉNEOS: Son aquellos radicales que tienen igual índice. Ejemplos

a) 5 5 5 6 x ; ab ; 16 + son homogéneos de índice 5

b) 3 23 3 xz yx 10 ; ab7

74 ; yx 5 son

homogéneos de índice 3 3. RADICALES SEMEJANTES: Son aquellos

radicales que son homogéneos y tienen misma cantidad subradical. Ejemplo:

a) 3 3 3 28721 ; 28411 ; 286−

b) 6 5736 5736 573 zyx 58 ; zyx13- ; zyx24

PRINCIPIO FUNDAMENTAL

Sean +∈≥ Z pn, y 0 a :

Si r a r anp mpn m =⇒=

HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES:

Para homogenizar radicales con índices diferentes, se calcula el M.C.M. de los índices, el cuál será el nuevo índice y luego se utiliza el principio fundamental.

Ejemplo: Homogenizar:

9 546 435 2 z x ; z y ; y x Solución : MCM (5, 6, 9) = 90

90 504090 604590 1836 z x ; z y ; yx

195

Ejemplo : ¿Cuál de los radicales 7 5 8 ; 4 ; 2 posee menor valor aritmético? Solución : Hallamos el MCM (2, 5, 7) = 70

Homogenizamos: 3070 2870 3570 2 ; 2 ; 2

Luego, el radical 2870 2 = 5 4 posee menor valor aritmético RAIZ DE UN MONOMIO Para extraer la raíz enésima de un monomio, se extrae la raíz del coeficiente y luego se dividen los exponentes de las partes literales entre el índice de la raíz. Ejemplo :

3/813/633 816 yx.27yx27 = = 272yx3

RAIZ CUADRADA DE UN POLINOMIO Dado un polinomio P(x) de grado par. Hallar su raíz cuadrada. Consiste en hallar otros dos polinomios llamados raíz cuadrada q(x) y residuo R(x) de tal manera que: )x(R)x(q)x(P 2 += Esquema: P(x) q(x) R(x) Donde: P(x) : es el polinomio radicando q(x) : es la raíz R(x) : es el residuo Para extraer la raíz cuadrada de un polinomio, se debe tener presente: a) El polinomio radicando generalmente debe ser

completo y ordenado en forma descendente y si faltase algún término se puede completar con ceros.

b) Se divide en periodos de dos en dos empezando

por la derecha. c) Se extrae la raíz cuadrada del primer término,

que viene a ser el primer término de la raíz cuadrada obtenida.

d) Se eleva al cuadrado el término obtenido y se le cambia de signo, escribiéndolo debajo de su correspondiente semejante en el polinomio.

e) Se baja el primer periodo, a continuación se

duplica la raíz obtenida hasta el momento. f) Se divide el primer término del resto obtenido

hasta ese momento, entre el primer término de la raíz que se duplicó.

g) El valor obtenido, es el segundo término de la

raíz que se esta obteniendo. Se procede los pasos e,f,g.

h) El resto debe ser de grado menor que la raíz

obtenida. Ejemplo : Hallar la raíz cuadrada de:

4+20−229+310−4 xxxx

Solución

4+20−229+310−4 xxxx 2+5−2 xx RAÍZ 4− x 2( 2x ) = 2( 2x )

229+310− xx xxx 5−=22÷310−

225−310 xx 225−310=55−22 xxxxx ))(( 4+20−24 xx 2 xxxx 10−22=5−2 )(

4−20+24− xx 2=22÷24 xx RESTO 0 4−20+24−=2−2+10−22 xxxx )()(

Por tener resto cero se dice que es raíz cuadrada

exacta.

Propiedades: Sean r(x) la raíz del polinomio P(x) y R(x) el resto, entonces:

Grado de la Raíz = raíz la de Indice

Radicando del Grado

Grado de Rmáx = Grado de la Raíz – 1 , donde R es el resto.

En n P(x) se presentan dos casos:

a) Si n P(x) es exacta, entonces

)x(r)x(P n= y R(x) = 0 b) Si n P(x) es inexacta, entonces

)x(R)x(r)x(P n += , donde: R(x) ≠ 0

196

RADICALES DOBLES

Se llama así a aquellos radicales que dentro de un radical se encuentre otros radicales relacionados mediante adiciones o sustracciones, por lo general son de la forma

D C B A ; B A ±±±± TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES

I. RADICALES DE LA FORMA B A ±

a) Primer Método:

perfectoCuadradounserdebe"BA"Ademàs

A

−

=

±+

=±

2

B - A C donde

2C -A

2

C A B

2

Ejemplo: Transformar: 72+11

Solución: Calculamos el valor de C

749721217211C 2 ==−=−=

entonces:

292

7112

7117211 +=−

++

=+

237211 +=+ b) Segundo Método (Forma Práctica):

ba ,b a ba2 b a B A >±=±+=±

Donde: A = a + b y b a2 B = Ejemplo:

Transformar a radical simple: 26 11 −

Solución: 26 11 − = 182 11 − = 9 + 2 9 x 2 por lo tanto se descompone en

26 11 − = 2 - 3 2 - 9 =

II. RADICALES DE LA FORMA

D C B A ±±±

c b a D C B A ±±=±±±

Donde: a + b + c = A,

D bc 2 ,C ac 2 ,B ab 2 ===

Ejemplo: Hallar la raíz cuadrada de:

E = 21 - 8 3 + 4 5 - 4 15

Solución:

E = 154543821 −+−

= 60220248221 −+− (4 + 5 + 12) 4 x 12 5 x 4 5 x 12

E = 4 + 5 - 12 = 2 + 5 - 2 3

RACIONALIZACIÓN

Se denomina racionalización Aquel proceso que permite transformar una fracción con denominador irracional en otra fracción equivalente cuyo denominador sea racional. FACTOR RACIONALIZANTE (F.R) Es la expresión irracional por la que hay que multiplicar a otra expresión irracional, para convertirla en racional. CASOS 1. FRACCION DE LA FORMA : n mx

N

El F.R. del denominador es de la forma: n m-nx , donde ( mn > ).

Nota: Cuando (n < m) se debe simplificar el radical del denominador

Ejemplo : Racionalizar 3 25 yx4

x3E =

Solución: Primero se debe simplificar el denominador ya que el exponente de x es mayor que el índice de la raíz. Luego:

3

3

3 223 22 yx

yx

yxx4

3x yxx4

x3E⋅

⋅⋅

⋅=

⋅=

y4

yx3

yx 4 yx3x

E 3 3 ⋅

=⋅

=

F.R.

197

2. FRACCION DE LA FORMA: BA

N±

Se racionaliza utilizando el criterio de la conjugada, para transformar el denominador en una expresión racional.

Ejemplo: Racionalizar: 2 - 3

3 12M =

( )( )( ) 2 3

2 3. 2 - 3

3 12 2 - 3

3 12M+

+==

( )6 3 12 2 - 3

6 12 36 M +=+

=

3. FRACCIÓN DE LA FORMA:

33 BAN±

ó �

√�� �∓ √��� � √�� �

Se aplicará lo representado en el cuadro:

�

√�� � √�� .√�� �

∓ √��� � √�� �

√�� �� √��� � √�� �

���√�� �

∓ √��� � √�� ��

� � �

�

√�� �∓ √��� � √�� � .

√�� � √��

√�� � √�� ���√�� � √�� �

� � �

Ejemplo : Racionalizar 3 3 4 - 55 E =

Solución:

++

++

⋅=2 3 3 23

2 3 3 23

3 3 3 3 45.45

45.45

)4- 5(5

4 -55

( )33 33

33 3

4 - 5

16 20 25 5 E ++=

( )33 3 16 20 25 5 E ++=

IV. FRACCIÓN DE LA FORMA: nn BA

N±

Cuando el denominador irracional es un binomio cuyos radicales son índices mayores que 3, en este caso el factor racionalizante depende del índice y

estará relacionado con los cocientes notables exactos. Veamos los siguientes casos: a) Si el denominador es de la forma: nn BA −

tendrá como factor racionalizante a 1nn3n3nnn2nn1nn B......BABAA

−−−−++++

b) Si el denominador es de la forma nn BA +

tendrá como factor racionalizante a

1nn3n3nnn2nn1nn B......BABAA−−−−

+−+−

Resumen: a) Si “n” es par entonces

b) Si “n” es impar entonces

Ejemplo: Hallar el denominador racionalizado de:

2424 2528

6

−

Solución:

1.)R.F(2

3.)R.F(6

2528.R.F6

R.FR.F.

2528

6

2528

624242424

==−

=

−=

−

el denominador racionalizado es 1 Ejemplo: Hallar el denominador racionalizado de:

2727 535

25+

Solución:

8.).(5

40.).(25

535.).(25

..

...535

25535

2527272727

RF

RFRFRFRF

=

=+

=

+=

+

el denominador racionalizado es 8

198

EJERCICIOS RESULTOS 1) Descompner en radicales simples:

62213 2 −++−= xxxE Solución : Factorizando: ( )( )23262 2 +−=−+ xxxx La suma de estos factores es: ( ) ( ) 13232 −=++− xxx Entonces:

( ) ( ) ( )( )2322232 +−+++−= xxxxE

232 ++−= xxE

2) Simplificar :

E = 21x

1xx1xx 4 24 2

++

−−+−+

Solución : Elevando al cuadrado :

21x)1x(x21xx1xxE

4 22222

++

−−+−−+−+=

21x21xx1xxE

222

++

+−−+−+=

Haciendo : 1xx1xxM 22 −−+−+=

Elevando al cuadrado :

)1x(x21xx1xxM 22222 −−+−−+−+=

2x2M2 +=

Entonces : 1x2M +=

Reemplazando en “ 2E ” :

21x21x2E

22

++

++=

Factorizando tenemos :

)21x()21x(2E2

++

++=

4 2E =

3) Hallar el valor de :

M = 2102786174 −++ Solución :

M = )2()5(2274 )8()3(217 −++

= 2

)25(223 −++

= 25)12( 2 −++

= 2512 −++ entonces 6M =

4) Al racionalizar la expresión:

3522532

33 −+=A el denominador entero

simplificado que se obtiene es: a) 1 b) 2 c) 4 d) 16 e) 32

Solución : Hacemos lo siguiente: 233 525 = y luego un cambio de variable: 3 5=a v El denominador tiene la forma: ( )( )13322 −+=−+ aaaa ; entonces:

( )( ) 21

2133 1535

32FRxFRFRxFR.A

−+=

v Donde: 2331 3535 +−=FR y

155 3232 ++=FR

Entonces:

( )( ) 443232

1535

32 21213

21 FRxFR))((FRxFRxFRxFRxA ==

−+=

Por lo tanto el denominador es 4 Respuesta c

5) Después de racionalizar: 532532

−+

++ ; el

denominador de la fracción resultante es: a) 22 b) 12 c) 14 d) 16 e) 32

Solución :

Agrupando de manera conveniente el

denominador, se reconoce el F.R.

22

2

5)32(

)532(5)32(

5325)32(

532

−+

++=

++

++•

−+

++

22)132()532(

132132

)132(2)532( 22 −++

=−−

•+

++=

Luego el dominador es 22

Respuesta a