Real Surfaces

UNIVERSIDAD DE CANTABRIAFACULTAD DE CIENCIASDPTO. DE MATEMÁTICAS, ESTADÍSTICA Y COMPUTACIÓN

Superficies en R4.

TRABAJO DIRIGIDO EN “MATEMÁTICA FUNDAMENTAL”REALIZADO POR GEMA R. QUINTANA PORTILLA

BAJO LA DIRECCIÓN DEL PROF. D. FERNANDO ETAYO GORDEJUELA

CURSO 2007/2008

2

Índice general

Índice general 3

Índice de figuras 5

1. Introducción. 71.1. Comentarios generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Descripción de la memoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Geometría de superficies en R3. 112.1. La primera y la segunda formas fundamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Geodésicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Curvaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Curvatura y Topología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Geometría intrínseca. 233.1. Variedades y superficies diferenciables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Superficies riemannianas abstractas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1. Visualización de métricas riemannianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Inmersión de superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.1. Superficies de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.2. Superficies abstractas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.3. Superficies de R4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Geometría extrínseca. 454.1. Conexión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1. Complemento ortogonal a una subvariedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.1.2. Conexión de Levi-Civita inducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2. Curvaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.1. Expresión en coordenadas locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.2. Curvatura seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3. Curvaturas de las subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4. Superficies en R4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4.1. Elipse de curvatura normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4.2. Aplicaciones de la elipse de curvatura normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.5. Desarrollos posteriores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6. Cuadro resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 ÍNDICE GENERAL

4.7.1. Esfera S2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.7.2. Toro de revolución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.7.3. Toro de Clifford. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.7.4. Función holomorfa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Bibliografía 59

Índice de figuras

3.1. Triángulo esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Geodésicas del cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. Meridianos del toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4. Geodésicas densas en el toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5. Ecuador interior del toro. Geodésica asintótica al ecuador interior. . . . . . . . . . . . . 363.6. Geodésicas “acotadas” en el toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.7. Ecuador exterior del toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.8. Pseudoesfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.9. Geodésicas del semiplano de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.10. Plano estereográfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.11. Recubridor universal del toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.12. Recubridor universal de la botella de Klein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1. Descomposicón de TpN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2. Descomposición de (∇′XY )p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 ÍNDICE DE FIGURAS

Capítulo 1

Introducción.

1.1. Comentarios generales.

El estudio de subvariedades inmersas fue llevado a cabo por primera vez por Euler en el trabajo De lineabrevissima in superficie quacunque duo quaelibet puncta jungente (Sobre la línea más corta que une dospuntos de una superficie) en 1732. Usando técnicas que darían origen al cálculo variacional obtiene de laecuación diferencial de las líneas geodésicas sobre una superficie. También define la noción de curvaturanormal de una curva contenida en una superficie, pero no llega a definir la curvatura de una superficie enun punto.

Un siglo después, Gauss en el artículo Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827) destacaque para estudiar una superficie en el espacio euclídeo tridimensional es esencial utilizar la métrica in-ducida en la superficie por la del espacio. Consigue establecer la definición de la curvatura en términosde dicha métrica y del operador de forma, para concluir con el Theorema Egregium que afirma que lacurvatura depende únicamente de la métrica. Esto es, es un concepto intrínseco, que se conserva, portanto, por isometrías locales.

En 1854, por recomendación de Gauss, Riemann se prepara para Privatdozent. Para ello era necesariopresentar una nueva tesis e impartir una lección inaugural. Era costumbre proponer tres temas al Tri-bunal que elegía uno. Riemann propuso los temas de representabilidad de una función mediante seriestrigonométricas; resolución de dos ecuaciones de segundo grado con dos cantidades indeterminadas; yotro sobre Geometría. Gauss, presidente del Tribunal, optó por el tema de Geometría, titulado Uber dieHipothesen welche der Geometrie zu Grunde Liegen (Sobre las hipótesis en las que se basa la Geometría),en contra de lo habitual, que era elegir el primer tema propuesto por el candidato.El 10 de junio de 1854, Riemann, dio la citada lección inaugural. Está considerada una obra maestra,tanto por el fondo como por la forma, pues Riemann quiso que fuese inteligible para los miembros deltribunal que no eran matemáticos. Parte del artículo de Gauss de 1827, para abordar tres grandes ideas:variedades n-dimensionales, relaciones métricas y generalización de la curvatura. Siendo el origen de laGeometría Riemanniana, y, más en general, de la Teoría de Variedades.

La definición rigurosa de variedad diferenciable no se obtiene hasta 70 años más tarde: durante 1911-1912 Weyl impartió un curso sobre superficies riemannianas. De aquí surgió su primer libro Die Ideeder Riemannschen Fläche publicado en 1913. En él relacionaba Análisis, Geometría y Topología dandola definición de variedad riemanniana n-dimensional. En la Teoría de la Relatividad General (Einstein,1915) el espacio-tiempo es una variedad de dimensión 4 semi-riemanniana, y la curvatura modela lagravedad. La luz recorre las geodésicas de dicha variedad.

8 1. Introducción.

Posteriormente, en 1937, Whitney escribió el survey Topological properties of differentiable manifolds enel que se recogen sus principales resultados hasta la fecha, incluyendo su conocido teorema de inmersiónque afirma que toda variedad n-dimensional admite un embedding en el espacio euclídeo 2n-dimensional.Es decir, toda variedad se puede considerar como subvariedad de un espacio euclídeo. Aplicando estoal caso de las superficies obtenemos que el espacio euclídeo 4-dimensional es el espacio ambiente idealpara su estudio.

En 1969 Little inicia el estudio de las superficies del espacio euclídeo 4-dimensional, desde un punto devista riemanniano.

Los objetivos fundamentales de esta memoria son entender y explicar las construcciones básicas de lageometría y la topología de las superficies de R4, distinguir las propiedades intrínsecas de las extrínsecasy analizar qué conceptos de la teoría clásica de superficies son susceptibles de ser definidos en este caso.Para alcanzar estos objetivos necesitaremos repasar la teoría clásica, introducir las superficies rieman-nianas abtractas y el formalismo de la derivada covariante. Ilustraremos todos los conceptos con unacolección grande de ejemplos, en los que realizaremos los cálculos correspondientes.

1.2. Descripción de la memoria.

El trabajo se divide en cuatro capítulos, siendo el primero de los cuales esta introducción.

El segundo capítulo trata la geometría de superficies en el espacio euclídeo tridimensional sirviendo co-mo recordatorio de lo visto en la carrera y, a la vez, propiciando la introducción en materia. En él se llevaa cabo un repaso de los principales conceptos, haciendo especial hincapié en la diferencia existente entreconceptos intrínsecos y extrínsecos. Aunque en R3 esto no parece tener especial importancia, ya queestamos “acostumbrados” a considerar un único vector normal a la supeficie, veremos que lo interesantees cómo varían estos conceptos al cambiar el espacio ambiente. Sirva como ejemplo de esto la nociónde área de una superficie. Se trata de un concepto intrínseco el cual en R3 suele ser calculado de formaextrínseca (usando el producto vectorial). Es al cambiar la dimensión del espacio ambiente cuando nosdamos realmente cuenta del significado de concepto intrínseco.

El capítulo tercero comienza con la introducción de variedades riemannianas, particularizando este con-cepto al caso de superficies riemannianas para poder así hacer un estudio de la geometría intrínseca desuperficies abstractas. Esto es, sin ninguna referencia al espacio ambiente. A continuación se aborda elproblema de la existencia de un embedding isométrico de una variedad riemanniana, dando las refer-encias de los últimos avances en este campo y señalando qué cuestiones aún permanecen abiertas. Elcapítulo se cierra con varios ejemplos que ilustran todos los conceptos definidos: la esfera, el toro derevolución, el cilindro, el toro de Clifford, la pseudoesfera, el plano hiperbólico, el plano estereográfico,la botella de Klein, el plano proyectivo real y la banda de Möbius.

El último capítulo hace referencia a la geometría extrínseca de superficies inmersas en R4. Para introducirconceptos como las segundas formas fundamentales1 de una superficie, o la elipse de curvatura normal,se precisa el de derivada covariante. Se hace especial énfasis en la elipse de curvatura normal que es elobjeto en relación al que se construye la geometría extrínseca de las superficies en R4. Se termina conuna visión general de todos los conceptos relativos a la geometria de las superficies, cúales y cómo se

1Hay dos, las asociadas a una base del plano normal.

1.2 Descripción de la memoria. 9

generalizan de R3 a R4 y a Rn. Este capítulo incluye también la geometría extrínseca de los ejemplosque aparecen en el capítulo tercero.

10 1. Introducción.

Capítulo 2

Geometría de superficies en R3.

Definición 2.0.1. Un subconjunto no vacío S de R3 se dice que es una superficie regular si para todopunto p ∈ S existe un entorno abierto W ⊂ R3 de p y una aplicación x : U ⊂ R2 → R3 desde unabierto no vacío U ⊂ R2 sobre W ∩ S satisfaciendo lo siguiente:

1. x es diferenciable;

2. x es un homeomorfismo;

3. para todo p ∈ R2 la diferencial (dx)p es inyectiva.

Una aplicación x que cumple las tres condiciones anteriores se llama parametrización o sistema decoordenadas locales. Al entorno abierto W de p en S 1 se le llama entorno coordenado en p. El par(U,x) se denomina carta (o parametrización) de S en p. Un atlas de S es una colección de cartas cuyosentornos coordenados constituyen un recubrimiento abierto de S. Se dice que la superficie regular S esuna superficie simple si admite un atlas constituido por una sola carta.

Consideremos dos cartas (U,x) y (V, x) de una superficie regular S tales que W = x(U) ∩ x(V ) 6= ∅.El homeomorfismo ϕ = x ◦ x−1 se llama cambio de cartas.

Definición 2.0.2. Una aplicación entre dos superficies f : S1 → S2 ⊂ R3 es diferenciable si para todopunto p de S existe una carta (U, x) de S en p tal que la aplicación f ◦ x es diferenciable en el sentidousual.

Nótese que los cambios de cartas son difeomorfismos.

Definición 2.0.3. Sea x : U ⊂ R2 → R3, con U abierto no vacío, x = (x1, x2),una aplicacióndiferenciable. La superficie parametrizada x se dice que es regular si x1 = ∂x

∂x1 y x2 = ∂x∂x2 son

linealmente independientes en U .

Un punto de U en el que x1×x2 6= 0 se llama punto regular; y si x1×x2 = 0, singular. La restricciónde x al conjunto de puntos regulares es una superficie parametrizada regular.

Definición 2.0.4. Sea S ⊂ R3 una superficie regular y sea p ∈ S. Un vector w ∈ R3 se dice que esun vector tangente a S en p si existe una curva diferenciable α : (a, b) ⊂ R → R3 tal que α(t0) = py α′(t0) = w, t0 ∈ (a, b). El conjunto de todos los vectores tangentes a S en p se denomina planotangente a S en p, TpS.

1W es abierto en S, no en R3. Suponemos que S está dotado de la topología usual heredada de R3.

12 2. Geometría de superficies en R3.

TpS es un subespacio vectorial de R3 de dimensión dos. Si (U,x) es una carta de S en p = x(u0, v0) con(u0, v0) ∈ U , entonces x1 = x1(u0, v0) y x2 = x2(u0, v0) forman una base de TpS. Se denomina rectanormal al subespacio vectorial de dimensión uno (TpS)⊥. Sus elementos se llaman vectores normales.

Evidentemente, fijada una carta x : U ⊂ R2 → S ⊂ R3 de S en p, podemos elegir un vector normalunitario en cada punto q = x(u, v) ∈ x(U) ⊂ S n(q) = x1×x2

‖x1×x2‖(u, v) ∈ (TqS)⊥, donde × denota elproducto vectorial de R3.

Definición 2.0.5. Una superficie regular S se dice que es orientable si admite un atlas cuyos jacobianosde los cambios de cartas son positivos, lo que es quivalente a la existencia de una aplicación diferencia-ble n : S → S2 tal que n(q) ∈ (TqS)⊥, ∀q ∈ S, lo que se llama un campo de vectores normal unitarioa S.

Si S está orientada, es decir, si se ha fijado un tal atlas, lo que llamaremos una orientación, entonces laaplicación n : S → S2 viene completamente determinada por la orientación de S y se denomina apli-cación (esferical) de Gauss de la superficie orientada S.

2.1. La primera y la segunda formas fundamentales.

Definición 2.1.1. Sean S ⊂ R3 una superficie regular y p ∈ S. Entonces el producto escalar usual deR3 induce, por restricción, un producto escalar en el plano tangente TpS ⊂ R3 a S en p. Su formacuadrática I = Ip : TpS → R es lo que se llama primera forma fundamental de S en p.

Sea la carta de S (U, x), x = x(u, v). Entonces las aplicaciones diferenciables x1 = ∂x∂u , x2 = ∂x

∂v , yn = x1×x2

‖x1×x2‖ constituyen en cada p ∈ U una base positiva de R3.

Las funciones diferenciables:

g11 = x1 · x1

g12 = x1 · x2 = x2 · x1 = g2,1

g22 = x2 · x2

se llaman los coeficientes de la primera forma fundamental. Así, la matriz de la primera forma funda-

mental es g =(g11 g12

g21 g22

). Denotaremos su inversa como g−1 =

(g11 g12

g21 g22

)Usualmente se escribe I = g11du

2 + 2g12dudv + g22dv2.

La primera forma fundamenta permite tratar cuestiones métricas sobre la superficie S sin ninguna refer-encia al espacio ambiente R3. Eso es lo que se conoce por geometría intrínseca de la superficie. No esmás que lo que podría ser “medido” por un “habitante” de la superficie. Ejemplos de conceptos intrínsec-os son los siguientes:

Definición 2.1.2. Sea α(t) = x(u(t), v(t)), t ∈ (a, b) ⊂ R una curva parametrizada regular2, se definesu longitud de arco entre a y b como:

l(t) =∫ b

a‖α′(t)‖ dt =

∫ b

a

√α′(t) · α′(t)dt =

∫ b

a

√g11

(du

dt

)2

+ 2g12du

dt

dv

dt+ g22

(dv

dt

)2

dt

2Es decir, ‖α′(s)‖ = 1.

2.1 La primera y la segunda formas fundamentales. 13

Nótese que la longitud de arco no depende de la parametrización.

Definición 2.1.3. Sea la superficie regular S parametrizada por x. Sean las curvasα(t) = x(f1(t), f2(t)),β(t) = x(h1(t), h2(t)) contenidas en S y secantes en el punto p = α(t0) = β(t0). Se define el ánguloformado por ambas en p como:

cos θ =α′(t0)β′(t0)‖α′(t0)‖‖β′(t0)‖

=

∑2i,j=1 gij(p)

dfidt |t0

dhjdt |t0√

I(α′(t0))I(β′(t0))

De la definición anterior obtenemos que el ángulo formado por las curvas paramétricas es:

cos(x1(p), x2(p)) =g12(p)√

g11(p)g22(p)

Luego si g12 = 0 las curvas paramétricas son ortogonales y la parametrización se dice parametrizaciónortogonal.

Definición 2.1.4. Se define el área de una región acotada R de una superficie regular S parametrizadapor x como:

A = A(R) =∫ ∫

x−1(R)‖x1×x2‖dudv =

∫ ∫x−1(R)

√det(g)dudv =

∫ ∫x−1(R)

√g11g22 − g2

12dudv

dA =√

det gdudv es lo que se conoce como la diferencial de área.

Vamos a introducir ahora un concepto extrínseco, la segunda forma fundamental de una superficie. Éstava a depender del vector normal, el cual a su vez queda determinado por el espacio ambiente3. Para ellosean las notaciones precedentes y las siguientes:

x11 =∂2x

∂u2; x12 =

∂2x

∂u∂v=

∂2x

∂v∂u= x21; x22 =

∂2x

∂v2; n1 =

∂n

∂u; n2 =

∂n

∂v

Claramente, para i, j = 1, 2 tenemos xi · nj = 0 y, derivando respecto de j, xijn = −xinj .Las funciones diferenciables Lij = xijn = [x1,x2,xij ]√

det g= Lji i, j = 1, 2, donde [x1, x2, xij ] indica

el producto mixto, se denominan coeficientes de la segunda forma fundamental. Asociada a ellos se

define la matriz L =(L11 L12

L21 L22

). Nótese que L no necesariamente es definida positiva.

Definición 2.1.5. Sea S ⊂ R3 una superficie regular. Para cada punto p ∈ S la forma bilineal asociadaa (Lij), TpS × TpS → R tal que Lp(xi, xj) = Lij(p), o, más bien, su forma cuadrática II = IIp :TpS → R asociada se denomina segunda forma fundamental de S en p.

Escribiremos II = L11du2 +2L12dudv+L22dv

2. Así como la primera forma fundamental determina lageometría intrínseca de una superficie, la segunda forma fundamental determina la geometría extrínsecade la misma. Es decir, la forma en que la superficie se encuentra embebida en R3 y como se curva enrelación a dicho espacio ambiente.

Definición 2.1.6. Dado un vector unitario w ∈ TpS − {0} se llama curvatura normal de S en p en ladirección w al número kn(w) = II(w) ∈ R.

3Es por esto que los conceptos extrínsecos no son percibidos por los “habitantes” de la superficie.


En general si w = w1x1 + w2x2 ∈ TpS − {0}, la curvatura normal de S en p en la dirección w seobtiene:

kn(w) = II

(w

‖w‖

)=II(w)‖w‖2

=II(w)I(w)

Teorema 2.1.7. Sean las notaciones precedentes. Se verifican las siguientes ecuaciones:

xij =2∑k1

Γkijxk + Lijn ecuaciones de Gauss;

nj = −2∑

k=1

Lkjxk; i, j = 1, 2 ecuaciones de Weingarten.

Los Γkij se denominan símbolos de Christoffel y vienen dados por

Γli,j =2∑

k=1

Γijkglk =2∑

k=1

12

(∂gij∂ui− ∂gik∂uj

+∂gij∂uk

)glk ∀i, j, k ∈ {1, 2}

con Γijk = xijxk, (u1, u2) = (u, v). Los Lkj se llaman coeficientes de Weingarten y se definen

Lkj =2∑i=1

gikLij . Matricialmente se expresan (Lkj ) =(L1

1 L12

L21 L2

2

)= g−1L

Demostración. Sabemos que xi · n = x2 · n = 0 y n · n = 1 luego el tercer coeficiente de xij =∑2k=1 Γkijxk + Lijn con respecto a la base {x1, x2, n} es Lij = xij · n. Del mismo modo, tenemos

Γijk = xijxk =∑2

l=1 Γlijxlxk =∑2

l=1 Γlijglk, de donde γlij =∑2

k=1 Γijkglk.Consideremos ahora las igualdades siguientes:

∂gjk∂ui

=∂xjxk∂ui

= xij · xk + xj · xik

∂gik∂uj

=∂xixk∂uj

= xij · xk + xi · xjk

∂gij∂uk

=∂xixj∂uk

= xik · xj + xi · xjk

Sumando las dos primeras y restando la tercera obtenemos:

2xij · xk = 22∑l=1

Γlijglk = 2Γijk = 2xij · xk =∂gjk∂ui

+∂gik∂uj

− ∂gij∂uk

Se sigue de aquí que

Γlij =2∑

k=1

12

(∂gij∂ui

+∂gik∂uj

− ∂gij∂uk

)glk; i, j, l = 1, 2

Por último, como n ·n = 1, por lo que nj ·n = 0 se sigue que el tercr coeficiente de nj = −∑2

k=1 Lkjxk

en la base {x1, x2, n} es 0. Análogamente,como xi · n = 0 de donde xijn+ xinj = 0, obtenemos que

Lij = xij · n = −xi · nj = xi

2∑k=1

Lkjxk =2∑

k=1

gik ⇒ Lkj =2∑i=1

gikLij

2.2 Geodésicas. 15

Obsérvese que los símbolos de Christoffel son un concepto intrínseco, esto es, sólo dependen de laprimera forma fundamental, y que la matriz (Lkj ) no es simétrica en general.

2.2. Geodésicas.

La noción de geodésica de una superficie nace de la necesidad de generalizar el concepto de recta en elplano . Es decir, se definen las geodésicas de una superficie como las curvas sobre la superficie que mejorverifiquen (localmente al menos) las propiedades de la recta en el plano:

tiene curvatura cero;

es el camino más corto entre dos puntos;

dados dos puntos existe una única recta pasando por ambos;

toda recta queda determinada por un punto y un vector no nulo;

los vectores tangentes a una recta son todos paralelos.

Definición 2.2.1. Sea una curva regularα(s) = x(u(s), v(s)) contenida en una superficie S y parametriza-da por la longitud de arco4. Se llama curvatura geodésica kg de α a la función diferenciable

kg(s) = [n(s), T (s), T (s)]

donde [·, ·, ·] es el producto mixto; n(s) = n(u(s), v(s)); y T , el vector tangente unitario a la curva5.Sedice que α es una geodésica si kg(s) = 0 ∀s.

Se demuestra que la curvatura geodésica es un concepto intrínseco6. Es decir, podemos definir el vectorcurvatura geodésica como sigue:

kg =

du1

ds

d2u2

ds2+

2∑i,j=1

Γ2ij

duids

dujds

− du2

ds

d2du1

ds2+

2∑i,j=1

Γ1ij

duids

dujds

det(g)

El hecho de que las geodésicas sólo dependan de la primera forma fundamental de la superficie es lo quenos va a permitir definirlas en superficies abstractas.

Definición 2.2.2 (Caracterizaciones de las geodésicas). Seaα(s) = x(u(s), v(s)) una curva parametriza-da de modo natural7 contenida en una superficie S entonces α es una geodésica si y sólo si ∀s satisfaceuna de las condiciones equivalentes siguientes:

1. kg(s) = 0

4Es decir, satisfaciendo

g11

(du1

ds

)2

+ g12

(du1

ds

)(du2

ds

)+ g22

(du2

ds

)2

= 1

5T = α(s)

‖ ˙α(s)‖= α(s), porque α está parametrizada por la longitud de arco.

6kg es el módulo de la curvatura en s = s0 de la curva α∗ obtenida por la proyección ortogonal de α sobre el plano tangentea S en p = α(s0). Podríamos decir que mide lo que la curva se “tuerce” vista desde la superficie.

7Esto es, por la longitud de arco.


2. k(s) = kn(s), donde k(s) es la curvatura8 de α en s y kn(s) la curvatura normal 9;

3. Verifica las ecuaciones diferenciales de las geodésicas:

d2ulds2

+2∑

i,j=1

Γli,jduids

dujds

= 0 ∀l = 1, 2

4. Si k(s) 6= 0, entonces el plano osculador10 de α es ortogonal a Tα(s)S.

El problema de encontrar las geodésicas de una superficie no es trivial. Sirva como muestra de ello elcaso del elipsoide, que necesita funciones hiperelípticas para poder ser resuelto (integrales de dz

p(z) , dondep(z) es un polinomio de grado 6). No obstante existen algunas situaciones concretas en las que se puedenutilizar otras técnicas de tipo geométrico o topológico,por ejemplo, para determinar si una curva es unageodésica. Un argumento de este tipo es el hecho de que cualquier plano de simetría interseca a la super-ficie en una geodésica11. De aquí es inmediato que los meridianos de una superficie de revolución songeodésicas.

El teorema de longitud mínima de las geodésicas afirma que si en la distancia entre dos puntos de unasuperficie se alcanza el mínimo, la curva en la que lo hace es una geodésica. El recíproco es falso. Esdecir, las geodésicas no minimizan las distancias. Basta tomar p, q ∈ S2 no diametralmente opuestos,entonces existen dos geodésicas de distinta longitud uniendo p y q (las correspondientes a los dos arcosde la circunferencia máxima que pasa por ambos).Por otro lado, puede ocurrir que no exista ningunageodésica sobre S uniendo dos puntos. La condición suficiente para que exista una geodésica que min-imice las distancias en una superficie conexa es que sea cerrada. Lo que sí es cierto es que ∀p ∈ S existeun entorno abierto V ⊂ S de p en el que dos puntos cualesquiera pueden ser unidos por una geodésicade longitud mínima, además tal geodésica está contenida en V .

El teorema de existencia y unicidad de las geodésicas afirma que dados p ∈ S y w ∈ TpS tal que‖w‖ = 1 existe una única geodésica α(s) sobre S tal que α(0) = p y α(0) = w. Es decir, por cada puntode una superficie S pasa una única geodésica en una dirección dada.

Gracias a todo lo anterior podemos afirmar que las geodésicas de una superficie se comportan (cuantomenos, localmente) como las rectas en el plano.

Una conclusión inmediata del teorema de existencia y unicidad de las geodésicas es que las geodésicasde la esfera S2 son las circunferencias máximas.

2.3. Curvaturas.

En la teoría de curvas, al medir la variación de la recta tangente a lo largo de una curva regular α seobtiene la curvatura. La forma de extender esta idea a superficies regulares es midiendo la variación del

8k(s) = ‖T (s)‖9kn(s) = T (s)n(s) lo que determina la curvatura de α(s) debida a la forma en que S está embebida en R3.

10El plano osculador a α en s = s0 tiene por ecuación [x− α(s0), α(s0), α(s0)] = 0.11El vector normal a la superficie es invariante por reflexión en el plano de simetría, luego está contenido en él. Al igual que

el vector α de la curva intersección.

2.3 Curvaturas. 17

plano tangente, lo que nos permite ver la relación existente entre la geometría de S y la del espacio am-biente. Esto es equivalente a observar la variación de la aplicación de Gauss en un entorno de cada puntode S. El instrumento básico para medir esta variación es la aplicación de Weingarten.

Sea S una superficie regular y sea la carta (U,x). La aplicación de Gauss n : x(U) ⊂ S → S2 ⊂ R3 esdiferenciable. Luego si α(t) ⊂ x(U) es una curva diferenciable sobre S, por lo que α′(t) ∈ Tα(t)S, en-tonces n(t) = n(α(t)) es una curva diferenciable sobre S2. De donde n′(t) = n′(α(t)) ∈ Tn(α(t))S2 =Tα(t)S. Por último, si w ∈ TpS, α(0) = p y α′(0) = w, entonces n(0) = n(p) y n′(0) ∈ Tn(p)S2 =Tn(p)S. Lo que define la aplicación (dn)p : TpS → TpS tal que (dn)p(α′(0)) = n′(0) = (n ◦ α)′(0).Esta aplicación mide la variación de n en p y se le llama diferencial de n en p. En particular, siw = α′(0),Dwn(p) = (dn)p(w) mide la variación de n en p en la dirección w ∈ TpS − {0} lo que se denominaderivada direccional de n en p en la dirección w.

Definición 2.3.1. La aplicación Ap := −(dn)p : TpS → TpS tal que Ap(α′(0)) = −n′(0) se llamaaplicación de Weingarten.

La aplicación de Weingarten depende de la orientación de x(U) ⊂ S, es decir, del sentido de n, cam-biando de signo al cambiar la orientación de x(U).

Teorema 2.3.2. La aplicación de Weingarten es una aplicación lineal simétrica respecto del productoescalar <,>p: TpS × TpS → R, es decir A(v)w = vA(w) ∀v, w ∈ TpS, y su forma bilineal simétricaasociada es la segunda forma fundamental. Además se tiene que A es un endomorfismo con matrizcoordenada en la base {x1, x2} de TpS g−1L.

Demostración. Sea w ∈ TpS, w = w1x1 + w2x2, w1, w2 ∈ R. Consideremos una curva diferenciableα(t) = x(u(t), v(t)) ⊂ x(U) ⊂ S tal que α(0) = p y α′(0) = w. Se sigue de α′(t) = du

dt x1 + dvdt x2 ∈

Tα(t)S quew = α′(0) = dudt |0x1+ dv

dt |0x2 ∈ TpS con xi = xi(p), i = 1, 2, de donde dudt |0 = w1 y dv

dt |0 =w2. Consideremos ahora la aplicación de Gauss n : x(U) ⊂ S → S2 ⊂ R3 y la curva diferenciablecompuesta n(t) = n(α(t)) por lo que n′(t) = n1

dudt + n2

dvdt ∈ Tn(α(t))S2 =< n(α(t)) >⊥= Tα(t)S. Se

sigue que n(0) = n(p) y n′(0) = w1n1 +w2n2 ∈ TpS. Luego la aplicación de Weingarten está definidapor: A : TpS → TpS con A(w) = −(dn)p(w) = −n′(0) = −(w1n1 + w2n2) = w1(−n1) + w2(−n2).Lo anterior prueba que la aplicación de Weingarten está bien definida pues es independiente de la elecciónde la curva α. Además es una aplicación lineal tal que A : TpS → TpS, xj → A(xj) = −nj =∑2

k=1 Lkjxk, j = 1, 2; por lo que la matriz de A en la base {x1, x2} de TpS es (Lkj ) =

(L1

1 L12

L21 L2

2

).

Por último, veamos que A(v)w = vA(w) y que L(v, w) = A(v)w: como xin = 0, tenemos quexijn + xinj = 0, i, j = 1, 2, de donde Lij = −njxi = xijn = xjin = −nixj = Lji. Se sigue queA(xi)xj = −nixj = −njxi = A(xj)xi = xiA(xj). Luego, si v = v1x1 + v2x2 ∈ TpS, obtenemos

A(v)w =2∑

i,j=1

viwj(A(xi)xj)⇒ A(v)w =2∑

i,j=1

viwj(xiA(xj)) = vA(w)

L(v, w) =∑i,j=12

Lijviwj = −2∑

i,j=1

(nixj)viwj =

(−

2∑i=1

vini

) 2∑j=1

wjxj

= A(v)w

El estudio de la aplicación de Weingarten es equivalente al estudio de la función curvatura normal de lasuperficie S en un punto p: kn : Tp(S)−{0} → R. Así S estará más curvada en p en la dirección donde


la curvatura normal sea mayor.

Ahora bien, el estudio de esta aplicación es, a su vez, equivalente al estudio de la restricción de kn alcompacto S1

p = S1(TpS) = {w ∈ TpS tales que ‖w‖ = 1} ⊂ TpS. De esta restricción se sigue quekn tiene un máximo y un mínimo absolutos k1 = kn(e1) y k2 = kn(e2) en los elementos e1, e2 ∈ S1

p,respectivamente. Por lo que k2 ≤ k(w) ≤ k1 ∀w ∈ TpS − {0}. Estas dos cantidades se denominancurvaturas principales de S en p.

Definición 2.3.3. Se definen la curvatura de Gauss de S en p como K = K(p) = k1k2 y la curvaturamedia de S en p como H = H(p) = 1

2(k1 + k2).

Una superficie con curvatura media nula en todo punto se dice superficie minimal.

Teorema 2.3.4. Sean las notaciones precedentes. Entonces tenemos:

1. k1 y k2 son los autovalores de la aplicación de Weingarten y e1 y e2 son los correspondientesautovectores unitarios, es decir,A(ei) = kiei, i = 1, 2, por lo queK = detA yH = 1

2 traza(A).Además, si k1 6= k2 las direcciones e1, e2 son únicas y ortgonales; y si K1 = k2 siempre podemostomar e2 ∈ S1

p tal que e1e2 = 0, de donde {e1, e2} es una base ortonormal de TpS.

2.

K =detLdet g

y H =12g11L22 + g22L11 − 2g12L12

det g

Por otro lado, como la ecuación característica de la aplicacion de Weingarten es λ2−2Hλ+K =0 obtenemos que k1 = H +

√H2 −K y que k2 = H −

√H2 −K.

Una de las utilidades de la curvatura de Gauss es que nos permite obtener una clasificación de los puntosde la superficie como sigue:

si K > 0 el punto se dice elíptico;

si K < 0 el punto se dice hiperbólico;

si K = 0 y k21 + k2

2 6= 0 el punto se dice parabólico;

si K = 0 y k1 = k2 = 0 el punto se dice plano.

La clasificación anterior no depende de la elección de la orientación, por lo que estos conceptos soninvariantes geométicos. En un punto elíptico, p, se tiene k1k2 > 0 de donde todas las curvas pasando pordicho punto están curvadas hacia el mismo lado del plano tangente, TpS; por lo que todos los puntos deun entorno abierto V ⊂ S de p están situados al mismo lado del plano tangente. Es decir, localmenteTpS interseca a S solamente en un punto. Del mismo modo, en todo punto hiperbólico k1k2 < 0. Luegoexisten curvas pasando por dicho punto que estan curvadas hacia distinto lado del plano tangente, porlo que en todo entorno abierto del mismo existen puntos situados a ambos lados del plano tangente; esdecir, localmente el plano tangente interseca a S dejando parte de S a ambos lados del mismo.

Es interesante conocer qué condiciones son necesarias y suficientes para que ciertas funciones dadassean los coeficientes de la primera y la segunda formas fundamentales de una suprficie regular, lo que esanálogo al teorema fundamental de las curvas en el planteamiento, pero no en la solución. La respuestaa esto se da en el siguiente teorema.

2.3 Curvaturas. 19

Lema 2.3.5. Sea S ⊂ R3 una superficie regular y x = x(u1, u2) una parametrización de S. Entoncestenemos:

∂Γlik∂uj

−∂Γlij∂uk

+2∑

m=1

(ΓmikΓ

lmj − ΓmijΓ

lmk

)= LikL

lj − Lijllk, i, j, k, l = 1, 2

∂Lij∂uk

− ∂Lik∂uj

=2∑l=1

(ΓlikLlj − ΓlijLlk

)Las primeras se denominan ecuaciones (segundas) de Gauss y las siguientes, ecuaciones de Codazzi-Mainardi. Juntas reciben el nombre de ecuaciones de compatibilidad.

Teorema 2.3.6 (Teorema fundamental de superficies). Sean gij , Lij : U ⊂ R2 → R, i, j = 1, 2funciones diferenciables, con U abierto conexo, tales que g12 = g21, L12 = L21, g11 > 0, g22 >0, g11g22 − g2

12 > 0, y tales que satisfacen las ecuaciones de compatibilidad. Entonces existe (salvomovimiento del espacio R3) una única superficie regular simple S defiida en un entorno abierto V ⊂ Ude cada punto de U , tal que los gij y los Lij son los coeficientes de la primera y la segunda formasfundamentales de S.

La demostración del resultado precedente se basa en considerar las ecuaciones de Gauss-Weingartencomo sistema de ecuaciones en derivadas parciales lineales de primer orden cuyas condiciones de com-patibilidad se satisfacen por hipótesis.

El siguiente teorema prueba que la curvatura de Gauss de una superficie es un concepto intrínseco, de-pendiendo únicamente de la parametrización de la superficie.

Teorema 2.3.7 (Teorema Egregio de Gauss). La curvatura de Gauss es intrínseca. Ésta se define entéminos de los coeficientes de la primera forma fundamental y de sus derivadas como sigue:

K =Γ1

11Γ212 + Γ2

11Γ222 − Γ2

12Γ212 − Γ1

12Γ211 + ∂Γ2

11∂u2− ∂Γ2

12∂u1

g11

Demostración. Consideremos las componenetes del llamado tensor de curvatura de Riemann (deprimera clase):

Rlijk =∂Γlik∂uj

−∂Γlij∂uk

+2∑

m=1

(ΓmikΓ

lmj − ΓmijΓ

lmk

)i, j, k = 1, 2

el cual es intrínseco, puesto que solamente depende de los coeficientes de la primera forma fundamentaly de sus primeras y segundas derivadas.Ahora, por las ecuaciones de Gauss, tenemos que Rlijk = LikL

lj − LijLlk.

Por otro lado, considerando el tensor de curvatura de Riemann de segunda clase:Rmijk =∑2

l=1 gmlRlijk,

que también es intrínseco, y teniendo en cuenta que Ljm =∑2

l=1 gjlLlm, tenemos:

Rmijk =2∑l=1

gmlRlijk = Lik

(2∑l=1

gmlLlj

)− Lij

(2∑l=1

gmlLlk

)= LikLjm − LijLkm

de donde R1212 = L11L22 − L212. Luego K = L11L22−L2

12

g11g22−g212= R1212

g11g22−g212


2.4. Curvatura y Topología.

Teorema 2.4.1 (Fórmula de Gauss-Bonnet). Sea M una superficie orientada, sea γ una curva cer-rada, regular a trozos, contenida en un entorno coordenado geodésico, que encierra una región R,simplemente conexa y sean α1, α2, ...αn los ángulos externos de la curva, entonces:∫ ∫

RKdA+

∫γkgds+

n∑i=1

αi = 2π

donde kg es la curvatura geodésica de los arcos regulares de γ y K es la curvatura de Gauss.

Nota 2.4.2. Si aplicamos la fórmula anterior a un triángulo12 geodésico (sus lados son geodésicas de lasuperficie) obtenemos: ∫ ∫

RKdA+

3∑i=1

αi = 2π

Ahora, supongamos que la superficie regular S es compacta. Entonces se verifica que S es triangula-ble, es decir, admite una triangulación (incluso, constituida por triángulos geodésicos). Esto es, hay unafamilia finita de triángulos R1, ..., Rm ⊂ S tal que S =

⋃i=1m y si Ri ∩ Rj 6= ∅, i 6= j entonces

Ri ∩ Rj es un lado completo o un vértice. Denotando por V el número de vértices de la triangulación;por L, el de lados; y por C, el de triángulos el número entero, que no depende de la triangulación elegida,χ(S) = V − L+ C se denomina característica de Euler-Poincaré de la superficie.

La característica de Euler Poincaré es un invariante topológico. Toda superficie regular conexa y com-pacta S ⊂ R3 es difeomorfa a la esfera S2 con g asas, donde g es el género de la superfice, y entoncesχ(S) = 2− 2g.

Teorema 2.4.3 (Gauss-Bonnet). Sea S una superficie regular compacta orientada con curvatura deGauss K. Entonces ∫ ∫

SKdA = 2πχ(S)

donde χ(S) es la característica de Euler-Poincaré de la superficie.

Demostración. Como S es compacta entonces es orientable, es decir, admite un campo de vectoresdiferenciable, normal y unitario n : S → S2, el cual orienta a S. Sea {R1, ..., Rm} una triangulaciónde S constituida por triángulos geodésicos con fronteras Ci = δSi orientadas porsitivas y tales que cadauno esté contenido en un entorno coordenado de una parametrización ortogonal13 compatible con laorientación de S y con dominio homeomorfo a un círculo abierto.Ahora, para cada i = 1, ...,m denotemos por θi1, θi2, y θi3 los ángulos externos de Ci, y sean φij =π − θij los correspondientes ánguls internos. entonces, como la curvatura geodésica es nula en cada Ci,obtenemos, aplicando la fórmula de Gauss-Bonnet a cada Ri, i = 1, ...,m, que:∫ ∫

Ri

KdA = 2π −3∑j=1

θij = 2π −3∑j=1

(Π− φij) = 2π − 3π +3∑j=1

φij

12Una región simple R contenida en una superficie S se denomina triángulo si tiene exactamete tres vértices y trés ánglosexternos.

13Esto es, g12 = 0.

2.4 Curvatura y Topología. 21

Por tanto, ∫ ∫SKdA =

m∑i=1

∫ ∫Ri

KdA = 2πm− 3πm+m∑i=1

3∑j=1

φij

Por otro lado, como la triangulación está formada por m triángulos y cada lado está en dos de ellos,se sigue que el número de lados es L = 3m

2 , de donde 3πm = 2π 3m2 = 2πl. Ahora, puesto que∑m

i=1

∑3j=1 φij es la suma de todos los ángulos de la triangulación, y en cada vértice los ángulos suman

2π, obtenemos que∑m

i=1

∑3j=1 φij = 2πV , con V el número de vértices de la triangulación. En estas

condiciones, escribiendo C = m, tenemos:∫ ∫SKdA = 2πm− 3πm−

m∑i=1

3∑j=1

φij = 2π(C − L+ V ) = 2πχ(S)

Del teorema anterior podemos extraer las siguientes consecuencias:

Si S es una superficie regular conexa y compacta con curvatura de Gauss K(p) > 0 ∀p ∈ S,entonces χ(S) > 0, por lo que χ(S) = 2, de donde S es difeomorfa a S2.

Sea S una superficie regular compacta con curvatura de Gauss K. Entonces tenemos:

• si χ(S) ≥ 0 (resp. χ(S) > 0), entonces existe un punto p ∈ S tal que K(p) ≥ 0 (resp.K(p) > 0);

• si χ(S) ≤ 0 (resp. χ(S) < 0), entonces existe un punto p ∈ S tal que K(p) ≤ 0 (resp.K(p) < 0).

Sea S una superficie regular orientada con curvatura de Gauss K y consideremos un polígono(curvilíneo) geodésico orientado positivo, R, con m lados, ángulos externos θi, y ángulos inter-nos φi = π − θi, i = 1, ...,m. Entonces de la fórmula

∫ ∫RKdA +

∑mi1θi = 2π, obtenemos∫ ∫

RKdA =∑m

i=1 φi + (2 − m)π. En particular, si R es un triángulos geodésico, es decir,m = 3, tenemos

∫ ∫RKdA =

∑3i=1 φi − π.

Si K ≤ 0, entonces una geodésica γ de S no puede poseer puntos múltiples14, ni dos geodésicasγ1 y γ2 de S pueden tener más de una intersección, en el supuesto que sus trazas constituyan lafrontera de una región simple de S.

Demostración. Supongamos que es cierto. Entonces en el primer caso, m = 1 y φ = φ1 ≥ 0 y∫ ∫RKdA = φ+ π > 0, lo que contradice la hipótesis de que K ≤ 0.

En el segundo caso m = 2, φ1 > 0 y φ2 > 0, de donde∫ ∫

RKdA = φ1 + φ2 > 0 lo que es unacontradicción.

Si existen dos geodésicas cerradas simples γ1 y γ2 sobre una superficie conexa y compacta conK > 0 en todo punto, entonces se cortan.

Demostración. En primer luegar nótese que S es difeomorfa a la esfera y que toda geodésicacerrada simple divide a S en dos regiones. Ahora supongamos por reducción al absurdo que existendos geodésicas cerradas simples en la superficie γ1 y γ2 tales que no se cortan. Sin pérdida de

14Luego S no posee geodésicas cerradas.


generalidad podemos suponer que la región R1 con frontera γ1 está contenida en R2 con fronteraγ2. En estas condiciones aplicamos la fórmula de Gauss-Bonnet a R1 y R2, obteniendo:∫

δR1

kg(s)ds+∫ ∫

R1

KdA+n∑i=1

θi1 = 2π

∫δR2

kg(s)ds+∫ ∫

R2

KdA+m∑i=1

θi2 = 2π

Donde θi1. θi2 son los ángulos externos de γ1 y γ2. Como γ1 y γ2 son geodésicas∫δR1

kg(s)ds =∫δR2

kg(s)ds = 0. Además∑2

i=1 θi1 =∑2

i=1 θi2 = 0, ya que los ángulos externos de una curvaregular son todos nulos.Por otro lado,∫ ∫

R2

KdA =∫ ∫

R1

KdA+∫ ∫

R2−R1

KdA ⇒∫ ∫

R2−R1

KdA = 0

Lo que es una contradicción.

Capítulo 3

Geometría intrínseca.

3.1. Variedades y superficies diferenciables.

Definición 3.1.1. Sea M un conjunto.

Una aplicación x : U ⊂ M → Rn inyectiva y con imagen un subespacio abierto de Rn sellama carta1. A la imagen de cada elemento de M , x(m) = (x1(m), ..., xn(m)),se le llama elconjunto de coordenadas de m (respecto de la carta dada). A U se le llama dominio de la carta.Escribiremos x : M → Rn aún cuando el dominio no sea todo M .

Se llama atlas sobre M a una colección A de cartas sobre Rn cuyos dominios recubran todo M .

Se llama atlas C∞ a un atlasA tal que para cualesquiera dos cartas x, y ∈ A cuyos dominios U ,Vtengan intersección no vacía resulta que x(U ∩V ), y(U ∩V ) son abiertos de Rn y la composicióny ◦ x−1 : x(U ∩ V ) ⊂ Rn → y(U ∩ V ) ⊂ Rn es un difeomorfismo C∞. La composición y ◦ x−1

se denomina cambio de coordenadas o cambio de carta.

Definición 3.1.2. Una variedad diferenciable es un conjunto M dotado de un atlas maximal2. Se llamadimensión de la variedad M a la dimensión del espacio euclídeo Rn donde toman valores las cartas.

Definición 3.1.3. Se denomina superficie a toda variedad diferenciable de dimensión dos.

El conjunto F(M) de funciones diferenciables de una variedad diferenciable es un anillo respecto de lasoperaciones de suma y producto de funciones.

Definición 3.1.4. Sean M una variedad diferenciable y x : U → Rn una carta. Designaremos lasfunciones coordenadas por xi, es decir, x(p) = (x1(p), ..., xn(p)). Se llama derivada parcial, ∂

∂xi, al

operador∂

∂xi: F(U)→ F(U)

definido como(∂∂xi

)(f)(p) =

(∂(f◦x−1)

∂ti

)x(p)

, siendo (t1, ...tn) las coordenadas en Rn.

En particular, las propias funciones coordenadas de la carta se pueden derivar:(∂

∂xj

)(xj) =

(∂(xj ◦ x−1)

∂ti

)=∂tj

∂ti= δji

1Obsérvese que una carta no es más que la inversa de una parametrización.2Todas las variedades diferenciables que vamos a considerar serán Hausdorff y verificarán el segundo axioma de numerabil-

idad. Por tanto serán metrizables, paracompactas y admitirán particiones diferenciables de la unidad.

24 3. Geometría intrínseca.

Definición 3.1.5. Sea M una variedad diferenciable. Un campo vectorial X sobre M es una aplicaciónX : F(M)→ F(M) que verifica las siguientes propiedades:

Es R-lineal: X(αf + βg) = αX(f) + βX(g), para cualesquiera f, g ∈ F(M), α, β ∈ R.

Verifica la ley de Leibnitz: X(fg) = X(f)g + fX(g), para cualesquiera f, g ∈ F(M).

Denotaremos X(M) el conjunto de campos vetoriales sobre la variedad M .

En cada carta x : U → Rn un campo vectorial admite una expersión única como X = ∂∂xiXi donde

Xi ∈ F(U), y la experión está sumada en i según el convenio de Einstein3, de donde

X(f) =(∂

∂xiXi

)(f) =

∂f

∂xiXi

Definición 3.1.6. El espacio vectorial real de dimensión n que tiene como base las derivadas parcialesen un punto p de una variedad M se denomina espacio tangente de la variedad en el punto y lo deno-taremos TpM . Sus elementos se llaman vectores tangentes.

Si X ∈ X(M) es un campo vectorial en M , p ∈ M y x : U → Rn es una carta con p ∈ U , entoncesX(p) = ∂

∂xiXi(p) es un vector tangente.

La ley del cambio de carta es la que permite cambiar de carta. Todas las construcciones anteriores sonindependientes de la carta escogida. Si X ∈ X(M) es un campo vectorial y si las expresiones localesde X en dos cartas x : U → Rn, y : V → Rn son X = ∂

∂xiXi; Y = ∂

∂yαYα, la relación entre las

funciones coordenadas del campo X en una y otra carta es:

Xi =∂xi

∂yαY α

Definición 3.1.7. El conjunto TM =⋃p∈MTpM de vectores tangentes a una variedad diferenciable se

denomina fibrado tangente de la veriedad4.

TM también tiene estructura de variedad diferenciable, de dimensión doble de la de M . Además, ori-entable. De modo natural se establece la proyección π : TM →M , que a cada vector le hace correspon-der el punto en que es tangente.

Una sección σ del fibrado tangente es una aplicación σ : M → TM tal que π ◦ σ = idM . Es decir,es una aplicación que a cada punto p le hace corresponder un vector σ(p) ∈ TpM . Por tanto, un campovectorial sobre una variedad no es más que una sección diferenciable del fibrado tangente de la variedad.

Definición 3.1.8. La aplicación tangente o diferencial de una aplicación ϕ : M → N entre variedadesse define del siguiente modo geométrico: al vector v = α′(t0) ∈ TpM le hace corresponder el vectorϕ∗(v) = (ϕ ◦ α)′(t0) ∈ Tϕ(p)M , esto es, componiendo la curva α con la aplicación ϕ se obtiene unanueva curva en N y la aplicación tangente hace corresponder a la velocidad de la primera curva (esdecir, al vector v) la velocidad de la segunda.

3Según el convenio de sumación de Einstein siempre que un índice se repita dos veces, una situado como subíndice y laotra como superíndice se entiende que se están sumando todas las cantidades que se obtienen al variar el índice entre todos losposibles valores (en nuestro caso, entre 1 y n).

4TM se define como unión disjunta para que tenga estructura de variedad diferenciable. Por ejemplo si consideramosM = R2, TM = R2. Si hubiésemos definido TM =

⋃p∈M TpM no como unión disjunta tendríamos que TM = R2

− ∪{(0, 0)} ∪ R2

+ (denotando R2−,R2

+ los semiplanos abiertos inferior y superior) lo cual no es una variedad diferenciable.

3.1 Variedades y superficies diferenciables. 25

Resulta que es un homomorfismo de espacios vectoriales y que es isomorfismo si la aplicación es difeo-morfismo. Más aún, se tiene el recíproco que es el teorema de la función inversa para variedades5: si laaplicación tangente es isomorfismo en p entonces la aplicación ϕ es un difeomorfismo en un entorno de p.

La aplicación tangente se puede definir así entre los fibrados tangentes ϕ∗ : TM → TN y verifica lassiguientes propiedades:

(ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗ ◦ ϕ∗, siempre que se tenga M1ϕ→M2

ψ→M3.

id∗ = id, siendo id : M →M la identidad.

La expresión en coordenadas locales es la siguiente:

ϕ∗

(∂

∂xi

)=

∂

yα∂ϕα

∂xi

siendo x : U → Rm, x(p) = (x1(p), ..., xm(p)), una carta de M; y : V → Rn, y(q) = (y1(q), ..., yn(q)),una carta de N; ϕα = yα ◦ ϕ.Así, en coordenadas se tiene la matriz jacobiana

∂ϕ1

∂x1 · · · ∂ϕ1

∂xm...

. . ....

∂ϕn

∂x1 · · · ∂ϕn

∂xm

Es claro que si ϕ∗ : TpM → Tϕ(p)N es un isomorfismo de espacios vectoriales entonces la matriz jaco-biana es cuadrada (m = n) y de determinante no nulo. Como las cartas son difeomorfismos, la aplicaciónjacobiana y ◦ ϕx−1 : x(U) → y(V ) también tiene determinante no nulo en el punto x(p). Aplicando elteorema de la función inversa, existen entornos U ′ de x(p) y V ′ de y(ϕ(p)) tales que y◦ϕ◦x−1|U ′ → V ′

es un difeomorfismo. Entonces ϕ|x−1(U ′) : x−1(U ′)→ y−1(V ′) es un difeomorfismo. Con lo que quedaprobado el teorema de la función inversa para variedades.

Algebraicamente, la aplicación tangente actúa sobre los campos vectoriales haciendo corresponder acada campo X ∈ X(M) un campo vectorial ϕ∗(X) ∈ (N) que queda definido por su actuación osbrelas funicones de N como:

ϕ∗(X)(h) = X(h ◦ ϕ),∀h ∈ F(N)

Definición 3.1.9. Sean M y N dos variedades diferenciables y f : M → N una aplicación diferencia-ble. Se dice que:

f es una inmersión si la aplicación tangente f∗ : TpM → Tf(p)N es inyectiva, para todo p ∈M .

f es un embedding si es una inmersión inyectiva.

M es una subvariedad de N si M ⊂ N y la inyección natural f : M → N es una inmersión.

M es una subvariedad regular de N si es una subvariedad y la topología de M coincide con larestricción de la de N .

f es un embedding regular si es un embedding y f(M) es una subvariedad regular de N . En talcaso, f : M → f(M) es homeomorfismo y también difeomorfismo.

5Ver F. W. Warner:Foundatios of Differential maps and Lie groups. Scott, Foresman and Co., Glenview, III.,1971, p. 24.


3.2. Superficies riemannianas abstractas.

Los conceptos de geometría intrínseca, son aquéllos que dependen sólo de la primera forma fundamental,la cual se define a partir de un producto interior en cada Tp. En el caso de R3 considerábamos el productoescalar heredado. Si lo cambiamos por otro cualquiera que varíe diferenciablemente podemos considerasrlos símbolos de Christoffel, la curvatura de Gauss, y demás conceptos intrínsecos definidos del mismomodo que teníamos cuando el pro ducto interior era el heredado de R3. Para ello introducimos el siguienteconcepto:

Definición 3.2.1. Se denomina superficie riemanniana al par (M, g) donde M es una superficie difer-enciable y g es un campo tensorial de tipo (0, 2) simétrico y definido positivo6.

Es decir,g : X(M)× X(M)→ F(M)

(X,Y ) → g(X,Y )

tal que:

es F(M)-lineal: g(X + Y,Z) = g(X,Z) + g(Y, Z); g(fX, Y ) = gf(X,Y );

g(X,Y ) = g(Y,X);

(g(X,X))p ≥ 0, ∀X ∈ X(M), ∀p ∈M y (g(X,X))p = 0⇔ Xp = 0

De modo que para cada p ∈M gp : TpM × TpM → R es una forma bilineal simétrica:

gp(Xp, Yp) = gp(Yp, Xp);

gp(αXp + βYp, Zp) = αgp(Xp, Zp) + βgp(Yp, Zp);

gp(Xp, Xp) ≥ 0, dándose la igualdad si y sólo si Xp = 0.

cuando Xp, Yp, Zp ∈ TpM , α, β ∈ R.Se dice que g es una métrica riemanniana o primera forma fundamental de la superficie.

Como g es un campo tensorial (0, 2) se expresa en coordenadas7:

g = g11dx1 ⊗ dx1 + 2g12dx

1 ⊗ dx2 + g22dx2 ⊗ dx2

de donde:

g

(∂

∂x1,∂

∂x1

)= g11dx

1

(∂

∂x1

)dx1

(∂

∂x1

)+2g12dx

1

(∂

∂x1

)dx2

(∂

∂x1

)+g22dx

2

(∂

∂x1

)dx2

(∂

∂x1

)= g11

g

(∂

∂x1,∂

∂x2

)= g11dx

1

(∂

∂x1

)dx1

(∂

∂x2

)+2g12dx

1

(∂

∂x1

)dx2

(∂

∂x2

)+g22dx

2

(∂

∂x1

)dx2

(∂

∂x2

)= g12

g

(∂

∂x2,∂

∂x2

)= g11dx

1

(∂

∂x2

)dx1

(∂

∂x2

)+2g12dx

1

(∂

∂x2

)dx2

(∂

∂x2

)+g22dx

2

(∂

∂x2

)dx2

(∂

∂x2

)= g22

6Esta definición se generaliza de manera natural a cualquier dimensión.7Por comodidad, escribiremos la métrica g = g11(dx

1)2 + 2g12dx1dx2 + g22(dx

2)2. Nótese además que esta definicióngeneraliza la definición de la primera forma fundamental para superficies

3.2 Superficies riemannianas abstractas. 27

Matricialmente, como g es una aplicación bilineal, lo anterior se expresa

g(X,Y ) = Xt

(g11 g12

g12 g22

)Y

En cada punto p ∈M podemos definirgp : TpM × TpM → R

(v, w)→ gp(v, w) = (g(X,Y ))p

con X,Y ∈ X tales que Xp = v, Yp = w. La definición anterior no depende de X e Y .En coordenadas lo anterior se expresa:

gp

((∂

∂xi

)p

,

(∂

∂xj

)p

)= gij(p)

Lema 3.2.2. Dadas dos cartas (U, x1, ..., xn) y (V, y1, ...yn) en M con U ∩ V 6= ∅, consideramos las subvar-iedades riemanniamas (U, gij) y (V, gαβ). En estas condiciones se verifica la ley del cambio de carta:

gαβ =∑

i,j∈{1,2}

gij∂xi

∂yαxj

yβ

Nota 3.2.3. En cada TpM , g induce un producto escalar, denominado métrica riemanniana sobreM , donde gij =∂∂xi

∂∂xj , i, j ∈ {1, 2}. Podemos extender así a variedades riemannianas de dimensión dos todos los conceptos de

geometría intrínseca (obsérvese que gp sólo depende de la superficie y no del espacio ambiente, por lo que estosconceptos se denominan intrísecos). Para ello lo que haremos será definir los símbolos de Christoffel de S entérminos de g11, g12 y g22. El resto de conceptos de geometría intrínseca se definen a partir de los símbolos deChristoffel, por lo que son los mismos que vimos para superficies de R3

Definición 3.2.4. Las ecuaciones de los símbolos de Christoffel son las siguientes:

Γmi,j =2∑k=1

12

(∂gik∂uj

− ∂gij∂uk

+∂gjk∂ui

)gkm ∀i, j,m ∈ {1, 2}

Definición 3.2.5. Sea α(t) : I → M , t ∈ (a, b) ⊂ R una curva parametrizada regular8, se define su longitud dearco desde el punto t0 como:

l(t) =∫ t

t0

‖α′(t)‖ dt =∫ t

t0

〈α′(t), α′(t)〉 dt =∫ t

t0

√√√√ 2∑i,j=1

dhidt

dhjdt

gij dt

Esto nos permite definir la distancia entre dos puntos p, q ∈ S como:

d(p, q) = inf{l(α) | p, q ∈ α curva en S}

Se trata del ínfimo de un conjuno no vacío de números reales, acotado inferiormente por 0. Luego dicho ínfimoexiste. El mínimo no tiene por qué alcanzarse. Un ejemplo en el que el mínimo no se alcanza es el par de puntos(−1, 0), (1, 0) en la veriedad riemanniana

(R2 − {(0, 0)}, (dx)2 + (dy)2

). El camino de longitud mínima es el

rectilíneo que une p y q, pero ese camino no pertenece a la variedad ya que pasa por el (0, 0), así que dicho caminono existe.

Una variedad riemanniana conexa (M, g) es, por tanto, un espacio métrico con la función de distancia d(p, q). Sedemuestra que la topología de este espacio métrico coincide con la dada por la estructura de variedad diferenciable9

de M 10.8Es decir, ‖α′(s)‖ = 1.9La base de esta topología está constituida por la colección de dominios de cartas (del atlas maximal) de M .)

10Idea de la demostración:


Definición 3.2.6. Se define el área de una región acotada R de una superficie regular S parametrizada por xcomo:

A = A(R) =∫ ∫

x−1(R)

√det(g)dudv =

∫ ∫x−1(R)

√g11g22 − g2

12dudv

Nota 3.2.7. El área de una superficie en R3 se puede hallar de dos maneras: usando la definición anterior oempleando el producto vectorial de R3. Si consideramos superficies abstractas sólo podemos emplear la definiciónprecedente.

3.2.1. Visualización de métricas riemannianas.Sea (S, g) una superficie riemanniana. Para cada punto p ∈ S está definido el espacio vectorial TpS de dimensión2. Podemos considerar ahora el conjunto de vectores εp ⊂ TpS:

εp = {vp ∈ TpS|gp(v, v) = 1}

que es una elipse en TpS con centro el vector nulo. La elipse y la métrica se determian la una a la otra. Por ejemplo,dado cualquier vector no nulo v la longitud

√(gp(v, v)) es el único escalar positivo c tal que v/c ∈ εp.

Por lo tanto, podemos ver la métrica de Riemann g como un campo el elipses, una en cada TpS ∀p ∈ S. Si (U, x)es cualquier carta de S, podemos representar g|U mediante un campo de elipses en el abierto del plano x(U).Éste varía con los cambios de coordenadas pero la métrica representada siempre es la misma: el mismo campo deelipses en los TpS.

Seguramente el lector habrá pensado que una mejor forma de visualizar una métrica bidimensional g es encontraruna superficie S en R3 y una parametrización x de S cuya primera forma fundamental sea g.Es decir si las coordenadas locales son (u, v) y en ellas es g = g11(du)2 + 2g12dudv + g22(dv)2, pretendemosencontrar tres funciones x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) que satisfagan el sistema de ecuaciones en derivadasparciales no lineales:

x2u + y2

u + z2u = g11(u, v)

xuxv + yuyv + zuzv = g12(u, v)x2v + y2

v + z2v = g22(u, v)

Pero tenemos el siguiente resultado:

Teorema 3.2.8 (Pogorelov). Existe una métrica en el plano tal que ningún entorno del origen, por pequeño quese tome, es la primera forma fundamental de niguna superficie diferenciable en el espacio euclídeo.

La métrica de Pogorelov es complicada11, por lo que podríamos pensar que lo anterior carece de interés. Sin em-bargo hay métricas “interesantes” que presentan un comportamiento similar, como el modelo del plano hiperbólicodel semiplano de Poincaré12. No es posible construir la métrica hiperbólica13 mediante superficies en el espacioeuclídeo: pueden obtenerse trozos de la métrica hiperbólica mediante primeras formas fundamentales de superfi-cies en el espacio euclídeo, pero es imposible obtener así el plano hiperbólico en su totalidad.

d así definida cumple las cuatro propiedades de la definición de distancia;

mediante d obtenemos una base de abiertos de la variedad M como espacio métrico;

consideramos la base de la topología de M dada por la colección de dominios de cartas de M ;

se comprueba que ambas topologías coinciden.

11Pogorelov en su artículo An example of a two-dimensional Riemannian metric that does not admit a local realization inE3,Dokl. Akad. Nauk SSSR, 198(1971), 42-43 construye una métrica C2,1 en R2 que en un entorno del origen no admite ningúnembedding C2 en el espacio euclídeo tridimensional. (Una función se dice C2,1 si sus segundas derivadas son Lipschitz).Laconstrucción de la misma es complicada y se basa en varios lemas acerca de funciones convexas y superficies.

12Ver ejemplo 3.4.213Ver teorema 3.3.9

3.3 Inmersión de superficies. 29

3.3. Inmersión de superficies.Teorema 3.3.1 (Whitney). Toda variedad diferenciable de dimensión n admite un embedding regular en R2n

Teorema 3.3.2. Una variedad topológica compacta y no orientable, de dimensión n − 1, no puede admitir unembedding en la esfera Sn

Como consecuencia se tiene que una superficie compacta y no orientable no admite un embedding en S3, y tam-poco en R3 (porque R3 ⊂ S3 vía la proyección estereográfica: S3 es la compactificación de Alexandroff de R3).

Ejemplos de lo anterior son el plano proyectivo real que es una superficie compacta no orientable que admiteuna inmersión en R3 con autointersecciones y un embedding en R4, pero no lo puede admitir en R3. Lo mismo leocurre a la botella de Klein.

Nuestro objetivo es el estudio superficies inmersas en R4, que, por tanto, heredan la métrica de R4 (como subvar-iedades riemannianas de R4).

Definición 3.3.3. Dada una variedad riemanniana (M, g) y p ∈ TpM se define la aplicación exponencial como

expp : TpM →M

v → γv(1)

donde γv : (a, b) ⊂ R→M es la única geodésica tal que γv(0) = p y γ′v(0) = v.

Nota 3.3.4. El nombre de aplicación exponencial procede de la teoría de grupos de Lie, donde el caso más sencilloes la aplicación T1R+ → R+, t→ exp t del espacio tangente T1R+ del grupo multiplicativo R+ de los númerosreales positivos.

Geométricamente, la exponencial expp(v) es el punto de M que se obtiene al recorrer una distancia ‖v‖, a partirde p, a lo largo de la geodésica que pasa por p con velocidad igual a v

‖v‖ . Lo anterior es equivalente14 a recorreruna “distancia” igual a 1, a partir de p, a lo largo de la geodésica que parte de p con velocidad v.

Proposición 3.3.5. La aplicación exponencial es un difeomorfismo local.

Definición 3.3.6. Sean las notaciones anteriores. Se dice que una variedad riemanniana (M, g) es geodésica-mente completa si γv está definida en todo R ∀v ∈ TpM .

Teorema 3.3.7 (Hopf-Rinow (1931)). Sea M una variedad riemanniana y sea p ∈ M . Las siguientes afirma-ciones son equivalentes:

expp está definida para todo TpM ;

los subconjuntos cerrados y acotados de M son compactos;

M es completa como espacio métrico;

M es geodésicamente completa.

Si se verifica alguna de las condiciones anteriores también se tiene que para cada par de puntos p, q ∈ M existeuna geodésica de longitud mínima uniendo p y q. Además, admitido el teorema de Hopf-Rinow, resulta inmediatoque toda variedad riemanniana compacta es completa15.

Teorema 3.3.8 (Minding (1839)). Dos superficies regulares que tengan curvaturas de Gauss iguales y constantesson localmente isométricas.

14Esta equivalencia es una consecuencia del lema de homogeneidad que afirma que si una geodésica γp(v) está definida en(−ε, ε), entonces la geodésica γp(av), a > 0 está definida en (−ε/a, ε/a).Como consecuencia, es posible aumentar (disminuir)la velocidad de una geodésica disminuyendo (aumentando, respectivamente) su intervalo de definición.

15Si M es compacta todo subconjunto cerrado de M es compacto, con lo que la segunda condición se verifica trivialmente.


Teorema 3.3.9 (Hilbert (1901)). Una superficie completa con curvatura constante negativa no se puede aplicaren R3 mediante una inmersión isométrica.

Luego el plano hiperbólico16 H2 no admite un embedding isométrico en R3 pero localmente es isométrico a unasuperficie de R3: la pseudoesfera, pues ambos tienen la misma curvatura. Lo que ocurre es la psudoesfera en R3

no es geodésicamente completa.

Llegados a este punto nos podemos preguntar a cerca de en qué condiciones una variedad admite un embeddingisométrico en Rn. Y, de ser así, cuál es el menor valor de n para el cual lo admite. Sobre esto existen numerososresultados y problemas abiertos.

Embeddings Isométricos de Variedades Riemannianas.En 1873, Schlaefli conjeturó: Toda variedad riemanniana n-dimensional admite un embedding isométrico C∞ lo-cal en Rsn , con sn = n(n + 1)/2. Janet y Cartan fueron quienes más de 50 años después dieron una respuestaafirmativa en el caso analítico. Probaron en 1926-1927 que toda variedad riemanniana analítica n-dimensional ad-mite un embedding isométrico local en Rsn . De hecho, sn se llama dimensión de Janet. La pregunta de Schlaeflipara el caso diferenciable cuando n = 2 suscitó la atención e Yau en las décadas de los 80 y 90.

En el caso de los embeddings isométricos globales, Nash en 1954 y Kuiper en 1955 probaron la existencia deun embedding isométrico global C1 de variedades riemannianas n-dimensionales en R2n+1. Para los embeddingsisométricos diferenciables, la dificultad viene de la pérdida de derivadas que se produce al resolver las ecuacionesno lineales correspondientes al embedding isométrico. En 1956, Nash publicó un artículo en el que se evita lo ante-rior usando operadores diferenciables. Probó que toda variedad riemanniana n-dimensional admite un embeddingisométrico global C∞ en el espacio euclídeo RN con N = 3sn + 4n si es compacta y N = (n + 1)(3sn + 4n)si no lo es. La técnica de demostración que introdujo ha resultado ser muy útil a la hora de resolver ecuacionesdiferenciales no lineales. Ha sido modificada por mucha gente, incluyendo a Moser y a Hörmander, y actualmentese conoce como la versión fuerte del teorema de la función implícita, o la iteración de Nash-Moser.

Siguiendo la línea de Nash, lo que uno se pregunta de forma natural es por el menor N . Gromov en su libro PartialDifferential Relations, publicado en 1986, estudió varios problemas relacionados con los embeddings isométricosde variedades riemannianas. Probó queN = sn+2n+3 es suficiente en el caso compacto. Más adelante, en 1989,Günther simplificó bastante la prueba original de Nash. Reescribiendo las ecuaciones diferenciales de manera ac-ertada, fue capaz de emplear el principio de contracción, en vez de la iteración de Nash-Moser para construir lassoluciones. Günter también redujo la dimensión del espacio ambiente a N = max{sn + 2n, sn + n+ 5}. Aún noestá claro si este es el mejor resultado posible.

En 1970, Gromov y Rokhlin y Greene, independientemente, probaron que toda veriedad riemanniana n-dimensionaladmite un embedding isométrico C∞ en Rsn+n localmente. La prueba se basa en la técnica de iteración que intro-dujo Nash.

Para el caso de superficies riemannianas existen mejores resultados. De acuerdo con Gromov y Günther, toda su-perficie riemanniana compacta admite un embedding isométrico en R10. Dependiendo de las propiedades de lasuperficie esta cota puede rebajarse, como veremos en algunos ejemplos. Por otro lado, en 1973 Poznyak demostróque toda superficie riemanniana admite un embedding isométrico local en R4.

Embedding isométrico local de superficies en R3.Darboux en 1894 sabía que la construcción de un embedding isométrico local de una superficie en R3 es equiva-lente a encontrar la solución local de una ecuación no lineal del tipo Monge-Ampère. Tal ecuación ahora se conocecom la ecuación de Darboux; su tipo viene determinado por el signo de la curvatura de Gauss K. Se dice elípticasi K es positiva; hiperbólica, si es negativa; y degenerada si K es nula. Señalemos que la resolución local de laecuación de Darboux en el caso general no está cubierta por ninguna teoría de ecuaciones en derivadas parcialesconocida.

16Ver ejemplo 3.4.2.

3.3 Inmersión de superficies. 31

Pero el primer intento resolver este problema no fue a través de la ecuación de Darboux. En 1908, Levi lo resolviópara superficies con curvatura negativa usando las ecuaciones de las asíntotas virtuales. Varias décadas más tardefue cuando la ecuación de Darboux atrajo la atención de aquéllos interesados en los embeddings isométricos. Alprincipio de la década de los 50, Hartman y Winter estudiaron la ecuación de Darboux en el caso en que la curvatu-ra de Gauss K es no nula y probaron la existencia de soluciones locales de la ecuación de Darboux, y, por tanto, laexistencia del embedding isométrico local en R3 en ese caso.

Durante mucho tiempo se resistió la prueba del caso en que K se anula. En 1985 y 1986, Lin llevó a cabo unimportante avance. Obtuvo la existencia de soluciones suficientemente diferenciables de la ecuación de Darbouxy a la vez probó la existencia de un embedding isométrico en un entorno de p en los casos en que K(p) = 0 ydK(p) 6= 0, o K ≥ 0 en un entorno de p. Más tarde, Nakamura probó la existencia de un embedding isométri-co local si K(p) = 0, dK(p) = 0 y HessK(p) < 0. Para el caso de curvatura de Gauss no positiva, Hongen 1991 probó la existencia de un embeding isométrico local suficientemente diferenciable en un entorno de p siK = hg2m, con h una función negativa y g una función tal que g(p) = 0 y dg(p) 6= 0. En 2005, Han dio unaprueba más simple del resultado de Lin basada en un estudio más cuidadoso de la ecuación de Darboux.

En 2003, Han, Hong y Lin estudiaron los embeddings isométricos de superficies en R3 mediante otro método.En vez de la ecuación de Darboux, estudiaron un sistema diferencial cuasilineal equivalente a las ecuaciones deGauss-Codazzi y probaron la existencia del embeddings isométricos locales para una gran clase de métricas concurvatura de Gauss no positiva, obteniendo los resultados de Nakamura y Hong como casos particulares.Por otro lado, Pogorelov en 1972 construyó una métrica C2,1 en B1 ⊂ R2 cuya curvatura de Gauss cambia designo de tal modo que (Br, g) no puede inmersa como superficie C2 de R3 para ningún r > 0.

Embedding isométrico global de superficies en R3.En 1916, Weyl propuso el siguiente problema. ¿Admite toda métrica riemanniana en S2 con curvatura de Gausspositiva un embedding isométrico en R3? El primer intento de solución de este problema lo llevó a cabo el pro-pio Weyl. Usó el método de la continuidad y obtuvo estimadores para las segundas derivadas. Veinte años mástarde, Levy resolvió el problema para g una métrica analítica. En 1953, Nirenberg dio un solución completa ba-jo la hipótesis de que la métrica g fuese C4. Heinz extendió este resultado al caso C3 en 1962. Bajo un punto devista completamente diferente, Alexandroff en 1942 obtuvo una solución generalizada del problema de Weyl comolímite de poliedros. La regularidad de esta solución generalizada fue demostrada por Porgorelov al finales de loscuarenta. En 1994 y 1995, Huan y Li, y Hong y Zuily generalizaron el resultado de Nirenberg para métricas en S2

con curvatura de Gauss no negativa.

El estudio de supreficies con curvatura negativa en R3 está muy ligado a las geometrías no euclídeas. La investi-gación sobre la inmersión de métricas con curvatura negativa nos remite hasta Hilbert. Él probó en 1901 que elplano hiperbólico no admite una inmersión isométrica en R3. A continuación, lo natural es extender tal resultadoa superficies cuya curvatura de Gauss esté acotada superiormente por una constante negativa. La solución a esteproblema fue obtenida por Efimov en 1963 quien probó que las superficies con curvatura de Gauss acotada supe-riormente por cero no admiten una inmersion isométrica C2 en R3.

Antes de los años setenta, el estudio de las superficies con curvatura negativa estaba dirigido, sobre todo, a lano existencia de inmersiones isométricas en R3. En cuanto a la existencia, no se conocía ningún resultado parasuperficies con curvatura de Gauss negativa en todo punto. En los ochenta, Yau propuso encontrar una condiciónsuficiente para que tales superficies admitiesen una inmersión isométrica en R3. En 1993, Hong probó que bastabacon que la curvatura de Gauss decreciese en algún momento a infinito, basándose en un sistema diferencial equiv-alente al sistema de Gauss-Codazzi.

Embedding isométrico local de variedades riemannianas n-dimensionales en Rsn .El problema de la existencia de un embedding isométrico local de una variedad riemanniana n-dimensional en Rsn

es muy distinto si n ≥ 3 o si n = 2. Para n = 2, sólo hay una única función de curvatura que determina el tipode la ecuación de Darboux, es decir, la ecuación del embedding isométrico de las superficies riemannianas en R3.Para n ≥ 3, el papel de las funciones de curvatura no está tan claro.


En 1983, Bryant, Griffiths y Yang estudiaron las variedades características asociadas con los sistemas diferencialespara los embeddings isométricos de variedades riemannianas n-dimensionales. Probaron que tales variedades nun-ca son vacías si n ≥ 3. Esto implica, en particular, que los sistemas diferenciales para los embeddings isométricosen Rsn variedades riemannianas n-dimensionales nunca son elípticos si n ≥ 3, sin depender de las curvaturas. Loque representa una gran diferencia con el caso n = 2.

En el caso n = 3, Bryant, Griffiths y Yang , en 1983, estudiaron las variedades características, siendo capacesde clasificar el tipo de sistema diferencial para el embedding isométrico según sus funciones de curvatura. Aquíinterviene la signatura del tensor de curvatura visto como un operador lineal simétrico actuando sobre el espacio delas 2-formas. Probaron que toda variedad riemanniana 3-dimensional admite un embedding isométrico local en R6

si la signatura es diferente de (0,0) y (0,1). Posteriormente, en 1989, Nakamura y Maeda demostraron la existenciade un embedding isométrico local en R6 de variedades riemannianas 3-dimenionales si los tensores de curvaturason no nulos.

3.4. Ejemplos.

Ilustremos lo precedente mediante algunos ejemplos:

3.4.1. Superficies de R3

Esfera S2.

Consideramos la parametrización de S2:

x(u, v) = (cosu cos v, sinu cos v, sin v) u ∈ [0, 2π); v ∈[−π

2,π

2

)Calculemos los coeficientes de la primera forma fundamental:

x1 = ∂(x(u,v))∂u = (− sinu cos v, cosu cos v, 0);

x2 = ∂(x(u,v))∂v = (− cosu sin v,− sinu sin v, cos v);

g11 = x1x1 = cos2 v;

g12 = x1x2 = 0;

g22 = x2x2 = 1.

Los símbolos de Christoffel son:

Γ111 = Γ1

22 = Γ212 = Γ2

22 = 0;

Γ112 = − sin v

cos v ;

Γ211 = sin v cos v.

3.4 Ejemplos. 33

Figura 3.1: Triángulo esférico.

Por tanto la curvatura de Gauss de S2 es K = 1. Las geodésicas de la esfera son los círculos máximos. Sellama triángulo esférico a aquel cuyos lados están contenidos en círculos máximos. La suma de los ángulos de untriángulo esférico es mayor que π:∫ ∫

R

KdA+3∑i=1

αi = 2π ⇔∫ ∫

R

KdA =3∑i=1

ϕi − π

donde αi son los ángulos externos del triángulo y ϕi, los internos. Como K = 1, la integral es positiva de donde∑3i=1 ϕi > π. El exceso que se produce se conoce como exceso esférico. obsérvese que, como K = 1, el área de

un triángulo esférico queda determinada por los ángulos. Es por esto que en geometría esférica no existe la nociónde semejanza.

Cilindro.

Parametrizamos el cilindro como sigue:

x(u, v) = (r cosu, r sinu, v) u ∈ [0, 2π), v ∈ R, r = cte ∈ R

Así, los coeficientes de la primera forma fundamental son:

g11 = r2;

g12 = 0;

g22 = 1.

Por tanto los símbolos de Christoffel son todos nulos, luego la curvatura de Gauss del cilindro es K = 0.El sistema de ecuaciones diferenciales de las geodésicas se reduce a las ecuaciones:

d2u

ds2= 0,

d2v

ds2= 0, con la restricción r2

(du

ds

)2

+(dv

ds

)2

= 1

De aquí se sigue que una geodésica será de la forma:

(u(s), v(s)) = (a1, a2)s+ (b1, b2), con b1, b2 ∈ R

Y de imponer la restricción obtenemos que r2a21 + a2

2 = 1. Por tanto obtenemos que una geodésica del cilindro esde la forma:

γ(s) = (r cos(a1s+ b1), r sin(a1s+ b1), a2s+ b2), b1, b2 ∈ R, a1, a2 ∈ E


donde E denota la elipse dada por la ecuación r2a21 + a2

2 = 1. La cual, dependiendo de los valores que tomen lasconstantes será una circunferencia(a2 = 0), una recta o una hélice(b2 = 0).Hay un método más sencillo para determinar las geodésicas del cilindro. Recordemos que el plano es el recubridoruniversal del cilindro. Esto nos permite definir una isometría local y ,por tanto, a partir de las geodésicas del planoobtener las del cilindro.

Consideremos la figura 3.2. Las rectas paralelas que teselan el plano están identificadas. Recubriendo el cilindrocon el plano obtenemos que las rectas del plano se transforman en rectas verticales, circunferencias o hélicescontenidas en el cilindro.

Figura 3.2: Geodésicas del cilindro.

Toro de revolución.

Sea la parametrización del toro:

x(u, v) = (cosu(a+ r cos v), sinu(a+ r cos v), r sin v) u, v ∈ [0, 2π), a, r > 0

Los coeficientes de la primera forma fundamental son:

x1 = (a+ r cos v)(− sinu, cosu, 0);

x2 = r(− sin v cosu,− sin v sinu, cos v);

g11 = (a+ r cos v)2;

g12 = 0;

g22 = r2.

De aquí que los símbolos de Christoffel sean:

Γ111 = Γ1

22 = Γ212 = Γ2

22 = 0;

Γ112 = −r sin v

a+r cos v ;

Γ211 = (a+r cos v) sin v

r .

Lo que nos permite obtener la curvatura de Gauss del toro: K = cos vr(a+r cos v) . De aquí se deduce que el toro posee

puntos parabólicos (v = ±π2 ), hiperbólicos (los del interior) y parabólicos (los del exterior).Estamos tratando una superficie de revolución y es sabido que las geodésicas de una superficie de revolución dela forma x(u, v) = (f(v) cosu, f(v) sinu, g(v)) con f(v) > 0 y (f ′(v))2 + (g′(v))2 = cte ∀v son todos losmeridianos y sólo los paralelos v = v0 que cumplen f ′(v0) = 0. De aquí es inmediato que todos los meridianosdel toro son geodésicas y que los paralelos del toro que son geodésicas se obtienen cuando v = 0 ó v = π.

3.4 Ejemplos. 35

Para calcular el resto de geodésicas, consideremos las ecuaciones diferenciales siguientes:

d2u

ds2− 2

r sin va+ r cos v

du

ds

dv

ds= 0

d2v

ds2+

sin v(a+ r cos v)r

(du

ds

)2

= 0

con la restricción (a+ r cos v)2(duds

)2+ r2

(dvds

)2= 0.

Para resolver la primera, sea w = a + r cos v. Denotaremos ˙ = dds ,¨ = d2

ds2 . Así, w = −r sin vv ⇒ −2w =2r sin vv. Dividimos la primera ecuación por u e integramos:∫

1uu =

∫− 2ww ⇒ u = kw−2, k > 0 ⇒ u =

k

(a+ r cos v)2

.En el caso de la segunda ecuación, multiplicamos por v e integramos:

vv +1r

sin vwu2v = 0 ⇒ vv +1r

sin vwk2

w4v = 0 ⇒ vv +

k2

rw3sin vv = 0

sin vv=− 1r w⇒ vv − k2w

r2w3= 0

∫vv =

k2

r2

∫w

w3⇒ v2 = − k2

r2(a+ r cos v)2+ c, c ∈ R

Así hemos determinado u y v, imponiendo la restricción de que la geodésica ha de estar parametrizada de modonatural, llegamos a que:

1 = ‖α‖ ⇒ 1 =

√k2

(a+ r cos (v(t)))4− k2

r2(a+ r cos (v(t)))2+ c

Para completar cuadrados y poder integrar necesitaríamos suponer que c = k2

4r4 cosa que no es cierta en general.Por lo tanto, para resolver este problema tenemos que atacarlo de otra manera. Vamos a emplear el hecho de quees una parametrización de Clairaut17. Se tiene que una curva β(v) = x(u(v), v), donde x es parametrización deClairaut es una geodésica si y sólo si está parametrizada por la longitud de arco y cumple que

dv

du=

±c√g11√g22(g22 − c2)

donde la constante c se dice inclinación de β. En realidad la parametrización que estamos considerando es casiuna parametrización de Clairaut, los roles de u y v están intercambiados. Así que aplicando lo anterior a nuestraparametrización, obtenemos:

du

dv= ± rc

(a+ r cos v)√

(a+ r cos v)2 − c2

El problema ahora está en que no hay una fórmula cerrada para integrar la expresión anterior. Pero es interesanteel hecho de que du

dv sólo dependa de c ya que se cumple que si α = x(a1, a2) es una geodésica parametrizada demodo natural y si x es parametrización de Clairaut, entonces la función c =

√g22(a1) sinϕ es constante, donde

ϕ es el ángulo que va de xu a α′ (en consecuencia, α no se puede salir de la región en la que g22 ≥ c2). Aplicandoesto a nuestro ejemplo, tenemos que existe c tal que c = (a+ r cos v) sinϕ.

Según los posibles valores de c obtendremos una clasificación de las geodésicas del toro. Podemos distinguir lossiguientes casos18:

17Una parametrización de Clairaut es una parametrización ortogonal (es decir, g12 = 0) para la que g11 y g22 dependensólamente de u.

18Tomaremos c > 0 por simetría.


c = 0 esto implica que dudv = 0 lo que nos da los meridianos.

Figura 3.3: Meridianos del toro.

|c| ≤ a− r. Estas geodésicas atraviesan los ecuadores (el interior y el exterior), además los intersecan conángulos diferentes19, pudiendo pasar por todos los puntos de la superficie, incluso llegando a ser densas enel toro. A medida que c aumenta las geodésicas se van haciendo más tangentes al ecuador interior. (v = π).

Figura 3.4: Geodésicas densas en el toro.

c = a−r. A medida que c aumenta hasta llegar al valor a−r el ángulo que forma la geodésica determinadacon el ecuador interior tiende a cero. Así que cuando finalmente toma exactamente este valor, una de lasgeodésicas que se obtienen es el ecuador interior. El resto de las que se obtienen son “asintóticas” a ésta.

Figura 3.5: Ecuador interior del toro. Geodésica asintótica al ecuador interior.

a− r ≤ |c| ≤ a+ r. Y sabemos que (a+ r cos v) sinϕ = c. De donde si ϕ = Π2 para algún v0 tendremos

que α es tangente al paralelo determinado por v = v0. Aplicando ahora que α no se puede salir de la regiónen la que g22 ≥ c2, obtenemos que (a+ r cos v) ≥ (a+ r cos v0)2 lo que implica que cos v ≥ cos v0, por loque α está en la parte exterior del toro entre los paralelos v0 y −v0. A medida que v0 tiende a π, esta región

19Esto es consecuencia de la relación c = g22(a1)a′2 =

√g22(a1) sinϕ.

3.4 Ejemplos. 37

frontera va creciendo hasta abarcar el toro completo. Nótese que estas geodésicas nunca cortan al ecuadorinterior.

Figura 3.6: Geodésicas “acotadas” en el toro.

c = a + r. A medida que c tiende a a + r, los paralelos que delimitan la región frontera de la geodésicatienden a 0, obteniéndose así como única geodésica posible el ecuador exterior.

Figura 3.7: Ecuador exterior del toro.

|c| ≥ a+ r. En este caso la ecuación que estamos estudiando carece de soluciones reales.

Hemos obtenido así una clasificación de las geodésicas del toro.

Pseudoesfera.

La pseudoesfera de pasudoradio r > 0, es la superficie de revolución generada al girar alrededor del eje z latractriz20 α(v) = r(sin v, 0, cos v + log tan v

2 ), 0 < v < 2π, en el plano xz. Por tanto:

x(u, v) = r(

sin v cosu, sin v sinu, cos v + log tanv

2

), 0 < u < 2π, −π

2< v <

π

2

La pseudoesfera tiene como puntos singulares el paralelo v = 0. No es una superficie regular sino la unión de dossuperficies regulares conexas.

20Esta curva plana tiene la propiedad de que la longitud del segmento que determina la recta tangente en cualquier punto conorigen el punto de tangencia y extremo el punto en que ésta interseca al eje vertical es constante e igual a ‖r‖.


Figura 3.8: Pseudoesfera.

Calculemos su primera forma fundamental:

x1 = r sin v(− sinu, cosu, 0);

x2 = r cos v(cosu, sinu, cos vsin v );

g11 = r sin2 v;

g12 = 0;

g22 = r2 cos2 vsin2 v

;

Luego g = r sin2 vdu2 + r2 cos2 vsin2 v

dv2. Calculemos ahora los símbolos de Christoffel:

Γ111 = Γ1

22 = Γ212 = 0;

Γ112 = −r cos v

sin v ;

Γ222 = − sin2 v

cos v

(sin v + cos2 v(sin2 v+1)

sin3 v

);

Γ211 = − sin3 v

cos v .

De aquí obtenemos que la curvatura de Gauss de la pseudoesfera es −1r2 . Luego todos los puntos de la pseudoesfera

son hiperbólicos.Como la pseudoesfera es una superficie de revolución, los paralelos y el ecuador son geodésicas.

3.4.2. Superficies abstractas.

Plano hiperbólico.

Consideramos el modelo del semiplano de Poincaré. Es decir, sea H2 = {(x1, x2) ∈ R2 : x2 > 0} y seap = (x1, x2) ∈ H2. La métrica en este modelo está definida por:

g11 =1x2

2

; g12 = g21 = 0; g22 =1x2

2

Así, los símbolos de Christoffel de la variedad riemanniana (H2, g) son:

Γ111 = −Γ1

12 = −Γ222 =

1x2

; Γ111 = Γ2

12 = Γ122 = 0

3.4 Ejemplos. 39

De donde se obtiene que la curvatura de Gauss de este modelo es k = −1. De aquí podemos deducir que la sumade los ángulos de un triángulo hiperbólico es menor que π:

∫ ∫R

kdA+3∑i=1

αi = 2π ⇔∫ ∫

R

kdA =3∑i=1

ϕi − π

donde αi son los ángulos externos del triángulo y ϕi, los internos. Como K = −1, la integral es positiva de donde∑3i=1 ϕi < π. La cantidad que le falta para llegar a π se llama defecto hiperbólico. Obsérvese que este hecho es

lo que nos permite teselar el plano hiperbólico con polígonos de cualquier número de lados.De ahí también se deduce que la pseudoesfera de pseudoradio 1 y el plano hiperbólico son localmente isométricos.Las ecuaciones de las geodésicas del plano hiperbólico son:

u− 2uvv

= 0;

v +u2 − v2

v= 0

con la restricción de estar parametrizadas por la longitud de arco. Si u = 0 se obtiene la geodésica u = cte., que esuna recta ortogonal a v = 0. Y si u 6= 0, la primera ecuación nos da (log( uv2 ))′ = 0, luego u = cv2 6= 0, c = cte,

que junto con u2 + v2 = bv2 > 0, b = cte nos lleva a dvdu

2= b

c2 v2 − 1, de donde (u− a)2 + v2 = b

c2 que es unasemicircunferencia con centro en v = 0.

Figura 3.9: Geodésicas del semiplano de Poincaré.

Plano estereográfico.

Consideremos la esfera S2 ⊂ R3 agujereada en el polo norte dotada de su estructura geométrica habitual. Consid-eramos ahora R2 con la métrica heredada de la esfera vía proyección estereográfica (recordemos que la proyecciónestereográfica es una isometría). El producto interior así inducido dota al plano euclídeo de una métrica de cur-vatura +1. Dando lugar a lo que se conoce como plano estereográfico.Con el fin de visualizar este plano, podemos imaginar que las “reglas de medir se vuelven más largas a medida quenos alejamos del origen”:


Figura 3.10: Plano estereográfico.

Obsérvese en la figura anterior (vista lateral del problema) que la distancia entre p y q es la misma que entre r y s,ya que son imágenes de puntos equidistantes en la esfera. De igual modo, las circunferencias con radio muy grandetienen en realidad una longitud estereográfica muy pequeña ya que son imágenes de circunferencias alrededor delpolo norte con radio muy pequeño.Las geodésicas del plano estereográfico se obtienen proyectando las de la esfera. Proyectaremos con centro en elpolo norte. De este modo, obtenemos los siguientes tipos:

rectas pasando por el proyectado polo sur21 obtenidas al proyectar las circunferencias que pasan por lospolos;

la circunferencia que se obtiene de proyectar el ecuador;

las circunferencias secantes a ésta que se obtienen de proyectar el resto de circunferencias máximas de laesfera.

3.4.3. Superficies de R4.

Toro de Clifford.

Consideramos el toro S1 × S1 ⊂ R4 con la métrica heredada. Sea la siguiente parametrización:

x(u, v) = (cosu, sinu, cos v, sin v), u, v ∈ [0, 2π)

Calculemos los coeficientes de la primera forma fundamental:

x1 = ∂(x(u,v))∂u = (− sinu, cosu, 0, 0);

x2 = ∂(x(u,v))∂v = (0, 0,− sin v, cos v);

g11 = 1;

g12 = 0;

g22 = 1;

De aquí es inmediato que los símbolos de Christoffel son:

Γ111 = Γ1

12 = Γ122 = Γ2

11 = Γ212 = Γ2

22 = 0

De donde se concluye que la curvatura de Gauss del toro de Clifford es K = 0. Nótese cuán sorprendente es esteresultado, ya que al considerar el toro como superficie inmersa en R4 obtenemos una superficie plana. Es decir,tenemos dos embeddings no isométricos entre sí del toro: éste y el dado en el ejemplo 3.4.1. Queda probado tam-bién que 4 es el menor valor de n para el cual el toro admite un embedding isométrico en Rn.

21El cual queda fijo. Sin pérdida de generalidad supongamos que se proyecta en el punto (0, 0)

3.4 Ejemplos. 41

Recordemos que el grupo fundamental del toro es Z2, y su recubridor universal es el plano, luego podemos de-scribir el toro como T 2 = R2/Z2. El grupo Z2 actúa sobre R2 mediante traslaciones. Como las traslaciones sonisometrías, esto es lo que permite dotar al toro de una métrica de Riemann que es localmente isométrica a la eu-clídea del plano.

Consideremos el plano R2 como recubridor universal del toro. Es decir, tenemos el plano teselado mediante cuadra-dos con los lados identificados como se aprecia en la siguiente figura:

Figura 3.11: Recubridor universal del toro.

Las rectas verticales dan lugar a los meridianos del toro. Las rectas con pendiente racional dan lugar a geodési-cas del toro homeomorfas a S2, ya que la geodésicas volverá al punto de partida después de un número finito depasos22. Las que tienen pendiente irracional, como nunca llegan a cerrarse dan lugar a geodésicas densas en el toro.

Botella de Klein.

Sea la relación de equivalencia en R2:

(x′, y′) ∼ (x, y) si x′ = x, y′ = y + 2π o x′ − x = 2π, y′ = 2π − y

la botella de Klein está dada por R2/ ∼. Tompkins23 construyó la siguiente inmersión de la botella de Klein planaen R4.Consideremos la siguiente parametrización:

x(u, v) = (cosu cos v, sinu cos v, 2 cosu

2sin v, 2 sin

u

2sin v), u, v ∈ [0, 2π)

La imagen de x = (x1, x2, x3, x4) tiene una curva en la que se autointerseca dada por:

{(x1)2 + (x2)2 = 1, x3 = x4 = 0}

Que corresponde a v = 0 y v = π.Veamos que la métrica es plana, i.e., que K = 0:

22Entendiendo como paso cada vez que la recta interseca la frontera del cuadrado de lados identificados.23Tompkins, C:, A flat Klein bottle isometrically embedded in Euclidean 4-space, Bull. Amer. Math . Soc., 47(1941), 508.


x1 = (− sinu cos v, cosu cos v,− sin u2 sin v, cos u2 sin v);

x2 = (− cosu sin v,− sinu sin v, 2 cos u2 cos v, 2 sin u2 cos v);

g11 = 1;

g12 = 0;

g22 = 1 + 3 cos2 v;

De aquí, g = du2 + (1 + 3 cos2 v)dv2. Los símbolos de Christoffel son:

Γ111 = Γ1

12 = Γ122 = Γ2

11 = Γ212 = 0 y Γ2

22 = − 3 cos v sin v1 + 3 cos2 v

Obteniendo así que la métrica es plana.El cálculo de las geodésicas en la botella de Klein, por tanto, lo podemos hacer de manera análoga al caso del torode Clifford. Teniendo en cuenta que la botella de Klein está dada por la teselación del plano identificada comosigue:

Figura 3.12: Recubridor universal de la botella de Klein.

De esta manera obtenemos que las geodésicas de la botella de Klein son homeomorfas a S1 o no, dependiendo desi son imagen de una recta con pendiente racional o irracional.

Plano proyectivo real.

El plano proyectivo real P2(R) es S2/ ∼, donde la relación de equivalencia ∼ en S2 está dada por

p ∼ p′ si p′ = −p

Si consideramos P2(R) con la métrica heredada de S2 obtenemos una sueprficie no orientable con curvatura deGauss K = 1.La siguiente aplicación f : P2 (R)→ R4 es una inmersión24:

f

x0

x1

x2

=(x2

0

|x|2,

2x0x1

|x|2,

2x0x2 + x21

|x|2,

2x1x2

|x|2

)

donde |x|2 = x20 + x2

1 + x22. Pero no es isómetrico. El menor espacio euclídeo en que el plano proyectivo real

admite un embedding isométrico analítico es R5: considérese r(x, y, z) = (x1, x2, x3, x4, x5) donde

x1 = yz, x2 = xz, x3 = xy

24De hecho, es un embedding regular

3.4 Ejemplos. 43

x4 =1

2√

3(x2 + y2 + z2), x5 =

12

(x2 − y2)

Obviamente r(x, y, z) = r(−x,−y,−z).Se tiene que:

rx = (0, z, y, x√3, x)

ry = (z, 0, x, y√3,−y)

rz = (y, x, 0, −2√3z, 0)

rx · rx = z2 + y2 + x2

3 + x2

ry · ry = z2 + x2 + y2

3 + y2

rz · rz = y2 + x2 + z2

3 + z2

rx · ry = xy3

rx · rz = xz3

ry · rz = yz3

Por lo anterior, la métrica inducida es:

5∑i=1

(dx)2 = (x2 + y2 + z2)(dx2 + dy2 + dz2) +13

(xdx+ ydy + zdz)2

Deshomogeneizando y realizando los mismos cálculos que en los anteriores ejemplos se obtiene que esta métricatiene curvatura de Gauss K = 1.La restricción de r a S2/ ∼ es el embedding buscado. Esta superficie, es decir, la obtenida como imagen de r, esconocida como la superficie de Veronese.

Banda de Möbius.

Considérese la siguiente relación de equivalencia en R2:

(x′, y′) ∼ (x, y) si x′ = x+ 2π, y′ + y = 0

Entonces R2/ ∼ es la banda de Möbius infinita. Blanusa25 construyó la siguiente inmersión isométrica de la bandade Möbius en R4.Para R < 2 fijo, definimos la aplicación r : R× (−R,R)→ R4 como

r(u, v) =(v cos

(u

2+

12

ln(R2 − v2)), v sin

(u

2+

12

ln(R2 − v2)),

12

√4− v2 cosu,

12

√4− v2 sinu

)Nótese que r(x + 2Π,−y) = r(x, y) .La imagen de r es homeomorfa a la banda de Möbius infinita. Basta uncálculo directo para obtener:

g =(du− v3

2(R2 − v2)dv

)2

+(

1 +v2

4(4− v2)+

v4(4− v2)4(R2 − v2)2)

)dy2

. Con g así definida obtenemos que la curvatura de Gauss de la Banda de Möbius es K = 0.

25Blanusa, D:, Le plongement isométrique de la bande de Möbius infiniment large euclidienne dans un espace sphérique,paraboliue ou hyperbolique à quatre dimensions, Bull. Internat. Acad. Yougoslave. Cl. Sci. Math. Phys. Tech. (N.S.), 12(1954),19-23.


Capítulo 4

Geometría extrínseca.

La geometría extrínseca de una superficie está determinada por el espacio ambiente. Por lo tanto su estudio notiene sentido en el caso de superficies abstractas, sólo lo tiene si consideramos superficies inmersas.

4.1. Conexión.Sea (M, g) una variedad riemanniana. Recordemos que X(M) denota el conjunto de campos vectoriales sobre M .Este conjunto verifica:

(X + Y )(f) = X(f) + Y (f);

(λX)f = λX(f);

(gX)(f) = gX(f), ∀X,Y ∈ X(M), f, g ∈ F(M), λ ∈ R.

Por todo esto tiene estructura de módulo sobre el anillo F(M).

Definición 4.1.1. Se define una conexión en M como una aplicación

∇ : X(M)× X(M)→ X(M)

(X,Y ) → ∇XY

que verifica las siguientes propiedades:

∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ;

∇X(fY ) = f∇XY + (Xf)Y ;

∇X+Y Z = ∇XZ +∇Y Z;

∇fXY = f∇XY ;

∀X,Y, Z ∈ X(M), f ∈ F(M).

La definición anterior puede extenderse a campos tensoriales arbitrarios

∇ : X(M)× T rs (M)→ T rs (M)

(X,T ) → ∇XT

mediante las cuatro leyes anteriores y la siguiente:

(∇XT ) : X(M)× s· · · ×X(M)→ T r0 (M)

(∇XT )(X1, . . . , Xs) = ∇X(T (X1, . . . , Xs))−r∑i=1

T (X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xs),

46 4. Geometría extrínseca.

y si r=s=0, entonces:∇ : X(M)× F(M)→ F(M)

(X, f) → ∇Xf = X(f)

En particular, si∇ en una conexión en M , como g ∈ T 02 (M), resulta que:

(∇Xg)(Y,Z) = ∇X(g(Y, Z))− g(∇XY,Z)− g(X,∇Y Z) = X(g(Y,Z))− g(∇XY,Z)− g(Y,∇XZ)

Teorema 4.1.2 (Levi-Civita). Sea (M,g) una variedad riemanniana. Existe una única conexión en M , ∇, queverifica:

(∇Xg)(Y,Z) = 0, ∀X,Y, Z ∈ X(M);

T (X,Y ) = ∇XY −∇YX − [X,Y ] = 0, ∀X,Y ∈ X(M).

A ∇ se le denomina conexión de Levi-Civita o derivada covariante y a T ∈ T 02 (M), torsión de la conexión.

Se llama curvatura a R ∈ T 13 (M) dado por

R(X,Y, Z) = −∇X(∇Y Z) +∇Y (∇XZ) +∇[X,Y ]Z ∈ X(M)

Nótese que la primera propiedad indica que preserva la métrica1. Una conexión que satisface la segunda propiedadse dice libre de torsión.

La palabra conexión tiene el siguiente origen geométrico:Si ∇ es una conexión en el fibrado tangente, entonces ∇XY es un campo vectorial que describe cómo varía elcampo Y a lo largo del campo X . La dificultad está en que los valores de Y en los distintos puntos a lo largodel campo X pertenecen a distintos espacios tangentes, que no guardan ninguna relación entre sí. El papel de la“conexión” es conectar estos espacios tangentes. Los símbolos de Christoffel son los que nos permiten hacer estoya que establecen cómo cambia un campo de referencia dado (X e Y deben definirse con respecto a él).

De ahora en adelante tendremosM una subvariedad de la variedad riemannniana (N, g), de dimensiones n y n+krespectivamente. Sea i : M → N la inclusión. En estas condiciones se tiene que i∗ : TpM → TpN es inyectivapara todo p ∈M . ParaXp, Yp ∈ TpM definimos (i∗g)p(Xp, yp) = g(i∗(Xp), i∗(Yp)) lo que nos permite construiri∗g ∈ T 0

2 (M) una métrica riemanninana en M : la métrica inducida.

Al ser i∗ inyectiva podemos escribir i∗g como g, teniendo en cuenta que g(X,Y ) ∈ F(M) cuando X,Y ∈ X(M).Es decir, la métrica de la subvariedad no es más que la restricción de la métrica de la variedad.

Esto generaliza lo que se hace en geometría de superficies cuando se define la primera forma fundamental, que noes sino i∗g, siendo g = (dx1)2 + (dx2)2 la métrica canónica de R3.

4.1.1. Complemento ortogonal a una subvariedad.Sea M una subvariedad de la variedad riemanniana (N, g). Entonces para cada p ∈ M resulta que TpM ⊂ TpN .En estas condiciones podemos definir

(TpM)⊥ = {Xp ∈ TpN / Xp ⊥ TpM} = {Xp ∈ TpN / gp(Xp, Yp) = 0, ∀Yp ∈ TpM}

cumpliendo que dim(TpM)⊥ = k.Es decir, tenemos la descomposición del espacio tangente a N : TpN = TpM ⊕ (TpM)⊥.

1Es decir, para cualesquiera campos vectorialesX,Y, Z tenemosXg(Y,Z) = g(∇XY,Z)+g(Y,∇XZ), dondeXg(Y,Z)denota la derivada de la función g(Y,Z) a lo largo del campo vectorial X.

4.1 Conexión. 47

Figura 4.1: Descomposicón de TpN .

Así, podemos definir los campos vectoriales normales a la subvariedad como:

(X(M))⊥ = {X ∈ X(N) / Xp ∈ (Tp(M))⊥, ∀p ∈M}

Definición 4.1.3. Sean las notaciones precedentes. Se define una conexión en sentido Koszul (o ley de derivaciónen sentido Koszul) como una aplicación

∇ : X(M)× (X(M))⊥ → (X(M))⊥

(X, ξ) → ∇Xξ

que verifica las siguientes cuatro leyes:

∇X(ξ + ξ′) = ∇Xξ +∇Xξ′;

∇X(fξ) = f∇Xξ + (Xf)ξ;

∇X+Y (ξ) = ∇Xξ +∇Y ξ;

∇fX(ξ) = f∇Xξ,

donde f ∈ F(M), X,Y ∈ X(M), ξ ∈ (X(M))⊥.

Se llama curvatura normal a RD, con D una conexión en sentido Koszul, definida como:

RD(X,Y, ξ) = −DX(DY ξ) +DY (DXξ) +D[X,Y ]ξ

4.1.2. Conexión de Levi-Civita inducida.

Sea M una subvariedad de la variedad riemanniana (N, g) y sea ∇′ la conexión de Levi-Civita de (N, g), ∇′ :X(N)×X(N)→ X(N). SeanX,Y ∈ X(M). Como X(M) ⊂ X(N), podemos definir∇′XY ∈ X(N) resultando,para cada p ∈M , (∇′XY )p ∈ TpN = TpM ⊕ (TpM)⊥ con lo que se tiene la siguiente descomposición:

(∇′XY )p = (∇XY )p + αp(X,Y ), donde (∇XY )p ∈ TpM, αp(X,Y ) ∈ (TpM)⊥


Figura 4.2: Descomposición de (∇′XY )p.

Lema 4.1.4. SeanX,Y ∈ X(M) y∇′ la conexión de Levi-Civita en (N, g). Entonces∇XY ∈ X(M), α(X,Y ) ∈(X(M))⊥.

Proposición 4.1.5. La aplicación ∇ : X(M)× X(M)→ X(M) es la conexión de Levi-Civita de i∗g.

Demostración. En primer lugar veamos que satisface las cuatro leyes que cumple una conexión:

1. ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ:Sabemos que∇′ es una conexión, luego ∇′X(Y + Z) = ∇′XY +∇′XZ, de donde

∇X(Y + Z) + α(X,Y + Z) = ∇XY + α(X,Y ) +∇XZ + α(X,Z)

Evaluando la expresión anterior en p ∈M tenemos:

(∇X(Y + Z))p + αp(X,Y + Z) = (∇XY )p + αp(X,Y ) + (∇XZ)p + αp(X,Z)⇒

(∇X(Y + Z))p − (∇XY )p − (∇XZ)p = αp(X,Y ) + αp(X,Z)− αp(X,Y + Z)

El primer miembro de la expresión pertenece a TpM y el segundo a (TpM)⊥, con lo que ambos se anulan,obteniendo:

∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ

α(X,Y + Z) = α(X,Y ) + α(X,Z)

2. ∇X(fY ) = f∇XY + (Xf)Y :Del mismo modo que antes tenemos:

∇′X(fY ) = f∇′XY + (Xf)Y ⇒ ∇X(fY ) + α(X, fY ) = (Xf)Y + f(∇XY + α(X,Y ))

Igualando términos, se sigue:∇X(fY ) = (Xf)Y + f∇XY

α(X, fY ) = fα(X,Y )

3. ∇X+Y Z = ∇XZ +∇Y Z:

∇′X+Y Z = ∇′XZ +∇′Y Z ⇒ ∇X+Y Z + α(X + Y,Z) = ∇XZ + α(X,Z) +∇Y Z + α(Y,Z)

Con lo que:∇X+Y Z = ∇XZ +∇Y Z

α(X + Y,Z) = α(X,Z) + α(Y,Z)

4.1 Conexión. 49

4. ∇fXY = f∇XY :Se tiene que∇′fXY = f∇′XY , lo que implica∇fXY + α(fX, Y ) = f(∇XY + α(X,Y )). Luego:

∇fXY = f∇XY

α(fX, Y ) = fα(X,Y )

Todo lo anterior prueba que ∇ es una conexión. Veamos ahora que es la conexión de Levi-Civita de i∗g. Para ellohay que probar dos condiciones más:

1. Preserva la métrica:como∇′ es la conexión de Levi-Civita de g,

0 = (∇′Xg)(Y,Z)⇒ 0 = X(g(Y,Z))− g(∇′XY, Z)− g(Y,∇′XZ)⇒

X(g(Y,Z))− g(∇XY + α(X,Y ), Z)− g(Y,∇XZ + α(X,Z))

Recordemos que g es bilineal y que g(ξ, Z) = 0 ∀Z ∈ X(M), ξ ∈ (X(M))⊥, entonces:

0 = X(g(Y, Z))− g(∇XY,Z)− g(Y,∇XZ)→ 0 = (∇Xg)(Y, Z)

2. Es libre de torsión:Sabemos que∇′ es libre de torsión, de donde:

0 = ∇′XY −∇′YX − [X,Y ] = ∇XY −∇YX − [X,Y ] + α(X,Y )− α(Y,X)

con lo que:∇XY −∇YX − [X,Y ] = 0

α(X,Y ) = α(Y,X)

Corolario 4.1.6. La aplicación α : X(M) × X(M) → (X(M))⊥ es simétrica y bilineal sobre F(M). En conse-cuencia, para cada p ∈M , queda inducida una aplicación bilineal simétrica αp : TpM × TpM → (TpM)⊥.

Definición 4.1.7. La aplicación αp se llama segunda forma fundamental.

En el caso que M sea una superficie de R3, la definición anterior generaliza la que vimos en el capítulo 2:αp(X,Y ) = IIp(X,Y )ξ, donde ξ es un vector unitario, definido en p, normal a la superficie.

Como M es una subvariedad de N de codimensión k, podemos tomar una base ortogonal de (TpM)⊥ y escribir:

αp(X,Y ) =k∑i=i

IIip(X,Y )ξi

esto es, tenemos definidas k segundas formas fundamentales de M en p.

Definición 4.1.8. Sean las notaciones precedentes, la expresión

∇′XY = ∇XY + α(X,Y ), X, Y ∈ X(M)

recibe el nombre de fórmula de Gauss.

Una vez que tenemos la fórmula de Gauss, nos interesaría tener una análoga para ∇′Xξ con ξ ∈ (X(M))⊥. Paraconseguir eso descomponemos como sigue:

(∇′Xξ)p = −(Aξ(X))p + (Dxξ)p

denotando (Aξ(X))p la componente tangencial a M y (Dxξ)p la componente normal. Así Aξ(X) ∈ X(N) yDxξ ∈ X(N). Estudiemos propiedades de estos campos:


Proposición 4.1.9. Con las notaciones precedentes:

1. La aplicaciónA : X(M)× (X(M))⊥ → X(M)

(X, ξ) → Aξ(X)

es bilineal sobre F(M) e induce una aplicación bilineal TpM × (TpM)⊥ → TpM . Llamaremos a Aaplicación de Weingarten.

2. g(Aξ(X), Y ) = g(α(X,Y ), ξ) ∀X,Y ∈ X(M), ξ ∈ (X(M))⊥.

3. La aplicaciónD : X(M)× (X(M))⊥ → X(M)

(X, ξ) → DXξ

es una ley de derivación o conexión, llamada conexión normal.

4. La conexión anterior verifica

g(DXξ, η) + g(ξ,DXη) = X(g(ξ, η)) ∀ξ, η ∈ (X(M))⊥

4.2. Curvaturas.Definición 4.2.1. Se llama curvatura o tensor de curvatura de una variedad riemanniana M a R : T 1

0 (M) ×T 1

0 (M)× T 10 (M)→ T 1

0 (M) definido por R(X,Y, Z) = ∇Y∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z

Nótese que la curvatura es un campo tensorial de tipo (1, 3), con lo que ∀f ∈ F(M), X, Y, Z,Xi, Yi, Zi ∈X(M), i = 1, 2 se tiene:

R(X1 +X2, Y, Z) = R(X1, Y, Z) +R(X2, Y, Z);

R(X,Y1 + Y2, Z) = R(X,Y1, Z) +R(X,Y2, Z);

R(X,Y, Z1 + Z2) = R(X,Y, Z1) +R(X,Y, Z2);

R(fX, Y, Z) = R(X, fY, Z) = R(X,Y, fZ) = fR(X,Y, Z)

Proposición 4.2.2 (Primera identidad de Bianchi). Sean X,Y, Z ∈ T 10 (M). Se verifica

R(X,Y )Z +R(Y,Z)X +R(Z,X)Y = 0

Definición 4.2.3. Sea M una variedadd riemanniana. Se llama tensor de Riemann-Christoffel a

R : (T 10 (M))4 → T 0

0 (M)R(X,Y, Z,W ) = g(R(X,Y )Z,W )

Nótese que R ∈ T 04 (M).

Proposición 4.2.4 (Simetrías del tensor de Riemann-Christoffel). Para cuales quiera X,Y, Z,W ∈ T 10 (M) se

verifican:

R(X,Y, Z,W ) + R(Y,Z,X,W ) + R(Z,X, Y,W ) = 0;

R(X,Y, Z,W ) = −R(Y,X,Z,W );

R(X,Y, Z,W ) = −R(X,Y,W,Z);

R(X,Y, Z,W ) = R(Z,W,X, Y ).

4.2 Curvaturas. 51

4.2.1. Expresión en coordenadas locales.Sea (U, x1, ..., xn) una carta local de la variedad riemanniana M . Entonces { ∂

∂x1 , ...,∂∂n } es una base local de

campos vectoriales y {dx1, ..., dxn} una base local de formas.

Símbolos de Christoffel.Que la conexión de Levi-Civita de (M, g) tiene símbolos de Christoffel Γkij significa que

∇ ∂

∂xi

∂

∂xj=

∂

∂xkΓkij

La expresión anterior está sumada según el convenio de Einstein.

Nota 4.2.5. El hecho de que la conexión sea libre de torsión hace que los símbolos de Christoffel seansimétricos: Γlij = Γlji.

Demostración. 0 = ∇ ∂

∂xi

∂∂xj−∇ ∂

∂xj

∂∂xi−

[∂∂xi ,

∂∂xj

]⇒ 0 = ∂

∂xk Γkij− ∂∂xk Γkji ⇒ 0 = ∂

∂xk

(Γkij − Γkji

)Por tanto, Γkij = Γkji

Tensor de curvatura. Como R : T 10 (M)× T 1

0 (M)× T 10 (M)→ T 1

0 (M) resulta que:

R

(∂

∂xi,∂

∂xj,∂

∂xk

)=

∂

∂xlRlijk

Con la definición de la curvaturaR se puede hallar el valor deRlijk en función de los símbolos de Christoffel,obteniéndose:

Rlijk = ΓmikΓljm − ΓmjkΓlim +∂Γlik∂xj

−∂Γljk∂xi

Expresión que va sumada en m.

Tensor de Riemann-Christoffel. En este caso obtenemos:

R

(∂

∂xi,∂

∂xj,∂

∂xk,∂

∂xl

)= g

(R

(∂

∂xi,∂

∂xj,∂

∂xk

),∂

∂xl

)= g

(∂

∂xmRmijk,

∂

∂xl

)= gmlR

mijk = Rijkl

Por tanto Rijkl =∑m gmlR

mijk.

Identidad de Bianchi y leyes de simetría del tensor de Riemann-Christoffel. La identidad de Bianchi ylas leyes de simetría del tensor de Riemann-Christoffel proporcionan, al aplicarlas a X = ∂

∂xi , Y = ∂∂xj ,

Z = ∂∂xk , W = ∂

∂xl , las siguientes leyes:

• Rmijk +Rmjki +Rmkij = 0, ∀m, i, j, k• Rijkl + Rjkil + Rkijl = 0;• Rijkl = −Rjikl;• Rijkl = −Rijlk;• Rijkl = Rklji

4.2.2. Curvatura seccionalProposición 4.2.6. Sea (M, g) una variedad riemanniana. Sea un plano σ ⊂ TpM y sean x, y dos vectoreslinealmente independientes de σ. Entonces,

K(x, y) =R(x, y, x, y)|g(x, y)|2

no depende de la elección de x e y. En particular, si x e y forman una base ortonormal de σ resulta queK(x, y) =R(x, y, x, y).


Demostración. (Idea). La idea de la demostración es cambiar la base de σ y ver cómo varían el numerador y eldenominador. Una vez hecho eso, basta usar que R es un tensor, y, por lo tanto, es lineal; y que R(X,Y, T, T ) =0.

Definición 4.2.7. Sea M una variedad riemanniana. Dados un punto p ∈ M y un plano σ ⊂ TpM , el númeroreal K(x, y) = K(σ), donde {x, y} es una base cualquiera del plano σ, se llama la curvatura seccional de σ enp.

La importancia de las curvatura seccional reside en que permite describir el tensor de curvatura de la variedad.

En el caso de las superficies como sólo poseen un plano tangente no tiene sentido hablar de curvatura seccional: lacurvatura seccional coincide con la curvatura de Gauss de la superficie2.

La curvatura seccional admite una interpretación geométrica. Sea M una variedad riemanniana de dimensiónmayor o igual que 2, tenemos definida la aplicación exponencial, exp : TpM → M . Esta aplicación es un difeo-morfismo local. Podemos restringirla a un plano σ ⊂ TpM , exp|σ : σ → S ⊂ M , donde S es una superficiecontenida en M . Así, la curvatura seccional Kp(σ) no es más que la curvatura de Gauss de la superficie obtenidacomo imagen de σ por la restricción de la aplicación exponencial.

Nota 4.2.8. La curvatura seccional se introduce en el trabajo de Riemann Uber die Hipothesen welche der Ge-ometrie zu Grunde Liegen (Sobre las hipótesis en las que se cimienta la Geometría) mediante la interpretacióngeométrica de curvatura seccional anterior. Riemann buscaba dar un invariante, como la curvatura de Gauss,para cada punto de la superficie y la forma que tiene de hacerlo es dando uno pero para cada plano tangente enel punto.

4.3. Curvaturas de las subvariedadesBuscamos obtener la relación entre las curvaturas de la variedad ambiente y las de la subvariedad, de forma análogaa como hemos hecho con las fórmulas de Gauss y Weingarten.

Proposición 4.3.1. Sean (N, g) una variedad riemanniana con conexión de Levi-Civita ∇′ y (M, i∗g) una sub-variedad riemanniana. Entonces si R′ y R son los tensores de curvatura de las conexiones de Levi-Civita de g yde i∗g y si X,Y, Z,W ∈ X(M), ξ ∈ (X(M))⊥, se verifican:

Ecuación de la curvatura de Gauss: la componente tangencial de R′(X,Y, Z) es

R(X,Y, Z)−Aα(X,Z)(Y ) +Aα(Y,Z)(X)

.

Ecuación primera de Codazzi: la componente normal de R′(X,Y, Z) es

−DX(α(Y,Z)) +DY (α(X,Z))− α(X,∇Y Z) + α(Y,∇XZ) + α([X,Y ], Z)

Ecuación segunda de Codazzi: la componente tangencial de R′(X,Y, ξ) es

−∇Y (Aξ(X)) +∇X(Aξ(Y ))−ADXξ(Y ) +ADY ξ(X)−Aξ([X,Y ])

Ecuación de Ricci: la componente normal de R′(X,Y, ξ) es:

RD(X,Y, ξ)− α(Y,Aξ(X)) + α(X,Aξ(Y ))

donde RD es la curvatura de la conexión normal D.

Ecuación de Gauss: se verifica

R′(X,Y, Z,W ) = R(X,Y, Z,W )− g(α(X,Z), α(Y,W ) + g(α(Y,Z), α(X,W )))

La demostración de la proposición anterior se basa en desarrollar las expresiones usando las fórmulas vistas.2De aquí que en la demostración del Teorema Egregio de Gauss que aparece en el capítulo 2 se emplee el tensor de Riemann.

Obviamente, tal demostración no es la que Gauss propuso en su día.

4.4 Superficies en R4. 53

4.4. Superficies en R4.Sea S = r(u1, u2) una superficie en R4. La superficie S como variedad riemanniana hereda la métrica de R4.Sea {n1, n2} una base del plano normal a S, (TpS)⊥ = NpS, en el punto p ∈ S.Se definen las correspondientessegundas formas fundamentales como:

IIσ = Lσ11(du1)2 + 2Lσ12du1du2 + Lσ22(du2)2, σ = 1, 2.

Cada una de las cuales expresaremos matricialmente como:

Lσ = (Lσij) =(Lσ11 Lσ12

Lσ21 Lσ22

), σ = 1, 2

Donde Lσij = nσ · ruiuj y · denota el producto escalar usual.

4.4.1. Elipse de curvatura normal.Definición 4.4.1. Sea p ∈ S y sea τ ∈ TpS se define el vector curvatura normal en la dirección τ , kN (τ) ∈Np,como

kN (τ) = II1(τ, τ)n1 + II2(τ, τ)n2

A cada punto p ∈ S y a cada vector τ ∈ TpS le corresponde, por tanto, un vector curvatura normal de Np.Consideremos la aplicación diferenciable (kn)p : S1 ⊂ TpM → NpM . La imagen de esta aplicación (que es unsubconjunto compacto de NpM ) es lo que se denomina indicatriz de curvatura normal.

Teorema 4.4.2. La indicatriz de curvatura normal, en el caso de las superficies contenidas en R4 es una elipse:la elipse de curvatura normal.

Demostración. Sea p ∈ S. Sea τ = (cos θ, sin θ) ∈ S1 y sea γ(s) una curva parametrizada por la longitud de arcotal que el vector tangente en p es τ . Geométricamente (kn)p(τ) es la proyección del vector de curvatura d2γ

ds2 sobreNpM .Se tiene que:

(kn)p(τ) = (L111 cos2 θ + 2L1

12 cos θ sin θ + L122 sin2 θ)n1+

(L211 cos2 θ + 2L2

12 cos θ sin θ + L222 sin2 θ)n2

Esto lo podemos expresar matricialmente:

(kN −H)(θ) =(

12 (L1

11 − L122) L1

1212 (L2

11 − L222) L2

12

)(cos 2θsin 2θ

)donde H = 1

2 (L111 + L1

22)n1 + 12 (L2

11 + L222)n2.

Así tenemos definida una transformación afín de matriz: 1 0 00 L1

11 − L122 L1

12

0 L211 − L2

22 L212

Por tanto, la imagen de S1 es una elipse en el plano normal a S en p.

Definición 4.4.3. Se define el vector de curvatura media como

H =12

(L111 + L1

22)n1 +12

(L211 + L2

22)n2

Es decir, sus coordenadas en el plano normal afín a S en p son las del centro de la elipse de curvatura normal.

La elipse de curvatura normal puede degenerar en un segmento de recta3 o en un punto. Dependiendo de si el rangode la matriz de la aplicación afín considerada en la demostración del teorema 4.4.2 es 2 ó 1.

3Ver ejemplo 4.7.3.


4.4.2. Aplicaciones de la elipse de curvatura normal.La elipse de curvatura normal constituye el objeto más importante del estudio de las superficies en R4, ya quela geometría de estas superficies se construye a partir de ella. Sirvan como muestra de lo dicho los siguientesresultados:

Teorema 4.4.4. Supongamos que la indicatriz de curvatura normal de la superficie S ⊂ R4 es degeneradaconsistiendo en un segmento pasando por p para cada p ∈ S. Si la curvatura de Gauss satisface que K 6= 0 entodos los puntos de S entonces S está contenida en algún hiperplano de R4.

Teorema 4.4.5. Si una superficie S está contenida en una esfera de radio R de R4, entonces en cada punto p laelipse de curvatura normal degenera en un segmento a distancia β = 1

R de p.Recíprocamente, si en cada punto p la elipse de curvatura normal degenera en un segmento a distancia β de p yla curvatura de Gauss es distinta de β2, entonces S está contenida en la esfera de radio 1

β .

Una superficie se dice minimal si el vector curvatura media es nulo. En el caso de superficies en R4 esto es equiv-alente a que la elipse de curvatura normal esté centrada en p para todo p ∈ S.

En el caso de superficies inmersas en R3 la indicatriz de curvatura normal es un segmento contenido en la rectanormal a la superficie.

Teorema 4.4.6. El grafo de una función analítica f : C→ C es una superficie real de R4 que satisface la siguientecondición: para todo punto p la elipse de curvatura normal es una circunferencia centrada en el propio p.

Demostración. Consideramos la función holomorfa F (u + iv) = f(u, v) + ig(u, v) como superficie de R4. Esdecir, tenemos la parametrización:

r(u, v) = (u, v, f(u, v), g(u, v))

Las derivadas de la parametrización son:

ru = (1, 0, fu,−fv)rv = (0, 1, fv, fu)

ruu = (0, 0, fuu,−fuv)ruv = (0, 0, fuv, fuu)

rvv = (0, 0, fvv, fuv)

Por tanto, una base del plano normal vendrá dada por:

n1 = (fv,−fu, 0, 1)

n2 = (−fu,−fv, 1, 0)

Los coeficientes de las segundas formas fundamentales son:

L111 = −fuv, L1

12 = fuu, L122 = fuv

L211 = fuu, L

212 = fuv, L

222 = −fuu

De donde se sigue que H = ~0, y que el vector curvatura normal, en el punto p de la superficie, para τ =(cos θ, sin θ) es:

kN (τ) = (−fuv cos 2θ + fuu sin 2θ)n1 + (fuu cos 2θ + fuv sin 2θ)n2

Luego la elipse de curvatura normal es una circunferencia de centro p y radio√f2uv + f2

uu

Una consecuencia inmediata de lo anterior es que los grafos de las funciones holomorfas son superficies minimales.

El teorema 4.4.6 es una versión débil del siguiente:

Teorema 4.4.7 (Eisenhart). Una superficie inmersa en R4 es localmente congruente al grafo de una funciónanalítica si y sólo si la elipse de curvatura normal en todo punto p de la superficie es una circunferencia concentro el propio punto.

4.5 Desarrollos posteriores. 55

4.5. Desarrollos posteriores.La geometría de las superficies de R3 admite dos generalizaciones naturales:

El estudio de superficies como subvariedades de un espacio euclídeo de cualquier dimensión. En particularpara dimensión cuatro es el objeto de estudio de la presente Memoria.

El estudio de hipersuperficies de un espacio euclídeo, en el que básicamente se pueden definir las mismasecuaciones de Gauss y Weingarten , el operador forma, las curvaturas principales, la curvatura de Gauss-Kronecker y la curvatura media.

La geometría de las superficies de R4 admite varias líneas de investigación activas:

El estudio de las propiedades similares y de las diferentes al caso de espacio ambiente tridimensional.

La generalización a subvariedades de codimensión dos o mayor.

El estudio de la influencia que las estructuras compleja y simpléctica de R4 (visto como C2) producen entoda superficie de R4.

En 1969 Little inició el estudio de la geometría riemanniana de una superficie inmersa en el espacio euclídeo:

Little, John A. On singularities of submanifolds of higher dimensional Euclidean spaces. Ann. Mat. PuraAppl. (4) 83 (1969) 261-335.

Little, John A. On singularities of surfaces in E4. Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969) 368-369.

Desde entonces se ha desarrollado gran número de trabajos relativos a superficies en R4:, en llas líneas antes señal-adas. La relación que damos no es exhaustiva. Sólo tiene la intención de mostrar cómo sigue siendo un campo deactividad investigadora notable.

Yano, Kentaro; Tani, Mariko. Submanifolds of codimension 2 of a Euclidean space. Kodai Math. Sem. Rep. 22(1970) 65-76.

Burevs, Jarolím. Some remarks on surfaces in the 4-dimensional Euclidean space. Czechoslovak Math. J. 25 (100)(1975), no. 3, 480-490.

Chen, Chi Cheng. On the image of the generalized Gauss map of a complete minimal surface in R4. Pacific J.Math. 102 (1982), no. 1, 9-14.

Kenmotsu, K. The mean curvature vector of surfaces in R4. Bull. London Math. Soc. 19 (1987), no. 5, 458-462.

Harris, Gary A. Real k-flat surfaces in C2. Houston J. Math. 14 (1988), no. 4, 501-506.

Yang, Jie. On slant surfaces with constant mean curvature in C2. (English summary) J. Geom. 59 (1997), no. 1-2,184-201.

Aminov, Yu; Sym, A. On Bianchi and Bäcklund transformations of two dimensional surfaces in four dimensionalEuclidean space. Bäcklund and Darboux transformations. The geometry of solitons (Halifax, NS, 1999), 91-93,CRM Proc. Lecture Notes, 29, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.

Garcia, Ronaldo Alves; Mochida, Dirce Kiyomi Hayashida; Romero Fuster, Maria Del Carmen; Ruas, MariaAparecida Soares. Inflection points and topology of surfaces in 4-space. (English summary) Trans. Amer. Math.Soc. 352 (2000), no. 7, 3029-3043.

Etayo, Fernando. The measure of holomorphicness of a real submanifold of an almost Hermitian manifold. Proc.Amer. Math. Soc. 131 (2003), no. 9, 2911-2920.


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4.6. Cuadro resumen.Superficies en R3 Superficies en R4 Hipersuperficies de Rn

Curvaturas principales No existen Curvaturas principalesCurvatura de Gauss Curvatura de Gauss Curvaturas seccionales

Vector normal Plano normal Vector normalVector de curvatura media Elipse de curvatura normal Vector de curvatura media

4.7. Ejemplos

4.7.1. Esfera S2.

Consideramos la parametrización de S2:

x(u, v) = (cosu cos v, sinu cos v, sin v) u ∈ [0, 2π); v ∈[−π

2,π

2

)Usando los cálculos que vimos en la sección 3.4 obtenemos que el vector normal es n = (cosu, sinu, sin v

cos v ).Los coeficientes de la segunda forma fundamental son, por tanto:

L11 = − cos2 v;

L12 = L21 = 0;

L22 = −1.

Como g12 = L12 = 0 se tiene que las curvas paramétricas son las únicas líneas de curvatura por lo que lascurvaturas principales son:

k1 =L11

g11= 1, k2 =

L22

g22= 1

Luego las curvaturas de Gauss y media son, respectivamente,K = k1k2 = 1 y H = 1

2 (k1 + k2) = 1.

4.7 Ejemplos 57

4.7.2. Toro de revolución.Sea la parametrización del toro:

x(u, v) = (cosu(a+ r cos v), sinu(a+ r cos v), r sin v) u, v ∈ [0, 2π), a, r > 0

Usando los resultados que obtuvimos en la sección 3.4.1 obtenemos que el vector normal es:n = r(a+ r cos v)(cos v cosu, cos v sinu, sin v).Calculemos ahora los coeficientes de la segunda forma fundamental:

L11 = −(a+ r cos v) cos v;

L12 = L21 = 0;

L22 = −r.

Razonando de igual modo que en el ejemplo anterior, ya que para el toro también se tiene g12 = L12 = 0,obtenemos las curvaturas principales:

k1 = − − cos va+ r cos v

k2 = −1r

Así, las curvaturas de Gauss y media son:K = cos v

r(a+r cos v) y H = − r cos v+12(a+r cos v)

4.7.3. Toro de Clifford.Consideramos el toro S1 × S1 ⊂ R4 con la métrica heredada. Sea la siguiente parametrización:

x(u, v) = (cosu, sinu, cos v, sin v), u, v ∈ [0, 2π)

Las derivadas de la parametrización son:

xu = (− sinu, cosu, 0, 0);

xv = (0, 0,− sin v, cos v);

xuu = (− cosu,− sinu, 0, 0);

xvv = (0, 0,− cos v,− sin v);

xuv = (0, 0, 0, 0).

Tomemos como base del plano normal los vectores:n1 = (cosu, sinu, 0, 0), n2 = (0, 0, cos v, sin v).

De aquí obtenemos que los coeficientes de las segundas formas fundamentales son:

L111 = −1, L1

12 = 0, L122 = 0

L211 = 0, L2

12 = 0, L222 = −1

Por tanto, el vector de curvatura normal para τ = (τ1, τ2), unitario, es de la forma:

kN (τ) = −(τ1)2n1 − (τ2)2n2

En este caso la elipse de curvatura normal degenera en el segmento de recta x + y = −1 de extremos (−1, 0) y(0,−1). Esto nos indica que el toro de Clifford está contenido en una esfera de radio

√2.

El vector de curvatura media, por tanto, es H = − 12 (n1 + n2). Luego el toro de Clifford no es una superficie

minimal en R4. Sin embargo sí que es superficie minimal en S3 ya que el vector de curvatura normal del toro deClifford como subvariedad de S3 se obtiene proyectando H en el espacio tangente a S3. Pero el vector n1 + n2 esortogonal a S3. Luego H|S3 = 0.


4.7.4. Función holomorfa.Consideramos el grafo de la función analítca f(z) = z2 como superficie de R4. Sea la parametrización:

r(u, v) = (u, v, u2 − v2, 2uv), u, v ∈ R

Derivadas de la parametrización:

ru = (1, 0, 2u, 2v);

rv = (0, 1,−2v, 2u);

ruu = (0, 0, 2, 0);

rvv = (0, 0,−2, 0);

ruv = (0, 0, 0, 2).

Coeficientes de las segundas formas fundamentales:

L111 = 0, L1

12 = −2, L122 = 0

L211 = −2, L2

12 = 0, L222 = 2

Respecto de la base:n1 = (2v, 2u, 0,−1), n2 = (−2u, 2v,−1, 0)

Vector de curvatura normal, τ = (cos θ, sin θ):

kN (τ) = −2 sin 2θ)n1 − 2 cos 2θn2

Vector de curvatura media: H = ~0Conclusiones:

es una superficie minimal;

la elipse de curvatura normal es una circunferencia con centro en p y radio 2.

Bibliografía

[1] W. KLINGENBERG, Curso de Geometría Diferencial, Ed. Alhambra S.A., Madrid (1978)

[2] B. O’NEILL, Elementos de Geometría Diferencial, Limusa-Wiley S.A. , México (1972)

[3] R.W.R. DARLING, Differential forms and Connections, Cambridge University Press,New York (1994)

[4] J.G. PÉREZ, Variedades y Geometría: un curso breve, Ed. U.A.M., Madrid (2005)

[5] M.P. DO CARMO, Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, Alianza (1990)

[6] S. KOBAYASI, K. NOMIZU, Foundations of Differential Geometry, J.Wiley (1969)

[7] YU. AMINOV, The Geometry of the Submanifolds, Taylor and Francis Group, Boca Ratón (FL) (2001)

[8] Q. HAN, J.X. HONG, Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in Euclidean Spaces, AMS, USA(2006)

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