UNIVERSIDA PÓLITECNICA SALESIANA

Ingeniería Electrónica

Ecuaciones Diferenciales

Resolución de un circuito RLC

David Basantes

Israel Campaña

Vinicio Masabanda

Juan Ordoñez

PROBLEMA

Encuentre la carga al tiempo t=0.92s en el

circuito LCR donde L=1.52H, R=3Ὠ, C=0.20f

y E(t)=15sen (t) + 5e (ʌt) V

La carga y la corriente son nulas.

Procedimiento

1.-Buscamos la fórmula para resolver el circuito RCL.

*L(d²q/dt²) + R(dq/dt) + 1/C(q)= E(t)

2.-Reemplazamos los datos.

1.51(d²q/dt²) + 3(dq/dt) + 1/0.20(q)= 15sen (t) + 5e (ʌt)

3.-Igualamos a cero la parte homogénea

1.51(d²q/dt²) + 3(dq/dt) + 1/0.20(q)= 0

4.-Reconocer el grado de la EDO y remplazar en la fórmula general.

1.51m² + 3m + 5 = 0

Dónde: a=1.51 ; b=3; c=5

5.- Reconocemos α y β y lo aplicamos a la fórmula y reemplazamos

α= -0.99 y β=1.52

Y= e (ʌαt) [A cos(βt) + B sen(βt)]

qh= e (ʌ-0.99t) [A cos(1.52t) + B sen(1.52t)]

6.- Separamos qh en q1 y q2

q1= eᶺ(-0.99t) cos(1.52t)

q2= eᶺ(-0.99t) sen(1.52t)

7.- Escribimos el Wronskiano y calculamos W1 Y W2.

q1= eᶺ(-0.99t) cos(1.52t)

q´1= -0.99eᶺ(-0.99t)*cos(1,52) – 1.52 eᶺ(-0.99t)*

sen(1.52t)

q2= eᶺ(-0.99t)* sen(1.52t)

q´2= -0.99eᶺ(-0.99t) *sen(1.52t) + 1.52 eᶺ(-0.99t)

*cos(1.52t)

W= [ eᶺ(-0.99t) cos(1.52t)][ -0.99eᶺ(-0.99t) sen(1.52t) + 1.52 eᶺ(-0.99t) cos(1.52t)]

–[ eᶺ(-0.99t) sen(1.52t)][ -0.99eᶺ(-0.99t)cos(1,52) –1.52 eᶺ(-0.99t) sen(1.52t)]

W= eᶺ(-1.98t)[-0.99 cos(1.52t)* sen(1.52t) + 1.52cos²(1.52t)] - eᶺ(-1.98t) [-0.99 sen(1.52t)* cos(1.52t) - 1.52sen²(1.52t)]

W= eᶺ(-1.98t){-0.99 cos(1.52t)* sen(1.52t) + 1.52cos²(1.52t) – {-0.99 sen(1.52t)* cos(1.52t)-1.52sen²(1.52t)}

W= eᶺ(-1.98t)(-0.99 cos(1.52t)* sen(1.52t) + 1.52cos²(1.52t) + 0.99 sen(1.52t)* cos(1.52t) + 1.52sen²(1.52t)}

W= eᶺ(-1.98t)(1.52cos²(1.52t) + 1.52sen²(1.52t))

W= eᶺ(-1.98t)[ 1.52(cos²(1.52t) + sen²(1.52t)]

W= eᶺ(-1.98t)*(1.52)

Donde: f(t)= 15sen (t) + 5e (ʌt)

W1= 0 - [15sen (t) + 5e (ʌt)][ eᶺ(-0.99t) sen(1.52t)]

W1= -[ 15sen (t). eᶺ(-0.99t) sen(1.52t)) + (5e (ʌt). eᶺ(-0.99t) sen(1.52t)]

W1= -15 eᶺ(-0.99t).sen (t). sen(1.52t) - 5 eᶺ(0.01t) sen(1.52t)

W1= - sen(1.52t) [15 eᶺ(-0.99t) sen (t) + 5 eᶺ(0.01t)]

W2= [ eᶺ(-0.99t) cos(1.52t)][ 15sen (t) + 5e (ʌt)] – 0

W2= [(eᶺ(-0.99t) cos(1.52t)( 15sen (t)) + (eᶺ(-0.99t) cos(1.52t). 5e (ʌt)]

W2= [15 eᶺ(-0.99t) cos(1.52t). sen (t) + 5e (ʌ0.01t) cos(1.52t)

W2= cos(1.52t).[ 15 eᶺ(-0.99t) sen (t) + 5e (ʌ0.01t)]

8.- Calculamos U1 Y U2

U´1= W1/W= (- sen(1.52t) [15 eᶺ(-0.99t) sen (t) + 5 eᶺ(0.01t)])/( eᶺ(-1.98t)*(1.52)

U´1= - sen(1.52t)[9.87 eᶺ(0.99t) + 3.29 eᶺ(1.99t)]

U´1= - sen(1.52t). 9.87 eᶺ(0.99t) - 3.29 eᶺ(1.99t). sen(1.52t)

U1=ʃ -9.87 eᶺ(0.99t) sen(1.52t) - 3.29 eᶺ(1.99t). sen(1.52t)

U1= -9.87ʃ eᶺ(0.99t). sen(1.52t) - 3.29ʃ eᶺ(1.99t). sen(1.52t)

ʃ e (ʌa)(u) sen bu.du= e (ʌa)(u)/(a²+b²).(a sen bu – b cos bu) + C

U1= -9.87[(eᶺ(0.99t)/(0.99)²+(1.52)²)* (0.99 sen(1.52t) – 1.52 cos(1.52t))]

-3.29 [eᶺ(1.99t)/(1.99)²+(1.52)² (1.99 sen(1.52t) – 1.52 cos(1.52t))]

U´2= W2/W = cos(1.52t).[ 15 eᶺ(-0.99t) sen (t) + 5e (ʌ0.01t)]/ ( eᶺ(-1.98t)*(1.52)

U´2= cos(1.52t).[9.87 eᶺ(0.99t ) + 3.29 eᶺ(1.99t)]

U´2= 9.87 eᶺ(0.99t ) cos(1.52t) + 3.29 eᶺ(1.99t) cos(1.52t)

U2= ʃ 9.87 eᶺ(0.99t ) cos(1.52t) + 3.29 eᶺ(1.99t) cos(1.52t)

U2= 9.87 ʃ eᶺ(0.99t ) cos(1.52t) + 3.29 ʃ eᶺ(1.99t) cos(1.52t)

ʃ e (ʌa)(u) cos bu.du= e (ʌa)(u)/(a²+b²).(b sen bu + b cos bu) + C

U2= 9.87 [(eᶺ(0.99t)/(0.99)²+(1.52)²)* (1.52 sen(1.52t) + 0.99 cos(1.52t))]

+ 3.29 [eᶺ(1.99t)/(1.99)²+(1.52)² (1.52 sen(1.52t) + 1.99 cos(1.52t))]

9.- La solución general de la EDO es:

Y= Yh + Yp

Yp= U1Y1 + U2Y2

Yh= e (ʌ-0.99t) [A cos(1.52t) + B sen(1.52t)]

Yp=-9.87[(eᶺ(0.99t)/(0.99)²+(1.52)²)* (0.99 sen(1.52t) – 1.52 cos(1.52t))]

-3.29 [eᶺ(1.99t)/(1.99)²+(1.52)² (1.99 sen(1.52t) – 1.52 cos(1.52t))] * eᶺ(-0.99t) cos(1.52t)

+ 9.87 [(eᶺ(0.99t)/(0.99)²+(1.52)²)* (1.52 sen(1.52t) + 0.99 cos(1.52t))]

+ 3.29 [eᶺ(1.99t)/(1.99)²+(1.52)² (1.52 sen(1.52t) + 1.99 cos(1.52t))] * eᶺ(-0.99t) sen(1.52t)

Y= e (ʌ-0.99t) [A cos(1.52t) + B sen(1.52t)]+ =-9.87[(eᶺ(0.99t)/(0.99)²+(1.52)²)* (0.99 sen(1.52t) – 1.52 cos(1.52t))]

-3.29 [eᶺ(1.99t)/(1.99)²+(1.52)² (1.99 sen(1.52t) – 1.52 cos(1.52t))] * eᶺ(-0.99t) cos(1.52t)

+ 9.87 [(eᶺ(0.99t)/(0.99)²+(1.52)²)* (1.52 sen(1.52t) + 0.99 cos(1.52t))]

+ 3.29 [eᶺ(1.99t)/(1.99)²+(1.52)² (1.52 sen(1.52t) + 1.99 cos(1.52t))] * eᶺ(-0.99t) sen(1.52t) S.G

Solucion del ejerecicio por medio de

MATLAB

L a ecuacion que vamos a ingresar en Matlab

es la siguiente:

((15*sin(t))+(5*(e^(t)))-(A(1)/0.20)-(3*B(1)))/1.51

1. En matlab creamos un nuevo documento

M-file en donde ingresamos lo siguiente:

function B=rlc(t,A)

B=zeros(2,1);

B(1)=A(2);

B(2)= ((15*sin(t))+(5*(exp(t)))-(A(1)/0.20)-

(3*B(1)))/1.51;

2. Ahora vamos a realizar las ordenes que necesitamos para obtener el dibujo del problema

[t,A]=ode45('rlc', [-4 10], [-3 15]);

q=A(:,1);

i=A(:,2);

plot(t,q); « Nos dibuja la figura que deseamos »

Title(‘q vs t') « Sirve para colocar los titulos a la figura »

xlabel(‘t(s)') « Se colocan un menbrete en los ejescoordenados »

ylabel(‘q(c)')

figure(2)

plot (t,i)

title('i vs t')

xlabel('t(s)')

ylabel('i(A)')

[x,y] = ode45('función',a,b,inicial)Esta instrucción regresa un conjunto de coordenadas "x" y "y" que representan a la función y=f(x), los valores se calculan a través de métodos Runge-Kuta de cuarto y quinto orden.

El nombre "función", define una función que representa a una ecuación diferencial ordinaria, ODE45 proporciona los valores de la ecuación diferencial y'=g(x,y).

Los valores "a" y "b" especifican los extremos del intervalo en el cual se desea evaluar a la función y=f(x).

El valor inicial y = f(a) especifica el valor de la función en el extremo izquierdo del intervalo [a,b].

GRAFICOS RESULTANTES

CARGA vs TIEMPO

CORRIENTE vs TIEMPO