“ เซต ” ( Sets )

สรป กลมของส�งตางๆ ในทางคณตศาสตร เรยกวา “ เซต ” ( Sets ) และเรยกส�งตางๆ ท�อยในเซตวา

“ สมาชก ” ( elements หรอ members ) ของเซตใชสญลกษณ คอ ∈ และใชสญลกษณ ∉ แทนคา

วา “ ไมเปนสมาชก ” และจานวนสมาชกของเซต เขยนแทนดวย n( A )

การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก

1) สมาชกทกตวของเซตเขยนลงในเคร�องหมายวงเลบปกกา 2) ใชเคร�องหมาย “ , ” ค�นระหวางสมาชกแตละตว

3) แทนช�อเซตดวยอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญ และแทนสมาชกของเซตดวยตวพมพเลก

สญลกษณแทนเซตของจานวนตางๆ I+ แทนเซตของจานวนเตมบวก = { 1, 2, 3, … }

I- แทนเซตของจานวนเตมลบ = { -1, -2, -3, … }

I แทนเซตของจานวนเตม = { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }

N แทนเซตของจานวนนบ = { 1, 2, 3, … }

\R แทนเซตของจานวนจรง ตวอยาง A = เซตของจานวนเตมท�สอดคลองกบสมการ x2 + 2x – 15 = 0

A = { -5, 3 } B = เซตของจานวนนบท�สอดคลองกบสมการ x2 + 2x – 15 = 0

B = { 3 } นยาม เอกภพสมพทธ คอ เซตท�กาหนดขPน โดยมขอตกลงวาจะไมกลาวถงส�งใดนอกเหนอจากสมาชกของเซตท�กาหนดขPนนP ใชสญลกษณ U แทน เอกภพสมพทธ

การเทากนของเซต

บทนยาม เซต A และเซต B เปนเซตท�เทากนกตอเม�อเซต A และเซต B มสมาชกเหมอนกน กลาวคอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกทกตวของเซต B และสมาชกทกตวของเซต B เปนสมาชกทกตวของเซต A เขยนแทน เซต A เทากบเซต B ดวย A = B

ตวอยาง E = { x x2 – 6x + 8 = 0 } , F = { -4, -2 } จงพจารณาวาเซตสองเซตน6 เทากนหรอไม

วธทา จากเซต E จะได ( x – 4 )( x – 2 ) = 0

x = 4 หรอ x = 2

ดงน6น E = { 4, 2 } น�นคอ E ≠ F

ใบความรท� 1

เร�อง เซตจากดและเซตอนนต

เราสามารถบอกจานวนสมาชกไดแนนอน

ในกรงมนกอย 3 ตว เราจะนบไดเลยวาในกรงมนกอย 3 ตวจรง

ในทะเลมปลาเยอะแยะเลย เรากจะบอกไมไดวาในทะเลมปลาอยก�ตว เราไมสามารถบอกจานวนสมาชกท�แนนอนได

ครกาหนด A = { 1, 3, 5, 7, 9, …, 21 } เซต A มสมาชกท�แตกตางกน 11 ตว หรอ

n( A ) = 11 เพราะฉะน6น จะเหนไดวาเราสามารถบอกจานวนสมาชกของเซต A ไดวาม 11 จานวน เซตลกษณะน6 เราเรยนวา “ เซตจากด ”

เซตจากด คอ เซตท�มจานวนสมาชกเปนจานวนเตมบวกหรอศนย ครกาหนด B = { 2, 4, 6, 8, … } เซตน6ไมใชเซตจากด เพราะไมสามารถบอกจานวนสมาชก

ไดแนนอน เซตลกษณะน6 เราเรยกวา “ เซตอนนต ”

เซตอนนต คอ เซตท�ไมใชเซตจากด

ตวอยาง นกเรยนลองพจารณานะคะ เซตเหลาน6 จะเปนเซตจากดหรอเซตอนนต 1. A = { 2, 4, 6, …, 100 } เปนเซตจากด

2. B = { 1, 2, 3, …, 10 } เปนเซตจากด

3. C = { 1, 3, 5, 7, … } เปนเซตจากด

4. D = { x x ∈R และ 0 < x < 1 } เปนเซตอนนต

ใบความรท� 2

เร�อง เซตวาง

ในน'ไมเหนมอะไรเลย

• นกเรยนหาดซคะวา “ เซตของเดอนท�ม 35 วน ” คอเดอนอะไรบาง

• เราจะตอบไดทนทเลยวา “ เซตของเดอนท�ม 35 วน ” น6น ไมม

เซตวาง คอ เซตท�ไมมสมาชก

• สญลกษณท�ใชแทนเซตวาง คอ {} หรอ ∅ ตวอยาง เซตท�กาหนดใหตอไปน6 เปนเซตวาง

1. { x x เปนจานวนเตม ซ� ง x2 = -1 }

2. { x x เปนจานวนจรง ซ� ง x < x }

3. { x ∈I0 < x < 1 } 1 1 1 1

สบเซต

บทนยาม เซต A เปนเซตยอยของเซต B กตอเม�อ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B ใชสญลกษณ A⊆ B แทนเซต A เปนเซตยอยของเซต B ในกรณท�เซต A ไมเปนเซตยอยของเซต B จะใชสญลกษณ A⊆B อานวา เซต A ไมเปนเซตยอยของเซต B ตวอยาง จงหาเซตยอยของเซตท�กาหนดให 1. A = { 1 }

วธทา เซตยอยของเซต A ท�ไมมสมาชกเลย ไดแก ∅ เซตยอยของเซต A ท�มสมาชก 1 ตว ไดแก { 1 }

ดงน1น A มเซตยอยท1งหมด คอ ∅, { 1 } 2. B = { 1, 2 }

วธทา เซตยอยของเซต B ท�ไมมสมาชกเลย ไดแก ∅ เซตยอยของเซต B ท�มสมาชก 1 ตว ไดแก { 1 }, { 2 } เซตยอยของเซต B ท�มสมาชก 2 ตว ไดแก { 1, 2 }

ดงน1น B มเซตยอยท1งหมด คอ ∅, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 } 3. C = { 1, 2, 3 }

วธทา เซตยอยของเซต C ท�ไมมสมาชกเลย ไดแก ∅ เซตยอยของเซต C ท�มสมาชก 1 ตว ไดแก { 1 }, { 2 }, { 3 }

เซตยอยของเซต B ท�มสมาชก 2 ตว ไดแก { 1, 2 }, { 1, 3 }, {2, 3 }

เซตยอยของเซต B ท�มสมาชก 3 ตว ไดแก { 1, 2, 3 }

ดงน1น B มเซตยอยท1งหมด คอ ∅, { 1 }, { 2 }, { 3}, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, {1, 2, 3 }

การหาเซตยอยและเซตยอยแท

ขอสงเกต ถาเซต A เปนเซตจากด และมสมาชก n ตว แลวเซต A มเซตยอย ท1งหมด 2n เซตยอย และเซต A จะมเซตยอยแทท1งหมด 2n – 1 เซตยอย

บทนยาม เซต A เปนเซตยอยแทของเซต B กตอเม�อ เซต A เปนเซตยอยของเซต B และ

A ≠ B ใชสญลกษณ A ⊂ B แทนเซต A เปนเซตยอยแทของเซต B

ตวอยาง A = { x ∈R 10 < x < 15 } B = { x ∈R 10 ≤ x < 15 } จากเซต A จะไดวา x มคามากกวา 10 แตนอยกวา 15 และเซต B จะไดวา x มคามากกวาหรอเทากบ 10 แตนอยกวา 15

น�นคอ เซต A เปนเซตยอยของเซต B และ A ≠ B ดงน1น เซต A เปนเซตยอยแทของเซต B หรอ A ⊂ B การหาเซตกาลง

บทนยาม เม�อ A เปนเซตจากด เรยกเซตของเซตยอยท1งหมดของเซต A วา เซตกาลงของ A หรอเพาเวอรเซต A เขยนแทนดวยเซตกาลงของ A ดวย P( A ) ตวอยาง กาหนด A = { 1, 3, 5 } เซตยอยท1งหมดของ A ไดแก

{ ∅, { 1 }, { 3 }, { 5 }, { 1, 3 }, { 1, 5 },{ 3, 5 }, {1, 3, 5 }} เซตของเซตยอยท1งหมดของหรอเซตกาลงของ A ไดแก

{ ∅, { 1 }, { 3 }, { 5 }, { 1, 3 }, { 1, 5 }, { 3, 5 }, {1, 3, 5 }}

ลกษณะของเอกภพสมพทธ

บทนยาม เอกภพสมพทธ คอ เซตท�กาหนดโดยมขอตกลงวาจะกลาวถงเซตใดๆ ท�มสมาชกอยในเซตท�กาหนดเทาน)น ปกตมกใช U แทนเอกภพสมพทธ โดยท�วไปมกเขยนในลกษณะของเซตท�เขยนแบบบอกเง�อนไขของสมาชกในเซต

ตวอยาง กาหนด C = { x∈Rx2 = 11 } จงหาวาสมาชกของเซต C คอจานวนใด

วธทา เน�องจากสมาชกของเซต C คอจานวนจรง x ท� x2 = 11 ดงน)นจะได x2 - 11 = 0 x2 - ( 11 )2 = 0 ( x + 11 )( x – 11 ) = 0

x = - 11 หรอ x = 11 น�นคอ สมาชกของเซต C คอ - 11 และ 11

ตอบ C = { - 11 , 11 }

เฉลยแบบตรวจสอบความกาวหนา 5

1. กาหนด A = { x∈I+ x2 + 5x – 24 = 0 } จงเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก เน$องจาก x2 + 5x – 24 = 0

( x + 8 )( x – 3 ) = 0

x = -8 หรอ x = 3

แต x∈I+ ดงน.น x = 3 จะไดวา A = { 3 }

2. กาหนด A = { x∈I x2 + 5x – 24 = 0 } จงเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก เน$องจาก x2 + 5x – 24 = 0

( x + 8 )( x – 3 ) = 0

x = -8 หรอ x = 3

แต x∈I เซตคาตอบ คอ { -8, 3 } จะไดวา A = { -8, 3 }

3. กาหนด B = { x∈Ix2 – 7 = 0 } จงเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก x2 – 7 = 0

เน$องจากไมมจานวนเตมใดท$แทน x แลวทาใหประโยคเปนจรง

ดงน.น B = ∅

4. กาหนด B = { x∈Rx2 – 7 = 0 } จงเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก เน$องจาก x2 – 7 = 0

( x + 7 )( x – 7 ) = 0

x = - 7 หรอ x = 7

และ x∈R เซตคาตอบ คอ { - 7 , 7 } น$นคอ B = { - 7 , 7 }

แผนภาพเวนน – ออยเลอร

สรป แผนภาพเวนน – ออยเลอร เปนแผนภาพท$ใชแสดงความเก$ยวของของเซตตางๆ การ

เขยนแผนภาพแทนเซตจะใชรปปด เชน วงกลม วงร ส$ เหล$ยม เปนตน มกแทนดวยรปส$เหล$ยมผนผา สวนเซตตางๆ ท$เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธแทนดวยวงกลมหรอวงร ตวอยาง 1. สมาชกของเซต A เปนสมาชกของเซต B แตมสมาชกบางตวของเซต

B ไมอยในเซต A U A B

2. A⊆B และ B⊆C

A B C 4. จงเขยนแผนภาพเวนน – ออยเลอร จากเซตท$กาหนดใหดงน.

1. กาหนด U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = { 4, 5, 6 } B = { 2, 3, 4, 7 } 2. จากแผนภาพเวนน – ออยเลอร จงเขยน U, A, B

U สบ ยาสฟน แชมพ น.าหอม แปง ผงซกฟอก

1. แผนภาพเวนน – ออยเลอรจงดสวนท$แรงเงาในกรณตางๆ ดงน.

สวนท$แรงเงาคอ A ยเนยน B ซ$ งเขยนแทนดวยสญลกษณ A∪B

พ.นท$สวนท$แรงเงาคอ A อนเตอรเซกชน B ซ$ งเขยนแทนดวยสญลกษณ A∩B บทนยาม ยเนยนของเซต A และเซต B คอเซตท$ประกอบดวยสมาชกซ$งเปนสมาชกของเซต A หรอของเซต B หรอของท.งสองเซต ยเนยนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวยสญลกษณ

A∪B บทนยาม อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอเซตท$ประกอบดวยสมาชกของท.งเซต A

และเซต B อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวยสญลกษณ A∩B ตวอยาง กาหนด U = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 } A = { 7, 8, 10 } B = { 5, 6, 7, 8, 10 } จงเขยนเซตของ

1. A∪B จาก A = { 7, 8, 10 }

B = { 5, 6, 7, 8, 10 }

ดงน.น A∪B = { 5, 6, 7, 8, 10 }

2. A∩B จาก A = { 7, 8, 10 } B = { 5, 6, 7, 8, 10 }

ดงน.น A∩B = { 7, 8, 10 } 4. กาหนด U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4, 6, 8 } C = { 6, 7, 8, 9 } จงหาเซตของ

1. A∪B 2. A∩B 3. ( A∪B ) ∩C

4. A∪C 5. A∩C 6. ( A∩C ) ∩A วธทา

1. เน$องจาก A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4, 6, 8 }

ดงน.น A∪B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 } 2. เน$องจาก A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4, 6, 8 }

ดงน.น A∩B = { 2, 4 }

3. เน$องจาก A∪B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 } C = { 6, 7, 8, 9 }

ดงน.น ( A∪B ) ∩C = { 6, 8 } 4. เน$องจาก A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } C = { 6, 7, 8, 9 }

ดงน.น A∪C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 5. เน$องจาก A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

C = { 6, 7, 8, 9 }

ดงน.น A∩C = { }

6. เน$องจาก A∩C = { } A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

ดงน.น ( A∩C ) ∩A = { } สมบตตางๆ เก%ยวกบยเนยน

1. A∪A = A

2. A∪∅ = A

3. A∪U = U

4. A∪B = B∪A

5. A∪( A∪C ) = ( A∪B ) ∪C

6. A⊆B กตอเม$อ A∪B = A

7. A⊆( A∪B ) และ B⊆( A∪B ) สมบตตางๆ เก%ยวกบอนเตอรเซกชน

1. A∩A = A

2. A∩∅ = ∅

3. A∩U = A

4. A∩B = B∩A

5. A∩( B∩C ) = ( A∩B ) ∩C

6. A⊆B กตอเม$อ A∩B = A

7. ( A∩B ) ⊆A และ ( A∩B ) ⊆B

U A

จากแผนภาพเวนน – ออยเลอรครและนกเรยนสรปไดวา พ.นท$แรงเงา คอ U – A สามารถเขยน

ดวยสญลกษณ U ′ และสรปเปนบทนยามไดวา

บทนยาม ผลตางระหวางเซต A และเซต B คอเซตท$ประกอบดวย สมาชกของเซต A ท$ไมเปนสมาชกของเซต B ผลตางระหวางเซต A และเซต B เขยนแทนดวย A – B

ตวอยาง จากแผนภาพจงหาเซต A – B, B – A, A′ , B′

U A 0 1 2 B 5 3 4 7 6 8 9

วธทา จากแผนภาพจะได

U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A = { 0, 1, 3, 4, 5, 7 } B = { 1, 2, 4, 6, 7 } ดงน.น A – B = { 0, 3, 5 }

B – A = { 2, 6 }

A′ = { 2, 6, 8, 9 } B′ = { 0, 3, 5, 8, 9 }

ตวอยาง

กาหนด U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A = { 0, 2, 4, 6, 8 } B = { 1, 3, 5, 7, 9 } จงหา A – B, B – A, A′ , B′

วธทา A – B = { 0, 2, 4, 6, 8 }

B – A = { 1, 3, 5, 7, 9 }

A′ = { 1, 3, 5, 7, 9 } B′ = { 0, 2, 4, 6, 8 }