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TRIGONOMETRÍA “Identidades Trigonométricas”

IDENTIDADES

TRIGONOMETRICAS

1.- IDENTIDADES RECIPROCAS Sen . Cosec = 1 R - n

Cos . Sec = 1 R–(2n+1) Tan . Cotan = 1 R – n /2

2. IDENTIDADES POR DIVISION Tan = Sen / Cos R–(2n+1) /2

Cotan = Cos / Sen R – n

3. IDENTIDADES PITAGORICAS Sen2 + Cos2 = 1 R

1 + Tan2 = Sec2 R–(2n+1) /2 1 + Ctg2 = Csc2 R – n

4. IDENTIDADES AUXILIARES

sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x

sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x

tg x + cotg x = sec x . cosec x

sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x

(1 senx cosx)2 =2 (1 senx)(1 cosx)

Si:

asenx +bcosx = C 22 bac

Entonces:

cb

xca

senx cos

Si:

ntgxxntgxx

1secsec

Si:

m

ctgxxmctgxx1

csccsc

x

senxsenx

xsenx

xx

senxcos

1

1

cos;

cos1

cos1

(senx cosx)2 = 1 2senx.cosx

RECORDAR

Verso de “x” : ver x = 1 – cosx

Converso de “x” : cov = 1 – senx

Ex secante de “x” : ex sec = secx – 1

PROPIEDAD: si multiplicamos a los ángulos de

una identidad trigonométrica por un factor

numérico cualquiera, la identidad sigue

cumpliéndose.

Sen 2 2x + cos 2 2x = 1

1+ tg 2 x/2 = sec 2 x/2

Sen 5x . csc 5x = 1

xxsen

xtg10cos

1010

5. TIPOS A continuación te proponemos algunas guías o sugerencias que te servirán para desarrollar ejercicios, estas son: Escoger el miembro más complicado de la

identidad. Colocar el miembro escogido en términos

de senos y cosenos. Hacer uso de identidades algebraicas,

según sea el caso. Cuando haya potencias puede ser útiles

hacer factorizaciones

gonometría.

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Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo

De las identidades fundamentales se podrán deducir otras.

Los ejercicios sobre IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos:

Demostraciones Simplificaciones Condicionales Eliminación del ángulo

PROBLEMA DE CLASE

1. Simplificar: Ctgx

Tgx

Secx

Cosx

Cscx

SenxE

a) 1 b) xSec 2 c) xCsc2

d) Secx e) Cscx

2. Simplificar: Cosx.Senx

1)CosxSenx(E

2

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0

3. Determinar "k" en: k

2

Senx1

Cosx

Senx1

Cosx

a) xCos 2 b) SenxCosx c) Senx

d) Cosx e) Sen 2x

4. Simplificar:

)ICx(Senx

SenxSenxCosx21E

a) Senx b) Cosx c) 1

d) Tgx e) Ctgx

5. Determinar a-1 en la siguiente identidad

axxctgxsen 222 cos

111

a) xctg 2 b) xtg 2 c) xSen 2

d) xCos 2 e) xSec 2

6. Calcular “k”, para que la siguiente igualdad

sea una identidad.

xxsensenx

xsensenx

xsen kk42 cos26

1

1

1

1

a) 2 b) 4 c) 6 d)8 e) 10

7. Si la siguiente expresión es una identidad:

kk

xsenx

xsenxx cos1

cos.

cos1

Calcular el valor de “k”

a) senx b) cosx c) tgx

d) senx.cosx e) Cscx.Tgx

8. Si: aTgxSecx ; bCtgxxcsc

Determinar la relación que elimina el arco “x”

de “x”

a) 11.4 22 baba b) 11.2 22 baba

c) 22. 22 baba d) 11.2 22 baba

e) 11.4 22 baba

9. Calcular el valor k para que la expresión F

sea independiente de x, si:

xxkxtgxtgF 2424 secsec3

a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2

10. Reducir:

xxxsen

xxsenF 2

22

88

coscos.21

cos

a) xSen 2 b) xCos 2 c) xSen 2

d) xCos 2 e) xSen 4

11. Simplificar: 1CosxSen

1xCosxSenE

66

44

a) 5/3 b) -1 c) 2/3 d) ¾ e) 1/3

12. Reducir:

)xCosxSen(2)xCosxSen(3E 6644

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

13. Si: Senx+Cosx = m

Calcular: E = (1+Senx)(1+Cosx)

a) 2

m1 2

b) 2

m1 2

c) 2

)m1( 2

d) 2

)m1( 2

e) 1+m

14. Si: xCosSenxxSen 23 ; calcular

xSenCscxF 3

a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2

15. Si: 132 xTgxTgTgx ; calcular

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gonometría.

3

xTgCtgxF 3

a) 2 b) 1 c) 3 d) -1 e) -2

16. Si: nSecxTgx

SecxTgx

1

1 ; calcular

TgxSecxF

a) n-2 b) n-1 c) n d) n2 e) n

17. Determinar "x" para que la igualdad:

x

1

Cot

1

Tan

1

Cos

1222

Sea una identidad

a) 2Sen b)

2Cos c) 2Tan

d) Secx e) Cscx

18. Si la igualdad es una identidad

Calcular: M+N

xCtg4MCtgxCscx

CtgxCscx

CtgxCscx

CtgxCscx N

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19. Si:

ba

bSenCosa11

1. 44 ,

445 , tal que 00 bya ,

Calcular Sec

a) a

ba b) b

ba c) ba

d) b

ba e) a

ba

20. Si: tgxt

x

q

senx

p

cos, determinar la relación

que elimina el arco “x”

a) 22222 qptpq b) 22222 tpqpt

c) 22222 tqqpp d) 22222 pqtpq

e) 22222 tqqpp

21. Si: tgxqx

pm .

cos ;

x

qtgxpn

cos.

Determinar la relación que elimina el arco

de “x”

a) m – n = p – q b) m + n = p + q

c) m2 + n2 = p2 + q2 d) m 2 – n2 = p2 – q 2

e) m 3 – n2 = p2 – q 3

PROBLEMA DE REPASO

1. Hallar A2 en la siguiente identidad:

1Cscx

A

Senx1

Senx1

a) xSen 2 b) xCos 2

c) xTg2

d) xCtg2 e) xSec 2

2. Eliminar "x" a partir de:

Tgx + Ctgx = a

Tgx - Ctgx = b

a) 3ba 22 b) 3ba 22

c) 4ba 22 d) 4ba 22

e) 8ba 22

3. Si: 6

7CosxSenx

Calcular: C = Senx Cosx

a) 7

1

b) 6

1

c) 14

1

d) 12

1

e) 9

1

4. Hallar mnn

m ,si se cumple la identidad

xxctgxxctg nm cos.cos22

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

5. La expresión (1 - sen2x )(1 + tg2x) es

idéntica a:

a) 1 b) sen x c) cos x d) csc x e)N.A

6. senxtgxxxsen sec1 2 es

idéntica a:

a) 1 b) sen x c) cos x d) csc x e)N.A

7. Si csecα – cos α= 1

Calcular T = cos1

3sen

a) 1 b) -1 c) senα d) –senα e) cosα

8. Reducir la expresión

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gonometría.

4

k = 3

sec

seccos

csen

a) Senα b) cosα c) tagα d) ctagα e) 1

9. Si: tg + ctg = 25/12 Calcular el valor

de: sen + cos

a) 7/5 b) 5/7 c) 4/3 d) -3/4

10. El cociente de: [ (1 - sen A)½ + (1 + sen A)½ ]2

entre 2.( cos A + sec2A – tg2A)

a) 1 b) sen x c) cos x d) csc x

11. Si: x ( /4 ; /2 ) reducir:

xsenxxsenx cos.21cos.21

a) 1 b) 2sen x c) cos x d) sen x

12. Reducir: CosxSenx

xCosxSenC

44

a) 1 b) Senx c) Cosx

d) Senx + Cosx e) Senx - Cosx

13. Simplificar:

xSen)xCot1(xCos)xTan1(C 4242

a) 1 b) xxCosSen 22 c) xSen 2

d) xCos 2 e) 2

14. Si: 9

7xCosxSen 44

Calcular: xCosxSenC 66

a) 3

1

b) 3

2

c) 9

1

d) 9

2

e) 9

4

15. Simplificar: 22

1cos

csc

1

sec

x

xctgx

senx

xtgxF

a) xtg 2 b) xCtg 2 c) xCos 2

d) 2 e) 1

16. Simplificar:

1

1sec66

66

xCtgxCsc

xtgxF

a) xtg 5 b) xCtg 5 c) 1

d) xtg 6 e) xCtg 6

17. Simplificar:

xCtgxxCsc

xtgxsenxF

244

244

2cos1

21sec

a)0 b) tgx c) 1 d) Ctgx e) -1

18. Simplificar:

xCscxSecxCscxxCscxSecxCscx

F4422

2244

.sec

.sec

a) 0 b) -1 c) -2 d)-3 e) -4

19. Simplificar:

xCosxSenxSenxSen

xSenxCosxCosxCosF

3642

3642

1

1

2;0x

a) Cscx b) Secx c) tgx d) Ctgx e) Cosx

20. Si: ;2 CosxSenxxCos Calcular:

xCosCtgxF 22

a) Cosx b) Cosx1 c) Senx.Cosx

d) ½ e) 1

21. Si: 12 22 ytgxtg ; calcular

yCosxCosF 222

a) Cosx b) Cosy c) tgx

d) 0 e) 1

22. Si: bTgatgTgx

Tgb

Senx

Tga 22

2

,

determinar Cosx en función de tg a y tg b.

a)

tga

tgb b)

tgb

tga c) tga + tgb

d)

1

1

tgb

tga e)

tgb

tga2

23. Si: 23ctgtgm

21.CscSecn

Determinar la relación que elimina el arco

de “ ”

a) 1nm b) 2nm

c) 4mn d) 32 nm

e) 4mn

Prof: Jhon Villacorta Villacorta Tri

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